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内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版25：代数体函数与常微分方程》系统地介绍了亚纯函数、代数体函数Nevanlinna理论和整函数Wimanvaliron理论，以及它们与复域的常微分方程理论相结合的基本内容和若干新研究。
　　《现代数学基础丛书·典藏版25：代数体函数与常微分方程》可供大学数学系高年级学生、研究生、数学和其他科技工作者阅读和参考。

内页插图

目录

第一章 Wiman-Valiron理论
§1．1 最大模
§1．2 增长级和收敛指数
§1．3 最大项、中心指标和Newton多边形
§1．4 导数的局部性质

第二章 代数体函数
§2．1 预备知识
§2．2 亚纯函数Nevanlinna理论
§2．3 代数体函数的特征函数与第一基本定理
§2．4 代数体函数的增长级
§2．5 对数导数基本引理
§2．6 代数体函数的第二基本定理及其推广
§2．7 代数体函数的亏量、亏值与重值
§2．8 具有多个亏值的代数体函数
§2．9 代数体函数的唯一性问题
§2．10 全纯函数的线性组合与代数体函数

第三章 复域的常微分方程理论初步
§3．1 Cauchy存在与唯一性定理
§3．2 奇点
§3．3 具有固定临界点的一阶代数微分方程
§3．4 Riccati方程

第四章 具有亚纯解和代数体解的微分方程
§4．1 复合函数的特征
§4．2 Rellich-Wittich定理
§4．3 具有单值亚纯解的常微分方程
§4．4 二项式微分方程
§4．5 具有代数体函数解的微分方程

第五章 复域的常微分方程的大范围解
§5．1 线性常微分方程
§5．2 Riccati方程的亚纯解
§5．3 一阶代数微分方程
§5．4 高阶代数微分方程解析解的增长性
§5．5 高阶代数微分方程解析解的值分布
§5．6 常微分方程亚纯解的因子分解

参考文献
名词索引

前言/序言

　　早在十八世纪数学家们已经发现，用已知初等函数的有限组合来表示大范围通解的常微分方程非常罕见，但是，A.Cauchy曾证明，在极为广泛的假设下，复域中常微分方程的解是复变数的解析函数。因此，把微分方程的解视为由方程定义的一类解析函数，应用复变函数的一般理论直接从微分方程出发研究解的性质，或者对解的性质提出某些要求后研究相应微分方程的性状，便成为复域中微分方程理论的基本内容，亦称为常微分方程解析理论，它与复变函数的一般理论的发展互相平行、密切相关，常常是其中一个理论的发展影响着另一个理论的发展，
　　本世纪二十年代由著名芬兰数学家R。Nevanlinna创立的亚纯函数值分布理论是本世纪最重大的数学成就之一，它是现代亚纯函数论的基础，它对数学的其它分支产生重大的影响，如今已不仅仅停留在单个变数亚纯函数的研究上，值得指出的是，在1930年前后，G.Valiron.E.Ullrich和H。Selberg等人分别用不同的方法对代数体函数建立了相当于亚纯函数的Nevanlinna基本定理。代数体函数是一类多值解析函数。在H。Poincare最初引入时，G.Darboux即认为它是一类重要函数，后P.Painleve在研究常微分方程时也遇到这一函数，其理论至今仍为许多人所研究。Nevanlinna理论对常微分方程解析理论的发展亦产生了重大的影响。在亚纯函数与代数体函数Nevanlinna理论建立的初期，日本数学家吉田耕作便应用此理论于一类非线性微分方程的研究，他对于J.Malmquist提出的重要定理给出了一个简明的证明，并大大推广了原先的结果。这一研究引起了广泛的注意。本世纪五十年代联邦德国数学家H。Wittich及其学生系统地研究了Nevanlinna理论对常微分方程理论的意义，使得这一理论成为研究复域中常微分方程大范围解析解的重要工具，其后，苏联、美国、芬兰、联邦德国和日本等国的数学家进一步发展了这个方向的研究，取得一系列重要的进展。五十年代末以来，作者在老师熊庆来教授的指导下开展亚纯函数与代数体函数Nevanlinna理论及其在常微分方程中的应用研究，并得到若干较为理想的结果。
　　本书仅就亚纯函数、代数体函数Nevanlinna理论和整函数Wiman-Valiron理论以及它们与常微分方程相结合的基本内容和若干新研究作一系统介绍，本书共五章，第一章介绍WimanValiron理论，它在常微分方程的研究中有重要的作用，应用它常能得到精细的结果。第二章介绍Nevanlinna理论，着重介绍代数体函数值分布理论的基本内容和某些进一步的结果，其中包括熊庆来、何育赞关于第二基本定理的推广以及重值和唯一性定理的结果；亚纯函数值分布理论将作为特殊情形作一概述。第三章讲述常微分方程解析理论的初步内容，第四、五章介绍Nevanlinna理论在常微分方程中的应用，内容有Malmquist-Yosida-Wittich定理及其推广，常微分方程大范围解析解某些性质的研究，其中还有作者得到的对于一般高阶代数微分方程亚纯解和代数体解的精确形式的Malmquist型定理和解的增长性估计、值分布性质等结果。
　　本书前三章的内容都自成系统，读者可以独立进行阅读。此外，如果读者只要求了解亚纯函数理论和微分方程单值解的内容，则可跳过代数体函数理论和方程多值解析解的部分。凡具有大学复变函数和常微分方程课程知识的读者都能够阅读本书，
　　本书的主要内容曾分别由何育赞在华东师范大学、北京大学和福建师范大学数学系，以及萧修治在武汉大学数学系为高年级学生、研究生和青年教师讲授过，本书是在这些讲义的基础上写成的，其中第一、二、四章和第五章第六节由何育赞撰写，第三、五章由萧修治撰写，
　　本书的编写曾得到北京大学庄圻泰教授的亲切关怀、鼓励和指导，作者在此表示衷心的感谢，福建师范大学谢晖春教授仔细审阅了本书的初稿，并提出许多宝贵的意见，作者也在此表示衷心的感谢。
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