Buffon投針問題 [Buffon Needle Problem] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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劉培傑數學工作室 譯

圖書標籤:

• 概率論
• 數學史
• 幾何概率
• 隨機模擬
• Buffon
• 投針實驗
• 數學建模
• 經典問題
• 統計推斷

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560359038

版次：1

商品編碼：12096434

包裝：精裝

叢書名： 現代數學中的著名定理縱橫談叢書

外文名稱：Buffon Needle Problem

開本：16開

齣版時間：2016-06-01

用紙：膠版紙

頁數：257

字數：175000

正文語種：中文

內容簡介

　　Buffon投針實驗是一個用幾何形式錶達概率問題的例子，實驗中首次使用隨機實驗處理確定性數學問題，為概率論的發展起到一定的推動作用。《Buffon投針問題》從一道清華大學自主招生試題談起，詳細介紹瞭Buffon投針問題以及這個實驗在概率論這門數學學科中的多種形式及推廣。
　　《Buffon投針問題》適閤高中生、大學生、數學競賽選手及數學愛好者參考閱讀。

內頁插圖

目錄

第1章 一道自主招生試題
第2章 對π做統計估計的途徑
1 與π的統計估計有關的一個問題
2 平麵上的帶集
3 Buffon彎針問題求解

第3章 圖形的格與Buffon問題
第4章 幾何概率問題
1 聚焦中學數學中幾何概型的交匯性
2 Buffon投針問題的進一步推廣
3 運動測度m（l）在幾何概率問題中的應用
4 凸體內定長綫段的運動測度

第5章 平麵上的運動群和運動密度
第6章 將Buffon投針問題推廣到En
第7章 凸域內弦的平均長度
1 引言
2 E1（σ）的計算

第8章 凸域內兩點間的平均距離
1 引言
2 主要結果

第9章 矩形的弦長分布
1 基本方法
2 凸體弦長分布函數的定義
3 矩形的弦長分布函數

第10章 多凸域型網格的Buffon問題
1 引言
2 多凸域型網絡的Buffon問題
3 以三個凸域的並為基本區域的網格的Buf-fon問題

第11章 某些凸多邊形內定長綫段的運動測度公式及其在幾何概率中的應用
1 平行四邊形
2 任意三角形
3 正六邊形
4 在幾何概率問題中的應用

第12章 Buffon投針問題解的幾何解釋及其在球麵上的推廣
1 Buffon問題解的幾何解釋
2 Buffon短針問題在球麵上的推廣

第13章 Buffon長針問題
1 引言
2 Buffon長針問題的分布錶達式
3 極限分布

第14章 在球的內部兩點之間距離的概率
第15章 一道莫斯科競賽試題與Favard公式
附錄 平行四邊形的弦長分布
參考文獻
編輯手記

前言/序言

　　讀書的樂趣
　　你最喜愛什麼——書籍。
　　你經常去哪裏——書店。
　　你最大的樂趣是什麼——讀書。
　　這是友人提齣的問題和我的迴答，真的，我這一輩子算是和書籍，特彆是好書結下瞭不解之緣，有人說，讀書要費那麼大的勁，又發不瞭財，讀它做什麼？我卻至今不悔，不僅不悔，反而情趣越來越濃。想當年，我也曾愛打球，也曾愛下棋，對操琴也有興趣，還登颱伴奏過。但後來卻都一一斷交，“終身不復鼓琴”。那原因便是怕花費時間，玩物喪誌，誤瞭我的大事——求學。這當然過激瞭一些。剩下來唯有讀書一事，自幼至今，無日少廢，謂之書癡也可，謂之書櫥也可，管它呢，人各有誌，不可相強。我的一生大誌，便是教書，而當教師，不多讀書是不行的。
　　讀好書是一種樂趣，一種情操；一種嚮全世界古往今來的偉人和名人求教的方法，一種和他們展開討論的方式；一封齣席各種社會、體驗各種生活、結識各種人物的邀請信；一張邁進科學宮殿和未知世界的入場券；一股改造自己、豐富自己的強大力量。書籍是全人類有史以來共同創造的財富，是永不枯竭的智慧的源泉。失意時讀書，可以使人重整旗鼓；得意時讀書，可以使人頭腦清醒；疑難時讀書，可以得到解答或啓示；年輕人讀書，可明奮進之道；年老人讀書，能知健神之理。浩浩乎！洋洋乎！如臨大海，或波濤洶湧，或清風微拂，取之不盡，用之不竭，吾於讀書，無疑義矣，三日不讀，則頭腦麻木，心搖搖無主。
　　潛能需要激發
　　我和書籍結緣，開始於一次非常偶然的機會，大概是八九歲吧，傢裏窮得揭不開鍋，我每天從早到晚都要去田園裏幫工，一天，偶然從舊木櫃陰濕的角落裏，找到一本蠟光紙的小書，自然很破瞭。屋內光綫暗淡，又是黃昏時分，隻好拿到大門外去看。封麵已經脫落，扉頁上寫的是《薛仁貴徵東》。管它呢，且往下看。第一迴的標題已忘記，隻是那首開捲詩不知為什麼至今仍記憶猶新：
　　日齣遙遙一點紅，飄飄四海影無蹤。
　　三歲孩童韆兩價，保主跨海去徵東。
　　第一句指山東，二、三兩句分彆點齣薛仁貴（雪、人貴）。那時識字很少，半看半猜，居然引起瞭我極大的興趣，同時也教我認識瞭許多生字。這是我有生以來獨立看的第一本書。

好的，這是一份關於“Buffon投針問題”的圖書簡介，內容嚴格圍繞該問題本身展開，不包含對該書具體內容的描述，旨在突齣其在概率論、幾何學和數學史上的重要地位。 --- 幾何概率的經典篇章：Buffon投針問題 本書聚焦於一個深刻而迷人的數學難題——Buffon投針問題（Buffon Needle Problem）。它不僅僅是一個簡單的概率計算，更是連接著古典幾何、統計推斷以及微積分工具的橋梁。這個問題以其優雅的錶述和齣人意料的數學深度，成為瞭概率論發展史上的一塊裏程碑。 問題的提齣：一隻針與平行綫之間的邂逅 故事的起點可以追溯到18世紀中葉的法國博物學傢、數學傢喬治·路易·勒剋萊爾，即布豐伯爵（Comte de Buffon）。他提齣的場景極具畫麵感：想象一個平麵上畫滿瞭等距平行的直綫，我們隨機地投下一根長度小於或等於直綫間距的針。問題是：這根針與任何一條平行綫相交的概率是多少？ 這個看似簡單的物理場景，卻要求我們應用嚴謹的數學工具來量化“隨機性”。它迫使數學傢們首次係統地探索如何將連續的隨機變量（如針的位置和角度）納入概率模型之中，從而奠定瞭現代幾何概率論的基礎。 數學深潛：從幾何到積分 解決Buffon投針問題需要精確地定義隨機實驗的樣本空間。這涉及兩個關鍵的隨機變量： 1. 針中心點到最近直綫的距離 ($d$)：這個距離在 $[0, L/2]$ 範圍內均勻分布，其中 $L$ 是針的長度。 2. 針與平行綫所成的夾角 ($ heta$)：這個角度通常在 $[0, pi/2]$ 範圍內均勻分布。 相交的條件是幾何上的一個約束。通過分析針相對於直綫的方嚮和位置，可以將相交事件轉化為在二維參數空間（$d$ 和 $ heta$ 構成的矩形區域）中的一個特定區域。 問題的核心挑戰在於如何計算這個“有利事件”的麵積，並將其與整個樣本空間的麵積進行比較。對於針長 $l$ 小於或等於綫間距 $D$ 的標準情形 ($l le D$)，最終的概率 $P$ 竟然與 $pi$ 緊密相關： $$P = frac{2l}{pi D}$$ 這個結果的齣現，是純粹的幾何推理與分析方法結閤的勝利。它揭示瞭一個深刻的悖論：一個純粹基於長度和距離的物理問題，其解中竟然自然地浮現齣圓周率 $pi$。 $pi$ 的估算：概率的實驗應用 Buffon投針問題最引人入勝的應用，在於它提供瞭一種通過隨機實驗來估算 $pi$ 值的方法。 如果重復進行投針實驗足夠多次（$N$ 次），並記錄相交的次數 ($K$)，那麼根據大數定律，相交的頻率 $K/N$ 將趨近於理論概率 $P$： $$frac{K}{N} approx P = frac{2l}{pi D}$$ 通過重新排列公式，我們可以得到 $pi$ 的估算值： $$pi approx frac{2l N}{D K}$$ 曆史上，許多統計學傢和物理學傢利用這種方法進行瞭大量的實際投擲實驗。每一次實驗，無論成功與否，都是對數學真理的逼近。盡管實驗誤差始終存在，但這種概率推導與實際觀測的聯係，極大地鼓舞瞭概率論作為一種科學工具的地位。 曆史脈絡與數學遺産 Buffon投針問題首次齣現在18世紀中葉，標誌著概率論從單純的賭博問題（如帕斯卡的“點數分配問題”）嚮更廣闊的物理和幾何領域的拓展。它與皮埃爾·西濛·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）的工作共同構成瞭早期概率論的支柱。 該問題的變體，例如“Buffon-Laplace問題”（當針長大於綫間距時），以及“Buffon的盒子問題”（二維版本的推廣），進一步推動瞭積分幾何和隨機幾何的發展。這些後續研究，如 Crofton 公式，最終將Buffon投針問題融入瞭更宏大、更係統的幾何測度理論之中。 本書旨在深入剖析這一經典問題的起源、嚴謹的數學推導過程，以及它在後續概率論、統計物理學乃至信息論等領域所播下的思想種子。它不僅是對一個數學謎題的解答，更是對人類如何用數學語言捕捉和量化隨機世界的一次深刻緻敬。通過對Buffon投針問題的探討，讀者將能體會到純粹數學邏輯與經驗觀察之間奇妙而堅實的關聯。

評分☆☆☆☆☆

這本《Buffon投針問題》給我的第一印象是那種“小而精”的感覺。書的篇幅可能不會非常宏大，但名字所指嚮的問題本身卻是一個經典且意義深遠的數學難題。我非常欣賞那些能夠深入淺齣地講解復雜數學概念的書籍，而這本書的書名就傳遞瞭這樣的信息。我希望它能以一種引人入勝的方式，帶領讀者探索布豐投針問題的數學原理，從最初的直觀理解，到逐步深入的公式推導，最終領略到其背後精妙的邏輯。我尤其期待書中能夠包含一些曆史的視角，講述布豐是如何提齣這個問題，以及後來的數學傢們是如何一步步地解決它，這無疑會增加閱讀的趣味性和人文色彩。這本書的齣現，對我來說，就像是獲得瞭一把鑰匙，能夠開啓我對於概率論和統計學更深層次的理解，讓我能夠用全新的視角去觀察和思考那些看似隨機的現象。我期待它能成為我書架上的一本常備讀物，隨時翻閱，都能從中獲得新的啓發。

評分☆☆☆☆☆

這本書的名字，《Buffon投針問題》，本身就帶著一種獨特的數學韻味，讓我聯想到那些曾經睏擾、也曾驚艷瞭無數數學傢的經典難題。我之所以對它産生濃厚興趣，是因為我知道，一個看似簡單的投擲動作，背後卻可能隱藏著深刻的數學原理，甚至能夠與像 $pi$ 這樣的數學常數産生聯係。我希望這本書能夠不僅僅是對布豐投針問題本身進行講解，更能展現其在概率論發展史上的重要性，以及它如何啓發瞭後來的研究。我期待它能以一種非常清晰、嚴謹又不失趣味的方式，引導我理解這個問題的提齣背景、解題思路以及最終的結論。我希望這本書能夠拓展我的數學視野，讓我瞭解到那些隱藏在日常生活現象背後的數學規律，並從中獲得一種對數學之美的全新體驗。這本書的書名，就像一個邀請，邀請我去探索一個充滿智慧和驚喜的數學世界。

評分☆☆☆☆☆

當我看到《Buffon投針問題》這個書名時，我的腦海中立刻浮現齣各種關於概率與隨機性的猜想。我知道，這本書會帶我深入探索一個在概率論領域具有裏程碑意義的問題。我特彆期待這本書能夠詳細闡述布豐投針問題的數學模型，並以一種易於理解的方式呈現其推導過程。我希望作者能夠不僅僅停留在理論層麵，更能結閤一些實際的例子或模擬，讓讀者更直觀地感受到這個問題的魅力。布豐投針問題與圓周率 $pi$ 的關聯一直是我非常好奇的一點，我希望這本書能清晰地解釋它們之間的聯係，讓我對 $pi$ 有更深刻的理解。總而言之，我期待這本《Buffon投針問題》能夠成為一本既有深度又不失趣味的讀物，它能幫助我更好地理解概率論的基本概念，並激發我對數學更廣泛的興趣，讓我看到數學是如何巧妙地解釋和預測我們身邊的隨機現象的。

評分☆☆☆☆☆

當我拿到這本《Buffon投針問題》時，最吸引我的莫過於它所暗示的深度。雖然我並非數學科班齣身，但對那些能夠解釋自然現象、揭示宇宙奧秘的數學理論一直抱有濃厚的興趣。布豐投針問題，這個名字聽起來就充滿瞭曆史的厚重感，我猜想這本書必然會追溯這個問題的起源，介紹它在數學史上的地位，以及它如何成為概率論發展的一個重要裏程碑。我希望這本書不僅僅是講解問題本身，更能展現它所引發的一係列思考，例如它與圓周率 $pi$ 之間那令人驚嘆的聯係，以及它在統計學、物理學甚至在某些意想不到的領域的應用。我期待能夠在這本書中找到清晰易懂的解釋，即使是復雜的數學概念，也能通過生動的語言和形象的比喻變得觸手可及。這本書的書名告訴我，它是一扇通往深刻數學洞察力的大門，我希望能在這扇門後，發現更多關於隨機性、概率和幾何的精彩之處，從而更深刻地理解這個充滿不確定性的世界。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就充滿瞭藝術氣息，深邃的藍色背景上，幾根細長的、仿佛在空中飄舞的針，與若隱若現的平行綫交織在一起，瞬間就勾起瞭我的好奇心。我一直對那些看似簡單卻蘊含深刻數學原理的問題充滿興趣，而“布豐投針問題”這個名字本身就帶著一種古典而神秘的魅力。我非常期待在這本書中能看到它如何被娓娓道來，不僅僅是枯燥的公式推導，而是希望能體會到它背後那種“一眼看去無解，細思之下豁然開朗”的數學智慧。這本書的書名告訴我，它會帶我走進一個關於概率、幾何和統計的奇妙世界，讓我得以窺探那些隱藏在日常事物背後，用數學語言可以完美描述的規律。希望它能像一本引人入勝的故事書，讓我沉浸其中，即使是對於初學者來說，也能感受到數學的樂趣和魅力，而不是被復雜的符號和定理嚇退。我迫不及待地想翻開它，看看它究竟能給我帶來怎樣的驚喜，又將如何解答那些我曾經在腦海中模糊閃過的關於隨機性和概率的問題。