度量空间与函数空间的拓扑（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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林寿 著

图书标签:

• 拓扑学
• 度量空间
• 函数空间
• 实分析
• 数学分析
• 高等数学
• 拓扑结构
• 泛函分析
• 数学教材
• 理论基础

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030566546

版次：31

商品编码：12352536

包装：精装

开本：16开

出版时间：2018-04-01

用纸：轻型纸

页数：243

字数：307000

正文语种：中文

编辑推荐

适读人群 ：高等院校数学系高年级本科生、研究生以及数学工作者，相关科研人员

函数空间理论是一般拓扑学中活跃的研究方向，本书总结近年来作者在函数空间拓扑的研究成果，介绍国际上函数空间理论的发展。推荐阅读

内容简介

　　《度量空间与函数空间的拓扑（第二版）》的主要内容是函数空间的广义度量性质及基数函数性质。《度量空间与函数空间的拓扑（第二版）》由两部分组成，第一部分介绍紧空间、仿紧空间、度量空间及度量空间的连续映像，第二部分介绍连续函数空间的拓扑结构、基数函数及某些重要的广义度量性质。《度量空间与函数空间的拓扑（第二版）》展示了度量空间映像的核心内容及函数空间优美的对偶理论，突出了完全性在探索函数空间收敛性中的作用，把集论拓扑的研究应用于函数空间。

目录

目录
第二版前言
第一版前言
第1章 紧空间与仿紧空间 1
1.1 紧空间 2
1.2 可数紧空间 6
1.3 完备映射与紧化 10
1.4 仿紧空间 15
1.5 Michael 定理 21
1.6 局部紧空间 28
1.7 Cech 完全空间 32
第2章 度量空间 36
2.1 度量空间的基本性质 36
2.2 度量空间是仿紧空间 43
2.3 度量化定理 47
2.4 Hanai-Morita-Stone 定理 57
2.5 度量空间的完全性 63
2.6 零维度量空间的映像 69
第3章 Ponomarev 方法 76
3.1 广义序列性质 76
3.2 商映像 81
3.3 开映像 85
3.4 紧覆盖映像 91
3.5 商 s 映像 101
3.6 闭映像 109
第4章 一致空间与函数空间 120
4.1 一致空间 120
4.2 拓扑群 127
4.3 集开拓扑 131
4.4 一致收敛拓扑 136
4.5 自然映射 142
4.6 几个经典定理 150
第5章 Cα(X，R) 的基数函数 159
5.1 网络权、稠密度与胞腔度 161
5.2 伪特征、特征 167
5.3 权、弱权 173
5.4 tightness、扇 tightness 177
5.5 Fr.echet-Urysohn 性质 184
5.6 完全性 190
第6章 Cp 理论初步 197
6.1 诱导函数与投影函数 198
6.2 Monolithic 空间与 stable 空间 205
6.3 Hurewicz 空间 209
6.4 Baire 空间 215
参考文献 222
索引 236

拓扑学基础：从集合论到流形初步 本书旨在为数学专业本科高年级学生及研究生提供一套全面、严谨且富有启发性的拓扑学导论。本书从最基础的集合论概念出发，逐步构建起一般拓扑空间理论的核心框架，并最终触及微分拓扑学的开端——流形的初步探讨。本书的特色在于其清晰的逻辑结构、丰富的例题与习题，以及对关键概念的直观几何解释，力求在保持数学严谨性的同时，增强读者的直观理解和问题解决能力。 --- 第一部分：基础与预备知识回顾 (Foundations and Preliminaries) 本部分旨在为后续拓扑学学习奠定必要的集合论和函数分析基础，确保所有读者具备必要的背景知识。 第一章：集合论基础回顾 本章简要回顾了理解拓扑学的必需的集合论知识，避免冗长而专注于核心概念。 1.1 集合、映射与函数族： 集合的定义、笛卡尔积、函数（单射、满射、双射）的性质。函数复合与逆函数的讨论。 1.2 序列与极限（集合论视角）： 序列的定义，子序列的概念。本节强调的是集合论层面的极限概念，为后续拓扑收敛做铺垫。 1.3 幂集与等价关系： 幂集的构造及其在拓扑定义中的重要性。等价关系的定义、性质及其诱导的划分（商集的初步概念）。 1.4 可数性与不可数性： 自然数集的可数性证明（康托尔的对角线论证），连续统的不可数性。本节讨论了这些概念在构造反例中的作用。 第二章：度量空间初步概念 虽然本书的核心聚焦于更一般的拓扑空间，但从度量空间入手是理解开集、闭集、邻域等核心拓扑概念的最佳途径。 2.1 度量（距离）的定义与性质： 度量的公理（非负性、对称性、三角不等式）。 2.2 经典度量空间示例： $mathbb{R}^n$ 上的欧几里得度量 ($d_2$)、曼哈顿度量 ($d_1$) 和最大度量 ($d_infty$) 的详细分析。 2.3 开球与开集： 开球的定义，并基于度量定义开集的概念。这是连接度量空间到拓扑空间的第一个关键桥梁。 2.4 闭集与点集拓扑性质： 闭集的定义（开集的补集），点 $x$ 关于集合 $A$ 的极限点、聚点和孤立点的概念。 2.5 内点、边界点与闭包： 集合的内点集、边界集和闭包的代数定义与拓扑解释。 2.6 完备性初步： 度量空间中的柯西序列定义，完备空间的引入，以及对 $mathbb{R}^n$ 完备性的简要说明。 --- 第二部分：一般拓扑空间 (General Topological Spaces) 本部分是本书的核心，旨在系统地建立和发展一般拓扑空间理论。 第三章：拓扑空间的定义与基本结构 本章从抽象的角度定义拓扑结构，并探讨其基本要素。 3.1 拓扑的定义： 开集的公理（空集、全集、有限交、任意并）。 3.2 拓扑空间的实例分析： 讨论离散拓扑、非离散拓扑（或称聚集拓扑）、萨洛夫斯基拓扑、有限补拓扑等非标准拓扑，以展示拓扑结构的多样性。 3.3 基与相对拓扑： 开基（基）的定义及其生成拓扑的唯一性。子空间的相对拓扑（诱导拓扑）的定义与性质。 3.4 子空间拓扑的深入研究： 讨论子空间拓扑的性质继承性，例如完备性、分离性等在子空间上的表现。 第四章：邻域、收敛性与连续性 本章关注拓扑空间中的动态概念：点如何接近，函数如何保持结构。 4.1 邻域系统： 邻域的定义，邻域基的概念。邻域与开集、闭集的关系。 4.2 点列收敛与拓扑收敛： 在一般拓扑空间中定义点列的收敛性。讨论点列收敛与开集结构的关系（有限拓扑中点列收敛的特殊性）。 4.3 连续函数： 基于开集的定义（原像保持开集性）定义拓扑空间的连续映射。 4.4 拓扑保持的映射： 拓扑同胚（Homeomorphism）的定义，强调其等价性。拓扑性质在同胚下的不变性。 第五章：分离公理 (Separation Axioms) 分离公理是区分不同拓扑空间特性的重要工具，是度量空间性质向一般拓扑空间推广的关键。 5.1 $T_0$ 空间： 可区分性的初步探讨。 5.2 豪斯多夫空间 ($T_2$)： 定义与基本性质。证明豪斯多夫空间中序列极限的唯一性。 5.3 正则空间 ($T_3$) 与完全正则空间 ($T_3frac{1}{2}$): 分离闭集和点的方法。 5.4 正规空间 ($T_4$)： 分离不相交闭集。讨论豪斯多夫空间与正则性、正规性之间的关系链。 5.5 Urysohn 引理与 Tietze 扩展定理（简介）： 简要介绍这些强大工具在完全正则空间和正规空间中的应用，作为联系拓扑与函数的桥梁。 --- 第三部分：构造性拓扑概念 (Constructive Topological Concepts) 本部分介绍如何从已有的拓扑空间构造新的拓扑空间，以及如何处理紧致性这一核心概念。 第六章：紧致性 (Compactness) 紧致性是拓扑学中最重要且最难掌握的概念之一。 6.1 开覆盖与紧致性的定义： 基于 Heine-Borel 定义的推广——有限子覆盖。 6.2 紧致性的等价描述： 证明紧致性等价于任何由开集构成的网络（Net）或过滤器（Filter）的收敛性（仅限于可数紧致性或特定空间）。 6.3 紧致性在连续映射下的保持性： 连续函数将紧集映射到紧集。 6.4 紧集上的重要性质： 闭子集在紧空间中仍是紧集。紧集上的连续函数必然有界且达到最大最小值（推广的极值定理）。 6.5 Tychonoff 定理（陈述与讨论）： 任意多（非空）紧致空间的乘积空间仍然是紧致的。 第七章：连通性与积空间 (Connectedness and Product Spaces) 7.1 连通性的定义： 不可分解性。分离集的概念。 7.2 路径连通性： 路径连通性比连通性更强，路径连通蕴含连通性。讨论两者在一般拓扑空间中的区别。 7.3 连通分量： 连通分量的唯一性与性质。 7.4 拓扑乘积空间： 乘积拓扑的定义（由投影定义的开集基）。 7.5 乘积空间的性质继承： 讨论连通性、紧致性（与Tychonoff定理相呼应）在乘积空间中的行为。 --- 第四部分：商空间与基础概念 (Quotient Spaces and Fundamentals) 本部分将拓扑学的抽象性推向一个高峰，引入商拓扑和基本群的初步思想。 第八章：商拓扑 (Quotient Topology) 商拓扑是构造新拓扑空间最常用的方法之一，尤其在几何学中。 8.1 商映射的定义： 满射、连续映射。 8.2 商拓扑的构造： 基于等价关系 $x sim y$ 定义的商空间 $X/sim$ 的拓扑结构。 8.3 商空间的连续性判别： 商映射的连续性判别准则（原像性质）。 8.4 商空间的拓扑性质： 讨论商空间对分离性、紧致性和连通性的继承与破坏。 第九章：基础拓扑工具 (Introductory Tools for Algebraic Topology) 本章作为对后续代数拓扑的预备，简要介绍如何用拓扑语言描述空间的“洞”。 9.1 陪集空间与纤维丛的萌芽： 在群作用下，陪集空间的拓扑结构（作为商空间的特例）。 9.2 覆盖空间（初步）： 简单的例子如圆周 $mathbb{S}^1$ 到直线 $mathbb{R}$ 的覆盖映射。 9.3 基本群的概念引入： 基于路径的等价性，非正式地引入基本群的概念，旨在展示拓扑学如何与代数结构结合来区分非同胚的空间（如圆盘与圆环）。 --- 本书的特点总结： 几何直觉优先： 尽管内容严谨，但每一重要定义后都附有来自 $mathbb{R}^n$ 或其他熟悉空间的几何解释。 案例驱动： 大量使用非欧几里得、非度量空间的例子（如无限集合上的特定拓扑）来突出一般拓扑的广阔性。 习题体系： 每章末尾包含分级习题，分为基础巩固、证明性练习和探索性问题三类，以适应不同层次的学习需求。 重点突出： 对紧致性、分离公理和乘积空间这三大核心概念进行了深入和细致的论述。 本书面向对象： 学习过实分析或一般分析的数学系本科高年级学生、几何学或拓扑学入门研究生，以及希望系统回顾拓扑学基础的教师和研究人员。

评分☆☆☆☆☆

这本书的标题——“度量空间与函数空间的拓扑（第二版）”——让我联想到了一系列深刻而迷人的数学概念。我一直在寻求一本能够系统而深入地梳理这些内容的书籍，而这个标题无疑触及了我感兴趣的核心。我希望这本书能够提供一个清晰的视角，让我理解“度量”的概念是如何自然地引出“拓扑”的，以及这种拓扑结构如何在更抽象的“函数空间”中得到推广和应用。 我尤其期待书中关于函数空间的拓扑部分。函数空间是现代数学分析和许多应用领域（如偏微分方程、概率论、泛函分析）的基石。我希望能看到关于不同函数空间（如Banach空间、Hilbert空间）的拓扑性质的详细阐述，以及它们之间的联系。比如，我非常想了解一致收敛拓扑和弱拓扑在函数空间中的具体形式和性质，以及它们如何影响函数序列的收敛行为。如果书中能通过一些经典的例子，比如介绍Lp空间或C(K)空间的拓扑性质，并展示它们在解决具体数学问题时的威力，那我将非常高兴。我期望这本书能够帮助我建立起对函数空间拓扑的直观理解和严谨的理论认识。

评分☆☆☆☆☆

阅读一本关于度量空间与函数空间拓扑的书，对我来说，更多的是一种对数学之美的探索。我被那些抽象的概念所吸引，它们以一种简洁而深刻的方式揭示了数学世界运行的规律。这本书的标题“度量空间与函数空间的拓扑（第二版）”让我眼前一亮，因为这正是我一直以来想要深入了解的领域。我尤其希望能在这本书中找到对“拓扑”这个词更直观的理解，不仅仅是那些冰冷的定义和定理，而是它如何赋予空间以“形状”和“连续性”的概念，以及这种连续性如何在函数空间中体现。 我非常期待书中能够有关于拓扑空间的一些基础介绍，然后逐步过渡到度量空间，最后深入到函数空间的拓扑。我希望能够看到一些经典的拓扑概念，比如开集、闭集、连通性、紧致性等等，在这些不同空间中的具体表现。同时，我也对函数空间的各种拓扑，比如弱拓扑、强拓扑、紧拓扑等之间的关系和区别很感兴趣。如果书中能够通过一些有趣的例子，比如介绍一些著名的函数空间（如C(X), L^p(X)）的拓扑性质，那就更好了。我相信这本书会是一次美妙的数学之旅。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学分析理论有浓厚兴趣的自学者，我一直对拓扑学在现代数学中的重要性深感着迷。这本书的书名“度量空间与函数空间的拓扑（第二版）”极具吸引力，它精准地概括了我一直渴望深入学习的两个关键领域。我希望这本书能够从最基础的概念讲起，清晰地阐述度量空间的定义以及其上的拓扑结构是如何自然产生的。 我特别关注的是书中关于函数空间拓扑的部分。函数空间本身就是一个极其丰富和重要的数学对象，而为其赋予一个合适的拓扑结构，则能够极大地拓宽我们对这些函数集合的理解和研究。我希望这本书能够详细介绍几种常见的函数空间拓扑，例如由范数诱导的拓扑，以及一些更精细的拓扑，比如弱拓扑和紧拓扑。此外，关于这些拓扑性质的比较，以及它们在分析学中的应用，比如在收敛性、连续性以及不动点理论中的作用，是我非常期待了解的内容。如果书中能够提供一些深入浅出的例子和习题，帮助我巩固理解，那就更完美了。

评分☆☆☆☆☆

这本书的标题让我对它充满了期待。作为一名数学专业的学生，我一直对拓扑学的概念着迷，尤其是在度量空间和函数空间这两个重要领域中的体现。从书名“度量空间与函数空间的拓扑（第二版）”来看，它应该会深入探讨这些概念的核心，并且“第二版”的字样暗示着内容的更新和完善，可能包含了一些最新的研究成果或者更清晰的讲解方式。我希望这本书能够为我提供坚实的理论基础，帮助我理解度量空间中距离的概念如何延伸到更抽象的函数空间，以及拓扑是如何在这种抽象的结构上定义的。 尤其期待书中关于函数空间的拓扑部分。函数本身就是一个非常丰富的研究对象，而赋予函数集合一个拓扑结构，无疑会开启更多关于函数性质的深刻洞察。例如，我一直对一致收敛、逐点收敛等概念的拓扑学解释很感兴趣，希望这本书能够系统地阐述这些不同收敛方式背后的拓扑学原理，以及它们在分析学中的重要应用。此外，对于完备性、紧致性等拓扑性质在函数空间中的表现，我也是非常好奇的。希望这本书能够提供丰富的例子和练习，帮助我真正掌握这些抽象概念，并能将它们应用到解决实际问题中。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，对我来说简直像及时雨。我最近在研究一些偏微分方程的问题，发现在处理方程的解集时，常常需要用到一些高级的拓扑学概念，而我在这方面的知识储备显得有些不足。这本书的标题“度量空间与函数空间的拓扑”正是我目前急需的内容。我尤其关注那些关于赋范线性空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间等的拓扑性质的讨论，因为这些空间在泛函分析中占据着核心地位，而它们本身的拓扑结构又是理解其性质的关键。 我希望这本书能够提供足够多的例子，说明度量空间和函数空间的拓扑在具体问题中的应用，例如在解决偏微分方程的适定性问题时，如何利用函数空间的完备性或紧致性来保证解的存在性、唯一性和稳定性。如果书中还能对一些重要的拓扑定理，比如不动点定理，在函数空间中的应用进行详细的阐述，那将是对我研究工作极大的帮助。我非常期待这本书能够提供清晰的逻辑脉络和严谨的数学证明，帮助我建立起扎实的理论体系，从而更好地开展我的研究。