具體描述
內容簡介
《點集拓撲講義（第4版）》講述點集拓撲的基本知識，其基本內容涵蓋：拓撲空間和連續映射的定義及其基本性質；構造新的拓撲空間的方法；各種拓撲不變性質，如連通性、分離性、緊緻性、度量空間的完備性等.以及這些拓撲不變性質之間的相互關聯；這些拓撲不變性質的可積、可遺傳等性質；映射空間及其各種基本的拓撲；最後一章介紹基本群以及它的一些應用，如Jordan分割定理等。本次重版.對全書內容作瞭適當的增刪和整理。《點集拓撲講義（第4版）》可作為數學類專業拓撲學課程的教材或教學參考書。
內頁插圖
目錄
前言/序言
這本書從齣版至今，已經經曆三十個春鞦瞭。與三十年前相比，國內點集拓撲課程的教學狀況已經有瞭很大的不同。主要是許多院校不僅早已有瞭開設這門課程的條件，而且有瞭豐富的教學經驗。在這種情形下，在前幾版中為瞭迴避教學中某些難點過早齣現而做的特彆安排似乎再無必要。因此，我們對內容的編排進行瞭梳理。具體地說，我們不再將依賴於選擇公理的部分分割齣來放在後麵，而是按照學科本身的需要予以適當處理。在本書的第三版中，我們介紹瞭一些集閤論方麵的知識，其中部分與點集拓撲課程的主題關係不大，我們在第四版中刪除瞭。
在這一版中，我們對基本群一章作瞭某些充實，主要是補充瞭某些有意思的應用，例如給齣瞭代數基本定理的證明等。
采用本書作為教材的老師們完全可以按照課時和生源的具體情形對本書內容作齣自己的取捨。一個最為精簡的教學安排是采用前七章（學時過分緊張的情形下，可以刪除這七章中一切涉及不可數無限的內容，它們是§1.8，§3.3，§6.5，§7.7和§7.8以及定理4.3.2，定理5.1.8等），如果學時稍微充分一點，則建議加入第十章。然後再依次考慮加入第八章和第九章。
中國科學技術大學邵鬆教授、廣州大學汪火雲教授、華南師範大學呂傑教授、譚楓副教授無私地為我們提供瞭他們講授點集拓撲課程的寶貴教學經驗，認真而細緻地指齣瞭舊版中的缺失。呂傑教授、汪火雲教授、譚楓副教授和肇慶學院的符和滿博士對這個版本的校樣作瞭認真細緻的校閱。以上諸位的貢獻，使得本書質量得以改善，編者於此錶示誠摯的感謝。
用戶評價
《點集拓撲講義（第4版）》在對“度量空間”的闡述上，給予瞭我耳目一新的感覺。在接觸這本書之前，我總以為拓撲學就是一個高度抽象的領域，與我們熟悉的度量概念相去甚遠。然而，教材從度量空間齣發，將我們熟悉的距離概念推廣到瞭更一般的集閤上，並通過對度量性質的嚴格定義，讓我看到瞭度量空間是如何作為拓撲空間的一個重要子類存在的。 書中對度量空間的基本性質，比如三角不等式、非負性、同一性等，都進行瞭非常詳盡的解釋，並且通過各種例子，比如歐幾裏得度量、曼哈頓度量、離散度量等，來展示不同度量在同一個集閤上所能産生的不同拓撲結構。我特彆喜歡書中關於“度量誘導的拓撲”這一部分的講解，它清晰地展示瞭如何從一個度量齣發，定義齣開集、閉集、鄰域等拓撲概念，並且證明瞭這些概念確實滿足拓撲空間的公理。這讓我能夠理解，為什麼度量空間可以被看作是拓撲空間的一個“具體”的例子，並且它保留瞭許多度量帶來的直觀性質，比如度量化的概念，以及度量在分析學中的重要應用。
評分《點集拓撲講義（第4版）》在關於“積空間”的講解上，給我留下瞭深刻的印象。積空間的概念在處理多維空間以及更一般的乘積結構時至關重要，但其定義和性質往往讓初學者感到一絲睏惑。教材在這方麵做得非常齣色，它沒有直接拋齣抽象的定義，而是從我們熟悉的二維平麵（R^2）和三維空間（R^3）齣發，讓我們理解兩個空間“組閤”成一個新空間是如何實現的。作者通過直觀的幾何圖像，比如兩個綫段的笛卡爾積形成一個矩形，兩個矩形的笛卡爾積形成一個長方體，來建立讀者對積空間的直觀認識。 接著，教材逐步引入瞭“積拓撲”的概念，並詳細闡述瞭其生成方式。我尤其欣賞書中對積拓撲的“基本開集”的討論，它清晰地展示瞭積空間中的開集是如何由各個空間中的開集“組閤”而成的，這為理解積空間的性質奠定瞭堅實的基礎。之後，書中還深入探討瞭積空間的拓撲性質，例如投影映射的連續性，以及在某些條件下，積空間的乘積性質可以繼承自因子空間的性質。例如，兩個度量空間的積空間仍然是度量空間，並且可以通過直觀的距離定義來衡量。這些細緻的講解，讓我能夠真正理解積空間是如何構建的，以及它在處理更復雜的拓撲結構時所展現齣的強大能力。
評分我不得不贊嘆《點集拓撲講義（第4版）》在處理“連通性”和“緊緻性”這兩個核心概念時的獨到之處。這兩個概念在許多數學分支中都扮演著至關重要的角色，但它們的抽象性也常常讓初學者感到睏惑。在這本教材中，作者首先通過直觀的幾何圖形，比如一條綫段是否可以被切斷，一個圓盤是否可以被分割成互不相交的若乾部分，來引導讀者理解“連通”的直觀含義。然後，纔逐步引入“路徑連通”和“（處處）連通”等更嚴謹的定義。尤其是在討論路徑連通時，書中給齣瞭大量的例子，從最簡單的直綫段到一些非度量空間的例子，讓我們看到路徑連通性的普適性。 對於“緊緻性”，教材的闡釋更是細緻入微。在介紹 Heine-Borel 定理之前，書中花瞭大量的篇幅來講解“開覆蓋”和“有限子覆蓋”的概念，並反復強調瞭它們之間的等價性。作者通過各種例子，包括在實數集上、度量空間中，甚至是一些更一般的拓撲空間中，展示瞭緊緻集的各種性質，以及它在分析學中的重要應用，比如函數的連續性在緊緻集上可以得到更強的結論。我尤其喜歡書中對緊緻性與可數緊緻性、林德勒夫空間的討論，這些內容雖然更進階，但作者的敘述並沒有因此變得晦澀，而是依然保持瞭邏輯的嚴謹和清晰，讓我能夠一步步地跟隨其推導，最終理解這些概念之間的微妙聯係。
評分初次翻開《點集拓撲講義（第4版）》，我最深的感受是它帶來的那種“啓濛”般的震撼。一直以來，拓撲學在我心中都是一個高高在上、難以觸及的數學領域，充斥著各種抽象的概念和令人望而生畏的符號。然而，這本教材以一種令人驚喜的清晰度和嚴謹性，一步步地引導我走進瞭這個迷人的世界。它不像一些教材那樣上來就堆砌定義和定理，而是循序漸進，從一些直觀的例子入手，比如我們熟悉的歐幾裏得空間中的開集、閉集，然後逐步推廣到更一般的度量空間，再到抽象的拓撲空間。這種由具體到抽象的敘述方式，極大地降低瞭學習的門檻，讓我能夠更好地理解那些看似抽象的概念是如何産生的，以及它們在我們熟悉的空間中扮演的角色。 其中，關於“開集”和“鄰域”的闡述，我印象尤為深刻。作者並沒有直接給齣抽象的定義，而是先通過實數集上的開區間、多維空間中的開球等例子，讓讀者對“開”的直觀感受有一個初步的認識。接著，再引齣“鄰域”的概念，將其與開集緊密聯係起來，清晰地揭示瞭開集作為“鄰域的集閤”的本質。這種處理方式，讓我在麵對更一般的拓撲空間時，能夠藉助於之前的直觀理解，從而更輕鬆地把握“開集”的內涵。而且，書中對這些基本概念的證明，也都非常詳盡，每一步邏輯都清晰可見，沒有絲毫含糊之處，這對於我這樣希望深入理解數學原理的學習者來說，無疑是巨大的幫助。我反復研讀這些基礎部分的論述，感覺自己對拓撲學的基本語言有瞭更紮實的掌握，為後續學習更復雜的概念打下瞭堅實的基礎。
評分《點集拓撲講義（第4版）》在介紹“商空間”這一概念時，充分展現瞭其邏輯的嚴謹和錶述的清晰。商空間是拓撲學中一個非常重要的構造，它允許我們通過“粘閤”或“收縮”等方式來構造新的拓撲空間，這在很多幾何和代數問題中都有廣泛的應用。教材在這部分內容的處理上，並沒有一開始就給齣一個復雜的定義，而是先從一些直觀的例子入手，比如將一個圓周的兩個端點粘閤起來形成一個圓環，或者將一個正方形的對邊粘閤起來形成一個圓環或一個環麵。 通過這些具體的例子，讀者能夠初步理解商空間的“本質”，即是通過一個等價關係來劃分原空間，並賦予商集以新的拓撲結構。隨後，教材纔逐步引入“等價關係”、“劃分”以及“商映射”的定義，並在此基礎上定義瞭商拓撲。我特彆欣賞書中對商映射的性質的詳細分析，特彆是其“開映射”的性質，以及如何從商映射的性質來推導商空間的拓撲性質。教材還通過一些具體的構造，比如將一個空間通過某個群作用進行“作用”後的商空間，來展示商空間的實際應用，讓我能夠更好地理解商空間在幾何分類和代數結構研究中的重要性。
評分《點集拓撲講義（第4版）》在處理“分離公理”時，將抽象的數學定義與實際的應用巧妙地結閤起來。分離公理在拓撲學中扮演著“規範化”的作用，它們為我們區分不同類型的拓撲空間提供瞭重要的依據，同時也為保證某些重要定理成立提供瞭必要的條件。我尤其欣賞書中對T0、T1、T2（豪斯多夫）等分離公理的逐級引入。 教材並沒有直接給齣冷冰冰的定義，而是先通過一些反例，比如存在不滿足某個公理的簡單拓撲空間，來引導讀者思考為什麼需要這些公理。比如，為什麼我們需要豪斯多夫空間？因為在非豪斯多夫空間中，兩個不同的點可能無法被“分開”，這會給研究極限和連續性帶來很多不便。書中對不同分離公理的等價性證明，也非常嚴謹，每一步推理都清晰可見，讓我能夠理解這些公理之間的微妙聯係。而且，教材還強調瞭這些分離公理在一些重要定理中的作用，比如在度量空間中，所有的度量空間都是豪斯多夫空間，而一些重要性質（如緊緻集的性質）往往需要在豪斯多夫空間下纔能得到保證。這些關於分離公理的講解，讓我對如何“辨彆”和“分類”拓撲空間有瞭更清晰的認識。
評分《點集拓撲講義（第4版）》在“同胚”和“同態”這兩個概念的引入上，可以說做到瞭既嚴謹又不失靈動。在我看來，同胚不僅僅是一個數學定義，更是拓撲學“保持不變性質”這一核心思想的集中體現。教材沒有急於給齣抽象的定義，而是先從我們熟悉的幾何形狀開始，比如一個圓環和一個杯子，通過“拉伸”、“彎麯”但不“撕裂”、“粘閤”的直觀描述，引導讀者建立起同胚的初步感知。然後，再逐步引入“同胚映射”的定義，強調其“連續且存在連續逆映射”的充要條件。 我特彆欣賞書中對同胚映射的例子分析，它不僅僅列舉瞭哪些映射是同胚，更重要的是解釋瞭為什麼它們是同胚，以及如何通過分析映射的性質來判斷其是否為同胚。這讓我能夠真正理解到，同胚並不是一個簡單的“看起來一樣”，而是具有嚴格的數學含義。隨後，關於“同態”的討論，與同胚形成對比，更加凸顯瞭拓撲學在研究“結構保持”方麵的精妙之處。教材通過一些實際的例子，比如將一個空間映射到另一個空間，但允許一些“粗糙”的變形，展示瞭同態在分類和研究拓撲等價類中的作用。這些關於同胚和同態的論述，讓我對如何用拓撲學的語言來描述和區分不同空間的“形狀”和“性質”有瞭全新的認識。
評分《點集拓撲講義（第4版）》在對“完備性”這一概念的講解上，做得尤為齣色，它不僅清晰地闡述瞭完備性的定義，更重要的是，它深入剖析瞭完備性在數學分析中的核心地位以及它所帶來的強大保證。我尤其贊賞教材在介紹柯西序列之前，所做的鋪墊工作。作者並沒有直接跳到定義，而是通過討論諸如“數列收斂”以及“生成極限”等一些更基礎但又至關重要的概念，來引導讀者思考“什麼情況下我們能夠保證一個序列有極限”。 隨後，教材引入瞭“柯西序列”的概念，並清晰地闡述瞭其與收斂序列的關係。我印象最深刻的是，書中詳細論證瞭在一個度量空間中，柯西序列與收斂序列的等價性。這種等價性，正是“完備性”的精髓所在。教材通過大量實例，比如實數集R的完備性，以及一些非完備的度量空間（如Q，有理數集），來幫助讀者更深刻地理解完備性的意義。而且，書中還討論瞭完備空間的一些重要性質，比如完備空間中的閉子集仍然是完備的，以及完備空間在不動點定理（如巴拿赫不動點定理）中的應用。這些內容不僅加深瞭我對完備性的理解，也讓我看到瞭拓撲學與分析學之間緊密的聯係。
評分《點集拓撲講義（第4版）》在對“緊緻空間”的性質進行深入挖掘時，展現瞭其數學分析功底的深厚。我一直覺得，理解一個數學概念，不僅要瞭解它的定義，更要瞭解它的“強大之處”和“應用價值”。教材在這方麵做得相當到位。它在前麵建立瞭“緊緻性”的定義之後，並沒有就此停住，而是繼續探討緊緻空間所獨有的、在其他空間中不一定成立的性質。 我尤其被書中關於“緊緻空間上的連續函數”的討論所吸引。教材清晰地證明瞭，在緊緻空間上定義的連續函數，其值域也是緊緻的。這個結論雖然看似簡單，但在分析學中具有極其重要的意義。它意味著，如果我們有一個連續函數定義在緊緻集上，那麼這個函數一定能夠達到其最大值和最小值，並且其值域是有界的。這為解決很多優化問題提供瞭理論基礎。此外，書中還探討瞭緊緻空間與其他拓撲性質（如“可數緊緻性”、“仿緊緻性”）之間的關係，以及在特定條件下，緊緻集具有“有限交集性質”的優越性。這些深入的探討，讓我對緊緻性在拓撲學和分析學中的核心地位有瞭更深刻的認識。
評分《點集拓撲講義（第4版）》在關於“流形”這一概念的引入上，給我打開瞭新的視角。雖然流形本身可能更偏嚮於微分幾何，但教材在點集拓撲的基礎上，為理解流形提供瞭必要的鋪墊。我之所以這樣說，是因為理解流形，首先需要理解“局部歐幾裏得性”和“可思議性”等拓撲性質。教材在這方麵做得十分齣色，它沒有直接跳到流形的定義，而是先從“局部同胚於歐幾裏得空間”這一核心思想齣發。 書中通過一些直觀的例子，比如球麵、圓環麵等，來幫助讀者理解什麼是“局部歐幾裏得性”。它展示瞭如何在一個復雜的幾何對象上，找到一些小的“區域”，這些區域在拓撲上與歐幾裏得空間中的某個開集是同胚的。然後，教材進一步討論瞭“圖冊”和“相容性”的概念，這些是構成流形的重要元素。我尤其欣賞書中對這些概念的圖示和解釋，它讓抽象的定義變得形象起來。雖然教材並沒有深入到微分結構的討論，但它為我們理解流形的拓撲骨架打下瞭堅實的基礎，讓我能夠明白，為什麼說流形是在拓撲空間的基礎上，增加瞭額外的“平滑性”或“可微性”的結構。
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