數學分析中的問題與方法 李傅山 科學齣版社 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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李傅山 著

圖書標籤:

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• 李傅山
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齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030493668

商品編碼：26782966757

包裝：平裝

齣版時間：2017-12-01

圖書基本信息
圖書名稱	數學分析中的問題與方法	作者	李傅山
定價	69.00元	齣版社	科學齣版社
ISBN	9787030493668	齣版日期	2017-12-01
字數		頁碼
版次	1	裝幀	平裝
開本	128開	商品重量	0.4Kg

內容簡介

本書是在作者十餘年講授數學分析、考研輔導、數學競賽材料的基礎上多次修訂而成的.所選題目大部分是重點高校碩士研究生入學考試題目和重點高校教材中的經典題目,部分題目是全國大學生數學競賽試題.本書采用分類講解的方式,在講解題目時一般采用分析—解答—備注的方式,使讀者舉一反三,觸類旁通,有些題目給齣多種解答方法以拓寬讀者的思維.本書內容包括極限論、函數的連續性、一元函數微分學、一元函數積分學、級數論、多元函數微分學、含參變量積分、多元函數積分學.

作者簡介

目錄

編輯推薦

文摘

序言

好的，這是一本關於數學分析中經典問題的探討與解題方法的書籍的簡介，內容詳實，旨在為讀者提供深入的學習和實踐指導，且不包含您提到的特定書籍的任何信息： --- 現代分析中的幾何直觀與計算技巧：基於經典難題的解析 書籍概述 本書聚焦於高等數學分析領域中那些既是理論基石，又是實踐難點的經典問題。它並非旨在全麵覆蓋標準微積分或數學分析的全部教材內容，而是選擇瞭一係列具有代錶性的、對理解分析學核心概念至關重要的具體問題，並從不同的角度——幾何直觀、嚴格證明、高效計算——進行深入剖析。全書的結構圍繞“問題導嚮”展開，旨在幫助讀者跨越理論與實際應用之間的鴻溝，培養獨立解決復雜分析問題的能力。 本書的讀者對象主要麵嚮高年級本科生、研究生，以及需要紮實的分析基礎來應對科學研究或工程挑戰的專業人士。 第一部分：極限、連續性與收斂性的精妙考量 本部分深入探討瞭函數序列與函數項級數收斂性中的非平凡案例，這些案例常常是標準教科書處理得較為簡略的部分。 第一章：非均勻收斂的邊界效應 我們將詳細分析狄利剋雷核（Dirichlet Kernel）和費耶核（Fejér Kernel）在傅裏葉級數展開中的應用。重點探討瞭經典的收斂性問題，例如，一個連續函數的傅裏葉級數在何處會失效？我們將通過構造性的反例，展示點態收斂與一緻收斂之間的微妙差異。具體內容包括： 1. 收斂點的精確定位： 如何利用邊界條件的突變來預測傅裏葉級數的收斂行為，特彆是吉布斯現象（Gibbs Phenomenon）的産生機製，並探討其對信號處理中濾波器的啓示。 2. 函數空間中的距離： 在 $L^p$ 空間中考察函數序列的收斂性，引入適用的範數（如 $L^infty$ 範數和 $L^2$ 範數），並比較它們在評估收斂速度上的差異。 3. 延拓與限製： 探討將一個定義在有限區間上的函數延拓至全實數軸時，其傅裏葉級數收斂性可能發生的變化，這涉及到一個關於周期延拓函數的平滑性問題。 第二章：積分的收斂性與比較判彆法的深化 本章側重於廣義積分（Improper Integrals）的斂散性判斷，特彆是涉及參數的積分。 1. 參數積分的絕對收斂與條件收斂： 引入更精細的比較判彆法，如梅林判彆法（Mellin’s criterion）在判斷形如 $int_a^infty f(x, t) dx$ 的收斂性中的應用。 2. 瑕點處的細節處理： 針對積分區間兩端同時存在瑕點的情況，如何將積分分解並分彆處理，確保每部分的收斂性得以驗證。例如，分析 $int_0^infty frac{sin x}{x} dx$ 的條件收斂性，並展示其與狄利剋雷判彆法（Dirichlet's Test）的內在聯係。 3. 積分的交換問題： 深入討論二重積分中，Fubini定理的限製條件——函數是否可積（Lebesgue 可積性）的判斷，以及在無法滿足 Fubini 條件時，如何通過黎曼和的極限來間接判斷積分值。 第二部分：微分、積分與變分法的交匯點 本部分將分析性工具與實際問題中的優化需求相結閤，探討微分算子的性質及其在解決變分問題中的作用。 第三章：中值定理的推廣與應用局限 拉格朗日中值定理和柯西中值定理在數學分析中的基礎地位毋庸置疑，但其在特定函數族中的應用往往需要更強的條件。 1. 高階導數與泰勒公式的精確餘項： 側重於拉格朗日型餘項和柯西型餘項的選擇，並結閤具體函數的局部逼近問題，分析在哪種情況下使用哪種餘項能更有效地估計誤差。 2. 反證法在證明中值定理失效案例中的應用： 構造函數，使其在某一點導數存在，但局部性質不滿足中值定理的推論（例如，是否存在一個點 $c$ 使得切綫平行於割綫，但 $f'(c)$ 卻不存在？）。 3. 微分方程解的穩定性分析： 利用中值定理的推廣形式（如Grönwall不等式的前身思想）來分析一階常微分方程解的唯一性和穩定性。 第四章：微積分在幾何測度中的應用 本章側重於分析工具在麯麵麵積、弧長以及麯率計算中的精確應用。 1. 參數化麯綫的麯率計算： 對非標準參數化麯綫（如極坐標或球坐標下的麯綫）進行弧長和麯率的計算，重點在於如何正確處理參數轉換帶來的雅可比行列式問題。 2. 麯麵積分的路徑依賴性與保守場： 在三維空間中，分析嚮量場的鏇度（Curl）與通量積分之間的關係，並探討在何種區域（如存在奇點的區域）格林公式和斯托剋斯公式的應用會受到限製。 3. 極值點的二階判彆與鞍點分析： 在多變量函數中，如何利用海森矩陣（Hessian Matrix）來區分局部最大值、最小值以及鞍點。重點分析奇異點周圍的局部行為，特彆是當特徵值符號不確定時（如矩陣行列式為零的情況）。 第三部分：度量空間與泛函分析的初探橋梁 本部分將讀者從標準的 $mathbb{R}^n$ 空間拓展到更抽象的度量空間，為後續的泛函分析學習打下堅實基礎。 第五章：完備性與不動點理論 完備性是分析學中保證“極限存在”的核心概念。 1. 巴拿赫不動點定理（Banach Fixed-Point Theorem）的實踐： 詳細分析該定理在求解積分方程（Volterra 積分方程）中的應用，並計算迭代逼近的收斂速度。 2. 柯西序列的構造性證明： 在非標準的完備空間中（例如，特定函數的集閤上賦予適當的範數），如何構造和驗證一個序列是否為柯西序列。 3. 拓撲結構對收斂的影響： 比較有限維歐氏空間和無限維空間中序列收斂的差異，例如，緊緻性在不同空間中的錶現。 第六章：測度論的直觀理解 雖然本書不是專門的測度論教材，但為瞭理解勒貝格積分的優越性，需要引入對“可測集”和“測度”的直觀認識。 1. 不可測集的哲學探討： 簡要討論構造性反例，如維塔利集（Vitali Set），來理解“測度”概念的必要性，以及它如何剋服黎曼積分在處理不規則集閤上的缺陷。 2. 簡單函數的逼近： 如何用一係列簡單的、易於積分的函數序列來逼近一個更復雜的被積函數，這是理解勒貝格積分定義的核心步驟。 結語 本書通過對上述六個關鍵領域的深度剖析，旨在嚮讀者展示數學分析並非一係列孤立的定理和公式的集閤，而是一個由嚴謹邏輯和深刻幾何直覺支撐的統一體係。掌握這些經典問題的解題技巧，將極大增強讀者應對更前沿分析挑戰的信心和能力。 ---

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的整體觀感是：它成功地將“問題”和“方法”這兩大要素進行瞭完美的融閤，而非簡單地將它們並列堆砌。許多其他參考書在講解方法時，往往側重於展示一個或兩個標準解法，但本書的獨到之處在於，它會探討解決同一類問題的多種可能性和局限性。例如，在處理一些經典的傅裏葉分析相關的極限定理時，書中不僅詳細闡述瞭經典微積分工具的應用，還穿插介紹瞭泛函分析或測度論中的某些先導思想，為讀者描繪瞭一幅更宏大的數學藍圖。這種“跨界”的視角，極大地拓寬瞭我對數學工具箱的認知。它教會我的不僅是如何解決眼前的挑戰，更是如何從更高維度的結構上去審視問題，尋找更簡潔、更本質的切入點。這種對數學本質的追求，是任何應試導嚮的教材所無法比擬的。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣版質量本身就值得稱贊。作為一本厚重的專業參考書，其紙張的質感、裝幀的牢固程度以及印刷的清晰度都達到瞭極高的水準。在長時間的閱讀和反復查閱中，書本的物理形態依然保持得很好，這對於經常需要在書桌上“作戰”的研究者來說，是一個非常重要的加分項。更重要的是，書中對於符號係統的規範使用，體現瞭作者嚴謹的學術態度。每一個希臘字母、每一個上下標的運用都精準無誤，這在處理涉及大量復雜公式的分析學著作中是極其寶貴的品質。清晰的符號係統有效地避免瞭閱讀中的歧義，使得注意力可以完全集中在邏輯推理本身，而不是在猜測作者的筆誤上。這種對細節的極緻追求，是高質量學術齣版物的標誌。

評分☆☆☆☆☆

閱讀這本書的過程，就像是與一位經驗極其豐富、且富有耐心的導師進行瞭一場漫長而深入的對話。它不是那種填鴨式的教材，它更像是一麵鏡子，映照齣讀者在理解分析學概念時的薄弱環節。我發現自己常常需要放下筆，凝視著某一特定定理的證明，試圖在腦海中重構作者的思考路徑。這種強迫性的內化過程，極大地鍛煉瞭我的抽象思維能力。尤其是一些關於收斂性、積分的極限定理的討論，作者不僅給齣瞭嚴格的證明，還配以直觀的幾何或物理圖像輔助理解，使得那些原本在純符號世界裏漂浮的概念，一下子變得紮實可靠。這種多維度的解釋方式，確保瞭即使是初次接觸這些概念的人，也能建立起堅固的知識框架。全書的難度梯度設置得非常閤理，從基礎鞏固到前沿探索，層層遞進，讓人在不知不覺中完成瞭知識的螺鏇上升。

評分☆☆☆☆☆

這部著作的深度與廣度令人驚嘆，它不僅僅是一本習題集，更像是一部引人入勝的數學思維的旅程指南。作者在選取例題和闡述解題思路時，展現瞭非凡的洞察力。那些看似孤立的數學難題，在書中被巧妙地串聯起來，揭示瞭隱藏在不同分支背後的統一數學思想。我尤其欣賞它對“為什麼”的追問，而不是僅僅給齣“如何做”的步驟。每一步推導都蘊含著深刻的邏輯支撐，迫使讀者停下來思考背後的原理。那種豁然開朗的感覺，遠超解齣一道難題本身的滿足感。對於那些渴望從“會做題”邁嚮“懂數學”的進階學習者來說，這本書是不可多得的良師益友。它沒有刻意迎閤初學者的接受習慣，而是以一種略帶挑戰性的姿態，邀請讀者共同探索分析學的核心魅力。這種不妥協的學術態度，正是其價值所在。書中的排版和圖示也極為考究，清晰的結構安排，使得復雜的證明過程也能條理分明，極大地降低瞭閱讀的認知負荷。

評分☆☆☆☆☆

這本書的價值在於其持久性，它不是那種讀完一遍就束之高閣的“快餐式”學習資料。相反，它更像是一本需要時間去“泡養”的工具書。每隔一段時間重溫其中的某一章節，總能發現初次閱讀時因知識儲備不足而未能完全消化的精妙之處。特彆是那些關於反例構造和極端情況分析的部分，它們深刻地揭示瞭數學定理的邊界和適用範圍，這對於培養真正的數學直覺至關重要。它提醒我們，數學的美麗不僅在於其嚴謹的證明，更在於它對“例外”的包容與精確的界定。這本書為我構建瞭一個堅實的分析學基礎，讓我有信心去麵對更抽象、更前沿的數學課題。它真正做到瞭“授人以漁”，培養的是獨立思考和解決未知問題的能力，這纔是高等數學學習的終極目標。