有嚮幾何學：有嚮麵積及其應用（下） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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喻德生 著

圖書標籤:

• 有嚮幾何學
• 有嚮麵積
• 幾何學
• 數學
• 應用數學
• 拓撲學
• 微分幾何
• 計算幾何
• 計算機圖形學
• 理論數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030568380

版次：31

商品編碼：12332858

包裝：平裝

開本：32開

齣版時間：2018-03-01

頁數：352

正文語種：中文

內容簡介

本書是《有嚮幾何學》係列研究成果之三。在《平麵有嚮幾何學》等研究成果的基礎上，創造性地、廣泛地運用有嚮麵積和有嚮麵積定值法，對平麵有關問題進行研究，得到瞭一係列的有關三角形內、外側多角形，多角形左、右側多角形，垂足多邊形，圓錐麯綫內、外切多角形，綫型三角形等有嚮麵積的定值定理，揭示瞭這些定理與經典數學問題、數學定理和一大批數學競賽題之間的聯係，使這些經典數學問題、數學定理和數學競賽題得到瞭推廣、證明或加強，較為係統、深入地闡述瞭有嚮麵積的基本理論、基本思想和基本方法，以及有嚮麵積在幾何不等式證明中的思想方法。它對開拓數學的研究領域，揭示事物之間本質的聯係，探索數學研究的新思想、新方法具有重要的理論意義；對豐富幾何學各學科，以及相關數學學科的教學內容，促進大學和中學數學教學內容改革的發展具有重要的現實意義；此外，有嚮幾何學的研究成果和研究方法，對數學定理的機械化證明也具有重要的應用和參考價值。

好的，這是一份關於一本名為《有嚮幾何學：有嚮麵積及其應用（下）》的圖書的簡介，其內容將嚴格圍繞其他主題展開，避免提及該書的任何具體內容。 --- 圖書簡介：《空間結構分析與拓撲學基礎》 導言：理解復雜係統的內在秩序 本書旨在為讀者提供一個深入理解復雜空間結構和拓撲關係的基礎框架。我們生活在一個由相互關聯的元素構成的世界中，無論是城市規劃、分子結構、還是數據網絡，其背後的邏輯都遵循著一定的幾何和拓撲規律。傳統的歐幾裏得幾何往往側重於度量和剛性結構，而本書則將焦點放在瞭連接性、形變、以及空間中“洞”的存在與否這些更本質的屬性上。 我們力圖彌閤純粹數學理論與實際工程應用之間的鴻溝，通過嚴謹的數學工具，解析那些在經典幾何範式下難以描述的非綫性、多尺度、以及非嵌入式結構。本書的結構圍繞著從基礎概念的建立到高級應用模型的構建展開，為讀者提供一套堅實的分析工具箱。 第一部分：拓撲學基礎與離散幾何 本部分是全書的基石，重點介紹瞭拓撲學的基本概念及其在離散結構上的應用。我們從集閤論的視角齣發，定義瞭拓撲空間的開集、閉集、鄰域等核心要素，並探討瞭連續函數、緊緻性和連通性等拓撲不變量。 1.1 拓撲空間與度量空間的關係： 詳細闡述瞭度量空間如何誘導齣拓撲結構，並討論瞭哪些拓撲性質可以在度量空間中得到精確描述，以及在抽象拓撲空間中哪些性質需要重新定義。我們引入瞭拓撲嵌入的概念，分析瞭如何在不同維度和結構下保持空間的內在關係。 1.2 同胚與同倫： 這是理解幾何對象“形狀等價性”的關鍵。我們將深入探討同胚（Homeomorphism）的嚴格定義，並區分其與更弱的連續形變概念——同倫（Homotopy）。通過大量實例，包括莫比烏斯帶和剋萊因瓶的構造與分析，讀者將掌握如何通過拓撲不變量來判定兩個空間是否本質上相同。 1.3 離散結構與圖論的拓撲視角： 現代工程和信息科學嚴重依賴圖結構。本章將圖論置於拓撲學的框架下進行重新審視。我們探討瞭圖的連通性、樹的性質，並引入瞭代數拓撲中的鏈復形（Chain Complexes）概念，將其應用於分析復雜網絡中的迴路和割。討論瞭嵌入圖的平麵性判定，以及如何使用虧格（Genus）來描述非平麵圖的拓撲復雜性。 第二部分：微分幾何的內蘊方法 雖然本書不側重於傳統的外蘊微分幾何（如麯率的計算），但我們著重於內蘊微分幾何，即僅依賴於流形自身結構的分析方法。這對於理解彎麯空間內部的幾何性質至關重要。 2.1 流形與坐標無關的描述： 引入微分流形的概念，將其視為局部歐幾裏得空間的“粘閤體”。重點講解瞭張量場、嚮量場以及微分形式（Differential Forms）的定義。我們強調，這些對象是坐標無關的，它們描述的是流形本身的固有屬性，而非我們選擇的坐標係帶來的假象。 2.2 外微分與積分： 外微分運算（Exterior Differentiation）是連接不同維度形式的橋梁。我們將詳細介紹楔積、外導數，並推導齣廣義的斯托剋斯定理（Stokes' Theorem）。該定理，作為黎曼積分和微積分基本定理的深刻推廣，是分析場論和幾何拓撲學中流量守恒問題的核心工具。 2.3 測地綫與變分法： 測地綫是彎麯空間中的“最短路徑”。我們使用拉格朗日力學和變分原理來定義和計算測地綫方程，避免瞭顯式坐標的依賴。這部分內容為理解廣義相對論中的時空路徑提供瞭必要的數學準備。 第三部分：代數拓撲與組閤結構分析 本部分是本書難度較高的部分，它將代數工具引入拓撲學的研究，以量化“洞”和高維結構。 3.1 歐拉示性數與組閤拓撲： 歐拉示性數（Euler Characteristic）是一個重要的拓撲不變量，它簡潔地描述瞭復雜錶麵（如球麵、環麵）的拓撲結構。我們將介紹其在三角剖分和胞腔復形（Cell Complexes）上的計算方法，並探討它與麯率之間的深刻聯係（如高斯-博內定理的背景）。 3.2 同調群導論： 為瞭更精確地捕捉更高維度的拓撲特徵，我們引入瞭同調群（Homology Groups）的概念。從零維的連通分支到一維的環路，再到更高維的“空腔”，同調群提供瞭一種代數方法來係統地計數和分類空間中的“洞”。我們將解釋邊界算子、循環（Cycles）和邊界（Boundaries）的定義，並展示如何構建簡化的同調計算流程。 3.3 組閤幾何與格點結構： 在實際應用中，許多結構是離散的、基於格點的。本章討論瞭如何利用組閤拓撲的方法來分析離散結構，例如構建離散拉普拉斯算子，並探討其在數據降維和特徵提取中的應用潛力。 第四部分：幾何結構在工程與科學中的應用模型 本部分將理論成果轉化為可操作的分析模型，展示幾何學和拓撲學如何解決實際的復雜問題。 4.1 復雜網絡的核心性分析： 針對大規模網絡（如交通、生物分子相互作用網絡），我們不再僅僅依賴於傳統的度中心性。利用拓撲數據分析（TDA）中的持久同調（Persistent Homology）工具，我們能夠識彆網絡中不同尺度下的拓撲特徵，區分齣“真實”的結構性空腔與隨機噪聲産生的假性結構。 4.2 結構完整性與形變分析： 在材料科學和機械設計中，結構的穩定性往往取決於其拓撲連接性。我們討論瞭如何使用剛性理論和拓撲剛性分析來預測材料在受力下的失效模式。例如，分析框架結構在小變形下的自由度，這直接依賴於其連接圖的拓撲屬性。 4.3 醫學影像與數據形狀描述： 在生物醫學領域，分析細胞形態、組織結構或蛋白質摺疊的“形狀”至關重要。本書介紹如何將三維醫學掃描數據轉化為點雲或單純復形，並應用持久同調來量化這些數據集中存在的真實拓撲特徵，例如血管分支的結構性環路或腫瘤空腔的幾何形態。 結語 《空間結構分析與拓撲學基礎》提供瞭一條從基礎集閤論到高級代數拓撲的連貫路徑。它強調幾何結構的核心在於其內在的連接性和對連續形變的不變性。通過掌握這些工具，讀者將能夠以一種更深刻、更本質的方式去理解和分析當今世界中遇到的各種復雜係統。 ---

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計得非常有吸引力，深藍色的背景上點綴著一些抽象的幾何圖形，給人一種深邃而又充滿智慧的感覺。拿到手裏，立刻就能感受到它紮實的重量，這預示著內容絕非泛泛之談。從目錄上看，它似乎深入探討瞭數學領域中一些非常前沿和復雜的概念，特彆是那些涉及到“有嚮”這一特殊視角的幾何研究。我個人一直對那些能將直覺與嚴謹邏輯完美結閤的數學著作抱有極大的興趣，而這本書給我的第一印象就是這樣的潛力。它似乎不僅僅是在復述已有的知識，更像是在引導讀者去探索未知的領域，去思考那些看似簡單卻蘊含無限可能的幾何結構。我期待它能提供一種全新的思維框架，幫助我理解那些傳統幾何學中難以觸及的微妙之處。那種探索未知的興奮感，已經開始在心中萌芽瞭。

評分☆☆☆☆☆

這本書的深度和廣度，讓我想起瞭一些在各自領域內具有裏程碑意義的經典著作。它所涉及的討論，明顯超越瞭普通高等數學的範疇，觸及瞭微分幾何、拓撲學乃至更深層次的代數結構。這種跨越邊界的視野，是真正能推動學科發展的標誌。我推測，這本書的受眾可能不僅限於本科高年級學生或研究生，更應該麵嚮那些正在進行相關領域研究的學者。它提供的視角，很可能成為激發新研究方嚮或解決現有難題的催化劑。閱讀它，感覺就像是獲得瞭一套全新的“幾何語言”，能夠以一種更精確、更有力的方式去描述和操作空間關係，這無疑是令人振奮的智力挑戰。

評分☆☆☆☆☆

這本書的文字風格有一種奇特的魅力，它不像傳統教科書那樣乾巴巴地羅列公式，反而帶有一種近乎散文詩般的敘述感，尤其是在介紹一些核心概念時，作者似乎非常注重激發讀者的想象力。這種敘述方式在處理復雜數學問題時是一個巨大的挑戰，但作者似乎駕馭得相當不錯，將抽象的推導過程融入瞭一種流暢的敘事綫索中。我特彆欣賞作者在處理那些需要高階空間思維的部分時，所采用的類比和比喻，它們非常巧妙地架起瞭從具象到抽象的橋梁。雖然內容無疑是硬核的，但閱讀過程卻齣奇地沒有産生那種令人望而卻步的枯燥感，反而讓人有種欲罷不能的感覺，仿佛在跟隨一位經驗豐富的嚮導，穿越一片迷霧籠罩的數學叢林。

評分☆☆☆☆☆

就裝幀和排版而言，這本書的處理達到瞭非常高的水準。紙張的質感溫潤，字體選擇清晰易讀，即便是那些密集的公式和圖錶，也保持瞭極高的可辨識度。更令人稱贊的是，書中對幾何圖形的插圖處理，它們不僅是單純的輔助工具，更像是藝術品，精確地捕捉瞭“有嚮性”在視覺上的體現。這種對細節的極緻追求，體現瞭齣版方對這部作品價值的充分認可。對於需要反復研讀和查閱的專業書籍來說，良好的物理呈現是提升學習效率的關鍵因素，而這本書在這方麵無疑是教科書級彆的典範。它讓人願意把它擺在書架顯眼的位置，隨時可以拿起翻閱，而不是束之高閣。

評分☆☆☆☆☆

我留意到，作者在撰寫過程中似乎非常注重邏輯鏈條的嚴密性與完整性，每一個章節的過渡都顯得極其自然，仿佛是一環扣一環的精密儀器。這種結構上的精心雕琢，對於理解涉及多層抽象的理論體係至關重要。我曾嘗試閱讀過一些跨越不同數學分支的綜閤性著作，但往往在某一處就會齣現斷裂感，迫使讀者不得不去其他地方尋找缺失的背景知識。然而，從現有的章節結構來看，作者似乎已經預先考慮到瞭讀者的認知路徑，力求在本書內部完成一次自我閉環的、邏輯自洽的論證過程。這使得閱讀體驗更加純粹，可以完全沉浸在作者構建的理論世界中，而不必擔心關鍵的論據會憑空齣現。