初等Dirichlet级数和模形式（影印版）/国外数学名著系列72 [Elemetary Dirichlet Series and Modular Forms] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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Goro，Shimura 著

图书标签:

• 数学
• 数论
• 模形式
• Dirichlet级数
• 高等数学
• 数学分析
• 国外数学名著
• 影印版
• 学术著作
• 专业教材

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030313904

版次：1

商品编码：12111752

包装：精装

丛书名： 国外数学名著系列（影印版）72

外文名称：Elemetary Dirichlet Series and Modular Forms

开本：16开

出版时间：2011-06-01

用纸：胶版纸

页数：147

字数：1

内容简介

　　functions and Hecke L-functions of an imaginary quadratic field，and various problems on elliptic modular forms. As to the values of Dirichlet L-functions， all previous papers and books reiterate a single old result with a single old method. After a review ofelementary Fourier analysis， the author presents completely new results with new methods. though old results will also be proved. No advanced knowledge of number theory is required up to this point. As applications， new formulas for the second factor ofthe class number of a cyclotomic field will be given. The second half of the book assumes familiarity with basic knowledge ofmodular forms. However，all definitions and facts are clearly stated， and precise references are given. The notion ofnearly holomorphic modular forms is introduced and applied to the determination of the critical values of Hecke L-functions of an imaginary quadratic field. Other notable features of the book are： (1) some new results on classical Eisenstein series; (2) the discussion ofisomorphism classes ofelliptic curves with complex multiplication in connection with their zeta function and periods;(3) a new class of holomorphic differential operators that send modular forms to those of a different weight， The book will be of interest to graduate students and researchers who are interested in special values of Lfunctions， class number formulae， arithmetic properties ofmodular forms (especially their values)， and the arithmetic properties of Dirichlet series. It treats in detail， from an elementary viewpoint， the simplest cases of a fundamental area of ongoing research， the only prerequisite being a basic course in algebraic number theory.

内页插图

目录

Preface
Introduction
Chapter Ⅰ． Preliminaries on Modular Forms and Dirichlet Series
1．Basic symbols and the definition of modular forms
2．Elementary Fourier analysis
3．The functional equation of a Dirichlet series

Chapter Ⅱ．Critical Values of Dirichlet L-functions
4．The values of elementary Dirichlet series at integers
5．The class number of a cyclotomic field
6．Some more formulas for L（k， X）

Chapter Ⅲ．The Case of Imaginary Quadratic Fields and Nearly Holomorphic Modular Forms
7．Dirichlet series associated with an imaginary quadratic field
8．Nearly holomorphic modular forms

Chapter Ⅳ．Eisenstein Series
9．Fourier expansion of Eisenstein series
10． Polynomial relations between Eisenstein series
11． Recurrence formulas for the critical values of certain Dirichlet series

Chapter Ⅴ．Critical Values of Dirichlet Series Associated with Imaginary Quadratic Fields
12． The singular values of nearly holomorphic forms
13． The critical values of L-functions of an imaginary quadratic field
14．The zeta function of a member of a one-parameter family of elliptic curves

Chapter Ⅵ．Supplementary Results
15． Isomorphism classes of abelian varieties with complex multiplication
15A． The general case
15B． The case of elliptic curves
16． Holomorphic differential operators on the upper halfplane

Appendix
A1． Integration and differentiation under the integral sign
A2． Fourier series with parameters
A3． The confluent hypergeometric function
A4． The Weierstrass gg-function
A5． The action of GA+ on modular forms
References
Index

前言/序言

　　要使我国的数学事业更好地发展起来，需要数学家淡泊名利并付出更艰苦地努力。另一方面，我们也要从客观上为数学家创造更有利的发展数学事业的外部环境，这主要是加强对数学事业的支持与投资力度，使数学家有较好的工作与生活条件，其中也包括改善与加强数学的出版工作。
　　从出版方面来讲，除了较好较快地出版我们自己的成果外，引进国外的先进出版物无疑也是十分重要与必不可少的。从数学来说，施普林格（Springer）出版社至今仍然是世界上最具权威的出版社。科学出版社影印一批他们出版的好的新书，使我国广大数学家能以较低的价格购买，特别是在边远地区工作的数学家能普遍见到这些书，无疑是对推动我国数学的科研与教学十分有益的事。
　　这次科学出版社购买了版权，一次影印了23本施普林格出版社出版的数学书，就是一件好事，也是值得继续做下去的事情。大体上分一下，这23本书中，包括基础数学书5本，应用数学书6本与计算数学书12本，其中有些书也具有交叉性质。这些书都是很新的，2000年以后出版的占绝大部分，共计16本，其余的也是1990年以后出版的。这些书可以使读者较快地了解数学某方面的前沿，例如基础数学中的数论、代数与拓扑三本，都是由该领域大数学家编著的“数学百科全书”的分册。对从事这方面研究的数学家了解该领域的前沿与全貌很有帮助。按照学科的特点，基础数学类的书以“经典”为主，应用和计算数学类的书以“前沿”为主。这些书的作者多数是国际知名的大数学家，例如《拓扑学》一书的作者诺维科夫是俄罗斯科学院的院士，曾获“菲尔兹奖”和“沃尔夫数学奖”。这些大数学家的著作无疑将会对我国的科研人员起到非常好的指导作用。
　　当然，23本书只能涵盖数学的一部分，所以，这项工作还应该继续做下去。更进一步，有些读者面较广的好书还应该翻译成中文出版，使之有更大的读者群。
　　总之，我对科学出版社影印施普林格出版社的部分数学著作这一举措表示热烈的支持，并盼望这一工作取得更大的成绩。

初等狄利克雷级数与模形式 （影印版）/国外数学名著系列72 内容简介 本书是数学领域一部经典的专著，深入探讨了狄利克雷级数（Dirichlet Series）与模形式（Modular Forms）这两个在解析数论与代数几何中占据核心地位的数学对象。本书的结构严谨，论证清晰，旨在为读者构建一个坚实的理论基础，并引导他们探索这两个看似独立却内在联系紧密的数学分支。 本书的重点在于展示如何运用初等分析工具和代数方法，来理解这些复杂函数的性质。它并非一部仅仅罗列公式的教科书，而是一部引导读者进行深刻思考的导读。 第一部分：狄利克雷级数的基础与解析延拓 全书的开篇部分聚焦于狄利克雷级数这一关键工具。狄利克雷级数是一种形如 $sum_{n=1}^{infty} frac{a_n}{n^s}$ 的无穷级数，其中 $s$ 是一个复变量，而 $a_n$ 是一系列系数。 1.1 级数的收敛性与欧拉乘积 本书详细讨论了狄利克雷级数的收敛区域。重点在于理解函数的解析性如何从其系数序列的性质中涌现。特别地，对于那些乘性（multiplicative）系数 $a_n$ 的级数，作者详细阐述了著名的欧拉乘积公式。这一公式将解析函数与其在素数上的乘积形式联系起来，是连接解析学与数论的桥梁。读者将学习如何通过对素数幂次的级数求和，来表示整个狄利克雷级数。 1.2 阿贝尔恒等式与赫尔德不等式 为了量化级数的收敛速度和性质，本书引入了必要的分析工具。阿贝尔恒等式被用于处理部分和的估计，这在后续分析狄利克雷级数平均值时至关重要。赫尔德（Hölder）不等式的应用则确保了在不同 $L^p$ 范数下级数收敛性的兼容性。 1.3 欧几里得算法与解析延拓 狄利克雷级数最初通常只在 $ ext{Re}(s)$ 足够大的半平面内收敛。本书花费大量篇幅来论证解析延拓（Analytic Continuation）的必要性与可行性。通过引入如黎曼 $xi$ 函数（或其类似构造）的概念，作者展示了如何通过函数方程（Functional Equation）将这些级数自然地推广到整个复平面，除了可能存在的奇点。这种推广是理解数论函数深层结构的关键一步。 1.4 黎曼 $zeta$ 函数的初等处理 作为狄利克雷级数中最著名的例子，黎曼 $zeta$ 函数 $zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$ 的性质被深入剖析。本书侧重于其函数方程的推导，这不仅是解析数论的基石，也是后续模形式理论中函数方程的原型。书中将详细分析 $zeta(s)$ 在 $s=1$ 处的简单极点以及解析性质。 第二部分：模形式的代数与几何背景 本书的后半部分转向了模形式，这是一个在复分析、代数几何和数论中都具有深远影响的主题。模形式被定义为在特定群作用下具有特定变换性质的解析函数。 2.1 射影群 $ ext{PSL}_2(mathbb{Z})$ 的介绍 理解模形式，必须首先理解其作用群。本书详细介绍了射影特殊线性群 $ ext{PSL}_2(mathbb{Z})$，它是模形式理论的基石。这一群是通过 $2 imes 2$ 整数矩阵，模去 $pm I$ 的集合构成的群，其元素可以被视为作用于上半复平面 $mathbb{H}$ 上的分式线性变换。 2.2 莫兰（Möbius）变换与上半平面 上半平面 $mathbb{H} = {z in mathbb{C} : ext{Im}(z) > 0}$ 是模形式的自然定义域。作者清晰地解释了 $ ext{PSL}_2(mathbb{Z})$ 上的作用，即 $z mapsto frac{az+b}{cz+d}$。通过对 $ ext{PSL}_2(mathbb{Z})$ 的基本域（Fundamental Domain）的构造与分析，读者可以直观地理解模形式的周期性和模结构的几何起源。 2.3 模形式的定义与性质 模形式（通常指权为 $k$ 的二阶模形式）被定义为满足以下两个核心条件的函数 $f(z)$： 1. 在上半平面 $mathbb{H}$ 上解析。 2. 满足变换法则：$fleft(frac{az+b}{cz+d} ight) = (cz+d)^k f(z)$，对所有 $egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} in ext{PSL}_2(mathbb{Z})$ 成立。 3. 在 $mathbb{H}$ 上具有一定程度的正则性（通常指在黎曼球面上不发散，即在无穷远点处也“解析”）。 本书将详细探讨这些条件的含义，特别是 $k=2$ 时的具体体现。 2.4 铁垫（Eisenstein Series）的构造 本书将模形式的理论与狄利克雷级数紧密结合，通过引入铁垫级数来实现这一点。铁垫级数是模形式中最基本、最重要的一类构造。它们通过对格点（Lattice Points）进行求和，并将其转化为具有模性质的函数。作者将展示如何将某些与狄利克雷级数相关的求和构造，通过适当的规范化和修正，提升为满足模形式变换方程的函数。 2.5 模形式的傅里叶展开 模形式的一个关键性质是，它们在无穷远点处具有收敛的傅里叶展开（或称 $q$-展开，$q=e^{2pi i z}$）。本书会详细分析这种展开的结构，并展示如何利用模形式的变换性质推导出其在其他周期点（如 $ ho = e^{2pi i / 3}$ 和 $i$）附近的局部行为，从而确保其在整个基本域上的正则性。 第三部分：狄利克雷级数与模形式的联系——赫尔克积分 全书的高潮在于揭示模形式与狄利克雷级数之间深刻的对偶关系。 3.1 赫尔克积分（Hecke Operators）的引入 本书将介绍赫尔克算子（Hecke Operators）的构造，这些算子在模形式空间上作用，并具有一个关键的数论性质：它们将模形式的傅里叶系数（即狄利克雷系数）关联起来，使其系数序列遵循特定的线性递推关系。 3.2 模形式的狄利克雷级数表示 最直接的联系体现在模形式的狄利克雷级数。对于一个模形式 $f(z) = sum_{n=1}^{infty} a_n e^{2pi i n z}$，可以构造一个与其系数相关的狄利克雷级数 $D_f(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{a_n}{n^s}$。本书将证明，对于模形式的狄利克雷级数，如果其傅里叶系数满足某些条件（例如，由赫尔克算子生成），那么该级数不仅具有解析延拓，还满足一个函数方程，这与黎曼 $zeta$ 函数的函数方程在形式上高度相似。 3.3 关联的深度 通过对铁垫级数及其狄利克雷级数的详细分析，读者将理解为什么模形式的系数（例如与特定 $L$ 函数相关的系数）在解析数论中表现出如此优美的行为。本书展示了模形式作为一种“提升”了的狄利克雷级数，其附加的模性质赋予了其系数序列更强的代数结构和解析对称性。 本书结构清晰，逻辑严密，是研习解析数论、自守形式和代数几何的数学工作者不可或缺的参考资料。它以一种较为“初等”的方式，铺陈了通往现代数论深层理论的必经之路。

评分☆☆☆☆☆

这本书，我真的是盼了很久了！一直以来，对解析数论和数论的连接处充满了好奇，而“初等Dirichlet级数和模形式”这个书名，简直就像是为我量身定做的一样。虽然我还没有真正翻开它，但光是想到它能串联起Dirichlet级数的“初等”部分和神秘的模形式，我就已经激动不已。我猜想，它应该会从Dirichlet级数最基础的概念入手，比如黎曼 Zeta 函数及其性质，然后逐步深入到更复杂的Dirichlet级数，也许会涉及一些经典的数论函数，像Möbius函数、欧拉函数等等。而“模形式”这个词，更是让我浮想联翩，虽然我目前对模形式的了解还非常有限，但知道它与椭圆曲线、数论中的深刻性质有着千丝万缕的联系，我就知道这本书一定会为我打开一扇通往更广阔数学世界的大门。我期待着它能够以一种清晰易懂的方式，引导我理解这些抽象的概念，并且能够在我学习过程中不断积累知识，逐步深入。我尤其希望它在“初等”这个词上做到名副其实，至少在开篇部分不会让初学者望而却步，而是能循序渐进，为后续的深入学习打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，对我这样一位对数学理论充满探索欲的读者来说，无疑是一份厚礼。书名本身就充满吸引力：“初等Dirichlet级数和模形式”。我理解，“初等”二字意味着它不会上来就抛出过于艰深的理论，而是会以一种相对易于接受的方式，引导读者进入这个既经典又前沿的数学领域。我猜想，在Dirichlet级数部分，它会从最基本的形式开始，比如黎曼Zeta函数，然后逐步引入更一般的Dirichlet级数，并重点讲解它们在数论研究中的作用。我期待它能够提供清晰的证明和详实的例子，帮助我理解这些级数如何与素数分布、数论函数等核心问题联系起来。而“模形式”部分，更是我一直以来非常好奇的领域。虽然我对此的了解尚浅，但我知道模形式是连接代数几何、表示论和数论的关键。我希望这本书能为我揭示模形式的本质，也许会从一些简单的模形式入手，介绍它们的定义、性质和一些初步的应用。我期待通过这本书，能对Dirichlet级数和模形式有一个系统而深入的认识，并感受到它们之间潜在的深刻联系。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，最直观的感受就是它的厚重感，这让我立刻觉得物有所值。封面上的“国外数学名著系列”的标签，也预示着其内容的经典和深度。虽然我还没有开始阅读，但仅仅从它的书名——“初等Dirichlet级数和模形式”——就足以让我产生无穷的遐想。我非常期待它能在Dirichlet级数的部分，为我梳理清楚各种常见的Dirichlet级数，尤其是与数论函数紧密相关的那些。我设想，它可能会详细介绍如何构造这些级数，它们的收敛性，以及它们在解析数论中的基本应用，比如证明素数定理的某些辅助结论。而“模形式”这部分，更是我一直渴望涉足的领域。我不知道这本书会以怎样的角度来引入模形式，是直接从定义开始，还是从一些具体的例子入手？我希望它能让我理解模形式的基本性质，例如其变换性质、傅立叶展开，以及它和整数分拆等数论问题的深刻联系。这本书的“影印版”也让我对原著的风格有了预期，也许在数学的严谨性和表达方式上，会保留着某些经典著作的独特魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本《初等Dirichlet级数和模形式》的书名，对我来说，简直就是一道数学的召唤。一直以来，我都在努力寻找一本能够连接起看似独立的数学分支的桥梁，而Dirichlet级数和模形式，恰恰是我认为最有可能实现这一目标的领域。我猜测，本书的重点会在Dirichlet级数部分，详细阐述其构造方法、基本性质，以及如何利用它们来研究数论函数。我希望它能让我理解，为什么Dirichlet级数在数论中如此重要，它们是如何“编码”了数论信息。而“模形式”这个词，更是激起了我无限的求知欲。我虽非专业研究者，但对数论中的优美结构一直心驰神往，而模形式正是这种优美结构中最令人着迷的一类。我期待这本书能够以一种“初等”的方式，引导我逐步领略模形式的奥秘，也许会涉及一些基础的模群，以及模形式的拉马努金和森的猜想等重要成果的早期发展。我希望它能让我感受到数学的连贯性，理解不同领域之间的深刻联系，并且能在学习过程中不断激发出我进一步探索的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

单单看到“初等Dirichlet级数和模形式”这个书名，我就被深深吸引了。作为一名对数论的精妙之处颇感兴趣的读者，我一直渴望找到一本能够将Dirichlet级数这一强大的分析工具，与神秘而优美的模形式联系起来的书。我猜测，这本书会从Dirichlet级数的基础概念入手，例如它们的定义、收敛性以及与数论函数的关系。我期待它能详细讲解如何利用Dirichlet级数来研究素数分布、算术函数等经典数论问题，并可能涉及一些关于L-函数的重要性质。而“模形式”部分，则更是让我感到兴奋。虽然我对其的了解还处于非常初级的阶段，但我知道它在现代数论中扮演着至关重要的角色，与椭圆曲线、费马大定理等历史性难题紧密相关。我希望这本书能够以一种“初等”的视角，让我初步领略模形式的魅力，比如介绍一些基础的模群，以及模形式的一些基本性质，如其傅里叶展开和变换性质。我期待它能为我打开一扇窗，让我窥见数论世界中那些令人惊叹的数学结构，并为我未来更深入的学习打下坚实的基础。