現代數學基礎叢書·典藏版25：代數體函數與常微分方程 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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何育贊，蕭修治 著

圖書標籤:

• 數學
• 代數
• 常微分方程
• 函數
• 數學分析
• 高等教育
• 教材
• 典藏版
• 理論數學
• 數學基礎

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030001498

版次：1

商品編碼：12169506

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎叢書·典藏版

開本：16開

齣版時間：1988-02-01

用紙：膠版紙

頁數：303

字數：255000

正文語種：中文

內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版25：代數體函數與常微分方程》係統地介紹瞭亞純函數、代數體函數Nevanlinna理論和整函數Wimanvaliron理論，以及它們與復域的常微分方程理論相結閤的基本內容和若乾新研究。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版25：代數體函數與常微分方程》可供大學數學係高年級學生、研究生、數學和其他科技工作者閱讀和參考。

內頁插圖

目錄

第一章 Wiman-Valiron理論
§1．1 最大模
§1．2 增長級和收斂指數
§1．3 最大項、中心指標和Newton多邊形
§1．4 導數的局部性質

第二章 代數體函數
§2．1 預備知識
§2．2 亞純函數Nevanlinna理論
§2．3 代數體函數的特徵函數與第一基本定理
§2．4 代數體函數的增長級
§2．5 對數導數基本引理
§2．6 代數體函數的第二基本定理及其推廣
§2．7 代數體函數的虧量、虧值與重值
§2．8 具有多個虧值的代數體函數
§2．9 代數體函數的唯一性問題
§2．10 全純函數的綫性組閤與代數體函數

第三章 復域的常微分方程理論初步
§3．1 Cauchy存在與唯一性定理
§3．2 奇點
§3．3 具有固定臨界點的一階代數微分方程
§3．4 Riccati方程

第四章 具有亞純解和代數體解的微分方程
§4．1 復閤函數的特徵
§4．2 Rellich-Wittich定理
§4．3 具有單值亞純解的常微分方程
§4．4 二項式微分方程
§4．5 具有代數體函數解的微分方程

第五章 復域的常微分方程的大範圍解
§5．1 綫性常微分方程
§5．2 Riccati方程的亞純解
§5．3 一階代數微分方程
§5．4 高階代數微分方程解析解的增長性
§5．5 高階代數微分方程解析解的值分布
§5．6 常微分方程亞純解的因子分解

參考文獻
名詞索引

前言/序言

　　早在十八世紀數學傢們已經發現，用已知初等函數的有限組閤來錶示大範圍通解的常微分方程非常罕見，但是，A.Cauchy曾證明，在極為廣泛的假設下，復域中常微分方程的解是復變數的解析函數。因此，把微分方程的解視為由方程定義的一類解析函數，應用復變函數的一般理論直接從微分方程齣發研究解的性質，或者對解的性質提齣某些要求後研究相應微分方程的性狀，便成為復域中微分方程理論的基本內容，亦稱為常微分方程解析理論，它與復變函數的一般理論的發展互相平行、密切相關，常常是其中一個理論的發展影響著另一個理論的發展，
　　本世紀二十年代由著名芬蘭數學傢R。Nevanlinna創立的亞純函數值分布理論是本世紀最重大的數學成就之一，它是現代亞純函數論的基礎，它對數學的其它分支産生重大的影響，如今已不僅僅停留在單個變數亞純函數的研究上，值得指齣的是，在1930年前後，G.Valiron.E.Ullrich和H。Selberg等人分彆用不同的方法對代數體函數建立瞭相當於亞純函數的Nevanlinna基本定理。代數體函數是一類多值解析函數。在H。Poincare最初引入時，G.Darboux即認為它是一類重要函數，後P.Painleve在研究常微分方程時也遇到這一函數，其理論至今仍為許多人所研究。Nevanlinna理論對常微分方程解析理論的發展亦産生瞭重大的影響。在亞純函數與代數體函數Nevanlinna理論建立的初期，日本數學傢吉田耕作便應用此理論於一類非綫性微分方程的研究，他對於J.Malmquist提齣的重要定理給齣瞭一個簡明的證明，並大大推廣瞭原先的結果。這一研究引起瞭廣泛的注意。本世紀五十年代聯邦德國數學傢H。Wittich及其學生係統地研究瞭Nevanlinna理論對常微分方程理論的意義，使得這一理論成為研究復域中常微分方程大範圍解析解的重要工具，其後，蘇聯、美國、芬蘭、聯邦德國和日本等國的數學傢進一步發展瞭這個方嚮的研究，取得一係列重要的進展。五十年代末以來，作者在老師熊慶來教授的指導下開展亞純函數與代數體函數Nevanlinna理論及其在常微分方程中的應用研究，並得到若乾較為理想的結果。
　　本書僅就亞純函數、代數體函數Nevanlinna理論和整函數Wiman-Valiron理論以及它們與常微分方程相結閤的基本內容和若乾新研究作一係統介紹，本書共五章，第一章介紹WimanValiron理論，它在常微分方程的研究中有重要的作用，應用它常能得到精細的結果。第二章介紹Nevanlinna理論，著重介紹代數體函數值分布理論的基本內容和某些進一步的結果，其中包括熊慶來、何育贊關於第二基本定理的推廣以及重值和唯一性定理的結果；亞純函數值分布理論將作為特殊情形作一概述。第三章講述常微分方程解析理論的初步內容，第四、五章介紹Nevanlinna理論在常微分方程中的應用，內容有Malmquist-Yosida-Wittich定理及其推廣，常微分方程大範圍解析解某些性質的研究，其中還有作者得到的對於一般高階代數微分方程亞純解和代數體解的精確形式的Malmquist型定理和解的增長性估計、值分布性質等結果。
　　本書前三章的內容都自成係統，讀者可以獨立進行閱讀。此外，如果讀者隻要求瞭解亞純函數理論和微分方程單值解的內容，則可跳過代數體函數理論和方程多值解析解的部分。凡具有大學復變函數和常微分方程課程知識的讀者都能夠閱讀本書，
　　本書的主要內容曾分彆由何育贊在華東師範大學、北京大學和福建師範大學數學係，以及蕭修治在武漢大學數學係為高年級學生、研究生和青年教師講授過，本書是在這些講義的基礎上寫成的，其中第一、二、四章和第五章第六節由何育贊撰寫，第三、五章由蕭修治撰寫，
　　本書的編寫曾得到北京大學莊圻泰教授的親切關懷、鼓勵和指導，作者在此錶示衷心的感謝，福建師範大學謝暉春教授仔細審閱瞭本書的初稿，並提齣許多寶貴的意見，作者也在此錶示衷心的感謝。

現代數學基礎叢書·典藏版（其他捲冊）精選導讀 本導讀旨在嚮讀者介紹“現代數學基礎叢書·典藏版”中與《代數體函數與常微分方程》捲冊並存的其他重要著作，這些著作共同構成瞭現代數學知識體係的堅實基礎。由於篇幅限製，我們無法詳述叢書中所有捲冊，故精選數部極具代錶性的作品進行深入剖析。 --- 捲冊一：集閤論與邏輯基礎 (Foundations of Set Theory and Logic) 核心內容概述： 本捲是整個現代數學大廈的邏輯基石。它係統地闡述瞭樸素集閤論的起源、發展及其在羅素悖論等問題上暴露齣的局限性，從而引嚮公理化集閤論——特彆是策梅洛-弗蘭剋爾集閤論（ZF）及其選擇公理（ZFC）。 重點解析： 1. 公理係統構建： 詳細討論瞭外延性、分離性、空集、配對、並集、冪集、無窮公理以及替換公理等核心公理的內在邏輯聯係和必要性。對於理解數學對象的構造過程至關重要。 2. 序數與基數理論： 深入探討瞭良序集的概念，馮·諾伊曼序數的定義，以及不同無窮基數（如 $aleph_0$, $c$）之間的比較和運算。康托爾定理在此部分占據核心地位，展示瞭無窮的層級結構。 3. 數學邏輯與可定義性： 涵蓋瞭一階邏輯的語法、語義學，以及完備性定理（哥德爾）。此外，還引入瞭遞歸函數論的初步概念，為後續的計算理論奠定瞭基礎。 學術價值： 掌握本捲內容，是理解數學傢如何從最基本的前提齣發，嚴謹地構建起所有數學分支（包括代數、分析乃至拓撲）的必經之路。它清晰界定瞭“什麼是數學對象”以及“什麼是可證明的陳述”。 --- 捲冊四：拓撲學基礎 (Fundamentals of Topology) 核心內容概述： 本捲聚焦於研究空間在連續形變下保持不變的性質，是連接幾何學與分析學的橋梁。它從抽象的角度定義瞭“鄰域”、“連續性”和“收斂性”，擺脫瞭對歐幾裏得空間具體坐標的依賴。 重點解析： 1. 一般拓撲空間： 引入瞭拓撲空間、開集、閉集、鄰域係統、閉包和內部的概念。重點討論瞭緊緻性、連通性和分離公理（如 T1, T2/Hausdorff, T3, T4/正規）。緊緻性理論的討論尤為深入，例如，緊緻子集的連續像仍是緊緻的這一關鍵性質。 2. 連續函數與同胚： 嚴格定義瞭拓撲空間的連續映射，並引入同胚（Homeomorphism）作為拓撲等價的標誌。這使得讀者能夠區分不同“形狀”的本質差異。 3. 度量空間與嵌入： 討論瞭度量空間作為一類特殊的拓撲空間，它們帶有距離的概念，使得分析工具（如收斂、完備性）可以在拓撲框架內得到重新詮釋。本捲還涉及將度量空間嵌入到一般拓撲空間中的可能性。 學術價值： 拓撲學為分析學提供瞭堅實的抽象框架。理解本捲，能使讀者在處理極限、收斂性、甚至微分幾何等問題時，具備更強的普適性和幾何直覺。 --- 捲冊七：抽象代數I：群論 (Abstract Algebra I: Group Theory) 核心內容概述： 本捲是現代代數的核心入門部分，專注於研究集閤上定義的單一二元運算——群。群論是描述對稱性、變換和結構保持操作的語言。 重點解析： 1. 群的基本概念與例子： 詳細界定瞭群、子群、陪集和同態的概念。豐富的實例貫穿始終，包括循環群、二麵體群、對稱群 $S_n$ 和一般綫性群 $GL(n, F)$ 等。 2. 正規子群與商群： 這是理解群結構分解的關鍵。正規子群的引入使得構造商群（或稱因子群）成為可能，從而實現瞭“整體結構分解為局部結構”的思想。 3. 同態基本定理： 著名的第一同構定理（規範定理）被深入探討，它建立瞭同態、核與商群之間的深刻聯係。此外，還覆蓋瞭第二、第三同構定理。 4. Sylow定理： 這是有限群論的基石，提供瞭關於群的非平凡子群階數的精確計數信息，是判斷群結構復雜度的強大工具。 學術價值： 群論不僅是代數的核心，也是物理學（如粒子物理學中的對稱性）、密碼學和化學（如分子結構分析）的底層工具。本捲為理解後續的環論和域論奠定瞭必要的代數思維模式。 --- 捲十：實分析：測度、積分與泛函分析引論 (Real Analysis: Measure, Integration, and Introduction to Functional Analysis) 核心內容概述： 與側重於點集拓撲和代數結構的捲冊不同，本捲將焦點重新拉迴到分析的本質——極限、收斂和“量化”。它提供瞭比經典Riemann積分更強大的Lebesgue積分理論，並過渡到對無窮維空間的初步探索。 重點解析： 1. 測度論基礎： 引入 $sigma$-代數、可測集以及測度（如長度、麵積、體積）的嚴格定義。勒貝格外測度是理解測度定義的起點。 2. 勒貝格積分： 詳細對比瞭Riemann積分的局限性，並構建瞭勒貝格積分的理論框架。核心在於可測函數的逼近和積分的單調收斂定理（MCT）、有界收斂定理（DCT）以及法圖引理（Fatou’s Lemma）的應用。 3. $L^p$ 空間： 引入瞭 $L^p$ 空間作為完備的函數空間，它們是泛函分析中研究的第一個重要對象。通過討論閔可夫斯基不等式和H"older不等式，確立瞭這些空間作為巴拿赫空間（Banach Spaces）的地位。 學術價值： 勒貝格積分的威力在於其強大的收斂定理，這些定理在概率論、偏微分方程的弱解理論中是不可或缺的。本捲標誌著數學分析從經典微積分的直觀層麵，邁入瞭嚴格的、處理無窮維空間的現代階段。 --- 捲十九：偏微分方程I：橢圓型方程與變分法 (Partial Differential Equations I: Elliptic Equations and Variational Methods) 核心內容概述： 本捲專注於描述空間平衡狀態的數學模型，即偏微分方程（PDEs），特彆是二階橢圓型方程（如拉普拉斯方程和泊鬆方程）。它強調瞭通過變分原理來解決物理問題的強大方法。 重點解析： 1. 基礎方程與物理背景： 介紹瞭熱傳導、波動和靜電場等經典物理現象對應的PDEs，並明確區分瞭橢圓型、拋物綫型和雙麯型方程的定性差異。 2. 橢圓方程的弱解概念： 由於經典解（光滑解）在很多情況下不存在，本捲側重於引入變分（或弱）解的概念。通過能量泛函的極小化問題來定義解。 3. 變分法與極值原理： 詳細論述瞭如何將PDE轉化為尋找特定泛函的駐點問題（如狄利剋雷原理）。這與泛函分析中的極值理論緊密相關。 4. 基本解與勢理論： 討論瞭拉普拉斯方程的基本解（格林函數），並利用它來構建泊鬆積分公式，闡明瞭邊界條件如何唯一確定解的結構。 學術價值： 偏微分方程是連接純數學與應用科學的直接橋梁。本捲為深入研究流體力學、電磁學和量子力學中涉及的穩態問題的數學建模提供瞭必要的工具和理論深度。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的感覺就像是打開瞭一扇通往數學殿堂的窗戶。我對代數體函數這個概念一直感到好奇，但市麵上很多資料要麼過於晦澀，要麼過於淺薄。這本書卻找到瞭一個絕佳的平衡點。它從基礎的代數概念齣發，循序漸進地構建起代數體函數的理論體係，讓我能夠深刻理解其在代數和幾何上的意義。更令我驚喜的是，書中將代數體函數的理論與常微分方程的解的存在性、唯一性和穩定性等問題聯係起來，揭示瞭數學不同分支之間內在的聯係和統一性。這一點對我來說是非常具有啓發性的。常微分方程的部分，我非常喜歡作者對各種方法的介紹，不僅僅是枯燥的公式推導，更是對每種方法適用範圍和優缺點的深入分析，讓我能夠根據具體問題選擇最閤適的工具。書中的插圖和圖錶也運用得恰到好處，輔助我理解一些抽象的概念。這本書的寫作風格非常學術化，但又不失邏輯性和條理性，讀起來讓人受益匪淺。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我帶來瞭非常深刻的學習體驗。在代數體函數方麵，作者深入淺齣地介紹瞭這類函數的構造原理、基本性質以及在不同數學分支中的應用，特彆是它如何與抽象代數的概念相結閤，構建齣強大的數學工具。我特彆欣賞書中對一些經典代數體函數的詳細分析，這些分析幫助我更好地理解抽象的理論。而在常微分方程的部分，這本書的講解更是讓我印象深刻。它不僅涵蓋瞭從一階到高階常微分方程的各種解法，還對一些更高級的主題，如邊值問題、微分方程組的解法以及穩定性理論做瞭細緻的闡述。讓我感到欣慰的是，書中很多證明過程都寫得非常詳細，而且邏輯清晰，讓我能夠理解每一個步驟的由來。此外，書中的練習題也非常有代錶性，能夠幫助我鞏固所學知識，並檢驗自己對理論的掌握程度。總的來說，這是一本能夠幫助讀者構建紮實數學基礎的優秀著作，值得反復研讀。

評分☆☆☆☆☆

這本書真的讓我大開眼界！我之前對代數體函數和常微分方程的理解還停留在比較初級的階段，這本書的講解方式非常係統且深入，一點一點地將我帶入更復雜的概念。它不僅僅是知識的羅列，更注重邏輯的嚴謹性和思想的啓發。書中對抽象代數中群、環、域等基本概念的引入，與代數體函數的構建過程緊密結閤，讓我對函數空間的代數結構有瞭全新的認識。而常微分方程部分，從最基礎的解的存在唯一性定理，到各種求解技巧，再到更高級的邊值問題和穩定性分析，都做瞭細緻的梳理。最令我印象深刻的是，作者常常會舉齣一些非常巧妙的例子，這些例子既能幫助我理解抽象的理論，又能展現齣數學在解決實際問題中的強大力量。這本書的語言風格我非常喜歡，雖然是嚴謹的數學著作，但讀起來並不枯燥，充滿瞭數學的魅力。它不僅僅是一本教科書，更像是一本引領我探索數學深邃世界的嚮導。看完這本書，感覺自己對數學的整體理解都提升瞭一個檔次，對未來進一步的學習充滿瞭信心。

評分☆☆☆☆☆

剛翻開這本書，就被它那種嚴謹又不失靈動的風格吸引瞭。作為一名對數學有著濃厚興趣但又常常被抽象理論睏擾的愛好者，我總是在尋找能夠將復雜概念清晰呈現的書籍。這本書在這方麵做得非常齣色。它在介紹代數體函數時，沒有直接給齣繁瑣的定義，而是從一些直觀的例子入手，逐步引導讀者理解其構造的必要性和優越性。我特彆喜歡書中關於函數空間的代數性質的討論，它將代數和分析的工具巧妙地融閤在一起，展現齣數學學科之間深層次的聯係。而對於常微分方程，這本書的講解更是深入淺齣。我曾被很多教材中生硬的公式推導搞得頭暈，但這本書的講解邏輯非常清晰，從基本概念到各種解法的推導過程都非常易於理解，甚至還加入瞭一些曆史淵源的介紹，讓我在學習知識的同時，也對數學的發展有瞭更深的體會。每當遇到一個難題，作者總能提供一些非常規但又極為有效的解決方法，這種“點石成金”般的講解方式，讓我覺得學習數學變成瞭一種充滿樂趣的探索。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直是為想要深入理解數學的讀者量身定做的！我一直在尋找一本能夠係統地梳理代數體函數和常微分方程之間關係的著作，這本書恰好滿足瞭我的需求。作者在處理代數體函數時，不僅詳細闡述瞭其代數結構，還巧妙地將其與泛函分析中的概念聯係起來，讓我看到瞭一個更廣闊的數學圖景。書中對不同類型代數體函數的分類和性質分析，都做得非常到位，能夠幫助讀者建立起一個清晰的知識框架。在常微分方程的部分，我尤其欣賞作者對各種解法背後思想的闡釋。它不僅僅是給齣公式，而是解釋為什麼這個公式有效，它能解決什麼樣的問題，以及在什麼條件下不再適用。這種注重“理解”而非“記憶”的教學方法，對於我這樣希望打下堅實基礎的讀者來說，是無比寶貴的。書中的一些章節，例如關於解的存在性與唯一性的證明，雖然理論性很強，但作者的講解方式非常具有引導性，讓我能夠一步一步地跟著思路走，最終理解其中的精髓。