具体描述
内容简介
《点集拓扑讲义（第4版）》讲述点集拓扑的基本知识，其基本内容涵盖：拓扑空间和连续映射的定义及其基本性质；构造新的拓扑空间的方法；各种拓扑不变性质，如连通性、分离性、紧致性、度量空间的完备性等.以及这些拓扑不变性质之间的相互关联；这些拓扑不变性质的可积、可遗传等性质；映射空间及其各种基本的拓扑；最后一章介绍基本群以及它的一些应用，如Jordan分割定理等。本次重版.对全书内容作了适当的增删和整理。《点集拓扑讲义（第4版）》可作为数学类专业拓扑学课程的教材或教学参考书。
内页插图
目录
前言/序言
这本书从出版至今，已经经历三十个春秋了。与三十年前相比，国内点集拓扑课程的教学状况已经有了很大的不同。主要是许多院校不仅早已有了开设这门课程的条件，而且有了丰富的教学经验。在这种情形下，在前几版中为了回避教学中某些难点过早出现而做的特别安排似乎再无必要。因此，我们对内容的编排进行了梳理。具体地说，我们不再将依赖于选择公理的部分分割出来放在后面，而是按照学科本身的需要予以适当处理。在本书的第三版中，我们介绍了一些集合论方面的知识，其中部分与点集拓扑课程的主题关系不大，我们在第四版中删除了。
在这一版中，我们对基本群一章作了某些充实，主要是补充了某些有意思的应用，例如给出了代数基本定理的证明等。
采用本书作为教材的老师们完全可以按照课时和生源的具体情形对本书内容作出自己的取舍。一个最为精简的教学安排是采用前七章（学时过分紧张的情形下，可以删除这七章中一切涉及不可数无限的内容，它们是§1.8，§3.3，§6.5，§7.7和§7.8以及定理4.3.2，定理5.1.8等），如果学时稍微充分一点，则建议加入第十章。然后再依次考虑加入第八章和第九章。
中国科学技术大学邵松教授、广州大学汪火云教授、华南师范大学吕杰教授、谭枫副教授无私地为我们提供了他们讲授点集拓扑课程的宝贵教学经验，认真而细致地指出了旧版中的缺失。吕杰教授、汪火云教授、谭枫副教授和肇庆学院的符和满博士对这个版本的校样作了认真细致的校阅。以上诸位的贡献，使得本书质量得以改善，编者于此表示诚挚的感谢。
用户评价
《点集拓扑讲义（第4版）》在处理“分离公理”时，将抽象的数学定义与实际的应用巧妙地结合起来。分离公理在拓扑学中扮演着“规范化”的作用，它们为我们区分不同类型的拓扑空间提供了重要的依据，同时也为保证某些重要定理成立提供了必要的条件。我尤其欣赏书中对T0、T1、T2（豪斯多夫）等分离公理的逐级引入。 教材并没有直接给出冷冰冰的定义，而是先通过一些反例，比如存在不满足某个公理的简单拓扑空间，来引导读者思考为什么需要这些公理。比如，为什么我们需要豪斯多夫空间？因为在非豪斯多夫空间中，两个不同的点可能无法被“分开”，这会给研究极限和连续性带来很多不便。书中对不同分离公理的等价性证明，也非常严谨，每一步推理都清晰可见，让我能够理解这些公理之间的微妙联系。而且，教材还强调了这些分离公理在一些重要定理中的作用，比如在度量空间中，所有的度量空间都是豪斯多夫空间，而一些重要性质（如紧致集的性质）往往需要在豪斯多夫空间下才能得到保证。这些关于分离公理的讲解，让我对如何“辨别”和“分类”拓扑空间有了更清晰的认识。
评分《点集拓扑讲义（第4版）》在对“度量空间”的阐述上，给予了我耳目一新的感觉。在接触这本书之前，我总以为拓扑学就是一个高度抽象的领域，与我们熟悉的度量概念相去甚远。然而，教材从度量空间出发，将我们熟悉的距离概念推广到了更一般的集合上，并通过对度量性质的严格定义，让我看到了度量空间是如何作为拓扑空间的一个重要子类存在的。 书中对度量空间的基本性质，比如三角不等式、非负性、同一性等，都进行了非常详尽的解释，并且通过各种例子，比如欧几里得度量、曼哈顿度量、离散度量等，来展示不同度量在同一个集合上所能产生的不同拓扑结构。我特别喜欢书中关于“度量诱导的拓扑”这一部分的讲解，它清晰地展示了如何从一个度量出发，定义出开集、闭集、邻域等拓扑概念，并且证明了这些概念确实满足拓扑空间的公理。这让我能够理解，为什么度量空间可以被看作是拓扑空间的一个“具体”的例子，并且它保留了许多度量带来的直观性质，比如度量化的概念，以及度量在分析学中的重要应用。
评分《点集拓扑讲义（第4版）》在关于“积空间”的讲解上，给我留下了深刻的印象。积空间的概念在处理多维空间以及更一般的乘积结构时至关重要，但其定义和性质往往让初学者感到一丝困惑。教材在这方面做得非常出色，它没有直接抛出抽象的定义，而是从我们熟悉的二维平面（R^2）和三维空间（R^3）出发，让我们理解两个空间“组合”成一个新空间是如何实现的。作者通过直观的几何图像，比如两个线段的笛卡尔积形成一个矩形，两个矩形的笛卡尔积形成一个长方体，来建立读者对积空间的直观认识。 接着，教材逐步引入了“积拓扑”的概念，并详细阐述了其生成方式。我尤其欣赏书中对积拓扑的“基本开集”的讨论，它清晰地展示了积空间中的开集是如何由各个空间中的开集“组合”而成的，这为理解积空间的性质奠定了坚实的基础。之后，书中还深入探讨了积空间的拓扑性质，例如投影映射的连续性，以及在某些条件下，积空间的乘积性质可以继承自因子空间的性质。例如，两个度量空间的积空间仍然是度量空间，并且可以通过直观的距离定义来衡量。这些细致的讲解，让我能够真正理解积空间是如何构建的，以及它在处理更复杂的拓扑结构时所展现出的强大能力。
评分《点集拓扑讲义（第4版）》在对“紧致空间”的性质进行深入挖掘时，展现了其数学分析功底的深厚。我一直觉得，理解一个数学概念，不仅要了解它的定义，更要了解它的“强大之处”和“应用价值”。教材在这方面做得相当到位。它在前面建立了“紧致性”的定义之后，并没有就此停住，而是继续探讨紧致空间所独有的、在其他空间中不一定成立的性质。 我尤其被书中关于“紧致空间上的连续函数”的讨论所吸引。教材清晰地证明了，在紧致空间上定义的连续函数，其值域也是紧致的。这个结论虽然看似简单，但在分析学中具有极其重要的意义。它意味着，如果我们有一个连续函数定义在紧致集上，那么这个函数一定能够达到其最大值和最小值，并且其值域是有界的。这为解决很多优化问题提供了理论基础。此外，书中还探讨了紧致空间与其他拓扑性质（如“可数紧致性”、“仿紧致性”）之间的关系，以及在特定条件下，紧致集具有“有限交集性质”的优越性。这些深入的探讨，让我对紧致性在拓扑学和分析学中的核心地位有了更深刻的认识。
评分初次翻开《点集拓扑讲义（第4版）》，我最深的感受是它带来的那种“启蒙”般的震撼。一直以来，拓扑学在我心中都是一个高高在上、难以触及的数学领域，充斥着各种抽象的概念和令人望而生畏的符号。然而，这本教材以一种令人惊喜的清晰度和严谨性，一步步地引导我走进了这个迷人的世界。它不像一些教材那样上来就堆砌定义和定理，而是循序渐进，从一些直观的例子入手，比如我们熟悉的欧几里得空间中的开集、闭集，然后逐步推广到更一般的度量空间，再到抽象的拓扑空间。这种由具体到抽象的叙述方式，极大地降低了学习的门槛，让我能够更好地理解那些看似抽象的概念是如何产生的，以及它们在我们熟悉的空间中扮演的角色。 其中，关于“开集”和“邻域”的阐述，我印象尤为深刻。作者并没有直接给出抽象的定义，而是先通过实数集上的开区间、多维空间中的开球等例子，让读者对“开”的直观感受有一个初步的认识。接着，再引出“邻域”的概念，将其与开集紧密联系起来，清晰地揭示了开集作为“邻域的集合”的本质。这种处理方式，让我在面对更一般的拓扑空间时，能够借助于之前的直观理解，从而更轻松地把握“开集”的内涵。而且，书中对这些基本概念的证明，也都非常详尽，每一步逻辑都清晰可见，没有丝毫含糊之处，这对于我这样希望深入理解数学原理的学习者来说，无疑是巨大的帮助。我反复研读这些基础部分的论述，感觉自己对拓扑学的基本语言有了更扎实的掌握，为后续学习更复杂的概念打下了坚实的基础。
评分《点集拓扑讲义（第4版）》在介绍“商空间”这一概念时，充分展现了其逻辑的严谨和表述的清晰。商空间是拓扑学中一个非常重要的构造，它允许我们通过“粘合”或“收缩”等方式来构造新的拓扑空间，这在很多几何和代数问题中都有广泛的应用。教材在这部分内容的处理上，并没有一开始就给出一个复杂的定义，而是先从一些直观的例子入手，比如将一个圆周的两个端点粘合起来形成一个圆环，或者将一个正方形的对边粘合起来形成一个圆环或一个环面。 通过这些具体的例子，读者能够初步理解商空间的“本质”，即是通过一个等价关系来划分原空间，并赋予商集以新的拓扑结构。随后，教材才逐步引入“等价关系”、“划分”以及“商映射”的定义，并在此基础上定义了商拓扑。我特别欣赏书中对商映射的性质的详细分析，特别是其“开映射”的性质，以及如何从商映射的性质来推导商空间的拓扑性质。教材还通过一些具体的构造，比如将一个空间通过某个群作用进行“作用”后的商空间，来展示商空间的实际应用，让我能够更好地理解商空间在几何分类和代数结构研究中的重要性。
评分我不得不赞叹《点集拓扑讲义（第4版）》在处理“连通性”和“紧致性”这两个核心概念时的独到之处。这两个概念在许多数学分支中都扮演着至关重要的角色，但它们的抽象性也常常让初学者感到困惑。在这本教材中，作者首先通过直观的几何图形，比如一条线段是否可以被切断，一个圆盘是否可以被分割成互不相交的若干部分，来引导读者理解“连通”的直观含义。然后，才逐步引入“路径连通”和“（处处）连通”等更严谨的定义。尤其是在讨论路径连通时，书中给出了大量的例子，从最简单的直线段到一些非度量空间的例子，让我们看到路径连通性的普适性。 对于“紧致性”，教材的阐释更是细致入微。在介绍 Heine-Borel 定理之前，书中花了大量的篇幅来讲解“开覆盖”和“有限子覆盖”的概念，并反复强调了它们之间的等价性。作者通过各种例子，包括在实数集上、度量空间中，甚至是一些更一般的拓扑空间中，展示了紧致集的各种性质，以及它在分析学中的重要应用，比如函数的连续性在紧致集上可以得到更强的结论。我尤其喜欢书中对紧致性与可数紧致性、林德勒夫空间的讨论，这些内容虽然更进阶，但作者的叙述并没有因此变得晦涩，而是依然保持了逻辑的严谨和清晰，让我能够一步步地跟随其推导，最终理解这些概念之间的微妙联系。
评分《点集拓扑讲义（第4版）》在关于“流形”这一概念的引入上，给我打开了新的视角。虽然流形本身可能更偏向于微分几何，但教材在点集拓扑的基础上，为理解流形提供了必要的铺垫。我之所以这样说，是因为理解流形，首先需要理解“局部欧几里得性”和“可思议性”等拓扑性质。教材在这方面做得十分出色，它没有直接跳到流形的定义，而是先从“局部同胚于欧几里得空间”这一核心思想出发。 书中通过一些直观的例子，比如球面、圆环面等，来帮助读者理解什么是“局部欧几里得性”。它展示了如何在一个复杂的几何对象上，找到一些小的“区域”，这些区域在拓扑上与欧几里得空间中的某个开集是同胚的。然后，教材进一步讨论了“图册”和“相容性”的概念，这些是构成流形的重要元素。我尤其欣赏书中对这些概念的图示和解释，它让抽象的定义变得形象起来。虽然教材并没有深入到微分结构的讨论，但它为我们理解流形的拓扑骨架打下了坚实的基础，让我能够明白，为什么说流形是在拓扑空间的基础上，增加了额外的“平滑性”或“可微性”的结构。
评分《点集拓扑讲义（第4版）》在对“完备性”这一概念的讲解上，做得尤为出色，它不仅清晰地阐述了完备性的定义，更重要的是，它深入剖析了完备性在数学分析中的核心地位以及它所带来的强大保证。我尤其赞赏教材在介绍柯西序列之前，所做的铺垫工作。作者并没有直接跳到定义，而是通过讨论诸如“数列收敛”以及“生成极限”等一些更基础但又至关重要的概念，来引导读者思考“什么情况下我们能够保证一个序列有极限”。 随后，教材引入了“柯西序列”的概念，并清晰地阐述了其与收敛序列的关系。我印象最深刻的是，书中详细论证了在一个度量空间中，柯西序列与收敛序列的等价性。这种等价性，正是“完备性”的精髓所在。教材通过大量实例，比如实数集R的完备性，以及一些非完备的度量空间（如Q，有理数集），来帮助读者更深刻地理解完备性的意义。而且，书中还讨论了完备空间的一些重要性质，比如完备空间中的闭子集仍然是完备的，以及完备空间在不动点定理（如巴拿赫不动点定理）中的应用。这些内容不仅加深了我对完备性的理解，也让我看到了拓扑学与分析学之间紧密的联系。
评分《点集拓扑讲义（第4版）》在“同胚”和“同态”这两个概念的引入上，可以说做到了既严谨又不失灵动。在我看来，同胚不仅仅是一个数学定义，更是拓扑学“保持不变性质”这一核心思想的集中体现。教材没有急于给出抽象的定义，而是先从我们熟悉的几何形状开始，比如一个圆环和一个杯子，通过“拉伸”、“弯曲”但不“撕裂”、“粘合”的直观描述，引导读者建立起同胚的初步感知。然后，再逐步引入“同胚映射”的定义，强调其“连续且存在连续逆映射”的充要条件。 我特别欣赏书中对同胚映射的例子分析，它不仅仅列举了哪些映射是同胚，更重要的是解释了为什么它们是同胚，以及如何通过分析映射的性质来判断其是否为同胚。这让我能够真正理解到，同胚并不是一个简单的“看起来一样”，而是具有严格的数学含义。随后，关于“同态”的讨论，与同胚形成对比，更加凸显了拓扑学在研究“结构保持”方面的精妙之处。教材通过一些实际的例子，比如将一个空间映射到另一个空间，但允许一些“粗糙”的变形，展示了同态在分类和研究拓扑等价类中的作用。这些关于同胚和同态的论述，让我对如何用拓扑学的语言来描述和区分不同空间的“形状”和“性质”有了全新的认识。
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