度量空間與函數空間的拓撲（第二版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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林壽 著

圖書標籤:

• 拓撲學
• 度量空間
• 函數空間
• 實分析
• 數學分析
• 高等數學
• 拓撲結構
• 泛函分析
• 數學教材
• 理論基礎

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030566546

版次：31

商品編碼：12352536

包裝：精裝

開本：16開

齣版時間：2018-04-01

用紙：輕型紙

頁數：243

字數：307000

正文語種：中文

編輯推薦

適讀人群 ：高等院校數學係高年級本科生、研究生以及數學工作者，相關科研人員

函數空間理論是一般拓撲學中活躍的研究方嚮，本書總結近年來作者在函數空間拓撲的研究成果，介紹國際上函數空間理論的發展。推薦閱讀

內容簡介

　　《度量空間與函數空間的拓撲（第二版）》的主要內容是函數空間的廣義度量性質及基數函數性質。《度量空間與函數空間的拓撲（第二版）》由兩部分組成，第一部分介紹緊空間、仿緊空間、度量空間及度量空間的連續映像，第二部分介紹連續函數空間的拓撲結構、基數函數及某些重要的廣義度量性質。《度量空間與函數空間的拓撲（第二版）》展示瞭度量空間映像的核心內容及函數空間優美的對偶理論，突齣瞭完全性在探索函數空間收斂性中的作用，把集論拓撲的研究應用於函數空間。

目錄

目錄
第二版前言
第一版前言
第1章 緊空間與仿緊空間 1
1.1 緊空間 2
1.2 可數緊空間 6
1.3 完備映射與緊化 10
1.4 仿緊空間 15
1.5 Michael 定理 21
1.6 局部緊空間 28
1.7 Cech 完全空間 32
第2章 度量空間 36
2.1 度量空間的基本性質 36
2.2 度量空間是仿緊空間 43
2.3 度量化定理 47
2.4 Hanai-Morita-Stone 定理 57
2.5 度量空間的完全性 63
2.6 零維度量空間的映像 69
第3章 Ponomarev 方法 76
3.1 廣義序列性質 76
3.2 商映像 81
3.3 開映像 85
3.4 緊覆蓋映像 91
3.5 商 s 映像 101
3.6 閉映像 109
第4章 一緻空間與函數空間 120
4.1 一緻空間 120
4.2 拓撲群 127
4.3 集開拓撲 131
4.4 一緻收斂拓撲 136
4.5 自然映射 142
4.6 幾個經典定理 150
第5章 Cα(X，R) 的基數函數 159
5.1 網絡權、稠密度與胞腔度 161
5.2 僞特徵、特徵 167
5.3 權、弱權 173
5.4 tightness、扇 tightness 177
5.5 Fr.echet-Urysohn 性質 184
5.6 完全性 190
第6章 Cp 理論初步 197
6.1 誘導函數與投影函數 198
6.2 Monolithic 空間與 stable 空間 205
6.3 Hurewicz 空間 209
6.4 Baire 空間 215
參考文獻 222
索引 236

拓撲學基礎：從集閤論到流形初步 本書旨在為數學專業本科高年級學生及研究生提供一套全麵、嚴謹且富有啓發性的拓撲學導論。本書從最基礎的集閤論概念齣發，逐步構建起一般拓撲空間理論的核心框架，並最終觸及微分拓撲學的開端——流形的初步探討。本書的特色在於其清晰的邏輯結構、豐富的例題與習題，以及對關鍵概念的直觀幾何解釋，力求在保持數學嚴謹性的同時，增強讀者的直觀理解和問題解決能力。 --- 第一部分：基礎與預備知識迴顧 (Foundations and Preliminaries) 本部分旨在為後續拓撲學學習奠定必要的集閤論和函數分析基礎，確保所有讀者具備必要的背景知識。 第一章：集閤論基礎迴顧 本章簡要迴顧瞭理解拓撲學的必需的集閤論知識，避免冗長而專注於核心概念。 1.1 集閤、映射與函數族： 集閤的定義、笛卡爾積、函數（單射、滿射、雙射）的性質。函數復閤與逆函數的討論。 1.2 序列與極限（集閤論視角）： 序列的定義，子序列的概念。本節強調的是集閤論層麵的極限概念，為後續拓撲收斂做鋪墊。 1.3 冪集與等價關係： 冪集的構造及其在拓撲定義中的重要性。等價關係的定義、性質及其誘導的劃分（商集的初步概念）。 1.4 可數性與不可數性： 自然數集的可數性證明（康托爾的對角綫論證），連續統的不可數性。本節討論瞭這些概念在構造反例中的作用。 第二章：度量空間初步概念 雖然本書的核心聚焦於更一般的拓撲空間，但從度量空間入手是理解開集、閉集、鄰域等核心拓撲概念的最佳途徑。 2.1 度量（距離）的定義與性質： 度量的公理（非負性、對稱性、三角不等式）。 2.2 經典度量空間示例： $mathbb{R}^n$ 上的歐幾裏得度量 ($d_2$)、曼哈頓度量 ($d_1$) 和最大度量 ($d_infty$) 的詳細分析。 2.3 開球與開集： 開球的定義，並基於度量定義開集的概念。這是連接度量空間到拓撲空間的第一個關鍵橋梁。 2.4 閉集與點集拓撲性質： 閉集的定義（開集的補集），點 $x$ 關於集閤 $A$ 的極限點、聚點和孤立點的概念。 2.5 內點、邊界點與閉包： 集閤的內點集、邊界集和閉包的代數定義與拓撲解釋。 2.6 完備性初步： 度量空間中的柯西序列定義，完備空間的引入，以及對 $mathbb{R}^n$ 完備性的簡要說明。 --- 第二部分：一般拓撲空間 (General Topological Spaces) 本部分是本書的核心，旨在係統地建立和發展一般拓撲空間理論。 第三章：拓撲空間的定義與基本結構 本章從抽象的角度定義拓撲結構，並探討其基本要素。 3.1 拓撲的定義： 開集的公理（空集、全集、有限交、任意並）。 3.2 拓撲空間的實例分析： 討論離散拓撲、非離散拓撲（或稱聚集拓撲）、薩洛夫斯基拓撲、有限補拓撲等非標準拓撲，以展示拓撲結構的多樣性。 3.3 基與相對拓撲： 開基（基）的定義及其生成拓撲的唯一性。子空間的相對拓撲（誘導拓撲）的定義與性質。 3.4 子空間拓撲的深入研究： 討論子空間拓撲的性質繼承性，例如完備性、分離性等在子空間上的錶現。 第四章：鄰域、收斂性與連續性 本章關注拓撲空間中的動態概念：點如何接近，函數如何保持結構。 4.1 鄰域係統： 鄰域的定義，鄰域基的概念。鄰域與開集、閉集的關係。 4.2 點列收斂與拓撲收斂： 在一般拓撲空間中定義點列的收斂性。討論點列收斂與開集結構的關係（有限拓撲中點列收斂的特殊性）。 4.3 連續函數： 基於開集的定義（原像保持開集性）定義拓撲空間的連續映射。 4.4 拓撲保持的映射： 拓撲同胚（Homeomorphism）的定義，強調其等價性。拓撲性質在同胚下的不變性。 第五章：分離公理 (Separation Axioms) 分離公理是區分不同拓撲空間特性的重要工具，是度量空間性質嚮一般拓撲空間推廣的關鍵。 5.1 $T_0$ 空間： 可區分性的初步探討。 5.2 豪斯多夫空間 ($T_2$)： 定義與基本性質。證明豪斯多夫空間中序列極限的唯一性。 5.3 正則空間 ($T_3$) 與完全正則空間 ($T_3frac{1}{2}$): 分離閉集和點的方法。 5.4 正規空間 ($T_4$)： 分離不相交閉集。討論豪斯多夫空間與正則性、正規性之間的關係鏈。 5.5 Urysohn 引理與 Tietze 擴展定理（簡介）： 簡要介紹這些強大工具在完全正則空間和正規空間中的應用，作為聯係拓撲與函數的橋梁。 --- 第三部分：構造性拓撲概念 (Constructive Topological Concepts) 本部分介紹如何從已有的拓撲空間構造新的拓撲空間，以及如何處理緊緻性這一核心概念。 第六章：緊緻性 (Compactness) 緊緻性是拓撲學中最重要且最難掌握的概念之一。 6.1 開覆蓋與緊緻性的定義： 基於 Heine-Borel 定義的推廣——有限子覆蓋。 6.2 緊緻性的等價描述： 證明緊緻性等價於任何由開集構成的網絡（Net）或過濾器（Filter）的收斂性（僅限於可數緊緻性或特定空間）。 6.3 緊緻性在連續映射下的保持性： 連續函數將緊集映射到緊集。 6.4 緊集上的重要性質： 閉子集在緊空間中仍是緊集。緊集上的連續函數必然有界且達到最大最小值（推廣的極值定理）。 6.5 Tychonoff 定理（陳述與討論）： 任意多（非空）緊緻空間的乘積空間仍然是緊緻的。 第七章：連通性與積空間 (Connectedness and Product Spaces) 7.1 連通性的定義： 不可分解性。分離集的概念。 7.2 路徑連通性： 路徑連通性比連通性更強，路徑連通蘊含連通性。討論兩者在一般拓撲空間中的區彆。 7.3 連通分量： 連通分量的唯一性與性質。 7.4 拓撲乘積空間： 乘積拓撲的定義（由投影定義的開集基）。 7.5 乘積空間的性質繼承： 討論連通性、緊緻性（與Tychonoff定理相呼應）在乘積空間中的行為。 --- 第四部分：商空間與基礎概念 (Quotient Spaces and Fundamentals) 本部分將拓撲學的抽象性推嚮一個高峰，引入商拓撲和基本群的初步思想。 第八章：商拓撲 (Quotient Topology) 商拓撲是構造新拓撲空間最常用的方法之一，尤其在幾何學中。 8.1 商映射的定義： 滿射、連續映射。 8.2 商拓撲的構造： 基於等價關係 $x sim y$ 定義的商空間 $X/sim$ 的拓撲結構。 8.3 商空間的連續性判彆： 商映射的連續性判彆準則（原像性質）。 8.4 商空間的拓撲性質： 討論商空間對分離性、緊緻性和連通性的繼承與破壞。 第九章：基礎拓撲工具 (Introductory Tools for Algebraic Topology) 本章作為對後續代數拓撲的預備，簡要介紹如何用拓撲語言描述空間的“洞”。 9.1 陪集空間與縴維叢的萌芽： 在群作用下，陪集空間的拓撲結構（作為商空間的特例）。 9.2 覆蓋空間（初步）： 簡單的例子如圓周 $mathbb{S}^1$ 到直綫 $mathbb{R}$ 的覆蓋映射。 9.3 基本群的概念引入： 基於路徑的等價性，非正式地引入基本群的概念，旨在展示拓撲學如何與代數結構結閤來區分非同胚的空間（如圓盤與圓環）。 --- 本書的特點總結： 幾何直覺優先： 盡管內容嚴謹，但每一重要定義後都附有來自 $mathbb{R}^n$ 或其他熟悉空間的幾何解釋。 案例驅動： 大量使用非歐幾裏得、非度量空間的例子（如無限集閤上的特定拓撲）來突齣一般拓撲的廣闊性。 習題體係： 每章末尾包含分級習題，分為基礎鞏固、證明性練習和探索性問題三類，以適應不同層次的學習需求。 重點突齣： 對緊緻性、分離公理和乘積空間這三大核心概念進行瞭深入和細緻的論述。 本書麵嚮對象： 學習過實分析或一般分析的數學係本科高年級學生、幾何學或拓撲學入門研究生，以及希望係統迴顧拓撲學基礎的教師和研究人員。

評分☆☆☆☆☆

閱讀一本關於度量空間與函數空間拓撲的書，對我來說，更多的是一種對數學之美的探索。我被那些抽象的概念所吸引，它們以一種簡潔而深刻的方式揭示瞭數學世界運行的規律。這本書的標題“度量空間與函數空間的拓撲（第二版）”讓我眼前一亮，因為這正是我一直以來想要深入瞭解的領域。我尤其希望能在這本書中找到對“拓撲”這個詞更直觀的理解，不僅僅是那些冰冷的定義和定理，而是它如何賦予空間以“形狀”和“連續性”的概念，以及這種連續性如何在函數空間中體現。 我非常期待書中能夠有關於拓撲空間的一些基礎介紹，然後逐步過渡到度量空間，最後深入到函數空間的拓撲。我希望能夠看到一些經典的拓撲概念，比如開集、閉集、連通性、緊緻性等等，在這些不同空間中的具體錶現。同時，我也對函數空間的各種拓撲，比如弱拓撲、強拓撲、緊拓撲等之間的關係和區彆很感興趣。如果書中能夠通過一些有趣的例子，比如介紹一些著名的函數空間（如C(X), L^p(X)）的拓撲性質，那就更好瞭。我相信這本書會是一次美妙的數學之旅。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學分析理論有濃厚興趣的自學者，我一直對拓撲學在現代數學中的重要性深感著迷。這本書的書名“度量空間與函數空間的拓撲（第二版）”極具吸引力，它精準地概括瞭我一直渴望深入學習的兩個關鍵領域。我希望這本書能夠從最基礎的概念講起，清晰地闡述度量空間的定義以及其上的拓撲結構是如何自然産生的。 我特彆關注的是書中關於函數空間拓撲的部分。函數空間本身就是一個極其豐富和重要的數學對象，而為其賦予一個閤適的拓撲結構，則能夠極大地拓寬我們對這些函數集閤的理解和研究。我希望這本書能夠詳細介紹幾種常見的函數空間拓撲，例如由範數誘導的拓撲，以及一些更精細的拓撲，比如弱拓撲和緊拓撲。此外，關於這些拓撲性質的比較，以及它們在分析學中的應用，比如在收斂性、連續性以及不動點理論中的作用，是我非常期待瞭解的內容。如果書中能夠提供一些深入淺齣的例子和習題，幫助我鞏固理解，那就更完美瞭。

評分☆☆☆☆☆

這本書的標題——“度量空間與函數空間的拓撲（第二版）”——讓我聯想到瞭一係列深刻而迷人的數學概念。我一直在尋求一本能夠係統而深入地梳理這些內容的書籍，而這個標題無疑觸及瞭我感興趣的核心。我希望這本書能夠提供一個清晰的視角，讓我理解“度量”的概念是如何自然地引齣“拓撲”的，以及這種拓撲結構如何在更抽象的“函數空間”中得到推廣和應用。 我尤其期待書中關於函數空間的拓撲部分。函數空間是現代數學分析和許多應用領域（如偏微分方程、概率論、泛函分析）的基石。我希望能看到關於不同函數空間（如Banach空間、Hilbert空間）的拓撲性質的詳細闡述，以及它們之間的聯係。比如，我非常想瞭解一緻收斂拓撲和弱拓撲在函數空間中的具體形式和性質，以及它們如何影響函數序列的收斂行為。如果書中能通過一些經典的例子，比如介紹Lp空間或C(K)空間的拓撲性質，並展示它們在解決具體數學問題時的威力，那我將非常高興。我期望這本書能夠幫助我建立起對函數空間拓撲的直觀理解和嚴謹的理論認識。

評分☆☆☆☆☆

這本書的標題讓我對它充滿瞭期待。作為一名數學專業的學生，我一直對拓撲學的概念著迷，尤其是在度量空間和函數空間這兩個重要領域中的體現。從書名“度量空間與函數空間的拓撲（第二版）”來看，它應該會深入探討這些概念的核心，並且“第二版”的字樣暗示著內容的更新和完善，可能包含瞭一些最新的研究成果或者更清晰的講解方式。我希望這本書能夠為我提供堅實的理論基礎，幫助我理解度量空間中距離的概念如何延伸到更抽象的函數空間，以及拓撲是如何在這種抽象的結構上定義的。 尤其期待書中關於函數空間的拓撲部分。函數本身就是一個非常豐富的研究對象，而賦予函數集閤一個拓撲結構，無疑會開啓更多關於函數性質的深刻洞察。例如，我一直對一緻收斂、逐點收斂等概念的拓撲學解釋很感興趣，希望這本書能夠係統地闡述這些不同收斂方式背後的拓撲學原理，以及它們在分析學中的重要應用。此外，對於完備性、緊緻性等拓撲性質在函數空間中的錶現，我也是非常好奇的。希望這本書能夠提供豐富的例子和練習，幫助我真正掌握這些抽象概念，並能將它們應用到解決實際問題中。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，對我來說簡直像及時雨。我最近在研究一些偏微分方程的問題，發現在處理方程的解集時，常常需要用到一些高級的拓撲學概念，而我在這方麵的知識儲備顯得有些不足。這本書的標題“度量空間與函數空間的拓撲”正是我目前急需的內容。我尤其關注那些關於賦範綫性空間、巴拿赫空間、希爾伯特空間等的拓撲性質的討論，因為這些空間在泛函分析中占據著核心地位，而它們本身的拓撲結構又是理解其性質的關鍵。 我希望這本書能夠提供足夠多的例子，說明度量空間和函數空間的拓撲在具體問題中的應用，例如在解決偏微分方程的適定性問題時，如何利用函數空間的完備性或緊緻性來保證解的存在性、唯一性和穩定性。如果書中還能對一些重要的拓撲定理，比如不動點定理，在函數空間中的應用進行詳細的闡述，那將是對我研究工作極大的幫助。我非常期待這本書能夠提供清晰的邏輯脈絡和嚴謹的數學證明，幫助我建立起紮實的理論體係，從而更好地開展我的研究。