信息與計算科學叢書·典藏版（46）：有限元方法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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石鍾慈，王鳴 著

圖書標籤:

• 有限元方法
• 數值分析
• 計算數學
• 科學計算
• 工程分析
• 結構力學
• 偏微分方程
• 高等教育
• 專業教材
• 信息與計算科學

齣版社： 科學齣版社有限責任公司

ISBN：9787030264756

版次：1

商品編碼：11890455

包裝：平裝

叢書名： 信息與計算科學叢書

開本：16開

齣版時間：2010-01-01

用紙：膠版紙

頁數：370

字數：468000

正文語種：中文

內容簡介

　　《信息與計算科學叢書·典藏版（46）：有限元方法》係統地論述瞭有限元方法的數學基礎理論。
　　《信息與計算科學叢書·典藏版（46）：有限元方法》以橢圓偏微分方程的邊值問題為例，介紹瞭協調有限元方法以及非協調等非標準有限元方法的數學描述、收斂條件和性質、有限元解的先驗和後驗誤差估計以及有限元空間的基本性質，其中包括作者多年來的部分研究成果。
　　《信息與計算科學叢書·典藏版（46）：有限元方法》可以作為從事科學與工程計算的科研和工程技術人員的參考書，也可以作為高等院校計算數學、應用數學等專業碩士研究生的教材。

內頁插圖

目錄

《信息與計算科學叢書》序
前言

第1章 變分原理
1．1 Sobolev空間
1．2 Poisson方程
1．3 重調和方程
1．4 抽象變分問題
1．5 Galerkin方法和Ritz方法

第2章 有限元和有限元空間
2．1 區域的剖分
2．2 有限元
2．3 有限元空間
2．4 二階橢圓問題：單純形有限元
2．5 二階橢圓問題：矩形有限元
2．6 四階橢圓問題：單純形有限元
2．7 四階橢圓問題：矩形有限元
2．8 2m階橢圓問題：MWX元

第3章 有限元插值理論
3．1 仿射變換和仿射簇
3．2 仿射連續性和尺度不變性
3．3 插值誤差
3．4 逆不等式
3．5 有限元空間的逼近精度
3．6 一般單元的插值誤差

第4章 協調有限元方法
4．1 Poisson方程
4．2 薄闆彎麯問題
4．3 後驗誤差估計

第5章 非協調有限元方法
5．1 非協調有限元
5．2 弱連續性
5．3 二階橢圓邊值問題
5．4 四階橢圓邊值問題
5．5 2m階橢圓邊值問題
5．6 後驗誤差估計

第6章 非協調有限元的收斂性
6．1 廣義分片檢驗
6．2 分片檢驗
6．3 分片檢驗的反例
6．4 F-E-M檢驗
6．5 超逼近性
6．6 奇異的收斂現象

第7章 擬協調有限元方法
7．1 二階問題：RQC4元
7．2 重調和方程
7．3 秩條件
7．4 逼近性
7．5 誤差估計
7．6 後驗誤差估計

第8章 非傳統有限元方法
8．1 自由格式
8．2 兩個單元
8．3 收斂分析
8．4 一般情形
8．5 後驗誤差估計

第9章 雙參數方法
9．1 DSP方法
9．2 DSP方法的收斂性
9．3 Poisson方程的DSP元
9．4 薄闆彎麯問題的DSP元
9．5 後驗誤差估計

第10章 有限元空間的性質
10．1 基本假設
10．2 嵌入性質
10．3 緊緻性質
10．4 有限元空間上的不等式
10．5 關於最大模的不等式

第11章 二階問題有限元的Loo誤差估計
11．1 加權範數
11．2 正則Green函數
11．3 協調元
11．4 非協調元

第12章 薄闆彎麯有限元的Loo誤差估計
12．1 正則Green函數
12．2 協調元
12．3 非協調元
12．4 擬協調元
12．5 非傳統元
12．6 DSP元

參考文獻
索引

前言/序言

信息與計算科學叢書·典藏版（45）：數值代數 內容簡介 本書是“信息與計算科學叢書·典藏版”係列中的第45捲，聚焦於數值代數這一信息與計算科學領域的核心分支。數值代數是數學、計算機科學和工程應用之間的一座關鍵橋梁，它緻力於研究如何利用計算機對綫性代數問題進行高效、穩定和精確的數值求解。本書內容全麵、深入，旨在為高等院校的理工科學生、研究生以及從事相關領域的科研和工程技術人員提供一套係統、嚴謹且富有實踐指導意義的教材與參考資料。 全書結構清晰，從基礎概念齣發，逐步深入到前沿算法與應用，力求展現數值代數的全貌。 第一部分：基礎與預備知識 本部分首先迴顧瞭必要的數學基礎，特彆是綫性代數的核心概念，如矩陣的範數、秩、特徵值與特徵嚮量等。隨後，詳細介紹瞭計算機浮點運算的精度、誤差的來源與控製，這是理解所有數值方法的基石。重點討論瞭矩陣的條件數，用以衡量問題對輸入微小變化的敏感性，直接關係到數值解的可靠性。 第二部分：綫性方程組的直接求解方法 這是數值代數的核心內容之一。本書對求解大規模綫性方程組 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 的直接法進行瞭詳盡的闡述。 高斯消元法及其矩陣分解形式： 詳細分析瞭高斯消元過程的每一步，並將其推廣到 $LU$ 分解。深入討論瞭主元選擇（部分選主元與完全選主元）對計算穩定性的影響，並闡述瞭如何利用 $PA = LU$ 分解高效求解多個右端項的問題。 Cholesky 分解： 專門針對對稱正定矩陣，介紹瞭一種計算效率高且穩定性極佳的分解方法，並討論瞭其在優化問題中的應用。 矩陣的直接求逆： 盡管在實際應用中不推薦直接求逆，但本書仍對其原理進行瞭介紹，並將其與分解方法的計算量進行瞭對比分析。 第三部分：綫性方程組的迭代求解方法 對於特彆稀疏或超大規模的綫性係統，直接法因其存儲需求和計算復雜度往往不適用。本部分著重介紹瞭迭代法，這類方法通過構造一個收斂到精確解的序列來逼近真實解。 基本迭代法： 詳細分析瞭雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）迭代法。重點在於分析這些方法的收斂條件（如對角占優矩陣的性質）和收斂速度。 欠鬆弛與超鬆弛迭代（SOR）： 引入鬆弛因子以加速或穩定迭代過程，並探討瞭最佳鬆弛因子的選擇。 子空間方法與Krylov子空間： 這是現代大規模求解器的基礎。本書深入介紹瞭 Arnoldi 迭代和 Lanczos 迭代，它們是構建高效求解器的核心工具。 第四部分：特徵值問題的數值解法 計算矩陣的特徵值和特徵嚮量是科學計算中的另一大難題，廣泛應用於穩定性分析、主成分分析（PCA）等領域。 相似變換與Hessenberg/Tridiagonal 矩陣： 闡述瞭如何通過正交相似變換將一般矩陣轉化為易於處理的 Hessenberg 矩陣或對稱矩陣的 Tridiagonal 形式，從而顯著加速後續的迭代過程。 QR 算法： 詳細介紹瞭 QR 算法的原理，包括其如何利用 QR 分解迭代地逼近特徵值。重點講解瞭添加平移因子（Shifted QR Algorithm）以加速收斂至真實特徵值的技巧。 Lanczos 迭代與Arnoldi 迭代在特徵值問題中的應用： 探討瞭這些迭代方法如何用於大規模稀疏矩陣，僅需計算矩陣與嚮量的乘積，即可有效地估計齣最大的或最小的幾個特徵值（即子空間方法）。 冪法與反冪法： 介紹瞭計算最大特徵值和反求最小特徵值的經典方法，並討論瞭其在特定場景下的實用性。 第五部分：矩陣函數的計算與最小二乘問題 本部分拓展瞭數值代數的應用範圍。 矩陣函數的數值逼近： 討論瞭矩陣指數、矩陣平方根等重要函數的數值計算方法，包括基於譜分解的方法和更通用的 Pade 近似法。 綫性最小二乘問題： 麵對超定係統（方程多於未知數），介紹如何求解最小二乘意義下的近似解。重點講解瞭正規方程組法、QR 分解法（Householder 變換和 Givens 鏇轉）以及奇異值分解（SVD）在穩定求解最小二乘問題中的優越性。SVD 作為數值代數中最強大的工具之一，其理論和計算過程被詳盡闡述。 本書特色 1. 理論與實踐並重： 每章均配有詳實的理論推導和收斂性分析，同時穿插大量的工程實例和算法的穩定性和效率討論。 2. 麵嚮大規模計算： 相比傳統教材，本書更側重於稀疏矩陣、迭代法和子空間方法，充分考慮瞭現代高性能計算的需求。 3. 嚴謹的數值分析視角： 始終強調誤差分析、條件數和算法的穩定性，確保讀者不僅知道“如何做”，更理解“為什麼這樣做”。 本書內容涵蓋瞭數值代數領域從經典到現代的主流算法，是計算數學、應用數學、物理、力學、電子工程、數據科學等領域研究人員和高年級本科生、研究生必備的參考書目。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和印刷質量絕對稱得上是“典藏”二字的水準。紙張選擇厚實且光綫反射柔和，長時間閱讀下來眼睛不容易疲勞。更難能可貴的是，公式的排版極為規範和美觀，不同的數學符號層次分明，變量、嚮量、矩陣和張量之間的區分度很高。在涉及到大型綫性方程組求解的部分，作者在理論介紹之後，緊接著就探討瞭求解器的選擇和優化，比如共軛梯度法（CG）在求解對稱正定係統時的優勢。書中對迭代收斂性的分析深入淺齣，雖然數學上使用瞭範數和特徵值等概念，但結閤實際的工程背景，使得抽象的理論變得可觸摸。我特彆欣賞作者在探討高階單元和p-自適應方法時所展現齣的前瞻性。這錶明該書不僅僅是復述經典理論，而是將有限元方法在現代計算力學中的發展脈絡也囊括其中，非常適閤需要跟進研究前沿的專業人士。

評分☆☆☆☆☆

對於一個更側重於應用和工程實踐的讀者來說，這本書的價值或許需要通過“反嚮工程”來體現。我注意到書中對諸如時間離散化（在非定常問題中）的討論非常審慎。它對比瞭歐拉嚮前、嚮後以及Crank-Nicolson等方法的穩定性和精度差異，並明確指齣瞭它們在實際計算中可能遇到的病態問題。例如，在處理涉及強對流項的偏微分方程時，單純的Galerkin方法容易齣現振蕩，書中便很自然地引齣瞭穩定化技術（如SUPG方法）的必要性，並且給齣瞭其核心思想的簡潔推導。雖然書中可能沒有直接提供大量的MATLAB或Python代碼示例（畢竟是理論叢書），但它提供的這些清晰的數學模型和算法框架，使得讀者可以非常高效地將理論轉化為自己的數值代碼。可以說，這本書提供的“數學藍圖”，遠比任何現成的代碼庫都要寶貴和持久。

評分☆☆☆☆☆

當我真正開始深入閱讀，尤其是在那些關於單元剛度矩陣構建的章節時，我深刻體會到這套叢書在細節處理上的極緻追求。舉例來說，在處理二維或三維問題，比如三角形單元或四麵體單元的形函數推導時，書中引入瞭自然坐標係（$xi, eta$）的概念，並且對雅可比矩陣的計算過程進行瞭詳盡的分解。我記得之前看過的某本書對這一步往往一筆帶過，直接給齣瞭結果，但這本典藏版卻將坐標變換、形函數對物理坐標的偏導數計算，乃至最終積分的數值方法（如高斯-勒讓德求積）的選取，都一一呈現。這種詳盡程度對於初學者來說可能略顯繁瑣，但對於我這種追求完美推導的讀者而言，簡直是福音。它讓我可以完全脫離黑箱操作，真正理解每一個數值是如何從物理定律中“生長”齣來的。特彆是關於網格質量對解精度影響的討論部分，它不僅僅是定性描述，還附帶瞭量化的誤差估計公式，極大地拓寬瞭我對數值穩定性理解的邊界。

評分☆☆☆☆☆

這本《信息與計算科學叢書·典藏版（46）：有限元方法》的封麵設計本身就透露著一種嚴謹與厚重感，銅版紙的質感加上沉穩的排版，讓人一看就知道這不是一本泛泛而談的入門讀物。我是在準備一個關於結構力學數值模擬的期末項目時，經受不住它“典藏版”的名頭誘惑而購入的。初翻之下，便被其對理論基礎的紮實闡述所震撼。它沒有一上來就拋齣復雜的矩陣方程，而是耐心地從變分原理講起，細緻地剖析瞭伽遼 ن（Galerkin）方法的思想精髓。尤其是在處理邊界條件離散化那一部分，作者的邏輯推導極為清晰，仿佛有一位經驗豐富的導師在旁邊手把手地指導你如何將連續場問題映射到有限維空間。書中對基函數選擇的討論，特彆是綫性插值和二次插值的具體構造過程，也遠比我之前閱讀的教材要深入得多，它不僅僅告訴你“怎麼做”，更深入地解釋瞭“為什麼這樣做”在數學上是閤理的，這對於建立起對有限元方法堅實的理論認知至關重要。對於任何想要深入理解有限元技術內核，而非僅僅停留在軟件操作層麵的工程師或研究者來說，這本書無疑是一個絕佳的理論基石。

評分☆☆☆☆☆

從整體的結構布局來看，這本書的編排邏輯非常清晰，具有極高的學習麯綫平滑度。它從最基本的微分方程定解問題開始，逐步過渡到離散化、單元組裝，再到最終的解算。這種層層遞進的方式，使得即便是對有限元概念感到畏懼的初學者，也能通過循序漸進的閱讀建立起完整的知識體係。特彆是書中對“奇異性問題”的處理部分留給我很深的印象。作者沒有迴避有限元方法在尖銳幾何體或載荷集中點處的固有缺陷，而是坦誠地討論瞭奇點附近解的漸近行為，並介紹瞭如何利用局部網格加密（h-refinement）來提高局部精度。這種實事求是的態度，極大地增強瞭讀者對有限元方法實際應用中局限性的認識，從而能更負責任地評估數值結果的可靠性。總而言之，這是一部將數學的嚴謹性、物理的直觀性和計算的有效性完美融閤的學術巨著。