初等Dirichlet級數和模形式（影印版）/國外數學名著係列72 [Elemetary Dirichlet Series and Modular Forms] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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Goro，Shimura 著

圖書標籤:

• 數學
• 數論
• 模形式
• Dirichlet級數
• 高等數學
• 數學分析
• 國外數學名著
• 影印版
• 學術著作
• 專業教材

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030313904

版次：1

商品編碼：12111752

包裝：精裝

叢書名： 國外數學名著係列（影印版）72

外文名稱：Elemetary Dirichlet Series and Modular Forms

開本：16開

齣版時間：2011-06-01

用紙：膠版紙

頁數：147

字數：1

內容簡介

　　functions and Hecke L-functions of an imaginary quadratic field，and various problems on elliptic modular forms. As to the values of Dirichlet L-functions， all previous papers and books reiterate a single old result with a single old method. After a review ofelementary Fourier analysis， the author presents completely new results with new methods. though old results will also be proved. No advanced knowledge of number theory is required up to this point. As applications， new formulas for the second factor ofthe class number of a cyclotomic field will be given. The second half of the book assumes familiarity with basic knowledge ofmodular forms. However，all definitions and facts are clearly stated， and precise references are given. The notion ofnearly holomorphic modular forms is introduced and applied to the determination of the critical values of Hecke L-functions of an imaginary quadratic field. Other notable features of the book are： (1) some new results on classical Eisenstein series; (2) the discussion ofisomorphism classes ofelliptic curves with complex multiplication in connection with their zeta function and periods;(3) a new class of holomorphic differential operators that send modular forms to those of a different weight， The book will be of interest to graduate students and researchers who are interested in special values of Lfunctions， class number formulae， arithmetic properties ofmodular forms (especially their values)， and the arithmetic properties of Dirichlet series. It treats in detail， from an elementary viewpoint， the simplest cases of a fundamental area of ongoing research， the only prerequisite being a basic course in algebraic number theory.

內頁插圖

目錄

Preface
Introduction
Chapter Ⅰ． Preliminaries on Modular Forms and Dirichlet Series
1．Basic symbols and the definition of modular forms
2．Elementary Fourier analysis
3．The functional equation of a Dirichlet series

Chapter Ⅱ．Critical Values of Dirichlet L-functions
4．The values of elementary Dirichlet series at integers
5．The class number of a cyclotomic field
6．Some more formulas for L（k， X）

Chapter Ⅲ．The Case of Imaginary Quadratic Fields and Nearly Holomorphic Modular Forms
7．Dirichlet series associated with an imaginary quadratic field
8．Nearly holomorphic modular forms

Chapter Ⅳ．Eisenstein Series
9．Fourier expansion of Eisenstein series
10． Polynomial relations between Eisenstein series
11． Recurrence formulas for the critical values of certain Dirichlet series

Chapter Ⅴ．Critical Values of Dirichlet Series Associated with Imaginary Quadratic Fields
12． The singular values of nearly holomorphic forms
13． The critical values of L-functions of an imaginary quadratic field
14．The zeta function of a member of a one-parameter family of elliptic curves

Chapter Ⅵ．Supplementary Results
15． Isomorphism classes of abelian varieties with complex multiplication
15A． The general case
15B． The case of elliptic curves
16． Holomorphic differential operators on the upper halfplane

Appendix
A1． Integration and differentiation under the integral sign
A2． Fourier series with parameters
A3． The confluent hypergeometric function
A4． The Weierstrass gg-function
A5． The action of GA+ on modular forms
References
Index

前言/序言

　　要使我國的數學事業更好地發展起來，需要數學傢淡泊名利並付齣更艱苦地努力。另一方麵，我們也要從客觀上為數學傢創造更有利的發展數學事業的外部環境，這主要是加強對數學事業的支持與投資力度，使數學傢有較好的工作與生活條件，其中也包括改善與加強數學的齣版工作。
　　從齣版方麵來講，除瞭較好較快地齣版我們自己的成果外，引進國外的先進齣版物無疑也是十分重要與必不可少的。從數學來說，施普林格（Springer）齣版社至今仍然是世界上最具權威的齣版社。科學齣版社影印一批他們齣版的好的新書，使我國廣大數學傢能以較低的價格購買，特彆是在邊遠地區工作的數學傢能普遍見到這些書，無疑是對推動我國數學的科研與教學十分有益的事。
　　這次科學齣版社購買瞭版權，一次影印瞭23本施普林格齣版社齣版的數學書，就是一件好事，也是值得繼續做下去的事情。大體上分一下，這23本書中，包括基礎數學書5本，應用數學書6本與計算數學書12本，其中有些書也具有交叉性質。這些書都是很新的，2000年以後齣版的占絕大部分，共計16本，其餘的也是1990年以後齣版的。這些書可以使讀者較快地瞭解數學某方麵的前沿，例如基礎數學中的數論、代數與拓撲三本，都是由該領域大數學傢編著的“數學百科全書”的分冊。對從事這方麵研究的數學傢瞭解該領域的前沿與全貌很有幫助。按照學科的特點，基礎數學類的書以“經典”為主，應用和計算數學類的書以“前沿”為主。這些書的作者多數是國際知名的大數學傢，例如《拓撲學》一書的作者諾維科夫是俄羅斯科學院的院士，曾獲“菲爾茲奬”和“沃爾夫數學奬”。這些大數學傢的著作無疑將會對我國的科研人員起到非常好的指導作用。
　　當然，23本書隻能涵蓋數學的一部分，所以，這項工作還應該繼續做下去。更進一步，有些讀者麵較廣的好書還應該翻譯成中文齣版，使之有更大的讀者群。
　　總之，我對科學齣版社影印施普林格齣版社的部分數學著作這一舉措錶示熱烈的支持，並盼望這一工作取得更大的成績。

初等狄利剋雷級數與模形式 （影印版）/國外數學名著係列72 內容簡介 本書是數學領域一部經典的專著，深入探討瞭狄利剋雷級數（Dirichlet Series）與模形式（Modular Forms）這兩個在解析數論與代數幾何中占據核心地位的數學對象。本書的結構嚴謹，論證清晰，旨在為讀者構建一個堅實的理論基礎，並引導他們探索這兩個看似獨立卻內在聯係緊密的數學分支。 本書的重點在於展示如何運用初等分析工具和代數方法，來理解這些復雜函數的性質。它並非一部僅僅羅列公式的教科書，而是一部引導讀者進行深刻思考的導讀。 第一部分：狄利剋雷級數的基礎與解析延拓 全書的開篇部分聚焦於狄利剋雷級數這一關鍵工具。狄利剋雷級數是一種形如 $sum_{n=1}^{infty} frac{a_n}{n^s}$ 的無窮級數，其中 $s$ 是一個復變量，而 $a_n$ 是一係列係數。 1.1 級數的收斂性與歐拉乘積 本書詳細討論瞭狄利剋雷級數的收斂區域。重點在於理解函數的解析性如何從其係數序列的性質中湧現。特彆地，對於那些乘性（multiplicative）係數 $a_n$ 的級數，作者詳細闡述瞭著名的歐拉乘積公式。這一公式將解析函數與其在素數上的乘積形式聯係起來，是連接解析學與數論的橋梁。讀者將學習如何通過對素數冪次的級數求和，來錶示整個狄利剋雷級數。 1.2 阿貝爾恒等式與赫爾德不等式 為瞭量化級數的收斂速度和性質，本書引入瞭必要的分析工具。阿貝爾恒等式被用於處理部分和的估計，這在後續分析狄利剋雷級數平均值時至關重要。赫爾德（Hölder）不等式的應用則確保瞭在不同 $L^p$ 範數下級數收斂性的兼容性。 1.3 歐幾裏得算法與解析延拓 狄利剋雷級數最初通常隻在 $ ext{Re}(s)$ 足夠大的半平麵內收斂。本書花費大量篇幅來論證解析延拓（Analytic Continuation）的必要性與可行性。通過引入如黎曼 $xi$ 函數（或其類似構造）的概念，作者展示瞭如何通過函數方程（Functional Equation）將這些級數自然地推廣到整個復平麵，除瞭可能存在的奇點。這種推廣是理解數論函數深層結構的關鍵一步。 1.4 黎曼 $zeta$ 函數的初等處理 作為狄利剋雷級數中最著名的例子，黎曼 $zeta$ 函數 $zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$ 的性質被深入剖析。本書側重於其函數方程的推導，這不僅是解析數論的基石，也是後續模形式理論中函數方程的原型。書中將詳細分析 $zeta(s)$ 在 $s=1$ 處的簡單極點以及解析性質。 第二部分：模形式的代數與幾何背景 本書的後半部分轉嚮瞭模形式，這是一個在復分析、代數幾何和數論中都具有深遠影響的主題。模形式被定義為在特定群作用下具有特定變換性質的解析函數。 2.1 射影群 $ ext{PSL}_2(mathbb{Z})$ 的介紹 理解模形式，必須首先理解其作用群。本書詳細介紹瞭射影特殊綫性群 $ ext{PSL}_2(mathbb{Z})$，它是模形式理論的基石。這一群是通過 $2 imes 2$ 整數矩陣，模去 $pm I$ 的集閤構成的群，其元素可以被視為作用於上半復平麵 $mathbb{H}$ 上的分式綫性變換。 2.2 莫蘭（Möbius）變換與上半平麵 上半平麵 $mathbb{H} = {z in mathbb{C} : ext{Im}(z) > 0}$ 是模形式的自然定義域。作者清晰地解釋瞭 $ ext{PSL}_2(mathbb{Z})$ 上的作用，即 $z mapsto frac{az+b}{cz+d}$。通過對 $ ext{PSL}_2(mathbb{Z})$ 的基本域（Fundamental Domain）的構造與分析，讀者可以直觀地理解模形式的周期性和模結構的幾何起源。 2.3 模形式的定義與性質 模形式（通常指權為 $k$ 的二階模形式）被定義為滿足以下兩個核心條件的函數 $f(z)$： 1. 在上半平麵 $mathbb{H}$ 上解析。 2. 滿足變換法則：$fleft(frac{az+b}{cz+d} ight) = (cz+d)^k f(z)$，對所有 $egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} in ext{PSL}_2(mathbb{Z})$ 成立。 3. 在 $mathbb{H}$ 上具有一定程度的正則性（通常指在黎曼球麵上不發散，即在無窮遠點處也“解析”）。 本書將詳細探討這些條件的含義，特彆是 $k=2$ 時的具體體現。 2.4 鐵墊（Eisenstein Series）的構造 本書將模形式的理論與狄利剋雷級數緊密結閤，通過引入鐵墊級數來實現這一點。鐵墊級數是模形式中最基本、最重要的一類構造。它們通過對格點（Lattice Points）進行求和，並將其轉化為具有模性質的函數。作者將展示如何將某些與狄利剋雷級數相關的求和構造，通過適當的規範化和修正，提升為滿足模形式變換方程的函數。 2.5 模形式的傅裏葉展開 模形式的一個關鍵性質是，它們在無窮遠點處具有收斂的傅裏葉展開（或稱 $q$-展開，$q=e^{2pi i z}$）。本書會詳細分析這種展開的結構，並展示如何利用模形式的變換性質推導齣其在其他周期點（如 $ ho = e^{2pi i / 3}$ 和 $i$）附近的局部行為，從而確保其在整個基本域上的正則性。 第三部分：狄利剋雷級數與模形式的聯係——赫爾剋積分 全書的高潮在於揭示模形式與狄利剋雷級數之間深刻的對偶關係。 3.1 赫爾剋積分（Hecke Operators）的引入 本書將介紹赫爾剋算子（Hecke Operators）的構造，這些算子在模形式空間上作用，並具有一個關鍵的數論性質：它們將模形式的傅裏葉係數（即狄利剋雷係數）關聯起來，使其係數序列遵循特定的綫性遞推關係。 3.2 模形式的狄利剋雷級數錶示 最直接的聯係體現在模形式的狄利剋雷級數。對於一個模形式 $f(z) = sum_{n=1}^{infty} a_n e^{2pi i n z}$，可以構造一個與其係數相關的狄利剋雷級數 $D_f(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{a_n}{n^s}$。本書將證明，對於模形式的狄利剋雷級數，如果其傅裏葉係數滿足某些條件（例如，由赫爾剋算子生成），那麼該級數不僅具有解析延拓，還滿足一個函數方程，這與黎曼 $zeta$ 函數的函數方程在形式上高度相似。 3.3 關聯的深度 通過對鐵墊級數及其狄利剋雷級數的詳細分析，讀者將理解為什麼模形式的係數（例如與特定 $L$ 函數相關的係數）在解析數論中錶現齣如此優美的行為。本書展示瞭模形式作為一種“提升”瞭的狄利剋雷級數，其附加的模性質賦予瞭其係數序列更強的代數結構和解析對稱性。 本書結構清晰，邏輯嚴密，是研習解析數論、自守形式和代數幾何的數學工作者不可或缺的參考資料。它以一種較為“初等”的方式，鋪陳瞭通往現代數論深層理論的必經之路。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書，最直觀的感受就是它的厚重感，這讓我立刻覺得物有所值。封麵上的“國外數學名著係列”的標簽，也預示著其內容的經典和深度。雖然我還沒有開始閱讀，但僅僅從它的書名——“初等Dirichlet級數和模形式”——就足以讓我産生無窮的遐想。我非常期待它能在Dirichlet級數的部分，為我梳理清楚各種常見的Dirichlet級數，尤其是與數論函數緊密相關的那些。我設想，它可能會詳細介紹如何構造這些級數，它們的收斂性，以及它們在解析數論中的基本應用，比如證明素數定理的某些輔助結論。而“模形式”這部分，更是我一直渴望涉足的領域。我不知道這本書會以怎樣的角度來引入模形式，是直接從定義開始，還是從一些具體的例子入手？我希望它能讓我理解模形式的基本性質，例如其變換性質、傅立葉展開，以及它和整數分拆等數論問題的深刻聯係。這本書的“影印版”也讓我對原著的風格有瞭預期，也許在數學的嚴謹性和錶達方式上，會保留著某些經典著作的獨特魅力。

評分☆☆☆☆☆

單單看到“初等Dirichlet級數和模形式”這個書名，我就被深深吸引瞭。作為一名對數論的精妙之處頗感興趣的讀者，我一直渴望找到一本能夠將Dirichlet級數這一強大的分析工具，與神秘而優美的模形式聯係起來的書。我猜測，這本書會從Dirichlet級數的基礎概念入手，例如它們的定義、收斂性以及與數論函數的關係。我期待它能詳細講解如何利用Dirichlet級數來研究素數分布、算術函數等經典數論問題，並可能涉及一些關於L-函數的重要性質。而“模形式”部分，則更是讓我感到興奮。雖然我對其的瞭解還處於非常初級的階段，但我知道它在現代數論中扮演著至關重要的角色，與橢圓麯綫、費馬大定理等曆史性難題緊密相關。我希望這本書能夠以一種“初等”的視角，讓我初步領略模形式的魅力，比如介紹一些基礎的模群，以及模形式的一些基本性質，如其傅裏葉展開和變換性質。我期待它能為我打開一扇窗，讓我窺見數論世界中那些令人驚嘆的數學結構，並為我未來更深入的學習打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書，我真的是盼瞭很久瞭！一直以來，對解析數論和數論的連接處充滿瞭好奇，而“初等Dirichlet級數和模形式”這個書名，簡直就像是為我量身定做的一樣。雖然我還沒有真正翻開它，但光是想到它能串聯起Dirichlet級數的“初等”部分和神秘的模形式，我就已經激動不已。我猜想，它應該會從Dirichlet級數最基礎的概念入手，比如黎曼 Zeta 函數及其性質，然後逐步深入到更復雜的Dirichlet級數，也許會涉及一些經典的數論函數，像Möbius函數、歐拉函數等等。而“模形式”這個詞，更是讓我浮想聯翩，雖然我目前對模形式的瞭解還非常有限，但知道它與橢圓麯綫、數論中的深刻性質有著韆絲萬縷的聯係，我就知道這本書一定會為我打開一扇通往更廣闊數學世界的大門。我期待著它能夠以一種清晰易懂的方式，引導我理解這些抽象的概念，並且能夠在我學習過程中不斷積纍知識，逐步深入。我尤其希望它在“初等”這個詞上做到名副其實，至少在開篇部分不會讓初學者望而卻步，而是能循序漸進，為後續的深入學習打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本《初等Dirichlet級數和模形式》的書名，對我來說，簡直就是一道數學的召喚。一直以來，我都在努力尋找一本能夠連接起看似獨立的數學分支的橋梁，而Dirichlet級數和模形式，恰恰是我認為最有可能實現這一目標的領域。我猜測，本書的重點會在Dirichlet級數部分，詳細闡述其構造方法、基本性質，以及如何利用它們來研究數論函數。我希望它能讓我理解，為什麼Dirichlet級數在數論中如此重要，它們是如何“編碼”瞭數論信息。而“模形式”這個詞，更是激起瞭我無限的求知欲。我雖非專業研究者，但對數論中的優美結構一直心馳神往，而模形式正是這種優美結構中最令人著迷的一類。我期待這本書能夠以一種“初等”的方式，引導我逐步領略模形式的奧秘，也許會涉及一些基礎的模群，以及模形式的拉馬努金和森的猜想等重要成果的早期發展。我希望它能讓我感受到數學的連貫性，理解不同領域之間的深刻聯係，並且能在學習過程中不斷激發齣我進一步探索的興趣。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，對我這樣一位對數學理論充滿探索欲的讀者來說，無疑是一份厚禮。書名本身就充滿吸引力：“初等Dirichlet級數和模形式”。我理解，“初等”二字意味著它不會上來就拋齣過於艱深的理論，而是會以一種相對易於接受的方式，引導讀者進入這個既經典又前沿的數學領域。我猜想，在Dirichlet級數部分，它會從最基本的形式開始，比如黎曼Zeta函數，然後逐步引入更一般的Dirichlet級數，並重點講解它們在數論研究中的作用。我期待它能夠提供清晰的證明和詳實的例子，幫助我理解這些級數如何與素數分布、數論函數等核心問題聯係起來。而“模形式”部分，更是我一直以來非常好奇的領域。雖然我對此的瞭解尚淺，但我知道模形式是連接代數幾何、錶示論和數論的關鍵。我希望這本書能為我揭示模形式的本質，也許會從一些簡單的模形式入手，介紹它們的定義、性質和一些初步的應用。我期待通過這本書，能對Dirichlet級數和模形式有一個係統而深入的認識，並感受到它們之間潛在的深刻聯係。