变分法基础-(第3版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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老大中 著

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出版社： 国防工业

ISBN：9787118097306

商品编码：1468820987

出版时间：2015-01-01

基本信息

商品名称： 变分法基础-(第3版)	出版社： 国防工业出版社	出版时间：2015-01-01
作者：老大中	译者：	开本： 16开
定价： 89.00	页数：622	印次： 1
ISBN号：9787118097306	商品类型：图书	版次： 3

内容提要

内容简介本书是变分法方面的专著，书中系统地介绍变分法的基本理论及其应用。

编写本书的目的是希望为高等院校的研究生和高年级大学生提供一本学习变分法课程的教材或教学参考书，使他们能够熟悉变分法的基本概念和计算方法。本书内容包括预备知识、固定边界的变分问题、可动边界的变分问题、泛函极值的充分条件、条件极值的变分问题、参数形式的变分问题、变分原理、变分问题的直接方法、力学中的变分原理及其应用以及含向量、张量和哈密顿算子的泛函变分问题。其中许多内容是作者多年来的研究成果，特别是提出完个泛函的极值函数定理，统一了变分法中的各种欧拉方程，创立含向量、向量的模、任意阶张量和哈密顿算子的泛函的变分理论，给出相应的欧拉方程组及自然边界条件，扩大厂变分法的应用范围。本书也可供有关专业的教师和科技人员参考。

本书概念清楚，逻辑清晰，内容丰富，深入浅出，便于自学，既注重方法的介绍，又不失数学的系统性、科学性和严谨性。书中列有大量例题和习题，并附有中英文索引。为了帮助读者解决学习中遇到的困难，本书给出了各章共315道习题的全部解答过程及答案，供读者参考。

目录

第1章 预备知识
1.1 泰勒公式
1.1.1 一元函数的情形
1.1.2 多元函数的情形
1.2 含参变量的积分
1.3 场论基础
1.3.1 方向导数及梯度
1.3.2 向量场的通量和散度
1.3.3 高斯定理与格林公式
1.3.4 向量场的环量与旋度
1.3.5 斯托克斯定理
1.3.6 梯度、散度和旋度表示的统一高斯公式
1.4 直角坐标与极坐标的坐标变换
1.5 变分法基本引理
1.6 求和约定、克罗内克尔符号和排列符号
1.7 张量的基本概念
1.7.1 直角坐标旋转变换
1.7.2 笛卡儿二阶张量
1.7.3 笛卡儿张量的代数运算
1.7.4 张量的商定律
1.7.5 二阶张量的主轴、特征值和不变量
1.7.6 笛卡儿张量的微分运算
1.8 常用不等式
1.9 名家介绍
习题1

第2章 固定边界的变分问题
2.1 古典变分问题举例
2.2 变分法的基本概念
2.3 最简泛函的变分与极值的必要条件
2.4 最简泛函的欧拉方程
2.5 欧拉方程的几种特殊类型及其积分
2.6 依赖于多个一元函数的变分问题
2.7 依赖于高阶导数的变分问题
2.8 依赖于多元函数的变分问题
2.9 完全泛函的变分问题
2.10 欧拉方程的不变性
2.11 名家介绍
习题2

第3章 泛函极值的充分条件
3.1 极值曲线场
3.2 雅可比条件和雅可比方程
3.3 魏尔斯特拉斯函数与魏尔斯特拉斯条件
3.4 勒让德条件
3.5 泛函极值的充分条件
3.5.1 魏尔斯特拉斯充分条件
3.5.2 勒让德充分条件
3.6 泛函的高阶变分
3.7 名家介绍
习题3

第4章 可动边界的变分问题
4.1 最简泛函的变分问题
4.2 含有多个函数的泛函的变分问题
4.3 含有高阶导数的泛函的变分问题
4.3.1 泛函含有一个未知函数二阶导数的情形
4.3.2 泛函含有一个未知函数多阶导数的情形
4.3.3 泛函含有多个未知函数多阶导数的情形
4.4 含有多元函数的泛函的变分问题
4.5 具有尖点的极值曲线
4.6 单侧变分问题
4.7 名家介绍
习题4

第5章 条件极值的变分问题
5.1 完整约束的变分问题
5.2 微分约束的变分问题
5.3 等周问题
5.4 混合型泛函的极值问题
5.4.1 简单混合型泛函的极值问题
5.4.2 二维、三维和"维问题的欧拉方程
5.5 名家介绍
习题5

第6章 参数形式的变分问题
6.1 曲线的参数形式及齐次条件
6.2 参数形式的等周问题和测地线
6.3 可动边界参数形式泛函的极值
习题6

第7章 变分原理
7.1 集合与映射
7.2 集合与空间
7.3 标准正交系与傅里叶级数
7.4 算子与泛函
7.5 泛函的导数
7.6 算子方程的变分原理
7.7 与自共轭常微分方程边值问题等价的变分问题
7.8 与自共轭偏微分方程边值问题等价的变分问题
7.9 弗里德里希斯不等式和庞加莱不等式
7.10 名家介绍
习题7

第8章 变分问题的直接方法
8.1 极小（极大）化序列
8.2 欧拉有限差分法
8.3 里茨法
8.4 坎托罗维奇法
8.5 伽辽金法
8.6 最小二乘法
8.7 算子方程的特征值和特征函数
8.8 名家介绍
习题8

第9章 力学中的变分原理及其应用
9.1 力学的基本概念
9.1.1 力学系统
9.1.2 约束及其分类
9.1.3 实位移与虚位移
9.1.4 应变与位移的关系
9.1.5 功与能
9.2 虚位移原理
9.2.1 质点系的虚位移原理
9.2.2 弹性体的广义虚位移原理
9.2.3 弹性体的虚位移原理
9.3 最小势能原理
9.4 余虚功原理
9.5 最小余能原理
9.6 哈密顿原理及其应用
9.6.1 质点系的哈密顿原理
9.6.2 弹性体的哈密顿原理
9.7 哈密顿正则方程
9.8 赫林格-赖斯纳广义变分原理
9.9 胡海吕鹫津久-郎广义变分原理
9.10 莫培督-拉格朗日最小作用量原理
9.11 名家介绍
习题9

第10章 含向量、张量和哈密顿算子的泛函变分问题
10.1 张量内积运算的基本性质与含张量的泛函变分基本引理
10.2 含向量、向量的模和哈密顿算子的泛函的欧拉方程
10.3 梯度型泛函的欧拉方程
10.4 散度型泛函的欧拉方程
10.5 旋度型泛函的欧拉方程
10.6 含并联式内积张量和哈密顿算子的泛函变分问题
10.6.1 并联式内积张量的梯度、散度和旋度变分公式推导
10.6.2 含并联式内积张量和哈密顿算子的泛函的欧拉方程及自然边界条件
10.6.3 含并联式内积张量和哈密顿算子的泛函的算例
10.6.4 含并联式内积张量和哈密顿算子串的泛函的欧拉方程
10.6.5 其他含并联式内积张量和哈密顿算子的泛函的欧拉方程
10.7 含串联式内积张量和哈密顿算子的泛函变分问题
10.7.1 串联式内积张量的梯度、散度和旋度变分公式推导
10.7.2 含串联式内积张量和哈密顿算子的泛函的欧拉方程及自然边界条件
10.7.3 含串联式内积张量和哈密顿算子串的泛函的欧拉方程
10.7.4 其他含串联式内积张量和哈密顿算子的泛函的欧拉方程
10.8 结j沦
10.9 名家介绍
习题10

附录1 习题全解
第1章 预备知识习题解
第2章 固定边界的变分问题习题解
第3章 泛函极值的充分条件习题解
第4章 可动边界的变分问题习题解
第5章 条件极值的变分问题习题解
第6章 参数形式的变分问题习题解
第7章 变分原理习题解
第8章 变分问题的直接方法习题解
第9章 力学中的变分原理及其应用习题解
第10章 含向量、张量和哈密顿算子的泛函变分问题习题解
附录2 索引
参考文献

经典力学：原理与应用 内容简介 本书旨在为学习经典力学提供一个全面、深入且富有启发性的导引。它不仅覆盖了从牛顿力学到拉格朗日、哈密顿力学的经典框架，更注重将这些数学工具与实际物理问题紧密结合，引导读者构建起扎实的物理直觉和严谨的数学思维。全书的编排力求逻辑清晰、层层递进，确保读者在掌握基础概念的同时，能够领略高级理论的深刻内涵。 第一部分：牛顿力学的基石 本书伊始，我们回归到经典力学的基本公设——牛顿运动定律。不同于通常教科书的简单罗列，本部分侧重于对“惯性系”、“力和质量的定义”等基本概念进行深入的哲学和物理学辨析。我们详细讨论了绝对空间和绝对时间的局限性，并为后续引入更广义的理论体系埋下伏笔。 在描述运动方面，除了二维和三维的运动学分析外，我们着重探讨了约束理论的初步引入。对于各种常见的机械约束（如光滑面、固定轴、移动约束等），本书将分析如何用约束力和虚拟位移的概念来简化问题的求解。例如，在斜面上滚动的圆柱体、复杂的多连杆机构，都将通过对力图的细致剖析和牛顿第二定律的向量形式应用，展示其内在的运动规律。 系统的动力学分析是本部分的核心。我们系统地阐述了动量守恒、角动量守恒和能量守恒定律的物理意义及其在不同参考系下的表现。特别地，对刚体的转动动力学，我们采用了矩阵形式的惯性张量描述，详细解析了主轴、主惯性矩的概念，并通过欧拉角分解来处理复杂的空间姿态变化，为后续接触张量分析打下基础。 第二部分：进阶分析：拉格朗日力学 从牛顿力学过渡到分析力学，关键在于思想的飞跃：从关注力的平衡转向关注能量和作用量的极值原理。本书的第二部分全面构建了拉格朗日力学的数学框架。 首先，我们详尽讲解了广义坐标的选择及其对约束的处理。书中提供了大量实例，展示如何通过选择合适的广义坐标来“内含”掉所有的约束力，从而将问题简化为对少数独立变量的分析。 核心章节集中在达朗贝尔原理和虚功原理的严谨推导。在此基础上，拉格朗日方程的推导过程被清晰地分解为速度的导数、势能的梯度以及动能的依赖性三个部分，使得读者能深刻理解每个项的物理来源。 拉格朗日力学在处理周期性运动和保守系统方面表现出极大的优越性。我们深入分析了循环坐标（或称可忽略坐标）的物理含义——它们对应于守恒量。通过对这些守恒量的识别，系统可以被降阶求解，这为理解诺特定理提供了直观的铺垫。 在本部分的末尾，我们将拉格朗日量推广到含时间依赖势场的情况，并讨论了正则坐标变换的初步概念，为过渡到哈密顿力学做准备。 第三部分：深入核心：哈密顿力学与泊松括号 哈密顿力学是理论物理的语言。本部分将重点放在相空间的概念以及泊松括号的强大代数结构上。 我们首先详细推导了勒让德变换，明确了动量和速度之间的转换关系，以及哈密顿量 $H$ 在能量概念上的特殊地位。在相空间中，系统的演化不再由一阶微分方程描述，而是由一组相互耦合的一阶方程（哈密顿方程）给出。我们通过具体的案例分析了相轨迹的特性，例如保守系统的相空间图形往往表现出周期性或封闭性。 泊松括号作为连接结构和守恒量的桥梁，占据了核心地位。本书不仅介绍了泊松括号的代数性质（反对称性、雅可比恒等式），更重要的是展示了： 1. 守恒量的判据：一个物理量是守恒的，当且仅当它与哈密顿量在泊松括号下的值为零。 2. 演化方程：任何物理量在时间上的变化率都可以用它与哈密顿量的泊松括号来表示，这为量子力学中的演化方程提供了直接的类比。 此外，我们还引入了正则变换的严格理论。正则变换保留了相空间的基本结构（即泊松括号的形式不变性），我们探讨了生成函数法，并阐述了如何利用正则变换来求解复杂的哈密顿系统，特别是如何将一个系统化简到一个“可积分”的形式。 第四部分：对称性、守恒律与连续介质基础 本部分致力于将分析力学提升到更抽象、更普适的层面，连接其与现代物理的桥梁。 诺特定理的详尽阐述是本部分的重点。我们不仅给出了定理的严格数学证明，更通过丰富的物理实例（如空间平移对应动量守恒，时间平移对应能量守恒，空间旋转对应角动量守恒）来深化理解。理解诺特定理的关键在于识别系统拉格朗日量在特定变换下保持不变的性质。 在连续介质的初步处理上，本书讨论了流体动力学的欧拉方程和拉格朗日描述，并展示了如何从离散粒子系统的拉格朗日量导向连续场论的拉格朗日密度形式。这为读者接触场论和广义相对论提供了必要的概念基础。 结语 本书力求在数学的严谨性和物理的直观性之间找到完美的平衡。通过系统地学习牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学，读者将掌握解决经典力学问题的全套工具，并为进一步研究统计力学、量子力学及更前沿的领域做好充分准备。书后的习题设计难度梯度合理，从基础概念的检验到复杂的理论应用，旨在巩固学习成果，激发独立思考。

评分☆☆☆☆☆

评价三： 这本书在内容组织上的严谨程度达到了教科书的顶尖水准，每一个章节的衔接都像精密的机械咬合一样紧密无间。我注意到，作者在引入新的工具或方法时，总会先回顾前置知识点，确保读者在进入新领域前已经夯实了基础，这种“步步为营”的结构，使得复杂问题的逐步分解变得可行。特别是对于那些跨学科的读者来说，这种清晰的知识脉络至关重要，它消除了因背景知识差异而产生的阅读障碍。更值得称道的是，书中对历史发展脉络的穿插介绍，虽然只是寥寥数语，却能让人对某个理论的产生背景和重要性有一个宏观的认识，这远比孤立地学习公式要有价值得多。它不仅仅是一本工具书，更像是一部浓缩的学科发展史。这种深厚的学术底蕴和对教学逻辑的深刻理解，使得这本书在众多同类书籍中脱颖而出，成为我案头不可或缺的参考资料。每次重读，总能发现一些之前被忽略的细节和更深层次的内涵。

评分☆☆☆☆☆

评价四： 从实际应用的角度来看，这本书的价值是无可估量的。书中提供的那些例题和习题设计得极为巧妙，它们不是简单的重复性计算，而是真正考验你对核心概念理解程度的“试金石”。我发现，很多练习题的思路，在实际工程问题中都能找到影子，这让我感到自己所学的理论知识正在迅速转化为解决实际问题的能力。解答部分的处理尤其值得称赞，它不仅给出了最终结果，更重要的是详细展示了解题的关键步骤和背后的思维转变过程，这对培养独立分析问题的能力大有裨益。我尤其欣赏那些贯穿全书的综合性案例分析，它们将前面学到的分散知识点整合起来，形成一个完整的知识网络。这本书的配套资源，比如在线的补充材料或者勘误表，也维护得相当及时和专业，这体现了作者和出版社对读者负责任的态度。对于需要将理论应用于科研或工程领域的人士而言，这本书提供的实践指导性非常强，它教会你的不仅是“如何做”，更是“为什么这样做”。

评分☆☆☆☆☆

评价二： 我对这本书的语言风格感到非常惊喜，它没有陷入传统教材那种生硬、刻板的说教模式。作者的笔触非常老练而富有启发性，像是身边一位经验丰富的导师在娓娓道来，而不是冷冰冰地陈述事实。在阐述一些非常抽象的数学概念时，作者总是能巧妙地结合一些贴近现实生活的类比和直观的几何解释，这极大地降低了初学者的入门门槛。我特别喜欢那些在关键概念旁留出的“思考空间”或“注脚”，它们往往会引导你去质疑、去深入探究背后的原理，而不是仅仅满足于记住公式。这种启发式的教学方法，让我感觉自己不是被动地接受知识，而是在主动地“构建”知识体系。阅读过程中，我经常会因为某个精妙的比喻或清晰的逻辑链条而会心一笑，这种学习的愉悦感是很多其他参考书无法给予的。总体来说，这本书的文字充满了温度和智慧，让枯燥的理论学习过程变得生动有趣，真正做到了雅俗共赏，既能满足专业人士的严谨要求，也能温暖初学者的求知之心。

评分☆☆☆☆☆

评价五： 这本书的出版质量和细节处理简直是业界典范。我仔细检查了书中的公式和符号，几乎找不到任何排印上的错误或模糊不清的地方，这一点对于一本数学和物理类书籍来说至关重要，一个微小的下标错误就可能导致整个推导的失败。字体选择上，无论是正文还是公式，都做到了清晰易读的最大化，字号的间距和行距都经过了精心的调校，保证了长时间阅读的舒适性。装订方面，书脊的平整度和韧性都显示出这是一本可以经受反复翻阅、长期保存的耐用品。而且，我发现这本书的索引部分做得异常详尽和科学，查找特定术语或定理异常方便快捷，这极大地提高了我的检索效率。总而言之，这本书从纸张的选择到油墨的质量，再到最终的装订工艺，每一个环节都透露着对知识的尊重和对读者的体贴，它本身就是一件制作精良的知识载体，让人爱不释手，值得珍藏。

评分☆☆☆☆☆

评价一： 这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，封面那种沉稳又不失现代感的配色，一下子就抓住了我的注意力。内页的纸张质量也挺上乘，拿在手里有种厚实而舒适的触感，长时间阅读下来眼睛也不会觉得太累。我尤其欣赏它在章节排版上的用心，图文并茂的布局，复杂的数学公式和定理推导都清晰地呈现在眼前，不会显得拥挤或者晦涩难懂。很多时候，一本专业的书如果排版不佳，光是阅读体验就能劝退不少人，但这本书在这方面做得非常到位。翻阅时那种流畅感，就像在一条设计精良的知识小径上漫步，每一步的指引都恰到好处。而且，它的目录结构设计得逻辑性极强，从基础概念的铺陈到高级应用的展开，过渡自然得让人几乎察觉不到难度的陡然增加，这对于自学者来说简直是福音。书的整体开本也比较适中，无论是放在书架上，还是随身携带在包里，都非常方便。由此可见，出版方在制作这本教材时，确实投入了大量精力，力求为读者提供一个高质量的阅读载体。这本书的实体书质感，绝对配得上它所承载的深度知识。