有向几何学：有向面积及其应用（下） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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喻德生 著

图书标签:

• 有向几何学
• 有向面积
• 几何学
• 数学
• 应用数学
• 拓扑学
• 微分几何
• 计算几何
• 计算机图形学
• 理论数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030568380

版次：31

商品编码：12332858

包装：平装

开本：32开

出版时间：2018-03-01

页数：352

正文语种：中文

内容简介

本书是《有向几何学》系列研究成果之三。在《平面有向几何学》等研究成果的基础上，创造性地、广泛地运用有向面积和有向面积定值法，对平面有关问题进行研究，得到了一系列的有关三角形内、外侧多角形，多角形左、右侧多角形，垂足多边形，圆锥曲线内、外切多角形，线型三角形等有向面积的定值定理，揭示了这些定理与经典数学问题、数学定理和一大批数学竞赛题之间的联系，使这些经典数学问题、数学定理和数学竞赛题得到了推广、证明或加强，较为系统、深入地阐述了有向面积的基本理论、基本思想和基本方法，以及有向面积在几何不等式证明中的思想方法。它对开拓数学的研究领域，揭示事物之间本质的联系，探索数学研究的新思想、新方法具有重要的理论意义；对丰富几何学各学科，以及相关数学学科的教学内容，促进大学和中学数学教学内容改革的发展具有重要的现实意义；此外，有向几何学的研究成果和研究方法，对数学定理的机械化证明也具有重要的应用和参考价值。

好的，这是一份关于一本名为《有向几何学：有向面积及其应用（下）》的图书的简介，其内容将严格围绕其他主题展开，避免提及该书的任何具体内容。 --- 图书简介：《空间结构分析与拓扑学基础》 导言：理解复杂系统的内在秩序 本书旨在为读者提供一个深入理解复杂空间结构和拓扑关系的基础框架。我们生活在一个由相互关联的元素构成的世界中，无论是城市规划、分子结构、还是数据网络，其背后的逻辑都遵循着一定的几何和拓扑规律。传统的欧几里得几何往往侧重于度量和刚性结构，而本书则将焦点放在了连接性、形变、以及空间中“洞”的存在与否这些更本质的属性上。 我们力图弥合纯粹数学理论与实际工程应用之间的鸿沟，通过严谨的数学工具，解析那些在经典几何范式下难以描述的非线性、多尺度、以及非嵌入式结构。本书的结构围绕着从基础概念的建立到高级应用模型的构建展开，为读者提供一套坚实的分析工具箱。 第一部分：拓扑学基础与离散几何 本部分是全书的基石，重点介绍了拓扑学的基本概念及其在离散结构上的应用。我们从集合论的视角出发，定义了拓扑空间的开集、闭集、邻域等核心要素，并探讨了连续函数、紧致性和连通性等拓扑不变量。 1.1 拓扑空间与度量空间的关系： 详细阐述了度量空间如何诱导出拓扑结构，并讨论了哪些拓扑性质可以在度量空间中得到精确描述，以及在抽象拓扑空间中哪些性质需要重新定义。我们引入了拓扑嵌入的概念，分析了如何在不同维度和结构下保持空间的内在关系。 1.2 同胚与同伦： 这是理解几何对象“形状等价性”的关键。我们将深入探讨同胚（Homeomorphism）的严格定义，并区分其与更弱的连续形变概念——同伦（Homotopy）。通过大量实例，包括莫比乌斯带和克莱因瓶的构造与分析，读者将掌握如何通过拓扑不变量来判定两个空间是否本质上相同。 1.3 离散结构与图论的拓扑视角： 现代工程和信息科学严重依赖图结构。本章将图论置于拓扑学的框架下进行重新审视。我们探讨了图的连通性、树的性质，并引入了代数拓扑中的链复形（Chain Complexes）概念，将其应用于分析复杂网络中的回路和割。讨论了嵌入图的平面性判定，以及如何使用亏格（Genus）来描述非平面图的拓扑复杂性。 第二部分：微分几何的内蕴方法 虽然本书不侧重于传统的外蕴微分几何（如曲率的计算），但我们着重于内蕴微分几何，即仅依赖于流形自身结构的分析方法。这对于理解弯曲空间内部的几何性质至关重要。 2.1 流形与坐标无关的描述： 引入微分流形的概念，将其视为局部欧几里得空间的“粘合体”。重点讲解了张量场、向量场以及微分形式（Differential Forms）的定义。我们强调，这些对象是坐标无关的，它们描述的是流形本身的固有属性，而非我们选择的坐标系带来的假象。 2.2 外微分与积分： 外微分运算（Exterior Differentiation）是连接不同维度形式的桥梁。我们将详细介绍楔积、外导数，并推导出广义的斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。该定理，作为黎曼积分和微积分基本定理的深刻推广，是分析场论和几何拓扑学中流量守恒问题的核心工具。 2.3 测地线与变分法： 测地线是弯曲空间中的“最短路径”。我们使用拉格朗日力学和变分原理来定义和计算测地线方程，避免了显式坐标的依赖。这部分内容为理解广义相对论中的时空路径提供了必要的数学准备。 第三部分：代数拓扑与组合结构分析 本部分是本书难度较高的部分，它将代数工具引入拓扑学的研究，以量化“洞”和高维结构。 3.1 欧拉示性数与组合拓扑： 欧拉示性数（Euler Characteristic）是一个重要的拓扑不变量，它简洁地描述了复杂表面（如球面、环面）的拓扑结构。我们将介绍其在三角剖分和胞腔复形（Cell Complexes）上的计算方法，并探讨它与曲率之间的深刻联系（如高斯-博内定理的背景）。 3.2 同调群导论： 为了更精确地捕捉更高维度的拓扑特征，我们引入了同调群（Homology Groups）的概念。从零维的连通分支到一维的环路，再到更高维的“空腔”，同调群提供了一种代数方法来系统地计数和分类空间中的“洞”。我们将解释边界算子、循环（Cycles）和边界（Boundaries）的定义，并展示如何构建简化的同调计算流程。 3.3 组合几何与格点结构： 在实际应用中，许多结构是离散的、基于格点的。本章讨论了如何利用组合拓扑的方法来分析离散结构，例如构建离散拉普拉斯算子，并探讨其在数据降维和特征提取中的应用潜力。 第四部分：几何结构在工程与科学中的应用模型 本部分将理论成果转化为可操作的分析模型，展示几何学和拓扑学如何解决实际的复杂问题。 4.1 复杂网络的核心性分析： 针对大规模网络（如交通、生物分子相互作用网络），我们不再仅仅依赖于传统的度中心性。利用拓扑数据分析（TDA）中的持久同调（Persistent Homology）工具，我们能够识别网络中不同尺度下的拓扑特征，区分出“真实”的结构性空腔与随机噪声产生的假性结构。 4.2 结构完整性与形变分析： 在材料科学和机械设计中，结构的稳定性往往取决于其拓扑连接性。我们讨论了如何使用刚性理论和拓扑刚性分析来预测材料在受力下的失效模式。例如，分析框架结构在小变形下的自由度，这直接依赖于其连接图的拓扑属性。 4.3 医学影像与数据形状描述： 在生物医学领域，分析细胞形态、组织结构或蛋白质折叠的“形状”至关重要。本书介绍如何将三维医学扫描数据转化为点云或单纯复形，并应用持久同调来量化这些数据集中存在的真实拓扑特征，例如血管分支的结构性环路或肿瘤空腔的几何形态。 结语 《空间结构分析与拓扑学基础》提供了一条从基础集合论到高级代数拓扑的连贯路径。它强调几何结构的核心在于其内在的连接性和对连续形变的不变性。通过掌握这些工具，读者将能够以一种更深刻、更本质的方式去理解和分析当今世界中遇到的各种复杂系统。 ---

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度，让我想起了一些在各自领域内具有里程碑意义的经典著作。它所涉及的讨论，明显超越了普通高等数学的范畴，触及了微分几何、拓扑学乃至更深层次的代数结构。这种跨越边界的视野，是真正能推动学科发展的标志。我推测，这本书的受众可能不仅限于本科高年级学生或研究生，更应该面向那些正在进行相关领域研究的学者。它提供的视角，很可能成为激发新研究方向或解决现有难题的催化剂。阅读它，感觉就像是获得了一套全新的“几何语言”，能够以一种更精确、更有力的方式去描述和操作空间关系，这无疑是令人振奋的智力挑战。

评分☆☆☆☆☆

这本书的文字风格有一种奇特的魅力，它不像传统教科书那样干巴巴地罗列公式，反而带有一种近乎散文诗般的叙述感，尤其是在介绍一些核心概念时，作者似乎非常注重激发读者的想象力。这种叙述方式在处理复杂数学问题时是一个巨大的挑战，但作者似乎驾驭得相当不错，将抽象的推导过程融入了一种流畅的叙事线索中。我特别欣赏作者在处理那些需要高阶空间思维的部分时，所采用的类比和比喻，它们非常巧妙地架起了从具象到抽象的桥梁。虽然内容无疑是硬核的，但阅读过程却出奇地没有产生那种令人望而却步的枯燥感，反而让人有种欲罢不能的感觉，仿佛在跟随一位经验丰富的向导，穿越一片迷雾笼罩的数学丛林。

评分☆☆☆☆☆

就装帧和排版而言，这本书的处理达到了非常高的水准。纸张的质感温润，字体选择清晰易读，即便是那些密集的公式和图表，也保持了极高的可辨识度。更令人称赞的是，书中对几何图形的插图处理，它们不仅是单纯的辅助工具，更像是艺术品，精确地捕捉了“有向性”在视觉上的体现。这种对细节的极致追求，体现了出版方对这部作品价值的充分认可。对于需要反复研读和查阅的专业书籍来说，良好的物理呈现是提升学习效率的关键因素，而这本书在这方面无疑是教科书级别的典范。它让人愿意把它摆在书架显眼的位置，随时可以拿起翻阅，而不是束之高阁。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计得非常有吸引力，深蓝色的背景上点缀着一些抽象的几何图形，给人一种深邃而又充满智慧的感觉。拿到手里，立刻就能感受到它扎实的重量，这预示着内容绝非泛泛之谈。从目录上看，它似乎深入探讨了数学领域中一些非常前沿和复杂的概念，特别是那些涉及到“有向”这一特殊视角的几何研究。我个人一直对那些能将直觉与严谨逻辑完美结合的数学著作抱有极大的兴趣，而这本书给我的第一印象就是这样的潜力。它似乎不仅仅是在复述已有的知识，更像是在引导读者去探索未知的领域，去思考那些看似简单却蕴含无限可能的几何结构。我期待它能提供一种全新的思维框架，帮助我理解那些传统几何学中难以触及的微妙之处。那种探索未知的兴奋感，已经开始在心中萌芽了。

评分☆☆☆☆☆

我留意到，作者在撰写过程中似乎非常注重逻辑链条的严密性与完整性，每一个章节的过渡都显得极其自然，仿佛是一环扣一环的精密仪器。这种结构上的精心雕琢，对于理解涉及多层抽象的理论体系至关重要。我曾尝试阅读过一些跨越不同数学分支的综合性著作，但往往在某一处就会出现断裂感，迫使读者不得不去其他地方寻找缺失的背景知识。然而，从现有的章节结构来看，作者似乎已经预先考虑到了读者的认知路径，力求在本书内部完成一次自我闭环的、逻辑自洽的论证过程。这使得阅读体验更加纯粹，可以完全沉浸在作者构建的理论世界中，而不必担心关键的论据会凭空出现。