2017年全新正版高中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(第3次修订)/高中奥赛j竞赛指导方法竞 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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店铺： 华彩图书专营店

出版社： 山西教育出版社

ISBN：9787544023191

商品编码：26519687175

丛书名： 高中数学奥林匹克竞赛解题方法

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经典数学思想的深度探索与应用 本书系对现代数学研究领域中，那些最具系统性、穿透力且在历届重大国际及国内数学竞赛中反复出现的核心解题思想和技巧进行一次全面、深入的梳理与提炼。我们着眼于数学思维的构建，而非单纯的公式堆砌或难题的机械罗列，旨在为志在攀登数学高峰的读者奠定坚实、灵活的思维基石。 本书的视角聚焦于以下几个相互关联、却又各有侧重的数学分支，它们共同构成了高级数学竞赛的骨架与灵魂： 第一部分：代数体系的精微雕琢与结构解析 代数，作为数学的通用语言，其魅力在于其强大的结构化和形式化能力。本书在代数部分，重点剖析了超越基本计算范畴的进阶技巧。 一、多项式与有理式的深度剖析： 我们不仅仅停留在因式分解和余数定理的基础应用上。重点章节深入探讨了环论在竞赛中的初步体现，如关于域上多项式在特定模下的性质，特别是在处理周期性、对称性及高次方程根的代数关系时，牛顿和拉格朗日插值公式的变体应用，以及如何利用对称多项式的基底理论来简化冗余变量，达到形式上的极简。对于高次方程，则侧重于伽罗瓦理论的初步概念（不涉及高等代数中的严密证明，而是侧重于其推论与应用，例如判断特定类型五次方程的可解性与根式表示限制），以及如何通过韦达定理的推广形式，探究实数根与复根的分布规律。 二、函数方程的构造性解法： 函数方程是检验选手构造能力与逻辑严密性的试金石。本书摒弃了大量“套路化”的代入法。核心内容集中在不动点理论的初步应用（如Banach不动点定理在特定区间函数上的启发性作用，尽管不进行严格证明），柯西泛函方程在离散域和有限域上的特殊解构造。我们详细分析了如何通过边界条件、奇偶性、周期性、单调性的综合分析，推导出方程的唯一解结构。特别地，对于涉及三角函数、指数函数和对数函数的混合函数方程，我们展示了如何通过变量替换和区间映射，将复杂问题转化为基本函数的性质判断。 三、不等式的构造性证明与极值获取： 不等式部分，是本书的重点和难点。我们不再局限于均值不等式（AM-GM, Cauchy-Schwarz, Jensen）的直接套用。核心内容转向“构造辅助函数法”的系统化训练。这包括如何通过配方法的升级版——如“多变量二次型分解”来证明高次或多变量不等式；如何运用“Lagrange乘数法”的思想（在不使用微积分的前提下，通过分析函数梯度为零的点来预判极值点），来指导我们构造新的辅助表达式；以及对Schur不等式及其推广形式在特定参数范围内的深入应用。此外，对算子不等式的初步认识，即如何将不等式视为某种变换下的单调性保持，也是本章的亮点。 第二部分：几何直觉的代数化与拓扑思维的启示 几何部分，旨在弥合纯几何的直观性与解析几何的精确性之间的鸿沟，并引入现代几何学的基本思想。 一、解析几何的高维延展与向量空间基础： 抛开传统的坐标法，本书强调线性代数思想在几何中的渗透。在二维和三维欧氏空间中，我们重点训练如何使用向量的内积和外积来描述角度、投影和面积/体积，特别是如何利用向量空间的正交基来简化复杂的几何关系。对于解析几何中的轨迹问题，我们引入了参数方程的优势，展示如何通过参数的周期性来识别图形的封闭性和对称性，而无需进行复杂的二次曲线配平。 二、组合几何的图论视角： 组合几何是近年来竞赛的热点。本书将这类问题视为图论在平面或空间中的离散化应用。核心在于如何正确地将点集、线段集、面片集抽象为图的顶点集（V）和边集（E）。我们详细分析了如何利用欧拉公式（在平面图嵌入中的应用）、染色问题与握手定理的变体，来解决点集覆盖、凸多边形的划分以及平面镶嵌问题中的存在性与最优化问题。 三、拓扑思维的启蒙： 在不涉及严密拓扑学定义的前提下，我们引入了不变量和连续变形的直观概念。例如，在处理空间图形的穿孔、环绕问题时，我们使用环绕数的直观理解来区分拓扑等价的图形。对于折纸和几何变换问题，我们强调“不变量”——那些在特定变换下保持不变的量——是解决问题的关键。 第三部分：数论中的高级结构探究 数论部分，关注整数结构背后的深层规律，超越了基础的同余式求解。 一、丢番图方程的特定结构解法： 对于高阶丢番图方程，本书侧重于结合费马大定理的局部推广思想（如对三次方程的处理），以及模算术在限制解域上的应用。重点解析了如何使用二次互反律的推广概念（如雅可比符号的初步应用）来快速排除无解的可能性，并讲解了如何利用佩尔方程（Pell's Equation）的结构来生成无穷多组正整数解。 二、同余式的进阶应用： 在原根和离散对数的预备知识之上，本书深入探讨了中国剩余定理（CRT）在非互质模下的推广构造，以及如何利用欧拉函数和原根来解决周期性序列中的特定项求解问题。特别强调了“模的升降法”，即如何通过分析一个解在模$p^k$下的性质，来推导出其在$p^{k+1}$下的唯一提升解。 结语：解题哲学的重塑 本书的最终目标，是引导读者建立一种“猜想—验证—推广”的完整数学研究模式。我们力求展示，奥林匹克竞赛中的复杂问题，往往是几个基础数学概念在特定约束下产生的“奇异点”。通过对这些思想的系统化训练，读者将能够从容应对那些表面陌生，实则暗含经典结构的新问题。本书的价值在于其方法论的深度和广度，而非某特定年份赛题的复刻。

评分☆☆☆☆☆

这套书的装帧设计简直是教科书级别的典范，拿到手里就知道是精心打磨过的作品。封面那种沉稳又不失活力的配色，让人一看就觉得内容扎实，不是那种浮夸的宣传。内页的纸张质量也是一流，阅读起来非常舒适，长时间盯着也不会觉得眼睛干涩。更让我惊喜的是它的排版，每一个公式、每一个定理的推导步骤都清晰明了，间距处理得恰到好处，完全避免了那种局促拥挤的感觉。尤其是那些复杂的几何图形和代数结构图，标注得异常精准，即便是初次接触这些概念的读者，也能迅速抓住重点。我特别喜欢它在章节划分上的逻辑性，从基础概念的梳理到高阶技巧的渗透，过渡得非常自然，简直就像一位经验丰富的老教授在手把手地引导你攀登知识的高峰。这种对细节的极致追求，体现了出版方对学术严肃性的尊重，对于追求高效和高品质学习体验的人来说，光是翻阅的过程就是一种享受。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值，远超出了其印刷成本和定价所能衡量的范畴，它更像是一份历经多年实战检验的“经验结晶库”。我尤其欣赏它在“反例”和“边界条件”处理上的细致入微。很多时候，我们通过一个例题就以为掌握了某个定理，但一旦遇到稍微变化了条件的问题，就立刻黔驴技穷。这本书恰恰在关键时刻抛出了几个“反直觉”的边界案例，并详细解释了为什么标准方法在这里失效，以及如何通过微调或引入新工具来完美收官。这种对“不完备性”的揭示和纠正，极大地提升了我的严谨性。这已经不是简单地教你如何拿分，而是教你如何像一个成熟的数学家一样思考问题——永远对你自认为已经解决的问题保持一份警惕和审视。

评分☆☆☆☆☆

我尝试过好几本市面上声称是“奥赛秘籍”的书籍，但大多停留在概念的堆砌，或者只是简单地罗列例题，缺乏对解题思维深层次的剖析。然而，这本书在方法论上的构建，着实让我眼前一亮。它没有满足于告诉我们“如何做”，更深入地探讨了“为什么这样想”。比如，对于那些看似无从下手的复杂方程组，它系统地归纳出了几种常见的“视角转换”策略，并配以详尽的思维导图式的解析，让你明白在特定情境下，哪种思维路径是最经济高效的。这种由表及里、由术到道的讲解模式，对于我这种习惯于“知其所以然”的学习者来说，简直是醍醐灌顶。它不仅仅是工具书，更像是一本关于数学思维哲学的入门指南，帮助读者建立起面对未知难题时的那种从容和自信。

评分☆☆☆☆☆

如果说有什么能让一个高中生在面对奥赛题海时保持清醒的头脑，那一定是系统化的错题分析和方法归类。我发现这本书在这方面做得极为出色，它提供的不仅仅是“解法”，更是“体系”。书中针对每一类竞赛热点题型，都设立了一个独立的模块，里面详细列出了该类问题的若干“陷阱”以及对应的“避雷针”式解题技巧。让我印象深刻的是它对数论部分的处理，传统的教材往往只讲皮毛，但这本书居然深入到了丢番图方程的特定解法优化上，并且用非常直白的语言将数论中的抽象概念具象化了。对于我这种对数论有点畏惧的考生来说，这本书记载的方法论简直就是一座灯塔，指引我清晰地辨识和攻克那些曾经让我束手无策的难点，让原本枯燥的记忆过程变成了一种策略部署的游戏。

评分☆☆☆☆☆

从一个长期在竞赛圈摸爬滚打的学生的角度来看，我必须肯定这本书在“效率提升”方面的巨大贡献。时间是奥赛中最大的敌人，如何用最快的速度锁定问题的本质并施加最有效的攻击，是制胜的关键。这本书的编排逻辑完美地服务于这种效率需求。它没有冗余的叙述，每一页信息密度都极高，但又保证了可读性。特别是它对一些高级技巧如“生成函数”和“特征根”的应用场景做了明确的界定，让你在考场上能够迅速做出判断：“这道题用生成函数能秒杀，用代数硬算会浪费五分钟。”这种快速决策能力是靠大量的阅读和归纳才能形成的，而这本书已经把这个归纳过程替我们完成了大半。读完它，我感觉自己不是学会了几种解法，而是拥有了一套快速识别和匹配解法库的“搜索引擎”。