數值分析（第5版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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李慶揚 王能超 易大義 著

圖書標籤:

• 數值分析
• 數值方法
• 科學計算
• 算法
• 高等數學
• 工程數學
• 計算數學
• 數學建模
• 第五版
• 理工科

齣版社： 華中科技大學齣版社

ISBN：9787568039468

版次：5

商品編碼：12335903

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2018-04-01

用紙：膠版紙

頁數：320

字數：415000

正文語種：中文

編輯推薦

·強調基本原理、基本理論，夯實基本素質
·注重基本方法和技巧，提高應用能力
·闡述嚴謹，脈絡分明，深入淺齣
·反復錘煉，不斷更新，長銷近30年

內容簡介

本書是為理工科院校各專業普遍開設的“數值分析”課程而編寫的教材.其上篇內容包括插值與逼近、數值積分與數值微分、常微分方程與綫性方程組的數值解法、矩陣的特徵值與特徵嚮量計算等.每章附有習題並在書末給齣部分答案.
本書下篇（高效算法設計）以講座形式介紹快速算法、並行算法與加速算法方麵的幾個典型案例，力圖普及推廣超級計算方麵的基礎知識.全書闡述嚴謹，脈絡分明，深入淺齣，便於教學.
本書可作為理工科院校應用數學、力學、物理、計算機等專業的教材，也可供從事科學計算的科技工作者參考.

作者簡介

李慶揚，北京大學數學係教授，博士生導師，從事於數值分析的研究。
王能超，教授、博士生導師，我國並行算法設計的先驅者之一，中華數學的弘揚者和踐行者之一。北京大學計算數學專業、復旦大學微分方程專業研究生畢業，師從榖超豪教授。畢業後分配到華中理工大學(現華中科技大學)，先後在計算機係和數學係任教。承擔的主要課題有:國傢"863"高技術項目《智能計算機主題:高性能計算中心的快速算法研究》，國防科工委"九五"基金課題《分布式並行計算機上體可視化算法研究》等。多年來發錶學術論文40餘篇，齣版學術專著有《數值算法設備》(華中理工大學齣版社)，《同步並行算法設計》(科學齣版社)等。自1982年以來共培養碩士生43名，博士生3名，其中38人已獲碩士學位。並編寫齣版瞭工程數學、大學本科與研究生三個檔次的數值分析(計算方法)的全國通用教材，其中《數學分析》(閤編)與《數值分析簡明教程》均獲國傢教委優秀教材二等奬。從事的研究方嚮為:並行算法與數學軟件、小波分析與信號處理、演化數學方法等

精彩書評

王能超教授是我國並行算法設計的先驅者之一，他在這方麵有許多獨特的重要貢獻，其中z主要的是他巧妙地運用二分技術於並行算法設計……。
王能超教授在並行算法設計中之所以能取得巨大進展，主要是由於他對算法設計的基本原理有深刻的研究……。正是由於這些獨到的論點，使他在並行算法設計的研究中取得巨大的、實質性的進展，推動瞭這門算法設計學的發展。 ——程民德（1992年）

王能超教授的這本書，是一本富於哲學思想和科學方法論精神的著作。書中對各種各樣的數值算法提齣瞭幾種富於概括性的設計思想和方法原則。這些思想和原則對從事研究和運用計算方法的科技工作者無疑會有深刻的啓迪和指導作用。例如，書中所講述的“縮減技術”、“校正技術”、“鬆弛技術”和快速算法及並行算法設計等，都是極為重要的方法原則，任何人如能精通並靈活運用這些方法原則，不僅能圓滿地解決實際計算問題，而且還可能有所創新，有所發展。
——徐利治（1988年）

目錄

上篇 數值算法分析
第1章 緒論(1)
1.1 數值分析研究的對象與特點(1)
1.2 誤差來源與誤差分析的重要性(2)
1.3 誤差的基本概念(4)
1.3.1 誤差與誤差限(4)
1.3.2 相對誤差與相對誤差限(5)
1.3.3 有效數字(6)
1.3.4 數值運算的誤差估計(7)
1.4 數值運算中誤差分析的方法與原則(9)
1.4.1 要避免除數絕對值遠遠小於被除數絕對值的除法(9)
1.4.2 要避免兩相近數相減(10)
1.4.3 要防止大數“吃掉”小數(11)
1.4.4 注意簡化計算步驟，減少運算次數(11)
小結(12)
習題(12)
第2章 插值法(14)
2.1 引言(14)
2.2 Lagrange插值(15)
2.2.1 插值多項式的存在唯一性(15)
2.2.2 綫性插值與拋物插值(16)
2.2.3 Lagrange插值多項式(18)
2.2.4 插值餘項(19)
2.3 逐次綫性插值法(21)
2.4 差商與Newton插值公式(23)
2.4.1 差商及其性質(23)
2.4.2 Newton插值公式(24)
2.5 差分與等距節點插值公式(26)
2.5.1 差分及其性質(26)
2.5.2 等距節點插值公式(28)
2.6Hermite插值(29)
2.7 分段低次插值(32)
2.7.1 多項式插值的問題(32)
2.7.2 分段綫性插值(33)
2.7.3 分段三次Hermite插值(34)
2.8 三次樣條插值(36)
2.8.1 三次樣條函數(36)
2.8.2 三轉角方程(37)
2.8.3 三彎矩方程(39)
2.8.4 計算步驟與例題(40)
2.8.5 三次樣條插值的收斂性(41)
小結(42)
習題(43)
第3章 函數逼近與計算(45)
3.1 引言與預備知識(45)
3.1.1 問題的提齣(45)
3.1.2 Weierstrass定理(46)
3.1.3 連續函數空間C［a,b］(47)
3.2 最佳一緻逼近多項式(47)
3.2.1 最佳一緻逼近多項式的存在性(47)
3.2.2 Chebyshev定理(48)
3.2.3 最佳一次逼近多項式(50)
3.3 最佳平方逼近(52)
3.3.1 內積空間(52)
3.3.2 函數的最佳平方逼近(54)
3.4 正交多項式(57)
3.4.1 正交化手續(57)
3.4.2 Legendre多項式(57)
3.4.3 Chebyshev多項式(60)
3.4.4 其他常用的正交多項式(62)
3.5 函數按正交多項式展開(63)
3.6 麯綫擬閤的最小二乘法(65)
3.6.1 一般的最小二乘逼近(65)
3.6.2 用正交函數作最小二乘擬閤(69)
3.6.3 多元最小二乘擬閤(71)
3.7 Fourier逼近與快速Fourier變換(71)
3.7.1 最佳平方三角逼近與三角插值(71)
3.7.2 快速Fourier變換(74)
小結(77)
習題(77)
第4章 數值積分與數值微分(80)
4.1 引言(80)
4.1.1 數值求積的基本思想(80)
4.1.2 代數精度的概念(81)
4.1.3 插值型的求積公式(82)
4.2 Newton-Cotes公式(82)
4.2.1 Cotes係數(82)
4.2.2 偶階求積公式的代數精度(84)
4.2.3 幾種低階求積公式的餘項(85)
4.2.4 復化求積法及其收斂性(86)
4.3 Romberg算法(88)
4.3.1 梯形法的遞推化(88)
4.3.2 Romberg公式(89)
4.3.3 Richardson外推加速法(91)
4.3.4 梯形法的餘項展開式(92)
4.4 Gauss公式(93)
4.4.1 Gauss點(94)
4.4.2 Gauss�睱egendre公式(95)
4.4.3 Gauss公式的餘項(96)
4.4.4 Gauss公式的穩定性(96)
4.4.5 帶權的Gauss公式(97)
4.5 數值微分(99)
4.5.1 中點方法(99)
4.5.2 插值型的求導公式(100)
4.5.3 實用的五點公式(102)
4.5.4 樣條求導(103)
小結(104)
習題(104)
第5章 常微分方程數值解法(106)
5.1 引言(106)
5.2 Euler方法(106)
5.2.1 Euler格式(106)
5.2.2 後退的Euler格式(108)
5.2.3 梯形格式(109)
5.2.4 改進的Euler格式(110)
5.2.5 Euler兩步格式(111)
5.3 Runge�睰utta方法(113)
5.3.1 Taylor級數法(113)
5.3.2 Runge�睰utta方法的基本思想(114)
5.3.3 二階Runge�睰utta方法(115)
5.3.4 三階Runge�睰utta方法(116)
5.3.5 四階Runge�睰utta方法(118)
5.3.6 變步長的Runge�睰utta方法(119)
5.4 單步法的收斂性和穩定性(120)
5.4.1 單步法的收斂性(120)
5.4.2 單步法的穩定性(122)
5.5 綫性多步法(124)
5.5.1 基於數值積分的構造方法(124)
5.5.2 Adams顯式格式(125)
5.5.3 Adams隱式格式(126)
5.5.4 Adams預測�殘Ｕ�係統(127)
5.5.5 基於Taylor展開的構造方法(128)
5.5.6 Milne格式(130)
5.5.7 Hamming格式(131)
5.6 方程組與高階方程的情形(132)
5.6.1 一階方程組(132)
5.6.2 化高階方程組為一階方程組(133)
5.7 邊值問題的數值解法(134)
5.7.1 試射法(135)
5.7.2 差分方程的建立(135)
5.7.3 差分問題的可解性(137)
5.7.4 差分方法的收斂性(138)
小結(140)
習題(140)
第6章 方程求根(142)
6.1 根的搜索(142)
6.1.1 逐步搜索法(142)
6.1.2 二分法(142)
6.2 迭代法(144)
6.2.1 迭代過程的收斂性(144)
6.2.2 迭代公式的加工(147)
6.3 Newton法(149)
6.3.1 Newton公式(149)
6.3.2 Newton法的幾何解釋(150)
6.3.3 Newton法的局部收斂性(151)
6.3.4 Newton法應用舉例(152)
6.3.5 Newton下山法(153)
6.4 弦截法與拋物綫法(154)
6.4.1 弦截法(155)
6.4.2 拋物綫法(156)
6.5 代數方程求根(158)
6.5.1 多項式求值的秦九韶算法(158)
6.5.2 代數方程的Newton法(159)
6.5.3 劈因子法(160)
小結(162)
習題(162)
第7章 解綫性方程組的直接方法(164)
7.1 引言(164)
7.2 Gauss消去法(164)
7.2.1 消元手續(165)
7.2.2 矩陣的三角分解(168)
7.2.3 計算量(170)
7.3 Gauss主元素消去法(171)
7.3.1 完全主元素消去法(172)
7.3.2 列主元素消去法(173)
7.3.3 Gauss�睯ordan消去法(175)
7.4 Gauss消去法的變形(178)
7.4.1 直接三角分解法(178)
7.4.2 平方根法(181)
7.4.3 追趕法(184)
7.5 嚮量和矩陣的範數(186)
7.6 誤差分析(192)
7.6.1 矩陣的條件數(192)
7.6.2 捨入誤差(197)
小結(198)
習題(198)
第8章 解綫性方程組的迭代法(202)
8.1 引言(202)
8.2 Jacobi迭代法與Gauss�睸eidel迭代法(204)
8.2.1 Jacobi迭代法(204)
8.2.2 Gauss�睸eidel迭代法(205)
8.3 迭代法的收斂性(206)
8.4 解綫性方程組的超鬆弛迭代法(213)
小結(217)
習題(217)
第9章 矩陣的特徵值與特徵嚮量計算(220)
9.1 引言(220)
9.2 冪法及反冪法(222)
9.2.1 冪法(222)
9.2.2 加速方法(225)
9.2.3 反冪法(227)
9.3 Householder方法(230)
9.3.1 引言(230)
9.3.2 用正交相似變換約化矩陣(232)
9.4 QR算法(237)
9.4.1 引言(237)
9.4.2 QR算法(239)
9.4.3 帶原點位移的QR方法(242)
小結(246)
習題(246)
下篇 高效算法設計
第10章 快速算法設計：快速Walsh變換(248)
10.1 美的Walsh函數(248)
10.1.1 微積分的逼近法(248)
10.1.2 Walsh函數的復雜性(249)
10.1.3 Walsh分析的數學美(250)
10.2 Walsh函數代數化(251)
10.2.1 時基上的二分集(251)
10.2.2 Walsh函數的矩陣錶示(252)
10.3 Walsh陣的二分演化(252)
10.3.1 矩陣的對稱性復製(253)
10.3.2 Walsh陣的演化生成(253)
10.3.3 Walsh陣的演化機製(254)
10.3.4 Hadamard陣的演化生成(255)
10.4 快速變換FWT(257)
10.4.1 FWT的設計思想(257)
10.4.2 FWT的演化機製(258)
10.4.3 FWT的計算流程(259)
10.4.4 FWT的算法實現(261)
小結(262)
第11章 並行算法設計：遞推計算並行化(263)
11.1 什麼是並行計算(263)
11.1.1 一則寓言故事(263)
11.1.2 同步並行算法的設計策略(264)
11.2 疊加計算(265)
11.2.1 倍增技術(265)
11.2.2 二分手續(267)
11.2.3 數列求和的二分法(268)
11.2.4 多項式求值的二分法(269)
11.2.5 二分算法的效能分析(270)
11.2.6 二分算法的基本特徵(271)
11.3 一階綫性遞推(272)
11.3.1 相關鏈的二分手續(272)
11.3.2 算式的建立(273)
11.3.3 二分算法的效能分析(275)
11.4 三對角方程組(275)
11.4.1 相關鏈的二分手續(276)
11.4.2 算式的建立(277)
小結(279)
第12章 加速算法設計：重差加速技術(281)
12.1 韆古疑案(281)
12.1.1 阿基米德的“窮竭法”(281)
12.1.2 祖衝之“綴術”之謎(281)
12.2 神來之筆(282)
12.2.1 數學史上一篇韆古奇文(282)
12.2.2 “一飛衝天”的“劉徽神算”(283)
12.3 奇光異彩(284)
12.3.1 劉徽的新視野(285)
12.3.2 偏差比中傳齣好“消息”(286)
12.3.3 隻要做一次“俯衝”(286)
12.3.4 差之毫厘，失之韆裏(287)
12.3.5 “綴術”再剖析(288)
12.3.6 平庸的新紀錄(289)
12.4 萬能引擎(291)
12.4.1 逼近加速的重差公設(292)
12.4.2 重差加速法則(292)
12.4.3重差加速的邏輯推理(293)
第13章 總覽(294)
13.1 算法重在設計(294)
13.1.1 算法設計關係到科學計算的成敗(294)
13.1.2 算法設計追求簡單與統一(295)
13.2 直接法的縮減技術(295)
13.2.1 數列求和的纍加算法(295)
13.2.2 縮減技術的設計機理(296)
13.2.3 多項式求值的秦九韶算法(297)
13.3 迭代法的校正技術(298)
13.3.1 開方算法(298)
13.3.2 校正技術的設計機理(299)
13.4 迭代優化的超鬆弛技術(300)
13.4.1 超鬆弛技術的設計機理(300)
13.4.2 劉徽的“割圓術”(300)
13.5 遞推加速的二分技術(301)
13.5.1 “結繩記數”的快速算法(301)
13.5.2 二分技術的設計機理(302)
小結(303)
部分習題答案(305)
參考文獻(308)

前言/序言

本書於1981年由華中科技大學齣版社齣版，至今已有37年.本書1988年獲國傢教委優秀教材二等奬，在國內為許多高校所選用.
今天，數值計算已進入超級計算的新時代，科技革命迅猛發展的新形勢迫切要求普及推廣高性能計算方麵的新知識，鑒於這一認識本書推齣第5版.
作為高效算法設計的關鍵技術，二分演化技術具有深邃的文化內涵，其設計思想新奇而玄妙，這方麵內容可能尚未為人們所熟悉，筆者深信它處於算法設計學的前沿，因此選取快速算法設計、並行算法設計和加速算法設計方麵的幾個典型案例，匯集成講座資料作為本書第10～13章，奉獻給立誌於從事高性能計算的讀者參考.
本書中的第10～13章（講座資料）由王能超撰寫，錯誤與不當之處請讀者不吝指正.本書的再版，得到華中科技大學齣版社的鼎力支持，在此錶示衷心的感謝！

《數值分析（第5版）》圖書簡介 本書是一本內容全麵、講解深入的數值分析教材，旨在為讀者提供紮實的理論基礎和豐富的實踐應用，幫助他們在科學計算、工程技術、數據分析等領域構建強大的定量分析能力。本書共分為十章，循序漸進地引導讀者掌握核心數值算法的設計、分析與應用。 第一章 引言 本章是整本書的基石，為讀者構建起對數值分析的初步認識。首先，我們深入探討瞭數值分析在現代科學和工程中的重要性，闡述瞭為何需要數值方法來解決現實世界中的數學問題。許多實際問題，例如復雜的物理模擬、經濟預測、圖像處理等，其數學模型往往難以獲得精確解，或者計算過程極其復雜，此時就需要藉助數值方法來尋求近似解。我們將通過一係列引人入勝的案例，展示數值分析在航空航天、生物醫學、金融工程、機器學習等前沿領域的廣泛應用，激發讀者的學習興趣。 接著，本章將重點介紹數值計算中至關重要的概念——誤差。我們將詳細講解誤差的來源，包括模型誤差（由於數學模型本身無法精確描述現實世界而産生的誤差）、截斷誤差（由於用近似算法代替精確算法而産生的誤差）和捨入誤差（由於計算機字長有限而産生的計算誤差）。理解誤差的産生機製和傳播規律是進行可靠數值計算的前提。我們將學習如何量化誤差，例如絕對誤差和相對誤差，並初步瞭解誤差的界限分析。此外，本章還會引入數值穩定性這一關鍵概念。一個數值算法是否穩定，直接關係到其在實際計算中能否給齣可信的結果。我們將初步探討穩定性對計算精度的影響，為後續章節的學習打下基礎。 最後，本章還將簡要迴顧和梳理讀者可能需要的基礎數學知識，例如函數、極限、導數、積分、綫性代數的基本概念以及基本的復數知識等，確保讀者具備學習後續章節所需的前置知識。 第二章 方程的根 本章緻力於解決一類 fundamental 的數學問題：求解方程 $f(x) = 0$ 的根。我們將從最簡單的迭代方法開始，逐步深入到更強大、更通用的算法。 首先，本章將詳細介紹二分法。這種方法基於介值定理，通過不斷縮小包含根的區間來逼近根。我們將分析其收斂速度，並演示其在簡單方程求解中的應用。雖然二分法收斂速度較慢，但其簡單易懂和保證收斂的特性使其成為理解迭代法的良好起點。 隨後，我們將轉嚮更高效的不動點迭代法。我們將把方程 $f(x) = 0$ 轉化為等價的不動點形式 $x = g(x)$，然後通過迭代 $x_{n+1} = g(x_n)$ 來逼近根。本章將深入分析不動點迭代法的收斂條件，即 $g'(x)$ 在根附近是否小於1，並討論如何構造閤適的 $g(x)$ 來提高收斂性。 接著，我們將迎來解決方程根問題的“明星算法”——牛頓-拉夫遜法（Newton-Raphson method）。該方法利用函數在某一點的切綫來逼近根，具有二次收斂的優良性質。我們將詳細推導牛頓法的迭代公式，並分析其收斂性。同時，本章也會討論牛頓法在實際應用中可能遇到的問題，例如切綫斜率為零或根附近函數變化劇烈的情況，以及相應的改進方法，如阻尼牛頓法。 為瞭剋服牛頓法需要計算導數的缺點，我們將介紹割綫法。割綫法用通過兩點的割綫斜率來近似代替導數，是一種非常實用的方法。本章將推導割綫法的迭代公式，並分析其收斂階。 最後，本章還將討論多項式方程根的求解問題，包括代數方程的根的存在性、實根和復根的計算，以及一些專門針對多項式方程的算法（如連分式法等），為讀者提供更全麵的方程求解工具集。 第三章 綫性方程組的解 綫性方程組是科學計算中最常見、最重要的問題之一。本章將係統地介紹求解綫性方程組的數值方法。 首先，我們將從直接法開始，介紹高斯消元法。我們將詳細闡述消元過程，將增廣矩陣轉化為行階梯形矩陣，然後通過迴代法求解。本章還將深入分析高斯消元法的計算量和數值穩定性問題，並引入LU分解和LDU分解等技術，以提高計算效率並便於求解多個右端項的方程組。我們將探討全選主元、部分選主元等策略如何提高算法的數值穩定性。 接著，我們將轉嚮迭代法。對於大規模稀疏綫性方程組，迭代法通常比直接法更具優勢。本章將介紹幾種經典的迭代法：雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法。我們將推導這兩種方法的迭代公式，並深入分析它們的收斂條件。我們將通過分析雅可比矩陣和迭代矩陣的譜半徑來判斷迭代法的收斂性。 此外，本章還將介紹逐次超鬆弛（SOR）迭代法，作為高斯-賽德爾迭代法的一種加速方法，並討論如何選擇最優的鬆弛因子。 最後，本章還會簡要提及共軛梯度法等更高級的迭代方法，適用於特定類型的綫性方程組，為讀者提供進一步探索的入口。 第四章 插值 插值問題是根據已知數據點構建一個函數，使其通過所有這些數據點。本章將介紹幾種重要的插值方法。 我們將從最基本的多項式插值開始。首先介紹拉格朗日插值法，詳細推導拉格朗日插值多項式的形式，並討論其唯一性。我們將分析拉格朗日插值多項式的誤差，並探討龍格現象——在高次多項式插值中可能齣現的劇烈振蕩問題。 為瞭剋服龍格現象，我們將介紹牛頓插值法。牛頓插值法具有遞推性，可以方便地添加新的數據點，並且其誤差形式更易於分析。我們將推導牛頓插值多項式的係數，並討論其分點插值的優勢。 此外，本章還將介紹三次樣條插值。三次樣條插值是一種分段多項式插值，能夠産生光滑的插值麯綫，廣泛應用於計算機圖形學和數據可視化。我們將詳細闡述三次樣條插值的構造原理，包括邊界條件的選擇，以及如何求解由插值條件導齣的方程組。 最後，本章還將簡要介紹分段綫性插值作為一種最簡單的插值形式，以及有理函數插值和三角插值等其他插值方法。 第五章 數值微分與積分 本章關注如何利用離散數據來近似計算函數的導數和積分。 在數值微分方麵，我們將介紹基於泰勒展開的有限差分法。我們將推導嚮前差分、嚮後差分和中心差分格式來近似計算一階導數，並分析它們的截斷誤差。隨後，我們將推廣到高階導數的計算。 在數值積分方麵，本章將介紹一係列常用的求積公式。我們將從最簡單的梯形公式和辛普森公式開始，詳細推導它們的原理和誤差。這些方法本質上是通過多項式插值來近似被積函數，然後對插值多項式進行積分。 我們將進一步介紹復閤梯形公式和復閤辛普森公式，這些復閤公式通過將積分區間分成多個小區間，然後應用基本公式，可以顯著提高積分的精度。 除瞭牛頓-科特斯公式，本章還將介紹高斯-勒讓德求積公式。高斯求積公式通過巧妙地選擇積分節點和權重，可以在相同節點數下達到更高的代數精度，是數值積分中非常強大的一種方法。我們將介紹其基本思想和構造原理。 最後，本章還會簡要提及多重積分的數值計算方法。 第六章 最小二乘逼近 最小二乘法是處理帶有噪聲的觀測數據，尋找最佳擬閤函數的一種非常重要的方法。本章將深入探討最小二乘逼近的原理和應用。 我們將從函數逼近的角度來理解最小二乘法。給定一組數據點 $(x_i, y_i)$，我們希望找到一個函數 $f(x)$（通常是多項式或綫性組閤形式），使得 $f(x_i)$ 與 $y_i$ 之間的誤差平方和最小。 本章將詳細推導多項式最小二乘逼近的求解過程。我們將構建誤差平方和函數，然後通過求解其對逼近函數係數的偏導數等於零的方程組來得到最優係數。這將涉及到解一個正規方程組。 我們將詳細討論Gram-Schmidt正交化等方法，用於處理可能病態的正規方程組，提高數值穩定性。 除瞭多項式逼近，本章還將介紹綫性最小二乘逼近，即逼近函數是已知基函數的綫性組閤。這在許多實際應用中非常普遍，例如用三角函數或指數函數逼近數據。 最後，本章還將簡要提及加權最小二乘法，用於處理不同觀測點精度不同的情況。 第七章 常微分方程的數值解 常微分方程（ODE）在描述物理、工程、生物等領域的動態係統時起著核心作用。本章將介紹求解常微分方程初值問題的數值方法。 我們將從最簡單的一步法開始，介紹歐拉方法（前嚮歐拉法和後嚮歐拉法）。我們將詳細推導歐拉法的迭代公式，並分析其收斂階和截斷誤差。 為瞭提高精度，我們將介紹改進歐拉法（也稱為預測-校正法）。 隨後，我們將深入學習龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法。這是常微分方程數值解中最常用、最強大的方法族之一。本章將詳細介紹經典的二階龍格-庫塔方法和四階龍格-庫塔方法（RK4），推導其迭代公式，並分析其收斂性和穩定性。我們將討論不同階次的龍格-庫塔方法的權衡。 此外，本章還將介紹多步法，例如 Adams-Bashforth法和Adams-Moulton法。多步法利用之前多個時間步的信息來計算當前時間步的值，通常比同階次的單步法計算效率更高。我們將討論其原理、推導和穩定性。 最後，本章還將簡要提及隱式方法和剛性方程組的數值解法。 第八章 特徵值問題 特徵值和特徵嚮量是綫性代數中的重要概念，在許多領域都有廣泛應用，例如穩定性分析、主成分分析、模態分析等。本章將介紹求解矩陣特徵值和特徵嚮量的數值方法。 我們將從冪法開始，這是一種簡單而有效的迭代算法，用於計算矩陣的最大特徵值及其對應的特徵嚮量。我們將詳細推導冪法的迭代公式，並分析其收斂性。 為瞭找到矩陣的所有特徵值，我們將介紹反冪法，它能夠計算最小的特徵值。 然後，我們將學習QR分解方法。QR分解是一種強大的矩陣分解技術，基於QR分解的QR算法是目前求解特徵值問題最常用和最穩定的方法之一。我們將詳細介紹QR算法的原理，包括Householder變換和Givens鏇轉在QR分解中的應用。 本章還將介紹雅可比方法，一種用於對稱矩陣的迭代方法，通過一係列相似變換將矩陣化為對角矩陣，從而得到特徵值。 對於對稱正定矩陣，我們將介紹Cholesky分解及其在求解特徵值問題中的應用。 最後，本章還將簡要提及廣義特徵值問題的數值解法。 第九章 傅裏葉變換與快速傅裏葉變換 傅裏葉變換是信號處理、圖像分析、數據壓縮等領域不可或缺的工具。本章將介紹離散傅裏葉變換（DFT）及其高效實現——快速傅裏葉變換（FFT）。 我們將從離散傅裏葉變換（DFT）的定義齣發，解釋它如何將一個離散信號從時域轉換到頻域。我們將探討DFT的性質，例如綫性性、周期性、對稱性等。 然後，我們將重點介紹快速傅裏葉變換（FFT）。FFT是一種算法，它可以在遠少於直接計算DFT的時間內計算齣DFT的結果。本章將詳細講解最經典的Cooley-Tukey算法，包括按時間抽取（DIT）和按頻率抽取（DIF）兩種基本思想，並推導其遞歸結構。我們將分析FFT算法的時間復雜度，展示其相較於直接計算DFT的巨大優勢。 本章還將介紹FFT在實際中的應用，例如捲積計算、相關計算等。 最後，本章還將簡要提及傅裏葉級數和連續傅裏葉變換與離散傅裏葉變換之間的聯係。 第十章 數值計算中的優化 本章將探討在數值計算過程中，如何通過優化技術來提高計算效率和算法性能。 我們將首先討論函數逼近與插值的高級主題，例如Chebyshev多項式插值，及其在降低龍格現象和提高逼近精度的作用。 接著，我們將深入研究迭代算法的收斂性分析，包括更細緻的誤差傳播分析，以及如何通過改變算法參數來加速收斂。 本章還將介紹稀疏矩陣的存儲與計算技術。對於大型稀疏矩陣，采用傳統的稠密存儲和計算方法會造成嚴重的存儲和計算浪費。我們將介紹各種稀疏矩陣存儲格式，如COO（Coordinate List）、CSR（Compressed Sparse Row）、CSC（Compressed Sparse Column）等，並討論相應的稀疏矩陣嚮量乘法、稀疏方程組求解等算法。 此外，本章還將探討並行計算在數值分析中的應用。我們將介紹一些基本的並行計算模型和算法設計思想，例如任務分解、數據並行等，以利用多核處理器和計算集群來加速大規模數值計算。 最後，本章還將簡要提及數值積分與微分的自適應方法，即根據誤差估計動態調整計算步長或區間，以實現高效和精確的計算。 通過對以上十個章節的學習，讀者將全麵掌握數值分析的核心理論與方法，並能夠熟練地運用這些工具解決實際問題，為他們在未來的學術研究和工程實踐中奠定堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書我大概用瞭兩年時間，斷斷續續，終於摸著石頭過河似地啃瞭下來。當初選擇它，很大程度上是因為它的“第5版”這個標簽，總覺得版本更新意味著內容跟得上時代，更不容易過時。拿到手的時候，它的厚度還是讓我有點心虛的，畢竟我數學基礎算不上特彆紮實，很多數值方法在我看來就像是玄學，但作者的行文風格，或者說譯者的文字功底，在一定程度上消弭瞭這種距離感。他會從一些非常直觀的例子入手，比如求解方程組的時候，不像我以前看的書那樣直接拋齣公式，而是會先說明為什麼需要這樣的方法，它解決瞭什麼問題，這樣一來，很多抽象的概念就變得容易理解多瞭。而且，書中的插圖和圖錶也很有幫助，很多時候一個圖形就能解釋清楚一個算法的收斂性或者精度問題，這比純文字的描述要生動得多。我特彆喜歡的是它對算法的闡述，不僅僅是給齣僞代碼，還會詳細分析每一步的意義，甚至給齣不同算法之間的比較，優劣勢一目瞭然。當然，有些章節對初學者來說還是有挑戰的，需要反復琢磨，甚至需要結閤其他的參考資料，但總體而言，這是一本我願意推薦給對數值分析有興趣的同學的書。

評分☆☆☆☆☆

我對《數值分析》（第5版）的整體印象是：內容全麵，而且條理清晰。書的編排結構很好，從基礎的插值與逼近，到微分方程的數值解，再到綫性代數數值方法，層層遞進，邏輯性很強。我感覺作者在內容的組織上花瞭很多心思，不會讓你覺得東一榔頭西一棒子。每個章節都圍繞一個核心主題展開，並且會逐漸引入更復雜的內容。比如，在講到插值的時候，從最簡單的綫性插值，到牛頓插值，再到拉格朗日插值，最後是樣條插值，每一種方法都給齣瞭詳細的推導和優缺點分析。而且，書中對每種方法的收斂性和穩定性也有比較深入的探討，這一點對於理解方法的適用範圍非常關鍵。我個人比較關注的是綫性方程組的數值解法，這本書在這方麵的內容非常詳盡，從直接法的高斯消元法，到迭代法雅可比方法和高斯-賽德爾方法，都講得很細緻，還包括瞭大規模稀疏綫性方程組的求解方法，這對我後續的學習非常有啓發。雖然書的篇幅不小，但我覺得作者的講解還是比較剋製的，沒有過多地糾纏於一些過於偏門的細節，而是把重點放在瞭核心算法和理論上。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格是我覺得比較吸引我的地方。雖然是技術類書籍，但作者的錶達方式並沒有讓人感到枯燥乏味。很多時候，他會用一種相對輕鬆的語氣來介紹一些復雜的數學概念，讓我感覺好像在和一個有經驗的老師在交流，而不是在啃一本冰冷的教科書。這種“接地氣”的風格，讓我在閱讀過程中不至於因為遇到難以理解的內容而産生畏難情緒。另外，書中舉的例子都非常貼切，有些甚至是來源於實際的科研問題，這讓我覺得我所學到的知識是有實際意義的，而不是空中樓閣。特彆是關於優化方法的部分，它涉及到如何尋找函數的極值，這在很多科學和工程領域都是一個核心問題。書中對各種優化算法的介紹，從梯度下降到牛頓法，都給瞭比較詳盡的解釋，並且強調瞭這些算法的實際應用局限性。我特彆喜歡書中對數值積分方法的介紹，它不僅僅是列舉瞭梯形法則、辛普森法則等，還深入探討瞭復化公式和龍格-庫塔方法，這對於理解數值計算的精度和效率至關重要。

評分☆☆☆☆☆

老實說，我在這本《數值分析》（第5版）上花費的時間和精力，遠遠超過瞭我最初的預期。我本來以為這是一本可以速成的內容，但實際情況是，很多概念都需要反復琢磨，尤其是涉及到收斂性和穩定性分析的時候。我通常會先通讀一遍，對整體框架有個大緻瞭解，然後再針對每個章節進行深入學習。我還會嘗試自己動手寫一些簡單的程序來驗證書中的算法，比如用Python實現高斯消元法求解綫性方程組，或者用Matlab繪製不同插值函數的圖像。這種實踐過程，讓我對抽象的數學公式有瞭更直觀的認識，也暴露瞭我理解上的盲點。書中的一些證明過程，對於初學者來說可能需要一些耐心，但我覺得這是理解算法背後原理的必經之路。作者在每章後麵都會給齣一些思考題和習題，這些題目質量很高，有的需要融會貫通，有的則需要進行一定的創新。我經常會花很長時間去思考這些題目，雖然不一定都能做齣來，但這個過程本身就非常有價值，它能極大地鍛煉我的邏輯思維能力和解決問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

說實話，拿到這本《數值分析》（第5版）的時候，我抱著一種“試試看”的心態，畢竟這個領域聽起來就挺硬核的。我之前接觸過一些偏理論的數學書，總是感覺它們離實際應用有點遠，而我更希望學到的知識能和我的專業研究有所結閤。這本書在這方麵做得不錯，它在介紹各種數值方法的時候，會時不時地引齣一些實際的應用場景，比如在工程計算、數據模擬等方麵。雖然我並非直接從事這些領域，但瞭解這些背景知識，能讓我更深刻地理解為什麼這些方法會被發明齣來，它們解決瞭什麼實際問題。書中對誤差分析的講解也很有條理，從截斷誤差到捨入誤差，每一種誤差的來源和影響都說得很清楚，而且還給齣瞭如何控製和減小誤差的建議。這對我理解數值計算的可靠性非常有幫助。書後麵的習題也挺有分量的，有些需要編程實現，有些則需要理論推導，這能很好地檢驗自己對知識的掌握程度。我尤其喜歡一些綜閤性的題目，它們能將書中的多個章節的知識點串聯起來，做起來很有挑戰性，也能加深對整體知識體係的理解。