数学分析中的问题与方法 李傅山 科学出版社 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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李傅山 著

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• 李傅山
• 科学出版社
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店铺： 南源图书专营店

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030493668

商品编码：26782966757

包装：平装

出版时间：2017-12-01

图书基本信息
图书名称	数学分析中的问题与方法	作者	李傅山
定价	69.00元	出版社	科学出版社
ISBN	9787030493668	出版日期	2017-12-01
字数		页码
版次	1	装帧	平装
开本	128开	商品重量	0.4Kg

内容简介

本书是在作者十余年讲授数学分析、考研辅导、数学竞赛材料的基础上多次修订而成的.所选题目大部分是重点高校硕士研究生入学考试题目和重点高校教材中的经典题目,部分题目是全国大学生数学竞赛试题.本书采用分类讲解的方式,在讲解题目时一般采用分析—解答—备注的方式,使读者举一反三,触类旁通,有些题目给出多种解答方法以拓宽读者的思维.本书内容包括极限论、函数的连续性、一元函数微分学、一元函数积分学、级数论、多元函数微分学、含参变量积分、多元函数积分学.

作者简介

目录

编辑推荐

文摘

序言

好的，这是一本关于数学分析中经典问题的探讨与解题方法的书籍的简介，内容详实，旨在为读者提供深入的学习和实践指导，且不包含您提到的特定书籍的任何信息： --- 现代分析中的几何直观与计算技巧：基于经典难题的解析 书籍概述 本书聚焦于高等数学分析领域中那些既是理论基石，又是实践难点的经典问题。它并非旨在全面覆盖标准微积分或数学分析的全部教材内容，而是选择了一系列具有代表性的、对理解分析学核心概念至关重要的具体问题，并从不同的角度——几何直观、严格证明、高效计算——进行深入剖析。全书的结构围绕“问题导向”展开，旨在帮助读者跨越理论与实际应用之间的鸿沟，培养独立解决复杂分析问题的能力。 本书的读者对象主要面向高年级本科生、研究生，以及需要扎实的分析基础来应对科学研究或工程挑战的专业人士。 第一部分：极限、连续性与收敛性的精妙考量 本部分深入探讨了函数序列与函数项级数收敛性中的非平凡案例，这些案例常常是标准教科书处理得较为简略的部分。 第一章：非均匀收敛的边界效应 我们将详细分析狄利克雷核（Dirichlet Kernel）和费耶核（Fejér Kernel）在傅里叶级数展开中的应用。重点探讨了经典的收敛性问题，例如，一个连续函数的傅里叶级数在何处会失效？我们将通过构造性的反例，展示点态收敛与一致收敛之间的微妙差异。具体内容包括： 1. 收敛点的精确定位： 如何利用边界条件的突变来预测傅里叶级数的收敛行为，特别是吉布斯现象（Gibbs Phenomenon）的产生机制，并探讨其对信号处理中滤波器的启示。 2. 函数空间中的距离： 在 $L^p$ 空间中考察函数序列的收敛性，引入适用的范数（如 $L^infty$ 范数和 $L^2$ 范数），并比较它们在评估收敛速度上的差异。 3. 延拓与限制： 探讨将一个定义在有限区间上的函数延拓至全实数轴时，其傅里叶级数收敛性可能发生的变化，这涉及到一个关于周期延拓函数的平滑性问题。 第二章：积分的收敛性与比较判别法的深化 本章侧重于广义积分（Improper Integrals）的敛散性判断，特别是涉及参数的积分。 1. 参数积分的绝对收敛与条件收敛： 引入更精细的比较判别法，如梅林判别法（Mellin’s criterion）在判断形如 $int_a^infty f(x, t) dx$ 的收敛性中的应用。 2. 瑕点处的细节处理： 针对积分区间两端同时存在瑕点的情况，如何将积分分解并分别处理，确保每部分的收敛性得以验证。例如，分析 $int_0^infty frac{sin x}{x} dx$ 的条件收敛性，并展示其与狄利克雷判别法（Dirichlet's Test）的内在联系。 3. 积分的交换问题： 深入讨论二重积分中，Fubini定理的限制条件——函数是否可积（Lebesgue 可积性）的判断，以及在无法满足 Fubini 条件时，如何通过黎曼和的极限来间接判断积分值。 第二部分：微分、积分与变分法的交汇点 本部分将分析性工具与实际问题中的优化需求相结合，探讨微分算子的性质及其在解决变分问题中的作用。 第三章：中值定理的推广与应用局限 拉格朗日中值定理和柯西中值定理在数学分析中的基础地位毋庸置疑，但其在特定函数族中的应用往往需要更强的条件。 1. 高阶导数与泰勒公式的精确余项： 侧重于拉格朗日型余项和柯西型余项的选择，并结合具体函数的局部逼近问题，分析在哪种情况下使用哪种余项能更有效地估计误差。 2. 反证法在证明中值定理失效案例中的应用： 构造函数，使其在某一点导数存在，但局部性质不满足中值定理的推论（例如，是否存在一个点 $c$ 使得切线平行于割线，但 $f'(c)$ 却不存在？）。 3. 微分方程解的稳定性分析： 利用中值定理的推广形式（如Grönwall不等式的前身思想）来分析一阶常微分方程解的唯一性和稳定性。 第四章：微积分在几何测度中的应用 本章侧重于分析工具在曲面面积、弧长以及曲率计算中的精确应用。 1. 参数化曲线的曲率计算： 对非标准参数化曲线（如极坐标或球坐标下的曲线）进行弧长和曲率的计算，重点在于如何正确处理参数转换带来的雅可比行列式问题。 2. 曲面积分的路径依赖性与保守场： 在三维空间中，分析向量场的旋度（Curl）与通量积分之间的关系，并探讨在何种区域（如存在奇点的区域）格林公式和斯托克斯公式的应用会受到限制。 3. 极值点的二阶判别与鞍点分析： 在多变量函数中，如何利用海森矩阵（Hessian Matrix）来区分局部最大值、最小值以及鞍点。重点分析奇异点周围的局部行为，特别是当特征值符号不确定时（如矩阵行列式为零的情况）。 第三部分：度量空间与泛函分析的初探桥梁 本部分将读者从标准的 $mathbb{R}^n$ 空间拓展到更抽象的度量空间，为后续的泛函分析学习打下坚实基础。 第五章：完备性与不动点理论 完备性是分析学中保证“极限存在”的核心概念。 1. 巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）的实践： 详细分析该定理在求解积分方程（Volterra 积分方程）中的应用，并计算迭代逼近的收敛速度。 2. 柯西序列的构造性证明： 在非标准的完备空间中（例如，特定函数的集合上赋予适当的范数），如何构造和验证一个序列是否为柯西序列。 3. 拓扑结构对收敛的影响： 比较有限维欧氏空间和无限维空间中序列收敛的差异，例如，紧致性在不同空间中的表现。 第六章：测度论的直观理解 虽然本书不是专门的测度论教材，但为了理解勒贝格积分的优越性，需要引入对“可测集”和“测度”的直观认识。 1. 不可测集的哲学探讨： 简要讨论构造性反例，如维塔利集（Vitali Set），来理解“测度”概念的必要性，以及它如何克服黎曼积分在处理不规则集合上的缺陷。 2. 简单函数的逼近： 如何用一系列简单的、易于积分的函数序列来逼近一个更复杂的被积函数，这是理解勒贝格积分定义的核心步骤。 结语 本书通过对上述六个关键领域的深度剖析，旨在向读者展示数学分析并非一系列孤立的定理和公式的集合，而是一个由严谨逻辑和深刻几何直觉支撑的统一体系。掌握这些经典问题的解题技巧，将极大增强读者应对更前沿分析挑战的信心和能力。 ---

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书的过程，就像是与一位经验极其丰富、且富有耐心的导师进行了一场漫长而深入的对话。它不是那种填鸭式的教材，它更像是一面镜子，映照出读者在理解分析学概念时的薄弱环节。我发现自己常常需要放下笔，凝视着某一特定定理的证明，试图在脑海中重构作者的思考路径。这种强迫性的内化过程，极大地锻炼了我的抽象思维能力。尤其是一些关于收敛性、积分的极限定理的讨论，作者不仅给出了严格的证明，还配以直观的几何或物理图像辅助理解，使得那些原本在纯符号世界里漂浮的概念，一下子变得扎实可靠。这种多维度的解释方式，确保了即使是初次接触这些概念的人，也能建立起坚固的知识框架。全书的难度梯度设置得非常合理，从基础巩固到前沿探索，层层递进，让人在不知不觉中完成了知识的螺旋上升。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版质量本身就值得称赞。作为一本厚重的专业参考书，其纸张的质感、装帧的牢固程度以及印刷的清晰度都达到了极高的水准。在长时间的阅读和反复查阅中，书本的物理形态依然保持得很好，这对于经常需要在书桌上“作战”的研究者来说，是一个非常重要的加分项。更重要的是，书中对于符号系统的规范使用，体现了作者严谨的学术态度。每一个希腊字母、每一个上下标的运用都精准无误，这在处理涉及大量复杂公式的分析学著作中是极其宝贵的品质。清晰的符号系统有效地避免了阅读中的歧义，使得注意力可以完全集中在逻辑推理本身，而不是在猜测作者的笔误上。这种对细节的极致追求，是高质量学术出版物的标志。

评分☆☆☆☆☆

这部著作的深度与广度令人惊叹，它不仅仅是一本习题集，更像是一部引人入胜的数学思维的旅程指南。作者在选取例题和阐述解题思路时，展现了非凡的洞察力。那些看似孤立的数学难题，在书中被巧妙地串联起来，揭示了隐藏在不同分支背后的统一数学思想。我尤其欣赏它对“为什么”的追问，而不是仅仅给出“如何做”的步骤。每一步推导都蕴含着深刻的逻辑支撑，迫使读者停下来思考背后的原理。那种豁然开朗的感觉，远超解出一道难题本身的满足感。对于那些渴望从“会做题”迈向“懂数学”的进阶学习者来说，这本书是不可多得的良师益友。它没有刻意迎合初学者的接受习惯，而是以一种略带挑战性的姿态，邀请读者共同探索分析学的核心魅力。这种不妥协的学术态度，正是其价值所在。书中的排版和图示也极为考究，清晰的结构安排，使得复杂的证明过程也能条理分明，极大地降低了阅读的认知负荷。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的整体观感是：它成功地将“问题”和“方法”这两大要素进行了完美的融合，而非简单地将它们并列堆砌。许多其他参考书在讲解方法时，往往侧重于展示一个或两个标准解法，但本书的独到之处在于，它会探讨解决同一类问题的多种可能性和局限性。例如，在处理一些经典的傅里叶分析相关的极限定理时，书中不仅详细阐述了经典微积分工具的应用，还穿插介绍了泛函分析或测度论中的某些先导思想，为读者描绘了一幅更宏大的数学蓝图。这种“跨界”的视角，极大地拓宽了我对数学工具箱的认知。它教会我的不仅是如何解决眼前的挑战，更是如何从更高维度的结构上去审视问题，寻找更简洁、更本质的切入点。这种对数学本质的追求，是任何应试导向的教材所无法比拟的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值在于其持久性，它不是那种读完一遍就束之高阁的“快餐式”学习资料。相反，它更像是一本需要时间去“泡养”的工具书。每隔一段时间重温其中的某一章节，总能发现初次阅读时因知识储备不足而未能完全消化的精妙之处。特别是那些关于反例构造和极端情况分析的部分，它们深刻地揭示了数学定理的边界和适用范围，这对于培养真正的数学直觉至关重要。它提醒我们，数学的美丽不仅在于其严谨的证明，更在于它对“例外”的包容与精确的界定。这本书为我构建了一个坚实的分析学基础，让我有信心去面对更抽象、更前沿的数学课题。它真正做到了“授人以渔”，培养的是独立思考和解决未知问题的能力，这才是高等数学学习的终极目标。