21世纪复旦大学研究生教学用书：微分几何十六讲 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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黄宣国 著

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• 微分几何
• 复旦大学
• 研究生教材
• 高等数学
• 几何学
• 教学用书
• 21世纪
• 数学
• 学术
• 教材

出版社： 复旦大学出版社

ISBN：9787309129878

版次：1

商品编码：12167571

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-08-01

用纸：胶版纸

页数：289

字数：325000

正文语种：中文

内容简介

　　《21世纪复旦大学研究生教学用书：微分几何十六讲》内容大多取自20世纪七八十年代国际上著名微分几何专家的论文。全书分三章，共16小节（即16讲）。第1章为子流形的第二基本形式长度的若干空隙性定理，第2章为常曲率空间内超曲面的若干定理，第3章为给定曲率的超曲面的几个存在性定理。《21世纪复旦大学研究生教学用书：微分几何十六讲》的阅读起点较低，公式的推导尽可能详细，极少量不加证明的结论也尽可能指明出处。
　　《21世纪复旦大学研究生教学用书：微分几何十六讲》是青年学生微分几何方向研究的一本入门书，可作为基础数学专业二年级硕士生或直博生的一学年的教材，也可作为研究生讨论班的材料。

内页插图

目录

第1章 子流形的第二基本形式长度的若干空隙性定理
第1讲 子流形的基本方程
第2讲 欧氏空间内子流形的基本定理
第3讲 球面内极小闭子流形的第二基本形式长度平方的第一空隙性定理
第4讲 一个改进的定理
第5讲 完备Riemann流形的广义最大值原理
第6讲 4维球面内闭极小超曲面的第二基本形式长度平方的第二空隙性定理
第7讲 R4内完备常平均曲率和常数量曲率超曲面

第2章 常曲率空间内超曲面的若干唯一性定理
第1讲 欧氏空间内常平均曲率或常数量曲率的嵌入闭超曲面是球面
第2讲 欧氏空间内带边界的极小曲面的等周不等式
第3讲 极小子流形的体积的第一、第二变分公式
第4讲 Bernstein定理
第5讲 具有非负Ricci曲率的闭Riemann流形的Laplace算子的第一特征值
第6讲 球面内闭极小嵌入超曲面的Laplace算子的第一特征值

第3章 给定曲率的超曲面的几个存在性定理
第1讲 给定平均曲率函数的Rn+1内同胚于Sn(1)的闭超曲面存在性
第2讲 欧氏空间内给定Gauss曲率的凸闭超曲面的存在性定理
第3讲 欧氏空间内给定第s阶平均曲率的凸闭超曲面的存在性定理

前言/序言

　　我十多年来对基础数学专业微分几何方向的多届硕士研究生、直博生讲课，内容大多取自20世纪七八十年代国际上著名微分几何专家的论文，最近，利用半年多的空闲时段，整理讲课材料，成本册书，
　　我自认为阅读论文是件苦事，经常为了文中一个引理的证明、一段文字的叙述，查阅文献，思索多日，为此，本书的阅读起点很低，公式的推导尽可能详细，极少量不加证明的结论也尽可能指明其出处．本书是青年学生微分几何方向研究的一本入门书．
　　本书可以作为基础数学专业二年级硕士生或直博生的一学年的教材，也可以作为研究生讨论班的材料，供学生自己阅读、报告，
　　“西北望，射天狼”，希望青年学子茁壮成长，作出好的研究成果．

《几何的边界与维度：探索现代数学的瑰丽图景》 在人类文明的长河中，几何一直是理解世界、构建宇宙最 fundamental 的语言之一。从古希腊先贤对欧氏空间的精准丈量，到现代物理学中弯曲时空的精妙描绘，几何的魅力与力量从未衰减，反而不断拓展着我们认知的边界。本书《几何的边界与维度：探索现代数学的瑰丽图景》旨在带领读者踏上一段穿越时空的数学之旅，领略几何学在 21 世纪的最新进展及其在各个学科领域展现出的强大生命力。 本书并非对某一特定教材进行解读，而是以一种更广阔的视野，系统性地梳理和呈现现代几何学的发展脉络、核心概念以及前沿应用。我们希望通过本书，让读者深刻理解几何学何以能够从最初的形状与度量，发展成为描述宇宙结构、量子纠缠、乃至复杂网络等无数自然和社会现象的通用框架。 第一篇：几何的根基与演化——从经典到抽象 在现代几何学的宏伟殿堂中，经典几何是不可或缺的基石。本篇我们将从欧几里得几何的公理体系出发，追溯其严谨的逻辑结构和深远的哲学内涵。随后，我们将目光投向非欧几何的诞生，理解黎曼几何如何在曲率的概念下，为爱因斯坦的广义相对论提供了思想土壤。这将帮助读者领悟到，数学的创新往往源于对既有理论的挑战和超越。 然而，几何学的演进并未止步于对空间的度量和弯曲的探索。进入 20 世纪，随着代数几何、微分几何等分支的崛起，几何学家们开始运用更抽象的代数工具来研究几何对象，使得我们能够以前所未有的深度和广度理解空间结构。本篇将着重介绍这些抽象化的思想，例如流形的概念——一个在局部看起来是欧氏空间的集合，却能在整体上拥有复杂的拓扑结构。我们将探讨光滑流形、微分同胚等关键概念，为理解更复杂的几何对象打下坚实的基础。 此外，拓扑学作为研究空间在连续形变下不变性质的学科，在现代几何学中扮演着越来越重要的角色。它提供了一种全新的视角来描述和分类几何对象，其研究的“弹性”特性，使得拓扑学在计算机科学、材料科学等领域展现出惊人的应用潜力。本篇将穿插介绍一些基础的拓扑概念，并展望其与微分几何的深度融合。 第二篇：现代几何的璀璨明珠——微分几何的精髓 微分几何是本书的核心聚焦之一，它将微积分的强大分析工具引入几何领域，从而能够精细地研究曲线、曲面乃至更高维流形的局部性质，并进而揭示其整体结构。在本篇中，我们将深入探讨微分几何的核心内容，勾勒出其理论框架和研究方法。 首先，我们将介绍微分流形这一 fundamental 的概念。微分流形不仅拥有拓扑结构，更在每一点都配备了切空间，这使得我们可以在局部应用微积分的工具。我们将详细阐述切向量、张量场、微分形式等基本概念，它们是描述流形上各种几何量的语言。例如，张量场可以描述流形上的度量、曲率、向量场等等，是理解流形几何性质的关键。 曲率，作为微分几何的灵魂，将得到深入的剖析。我们将区分不同的曲率概念，如高斯曲率、平均曲率，并探讨曲率张量如何完整地刻画流形的弯曲程度。理解曲率的分布，对于我们认识空间形状的内在属性至关重要。例如，正曲率的区域倾向于“收缩”，负曲率的区域倾向于“扩张”，而零曲率的区域则保持“平直”。 此外，联络（Connection）的概念将是本篇的另一个重点。联络允许我们在流形上“平行移动”向量，从而定义协变导数，这是研究向量场和张量场在流形上如何变化的根本工具。通过协变导数，我们可以理解测地线（最短路径）的性质，以及曲率张量是如何衡量平行移动过程中向量变化的“非保守性”。 本书还将触及微分几何中一些更高级的话题，例如黎曼几何中的测地线方程、第二变分公式等，它们是理解流形拓扑性质和全局几何结构的有力武器。我们还将介绍一些微分几何的经典定理，如高斯-博内定理，它巧妙地连接了流形的曲率和拓扑不变量，展示了微分几何的深刻洞察力。 第三篇：几何的边界与跨界——现代数学与科学的应用 21世纪的几何学早已不再是数学家的专属领域，它的思想和工具已经渗透到科学研究的各个角落，成为理解复杂现象、解决实际问题的关键。本篇将重点展示现代几何学在不同领域展现出的强大生命力和创新性。 数学内部的融合与拓展： 微分几何与代数几何、拓扑学等分支的紧密联系是现代数学的重要特征。代数几何使用代数方程来描述几何对象，而微分几何则提供了研究这些对象光滑性质的工具。它们的结合催生了许多深刻的理论，例如代数簇的微分结构。拓扑学研究的是空间在连续变形下的不变性质，而微分几何则提供了描述这些性质的精细工具。本书将探讨这些学科之间的交叉融合，以及它们如何共同推动数学的进步。 理论物理学的强大引擎： 几何学在现代理论物理学中的地位举足轻重。广义相对论将引力描述为时空的弯曲，其数学语言正是微分几何。黑洞、引力波的探测，都离不开精密的时空几何计算。在量子场论中，规范场论的数学结构与纤维丛、联络等微分几何概念息息相关，例如杨-米尔斯理论。弦理论更是将高维几何的深刻思想融入其中，试图统一基本粒子和相互作用。本书将解析几何学在这些物理理论中的核心作用。 计算机科学的隐秘语言： 几何在计算机科学中的应用日益广泛，尤其是在计算机图形学、计算机视觉、机器学习等领域。三维模型的构建、图像的识别与处理、数据的高维可视化，都离不开几何学的原理。例如，曲面重建、点云处理、形状匹配等问题，都需要借助微分几何的工具。在机器学习中，数据本身的几何结构（如流形假设）对于理解和建模至关重要，流形学习算法应运而生。本书将揭示几何学如何在数字世界中发挥作用。 其他前沿领域的展望： 除了上述领域，几何学还在网络科学、生物学（如蛋白质折叠的几何分析）、经济学（如金融模型的几何解释）等领域展现出潜力。本书将对这些新兴的应用方向进行简要的介绍和展望，展示几何学作为一种 universal 的数学语言，其边界正在不断被拓展。 结语： 《几何的边界与维度：探索现代数学的瑰丽图景》不仅仅是一次知识的梳理，更是一次思想的启迪。我们希望通过本书，能够激发读者对几何学的浓厚兴趣，理解其深邃的思想内涵，感受其在现代科学技术中所扮演的关键角色。在 21 世纪，几何学依旧是理解宇宙、塑造未来的强大工具，它将继续引领我们探索未知的边界，发现更多令人惊叹的数学奇迹。

评分☆☆☆☆☆

我曾以为，学习高等数学必然是一场艰辛的跋涉，充满了晦涩的符号和难以理解的证明。然而，翻开这本书，我的固有印象被彻底颠覆了。作者以一种极其清晰、逻辑严谨的方式，将复杂的概念层层剥离，呈现出其内在的美感。阅读过程中，我仿佛置身于一个精心设计的迷宫，每一步都引导我走向更深层的理解。他善于运用直观的几何语言来解释抽象的代数概念，让那些原本只存在于符号世界里的对象，在脑海中生动起来。比如，在讲解曲率的时候，作者不仅仅给出了公式，更通过一系列生动的例子，比如不同形状的曲线，来阐述曲率的几何意义，以及它如何描述空间的弯曲程度。我特别欣赏书中对于证明过程的精雕细琢，每一个小步骤都交代得清清楚楚，没有含糊其辞的地方，让人能够跟得上作者的思路，并且在理解的基础上，自己也能够尝试去推导。这种循序渐进的学习方式，极大地降低了学习门槛，让我这个初学者也能感受到学习的乐趣和成就感。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的最大感受是，它不仅仅是一本讲解微分几何知识的书，更是一本引导我如何进行数学思考的书。作者在书中展现了一种独特的数学思维方式，他鼓励读者主动去发现问题，去质疑，去探索。在阅读过程中，我常常会因为作者提出的一个问题而停下来思考很久，试图从不同的角度去理解。这种“思考者”的角色扮演，让我不再是被动地接受知识，而是主动地参与到知识的构建过程中。书中的许多练习题也并非是简单的计算题，而是需要深入理解概念、灵活运用所学知识才能解决的挑战。完成这些题目，不仅巩固了我的理论知识，更重要的是，它锻炼了我解决数学问题的能力。总的来说，这本书为我提供了一个学习和研究微分几何的绝佳平台，它不仅仅传授了知识，更重要的是，它塑造了我对数学的认知和热爱。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版设计也是我非常欣赏的一点。书页的留白恰到好处，不会显得拥挤，阅读起来非常舒适。字体大小适中，墨色深浅得当，长时间阅读也不会感到眼疲劳。更重要的是，书中大量的插图和图示，为理解抽象概念提供了极大的便利。这些图示不仅仅是简单的示意图，更是经过精心绘制，能够准确地传达数学思想的精髓。比如，在讲解流形上的切空间时，书中一系列不同角度、不同维度的切空间图，就将原本抽象的定义变得无比具象化，让我能够清晰地看到切向量的含义，以及它们如何在切空间中构成一个线性空间。这种“所见即所得”的学习体验，大大增强了我的学习效率。此外，书中对参考文献的引用也十分详尽，这对于我想要深入研究某个专题时，提供了宝贵的线索。总而言之，这本书在细节上的用心，让我感受到了一种对知识的敬畏和对读者的尊重。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就有一种沉静而深邃的气质，淡淡的蓝色背景，配上烫金的字体，仿佛在诉说着知识的厚重与优雅。拿到书的那一刻，指尖触碰到纸张的质感，就有一种踏实感，感觉它不仅仅是一本教材，更像是一位值得信赖的引路人。我尤其喜欢它那种严谨而又充满启发性的风格，阅读起来，感觉作者不仅仅是把知识灌输给你，更是在和你一起探索数学的奥秘。每当遇到一个重要的概念，作者都会花大量的篇幅去阐述其背景、动机和发展脉络，这使得我不再是被动接受，而是主动去理解，去思考“为什么会是这样”。这种“为什么”的追问，在学习过程中是至关重要的，它能帮助我们建立起对知识的深刻认知，而不是仅仅停留在表面的记忆。而且，书中穿插的许多历史典故和数学家故事，也让原本可能枯燥的理论变得生动有趣，仿佛能看到数学思想是如何在历史长河中孕育、发展，最终形成我们今天所知的形式。我总觉得，学习一门学科，不单单是学习它的理论，更是要理解它的灵魂，而这本书恰恰做到了这一点，它让我感受到微分几何背后那蓬勃的生命力。

评分☆☆☆☆☆

我一直对那些能够将数学理论与实际应用联系起来的书籍抱有浓厚的兴趣，而这本书在这方面做得尤为出色。在讲解每一个理论的同时，作者都会不时地提及这些理论在物理学、计算机科学等领域的应用，这让我深刻地体会到微分几何的强大生命力和广泛影响力。例如，在介绍黎曼几何时，书中就巧妙地提到了它在广义相对论中的核心作用，这不仅拓展了我的知识视野，更让我对数学这门学科产生了全新的认识。我开始明白，数学并非是孤立存在的象牙塔，而是构建我们理解世界不可或缺的基石。通过这些具体的应用案例，我更能理解学习这些抽象概念的意义和价值，也更加激发了我深入探索的动力。这本书让我看到了理论的深度与应用的广度之间的完美融合，这在我之前的学习经历中是比较少见的。