現代數學基礎叢書·典藏版18：綫性偏微分算子引論（下冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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齊民友，徐超江 著

圖書標籤:

• 數學
• 偏微分方程
• 綫性算子
• 函數分析
• 泛函分析
• 數學分析
• 高等教育
• 教材
• 典藏版
• 現代數學基礎叢書

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030024947

版次：1

商品編碼：12063417

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎叢書·典藏版

開本：16開

齣版時間：1992-04-01

用紙：膠版紙

頁數：276

字數：232000

正文語種：中文

內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版17：綫性偏微分算子引論》介紹綫性偏微分算子的現代理論，主要論述擬微分算子和Fourier積分算子理論，同時也係統地講述瞭其必備的基礎——廣義函數理論和Sobolev空間理論。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版17：綫性偏微分算子引論》分上、下兩側。上冊著重討論擬微分算子及其在偏微分方程經典問題（Cauchy問題和Dirichiet問題）上的應用。下冊將主要介紹Fourier積分算子理論和佐藤的超函數理論。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版17：綫性偏微分算子引論》可供有關專業的大學生、研究生、教師和研究工作者參考。

內頁插圖

目錄

第八章 辛幾何
§1．Hamilton力學
§2．辛代數
§3．辛流形
§4．辛流形的子流形

第九章 Fourier積分算子
§1．F10的物理背景
§2．F10的局部理論
§3．Ligrange-Grassmann流形
§4．F10的整體理論
§5．具有實主象徵的主型PsDO

第十章 非綫性微局部分析
§1．Littlewood-Paley分解
§2．仿微分算子
§3．非綫性偏微分方程的仿綫性化
§4．非綫性方程的解的正則性
§5．非綫性方程解的奇異性的傳播

參考文獻
後記

前言/序言

　　五十年代以來，綫性偏微分算子理論有瞭很大的發展。這當然是由於四十年代末齣現的廣義函數論為綫性偏微分算子理論提供瞭一個極好的框架，可以說，它總結瞭以前的重大成果又為以後的發展提供瞭強有力的工具。因此，無怪乎在六十年代以後，在這個領域中連續不斷地齣現瞭許多重大的成果，如擬微分算子理論、Fourier積分算子理論、微局部分析、超函數理論等等，大概沒有什麼人會懷疑，這些成果都獲得瞭“生存權”，成為數學寶庫的一個很有價值的部分瞭。事實證明，它們的價值不僅在於它們將這個領域的研究大大地深化瞭，而且還在於它們在其它領域（微分幾何、理論物理）中發揮著越來越大的作用。但是這種情況也說明，要想跟上這個領域的發展也是一件相當睏難的事。要想在這個領域中工作，不得不有相當深厚的功力，不得不懂得越來越多的其它數學分文。還應該指齣，這個領域還在迅速發展，看不齣有停下來或者是放慢步伐的跡象，例如，正當我們用瞭很大的力量來掌握微局部分析時，它卻已被人稱為“七十年代算法”，而到瞭八十年代中期的現在，它又發展到新的水平瞭，這種情況對於我們曾在十多年中脫離瞭數學發展主流的人，是幸乎？不幸乎？
　　因此，想要寫齣一本書幫助我國讀者能“跟上形勢”，是作者力所不及的事。幸好，我們有瞭Hormander的新著“The analysis of line arpartial differential operators，它當然會是一部影響深遠的巨著，特彆是按許多同誌的看法，它的第一捲是關心現代分析的讀者所必備的知識。因此，我們隻能提齣一個低得多的目標：對於這個領域中已經成熟的若乾主要部分作一個入門的介紹。這裏說若乾，是因為對許多當前十分活躍的問題就幾乎沒有提到，按時間說，最多也隻到七十年代初期，這本書的中心內容是擬微分算子和Fourier積分算子理論。即使如此，這還是一個超齣作者能力的嘗試。如果它能引起讀者對偏微分算子理論的興趣，並且去攻讀例如新著和最新的文獻，那就使作者十分滿意瞭。
　　這本書不少揶分是研究生教材，寫的時侯，假定讀者具有經典的偏微分方程理論、泛硒分析和函數論（實的和復的）的基本知識。
　　書中有個彆地方用到一些不太常見的結果時，隻能提齣齣處，或者假定讀者自己會去補足。這本書分上、下冊，下冊的內容按作者現在的設想將是辛幾何、Fourier積分算子理論、主型算予以及如果有可能的話還有佐藤的超函數理論。
　　對這本書中必然存在的缺點和錯誤，衷心歡迎讀者批評指正。

現代數學基礎叢書·典藏版19：橢圓型算子理論及其應用 叢書信息： 現代數學基礎叢書·典藏版（第19捲） 主旨： 本書聚焦於偏微分方程理論中至關重要且應用極其廣泛的橢圓型算子，深入探討其在泛函分析、幾何分析以及現代物理學中的核心理論與前沿進展。 內容概覽： 本捲內容旨在為讀者構建一個嚴謹而全麵的橢圓型偏微分方程理論框架。區彆於側重於基本建立和一階、二階方程基礎理論的入門性著作，本書將視角提升至更抽象、更具通用性的泛函分析高度，同時緊密結閤現代幾何學和數學物理對橢圓型方程的深刻需求。 第一部分：橢圓型算子的泛函分析基礎 本部分為後續深入研究奠定必要的數學工具和理論基礎。 第一章：Sobolev空間的高階理論與邊界值問題 本章詳細考察瞭高階Sobolev空間$W^{k,p}(Omega)$的性質，特彆是其嵌入定理在極限情況下的深入分析。重點討論瞭不等價範數之間的精確聯係，以及函數在特定正則性條件下（如Mollification）的逼近性質。邊界正則性方麵，引入瞭更精細的函數空間，如Bessel勢空間和裏索夫空間（Bessel Potential Spaces and Riesz Potential Spaces），用以處理邊界具有特定光滑性要求的解的存在性問題。我們探討瞭由拉普拉斯算子逆算子誘導的算子，並分析瞭其在不同參數下（$p$趨近於1和$infty$）的穩定性。 第二章：橢圓算子的譜理論與緊性 本章轉嚮橢圓型算子的譜特性分析。我們首先建立瞭一般橢圓型算子（特彆是二階和四階的）在希爾伯特空間上的自伴隨性（Self-Adjointness）和緊性性質。關鍵內容包括：對一個在有界區域上定義的橢圓算子，其在$L^2(Omega)$上的譜的離散性證明，以及特徵值（Eigenvalues）的漸近分布（如Weyl律的更高階修正）。此外，我們將探討非自伴隨橢圓算子的攝動理論，特彆是Riesz投影和譜分解在涉及退化橢圓型算子時的適用性。 第三章：橢圓型方程的變分方法與最小作用量原理 本章從變分角度審視橢圓型方程。我們詳細闡述瞭基於Dirichlet能量泛函的極小化原理，以及其與綫性橢圓型方程解的等價性。重點分析瞭滿足De Giorgi-Nash-Moser理論的非綫性橢圓型方程（如$Delta_p u = 0$）的內部正則性提升，特彆是關於解的Hölder連續性的深層結果。本章還引入瞭抽象的變分不等式（Variational Inequalities），作為處理自由邊界問題和非光滑勢能問題的工具。 第二部分：幾何分析與非綫性橢圓型方程 本部分將理論聚焦於幾何背景下的橢圓型方程，以及現代分析關注的非綫性問題。 第四章：黎曼流形上的橢圓型方程 本章將前述理論推廣至黎曼流形。我們定義瞭流形上的拉普拉斯-貝特拉米算子（Laplace-Beltrami Operator）及其推廣。核心內容包括：流形上Sobolev空間的定義（基於圖論或測度論），以及度量對算子譜的影響。重點分析瞭Pontryagin-Lefschetz型跡公式的推導，這在代數拓撲中具有重要意義。此外，本書還討論瞭在具有邊界的流形上（如具有錐形奇點的流形）的橢圓型算子，需要用到更精細的邊緣估計技術。 第五章：準綫性與完全非綫性橢圓型方程 本章是研究現代數學物理與優化理論的關鍵部分。我們深入討論瞭Majesic方程族（如Monge-Ampère方程、Poisson-Laplace方程的非綫性推廣）。關鍵理論包括：Schroder-Perron方法在非綫性方程中的推廣，以及關於解的先驗估計（如Maximum Principle的推廣）。對於Monge-Ampère方程，本書會詳細闡述Alexandrov最大值原理，並探討其在圖像處理和幾何測度論中的應用，包括對Calabi-Yau度量的搜索。 第六章：熱傳導與波方程的橢圓型視角（退化與奇異性） 雖然熱傳導和波方程是拋物型和雙麯型，但其穩態解（即時間趨於無窮的極限）或某些特殊解（如瞬態解的某些分量）往往歸結為橢圓型問題。本章探討瞭具有負特徵值或奇異係數的退化橢圓型算子，如Carleman型算子。重點分析瞭不可壓縮Navier-Stokes方程的穩態簡化形式（Stokes方程）的$L^p$估計，以及涉及半群理論的橢圓型方程的解的穩定性分析。 目標讀者： 本書適閤具有堅實泛函分析基礎的研究生、博士後研究人員以及從事微分幾何、數學物理和應用數學領域的研究學者。它要求讀者對基礎偏微分方程和基礎算子理論有深入的理解。 本書特點： 本書在保持數學嚴謹性的同時，力求在理論深度上有所突破，特彆是對高階、非綫性、以及幾何背景下的橢圓型算子進行瞭詳盡的梳理，提供瞭從經典理論嚮現代前沿過渡的橋梁。內容組織結構清晰，邏輯鏈條完整，旨在成為橢圓型算子理論領域的權威參考書。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學的魅力在於其高度的抽象性和普適性，而綫性偏微分算子正是體現瞭這一點。這本書以一種非常“數學化”的方式來呈現這個主題，它不僅僅是介紹各種算子以及它們的性質，更重要的是，它展現瞭如何利用現代數學的工具來研究這些算子。我在閱讀過程中，不斷被作者的嚴謹所摺服。他對每一個概念的定義都精確到位的，每一個定理的錶述都清晰明瞭。對於那些需要深刻理解的證明，書中提供的推導過程條理清晰，邏輯嚴密，即使是初學者，隻要肯花時間和精力，也一定能從中受益匪淺。這本書的“典藏版”設計，更是體現瞭齣版方的用心，紙張的觸感，字體的排布，都讓閱讀體驗提升瞭一個檔次。我甚至會覺得，這本書不僅僅是學習資料，更是一件藝術品，值得珍藏。

評分☆☆☆☆☆

這套“典藏版”的名字確實名副其實，翻開第一頁就能感受到印刷和紙張的品質，非常適閤放在書架上細細品讀。我之前接觸過一些關於偏微分方程的書籍，但很多都側重於解的存在性、唯一性或者數值方法，而這本書的側重點顯然不同。它更像是對“算子”本身進行一次徹底的解剖，從其代數結構、拓撲性質到與函數的交互方式，都進行瞭深入的探討。我印象特彆深刻的是關於泛函分析在研究偏微分算子中的應用，這部分內容對我來說是全新的視角。作者巧妙地將抽象的泛函分析概念與具體的微分算子聯係起來，使得原本看起來枯燥的理論變得生動且具有強大的解釋力。尤其是對 Sobolev 空間、分布論等概念的引入和運用，簡直是打開瞭新世界的大門，讓我能夠以更嚴謹、更深刻的方式來理解偏微分方程的解的性質。雖然有時候會覺得有些晦澀，但正因為有這種挑戰性，纔更能激發我不斷探索的動力，這本書絕對是值得反復研讀的珍寶。

評分☆☆☆☆☆

說實話，一開始看到這本書的厚度和標題，我還有點猶豫，擔心自己能否駕馭。但當我真正開始閱讀後，這種顧慮就煙消雲散瞭。這本書的寫作風格非常獨特，它不像有些教科書那樣乾巴巴的，而是充滿瞭數學的“生命力”。作者在講解抽象概念的同時，總會穿插一些引人入勝的例子或者曆史背景，這讓整個學習過程變得更加有趣。尤其是在介紹一些重要定理的提齣背景和意義時，我感覺自己不僅僅是在學習數學，更是在瞭解數學的發展曆程。這本書給我的感覺是，它鼓勵讀者主動思考，去探索定理背後的邏輯，去發現不同概念之間的聯係。雖然有些章節確實需要花費較多精力去理解，但這種挑戰性恰恰是學習過程中最寶貴的財富。我非常享受這種在不斷思考和解決問題中前進的感覺，這本書無疑是我的一個重要指引。

評分☆☆☆☆☆

這本書的內容簡直太厚實瞭！我拿到手的時候就感覺沉甸甸的，翻開目錄更是被嚇瞭一跳，感覺裏麵涵蓋的知識點密度極高。我之前對綫性偏微分算子這個領域不算特彆瞭解，但這本書給我的感覺是，它非常係統地從最基礎的概念講起，然後逐步深入，一點點構建起對這類算子的深刻理解。尤其是“下冊”，我感覺它在“上冊”的基礎上，把理論的深度和廣度都大大擴展瞭。我特彆喜歡其中關於橢圓算子、拋物型算子和雙麯型算子各自性質的詳細闡述，每一種算子都有其獨特的行為模式和應用場景，作者在這方麵花瞭大量的筆墨去解釋，並且配以大量的例子，讓我能夠清晰地把握它們之間的聯係與區彆。雖然有些地方的證明過程相當精巧，需要反復推敲，但一旦理解瞭，那種豁然開朗的感覺是其他任何教材都無法比擬的。這本書不僅僅是知識的堆砌，更是一種思維方式的引導，它教會我如何去分析問題，如何從根本上理解數學對象的本質。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學理論有強烈追求的學生，我一直在尋找一本能夠真正引領我進入綫性偏微分算子世界深處的教材，而這本《綫性偏微分算子引論（下冊）》恰恰滿足瞭我的需求。它不是一本“速成”的讀物，更像是一次嚴謹而細緻的數學探索之旅。作者在內容組織上循序漸進，但每一個環節都力求做到清晰透徹，避免瞭概念的含糊不清。我尤其贊賞書中對各種算子類彆的分類和描述，以及它們之間相互轉換的條件和意義。這使得我對綫性偏微分算子有瞭整體的認識，不再是零散的知識點。書中大量的定理證明都非常詳盡，即使是那些看起來比較“標準”的證明，作者也往往會給齣不同的角度或者強調其核心思想，這對於我理解數學證明的邏輯和技巧非常有幫助。讀這本書的過程，感覺就像是在和一位經驗豐富的數學傢進行對話，他會耐心地引導你，讓你逐步領悟那些深藏在公式背後的數學智慧。