现代数学基础丛书·典藏版25：代数体函数与常微分方程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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何育赞，萧修治 著

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• 数学
• 代数
• 常微分方程
• 函数
• 数学分析
• 高等教育
• 教材
• 典藏版
• 理论数学
• 数学基础

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030001498

版次：1

商品编码：12169506

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书·典藏版

开本：16开

出版时间：1988-02-01

用纸：胶版纸

页数：303

字数：255000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版25：代数体函数与常微分方程》系统地介绍了亚纯函数、代数体函数Nevanlinna理论和整函数Wimanvaliron理论，以及它们与复域的常微分方程理论相结合的基本内容和若干新研究。
　　《现代数学基础丛书·典藏版25：代数体函数与常微分方程》可供大学数学系高年级学生、研究生、数学和其他科技工作者阅读和参考。

内页插图

目录

第一章 Wiman-Valiron理论
§1．1 最大模
§1．2 增长级和收敛指数
§1．3 最大项、中心指标和Newton多边形
§1．4 导数的局部性质

第二章 代数体函数
§2．1 预备知识
§2．2 亚纯函数Nevanlinna理论
§2．3 代数体函数的特征函数与第一基本定理
§2．4 代数体函数的增长级
§2．5 对数导数基本引理
§2．6 代数体函数的第二基本定理及其推广
§2．7 代数体函数的亏量、亏值与重值
§2．8 具有多个亏值的代数体函数
§2．9 代数体函数的唯一性问题
§2．10 全纯函数的线性组合与代数体函数

第三章 复域的常微分方程理论初步
§3．1 Cauchy存在与唯一性定理
§3．2 奇点
§3．3 具有固定临界点的一阶代数微分方程
§3．4 Riccati方程

第四章 具有亚纯解和代数体解的微分方程
§4．1 复合函数的特征
§4．2 Rellich-Wittich定理
§4．3 具有单值亚纯解的常微分方程
§4．4 二项式微分方程
§4．5 具有代数体函数解的微分方程

第五章 复域的常微分方程的大范围解
§5．1 线性常微分方程
§5．2 Riccati方程的亚纯解
§5．3 一阶代数微分方程
§5．4 高阶代数微分方程解析解的增长性
§5．5 高阶代数微分方程解析解的值分布
§5．6 常微分方程亚纯解的因子分解

参考文献
名词索引

前言/序言

　　早在十八世纪数学家们已经发现，用已知初等函数的有限组合来表示大范围通解的常微分方程非常罕见，但是，A.Cauchy曾证明，在极为广泛的假设下，复域中常微分方程的解是复变数的解析函数。因此，把微分方程的解视为由方程定义的一类解析函数，应用复变函数的一般理论直接从微分方程出发研究解的性质，或者对解的性质提出某些要求后研究相应微分方程的性状，便成为复域中微分方程理论的基本内容，亦称为常微分方程解析理论，它与复变函数的一般理论的发展互相平行、密切相关，常常是其中一个理论的发展影响着另一个理论的发展，
　　本世纪二十年代由著名芬兰数学家R。Nevanlinna创立的亚纯函数值分布理论是本世纪最重大的数学成就之一，它是现代亚纯函数论的基础，它对数学的其它分支产生重大的影响，如今已不仅仅停留在单个变数亚纯函数的研究上，值得指出的是，在1930年前后，G.Valiron.E.Ullrich和H。Selberg等人分别用不同的方法对代数体函数建立了相当于亚纯函数的Nevanlinna基本定理。代数体函数是一类多值解析函数。在H。Poincare最初引入时，G.Darboux即认为它是一类重要函数，后P.Painleve在研究常微分方程时也遇到这一函数，其理论至今仍为许多人所研究。Nevanlinna理论对常微分方程解析理论的发展亦产生了重大的影响。在亚纯函数与代数体函数Nevanlinna理论建立的初期，日本数学家吉田耕作便应用此理论于一类非线性微分方程的研究，他对于J.Malmquist提出的重要定理给出了一个简明的证明，并大大推广了原先的结果。这一研究引起了广泛的注意。本世纪五十年代联邦德国数学家H。Wittich及其学生系统地研究了Nevanlinna理论对常微分方程理论的意义，使得这一理论成为研究复域中常微分方程大范围解析解的重要工具，其后，苏联、美国、芬兰、联邦德国和日本等国的数学家进一步发展了这个方向的研究，取得一系列重要的进展。五十年代末以来，作者在老师熊庆来教授的指导下开展亚纯函数与代数体函数Nevanlinna理论及其在常微分方程中的应用研究，并得到若干较为理想的结果。
　　本书仅就亚纯函数、代数体函数Nevanlinna理论和整函数Wiman-Valiron理论以及它们与常微分方程相结合的基本内容和若干新研究作一系统介绍，本书共五章，第一章介绍WimanValiron理论，它在常微分方程的研究中有重要的作用，应用它常能得到精细的结果。第二章介绍Nevanlinna理论，着重介绍代数体函数值分布理论的基本内容和某些进一步的结果，其中包括熊庆来、何育赞关于第二基本定理的推广以及重值和唯一性定理的结果；亚纯函数值分布理论将作为特殊情形作一概述。第三章讲述常微分方程解析理论的初步内容，第四、五章介绍Nevanlinna理论在常微分方程中的应用，内容有Malmquist-Yosida-Wittich定理及其推广，常微分方程大范围解析解某些性质的研究，其中还有作者得到的对于一般高阶代数微分方程亚纯解和代数体解的精确形式的Malmquist型定理和解的增长性估计、值分布性质等结果。
　　本书前三章的内容都自成系统，读者可以独立进行阅读。此外，如果读者只要求了解亚纯函数理论和微分方程单值解的内容，则可跳过代数体函数理论和方程多值解析解的部分。凡具有大学复变函数和常微分方程课程知识的读者都能够阅读本书，
　　本书的主要内容曾分别由何育赞在华东师范大学、北京大学和福建师范大学数学系，以及萧修治在武汉大学数学系为高年级学生、研究生和青年教师讲授过，本书是在这些讲义的基础上写成的，其中第一、二、四章和第五章第六节由何育赞撰写，第三、五章由萧修治撰写，
　　本书的编写曾得到北京大学庄圻泰教授的亲切关怀、鼓励和指导，作者在此表示衷心的感谢，福建师范大学谢晖春教授仔细审阅了本书的初稿，并提出许多宝贵的意见，作者也在此表示衷心的感谢。

现代数学基础丛书·典藏版（其他卷册）精选导读 本导读旨在向读者介绍“现代数学基础丛书·典藏版”中与《代数体函数与常微分方程》卷册并存的其他重要著作，这些著作共同构成了现代数学知识体系的坚实基础。由于篇幅限制，我们无法详述丛书中所有卷册，故精选数部极具代表性的作品进行深入剖析。 --- 卷册一：集合论与逻辑基础 (Foundations of Set Theory and Logic) 核心内容概述： 本卷是整个现代数学大厦的逻辑基石。它系统地阐述了朴素集合论的起源、发展及其在罗素悖论等问题上暴露出的局限性，从而引向公理化集合论——特别是策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）及其选择公理（ZFC）。 重点解析： 1. 公理系统构建： 详细讨论了外延性、分离性、空集、配对、并集、幂集、无穷公理以及替换公理等核心公理的内在逻辑联系和必要性。对于理解数学对象的构造过程至关重要。 2. 序数与基数理论： 深入探讨了良序集的概念，冯·诺伊曼序数的定义，以及不同无穷基数（如 $aleph_0$, $c$）之间的比较和运算。康托尔定理在此部分占据核心地位，展示了无穷的层级结构。 3. 数学逻辑与可定义性： 涵盖了一阶逻辑的语法、语义学，以及完备性定理（哥德尔）。此外，还引入了递归函数论的初步概念，为后续的计算理论奠定了基础。 学术价值： 掌握本卷内容，是理解数学家如何从最基本的前提出发，严谨地构建起所有数学分支（包括代数、分析乃至拓扑）的必经之路。它清晰界定了“什么是数学对象”以及“什么是可证明的陈述”。 --- 卷册四：拓扑学基础 (Fundamentals of Topology) 核心内容概述： 本卷聚焦于研究空间在连续形变下保持不变的性质，是连接几何学与分析学的桥梁。它从抽象的角度定义了“邻域”、“连续性”和“收敛性”，摆脱了对欧几里得空间具体坐标的依赖。 重点解析： 1. 一般拓扑空间： 引入了拓扑空间、开集、闭集、邻域系统、闭包和内部的概念。重点讨论了紧致性、连通性和分离公理（如 T1, T2/Hausdorff, T3, T4/正规）。紧致性理论的讨论尤为深入，例如，紧致子集的连续像仍是紧致的这一关键性质。 2. 连续函数与同胚： 严格定义了拓扑空间的连续映射，并引入同胚（Homeomorphism）作为拓扑等价的标志。这使得读者能够区分不同“形状”的本质差异。 3. 度量空间与嵌入： 讨论了度量空间作为一类特殊的拓扑空间，它们带有距离的概念，使得分析工具（如收敛、完备性）可以在拓扑框架内得到重新诠释。本卷还涉及将度量空间嵌入到一般拓扑空间中的可能性。 学术价值： 拓扑学为分析学提供了坚实的抽象框架。理解本卷，能使读者在处理极限、收敛性、甚至微分几何等问题时，具备更强的普适性和几何直觉。 --- 卷册七：抽象代数I：群论 (Abstract Algebra I: Group Theory) 核心内容概述： 本卷是现代代数的核心入门部分，专注于研究集合上定义的单一二元运算——群。群论是描述对称性、变换和结构保持操作的语言。 重点解析： 1. 群的基本概念与例子： 详细界定了群、子群、陪集和同态的概念。丰富的实例贯穿始终，包括循环群、二面体群、对称群 $S_n$ 和一般线性群 $GL(n, F)$ 等。 2. 正规子群与商群： 这是理解群结构分解的关键。正规子群的引入使得构造商群（或称因子群）成为可能，从而实现了“整体结构分解为局部结构”的思想。 3. 同态基本定理： 著名的第一同构定理（规范定理）被深入探讨，它建立了同态、核与商群之间的深刻联系。此外，还覆盖了第二、第三同构定理。 4. Sylow定理： 这是有限群论的基石，提供了关于群的非平凡子群阶数的精确计数信息，是判断群结构复杂度的强大工具。 学术价值： 群论不仅是代数的核心，也是物理学（如粒子物理学中的对称性）、密码学和化学（如分子结构分析）的底层工具。本卷为理解后续的环论和域论奠定了必要的代数思维模式。 --- 卷十：实分析：测度、积分与泛函分析引论 (Real Analysis: Measure, Integration, and Introduction to Functional Analysis) 核心内容概述： 与侧重于点集拓扑和代数结构的卷册不同，本卷将焦点重新拉回到分析的本质——极限、收敛和“量化”。它提供了比经典Riemann积分更强大的Lebesgue积分理论，并过渡到对无穷维空间的初步探索。 重点解析： 1. 测度论基础： 引入 $sigma$-代数、可测集以及测度（如长度、面积、体积）的严格定义。勒贝格外测度是理解测度定义的起点。 2. 勒贝格积分： 详细对比了Riemann积分的局限性，并构建了勒贝格积分的理论框架。核心在于可测函数的逼近和积分的单调收敛定理（MCT）、有界收敛定理（DCT）以及法图引理（Fatou’s Lemma）的应用。 3. $L^p$ 空间： 引入了 $L^p$ 空间作为完备的函数空间，它们是泛函分析中研究的第一个重要对象。通过讨论闵可夫斯基不等式和H"older不等式，确立了这些空间作为巴拿赫空间（Banach Spaces）的地位。 学术价值： 勒贝格积分的威力在于其强大的收敛定理，这些定理在概率论、偏微分方程的弱解理论中是不可或缺的。本卷标志着数学分析从经典微积分的直观层面，迈入了严格的、处理无穷维空间的现代阶段。 --- 卷十九：偏微分方程I：椭圆型方程与变分法 (Partial Differential Equations I: Elliptic Equations and Variational Methods) 核心内容概述： 本卷专注于描述空间平衡状态的数学模型，即偏微分方程（PDEs），特别是二阶椭圆型方程（如拉普拉斯方程和泊松方程）。它强调了通过变分原理来解决物理问题的强大方法。 重点解析： 1. 基础方程与物理背景： 介绍了热传导、波动和静电场等经典物理现象对应的PDEs，并明确区分了椭圆型、抛物线型和双曲型方程的定性差异。 2. 椭圆方程的弱解概念： 由于经典解（光滑解）在很多情况下不存在，本卷侧重于引入变分（或弱）解的概念。通过能量泛函的极小化问题来定义解。 3. 变分法与极值原理： 详细论述了如何将PDE转化为寻找特定泛函的驻点问题（如狄利克雷原理）。这与泛函分析中的极值理论紧密相关。 4. 基本解与势理论： 讨论了拉普拉斯方程的基本解（格林函数），并利用它来构建泊松积分公式，阐明了边界条件如何唯一确定解的结构。 学术价值： 偏微分方程是连接纯数学与应用科学的直接桥梁。本卷为深入研究流体力学、电磁学和量子力学中涉及的稳态问题的数学建模提供了必要的工具和理论深度。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为想要深入理解数学的读者量身定做的！我一直在寻找一本能够系统地梳理代数体函数和常微分方程之间关系的著作，这本书恰好满足了我的需求。作者在处理代数体函数时，不仅详细阐述了其代数结构，还巧妙地将其与泛函分析中的概念联系起来，让我看到了一个更广阔的数学图景。书中对不同类型代数体函数的分类和性质分析，都做得非常到位，能够帮助读者建立起一个清晰的知识框架。在常微分方程的部分，我尤其欣赏作者对各种解法背后思想的阐释。它不仅仅是给出公式，而是解释为什么这个公式有效，它能解决什么样的问题，以及在什么条件下不再适用。这种注重“理解”而非“记忆”的教学方法，对于我这样希望打下坚实基础的读者来说，是无比宝贵的。书中的一些章节，例如关于解的存在性与唯一性的证明，虽然理论性很强，但作者的讲解方式非常具有引导性，让我能够一步一步地跟着思路走，最终理解其中的精髓。

评分☆☆☆☆☆

刚翻开这本书，就被它那种严谨又不失灵动的风格吸引了。作为一名对数学有着浓厚兴趣但又常常被抽象理论困扰的爱好者，我总是在寻找能够将复杂概念清晰呈现的书籍。这本书在这方面做得非常出色。它在介绍代数体函数时，没有直接给出繁琐的定义，而是从一些直观的例子入手，逐步引导读者理解其构造的必要性和优越性。我特别喜欢书中关于函数空间的代数性质的讨论，它将代数和分析的工具巧妙地融合在一起，展现出数学学科之间深层次的联系。而对于常微分方程，这本书的讲解更是深入浅出。我曾被很多教材中生硬的公式推导搞得头晕，但这本书的讲解逻辑非常清晰，从基本概念到各种解法的推导过程都非常易于理解，甚至还加入了一些历史渊源的介绍，让我在学习知识的同时，也对数学的发展有了更深的体会。每当遇到一个难题，作者总能提供一些非常规但又极为有效的解决方法，这种“点石成金”般的讲解方式，让我觉得学习数学变成了一种充满乐趣的探索。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉就像是打开了一扇通往数学殿堂的窗户。我对代数体函数这个概念一直感到好奇，但市面上很多资料要么过于晦涩，要么过于浅薄。这本书却找到了一个绝佳的平衡点。它从基础的代数概念出发，循序渐进地构建起代数体函数的理论体系，让我能够深刻理解其在代数和几何上的意义。更令我惊喜的是，书中将代数体函数的理论与常微分方程的解的存在性、唯一性和稳定性等问题联系起来，揭示了数学不同分支之间内在的联系和统一性。这一点对我来说是非常具有启发性的。常微分方程的部分，我非常喜欢作者对各种方法的介绍，不仅仅是枯燥的公式推导，更是对每种方法适用范围和优缺点的深入分析，让我能够根据具体问题选择最合适的工具。书中的插图和图表也运用得恰到好处，辅助我理解一些抽象的概念。这本书的写作风格非常学术化，但又不失逻辑性和条理性，读起来让人受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

这本书真的让我大开眼界！我之前对代数体函数和常微分方程的理解还停留在比较初级的阶段，这本书的讲解方式非常系统且深入，一点一点地将我带入更复杂的概念。它不仅仅是知识的罗列，更注重逻辑的严谨性和思想的启发。书中对抽象代数中群、环、域等基本概念的引入，与代数体函数的构建过程紧密结合，让我对函数空间的代数结构有了全新的认识。而常微分方程部分，从最基础的解的存在唯一性定理，到各种求解技巧，再到更高级的边值问题和稳定性分析，都做了细致的梳理。最令我印象深刻的是，作者常常会举出一些非常巧妙的例子，这些例子既能帮助我理解抽象的理论，又能展现出数学在解决实际问题中的强大力量。这本书的语言风格我非常喜欢，虽然是严谨的数学著作，但读起来并不枯燥，充满了数学的魅力。它不仅仅是一本教科书，更像是一本引领我探索数学深邃世界的向导。看完这本书，感觉自己对数学的整体理解都提升了一个档次，对未来进一步的学习充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来了非常深刻的学习体验。在代数体函数方面，作者深入浅出地介绍了这类函数的构造原理、基本性质以及在不同数学分支中的应用，特别是它如何与抽象代数的概念相结合，构建出强大的数学工具。我特别欣赏书中对一些经典代数体函数的详细分析，这些分析帮助我更好地理解抽象的理论。而在常微分方程的部分，这本书的讲解更是让我印象深刻。它不仅涵盖了从一阶到高阶常微分方程的各种解法，还对一些更高级的主题，如边值问题、微分方程组的解法以及稳定性理论做了细致的阐述。让我感到欣慰的是，书中很多证明过程都写得非常详细，而且逻辑清晰，让我能够理解每一个步骤的由来。此外，书中的练习题也非常有代表性，能够帮助我巩固所学知识，并检验自己对理论的掌握程度。总的来说，这是一本能够帮助读者构建扎实数学基础的优秀著作，值得反复研读。