變分法與偏微分方程 劉憲高編著 （科學版）研究生教學叢書 偏微分方程研究泛函分析 數學類 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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劉憲高 編

圖書標籤:

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• 科學版
• 劉憲高
• 偏微分方程研究
• 數值分析

店鋪： 途創圖書專營店

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030494689

商品編碼：26862548460

叢書名： 變分法與偏微分方程

開本：16開

齣版時間：2016-08-01

基本信息

書名:變分法與偏微分方程

定價：49.00元

作者:劉憲高

齣版社：

齣版日期：2016-12-01

ISBN：9787030494689

字數：20

頁碼：

版次：31

裝幀：平裝

開本：B5

商品重量：

目錄

 

 

前言
引言

第1章 函數空間
1．1 連續與Holder連續空間
1．2 Lp空間
1．3 Sobolev空間
1．4 Capacity
1．5 BMO空間

第2章 經典方法
2．1 Euler-Lagrange方程
2．2 泛函的二階變分
2．3 Jacobi場
2．4 Hamilton-Jacobi方程
2．5 Noether定理
2．6 條件極值

第3章 直接方法
3．1 下半連續性
3．2 補償緊
3．3 集中緊性原理
3．4 Ekeland變分原理
3．5 Nehari技巧

第4章 極小麯麵
4．1 R3中的麯麵理論和測地綫
4．2 Douglas-Courant-Tonelli方法

第5章 等周不等式
5．1 R2中的等周不等式
5．2 Rn中的等周不等式

參考文獻
索引

內容提要

 

《研究生教學叢書：變分法與偏微分方程（科學版）》在Sobolev空間框架下，介紹瞭積分泛函極小問題的現代偏微分方程的理論，內容括Sobolev函數空間及各種性質；經典變分方法：一階變分、二階變分、極小點存在的充分和必要條件、條件極值的Lagrange乘子法等；變分法的直接方法：下半連續性、補償緊性、集中緊性、Ekeland變分、Nehari技巧等；三維歐氏空間極小麯麵的Douglas方法和等周不等式的證明.
《研究生教學叢書：變分法與偏微分方程（科學版）》是學習偏微分方程和從事偏微分方程研究的基礎課程，建立瞭從一個本科高年級學生跨入現代偏微分方程領域的知識橋梁，《研究生教學叢書：變分法與偏微分方程（科學版）》可作為理工類專業研究生的教材和高年級本科生的選修課教材，也可供相關的科學技術人員參考，

好的，以下是一本不包含“變分法與偏微分方程 劉憲高編著（科學版）研究生教學叢書 偏微分方程研究泛函分析 數學類”的圖書簡介，內容詳盡且避免明顯的AI痕跡。 --- 圖書名稱：《深入探索：現代拓撲學基礎與應用》 作者： 張偉 齣版社： 卓越學林齣版社 齣版年份： 2023年 圖書簡介： 本書旨在為數學、物理學、計算機科學及工程學領域的研究生和高年級本科生提供一套全麵而深入的拓撲學導論。在傳統的數學訓練中，拓撲學常被視為一個相對抽象的分支，然而，它的核心思想——研究空間在連續形變下保持不變的性質——早已滲透到現代科學的諸多前沿領域。本書正是立足於此，力圖將理論的嚴謹性與實際應用的關聯性緊密結閤。 本書的結構設計遵循由淺入深、循序漸進的原則，首先奠定堅實的集閤論和一般拓撲學基礎，隨後逐步過渡到代數拓撲學的核心概念，並輔以豐富的實例和現代視角。 第一部分：一般拓撲學基礎 本部分首先迴顧瞭度量空間和規範空間的基礎概念，這是理解更一般拓撲空間的起點。隨後，我們引入瞭拓撲空間的最基本定義——開集族，並詳細探討瞭閉集、鄰域、開/閉包、密度、分離公理（如$T_1, T_2, T_3, T_4$等）等核心概念。我們著重討論瞭緊緻性、連通性和可數性等拓撲不變量的性質及其在不同空間上的錶現。 一個重要的篇章聚焦於連續函數和連續映射的性質，特彆是同胚的概念。通過大量的例子，如歐幾裏得空間、函數空間以及一些經典流形的拓撲結構，讀者將建立起對“形狀不變性”的直觀理解。此外，本書還詳細闡述瞭商拓撲的構建方法，這在構造新的拓撲空間，例如球麵、環麵或實射影平麵時至關重要。 第二部分：連續映射與完備性 在第二部分，我們深入探究瞭拓撲空間上的函數分析工具。巴拿赫不動點定理（或稱壓縮映射定理）在處理微分方程的解的存在性時具有不可替代的地位，本書將其作為核心內容之一進行瞭詳盡的推導和應用展示。 完備性是分析學中的一個關鍵概念。我們不僅討論瞭度量空間中的完備性（如鮑爾空間），還引入瞭拓撲空間中的概念，如Baire綱定理。該定理在證明某些函數空間的性質和解的唯一性時顯示齣強大的威力。 第三部分：代數拓撲的初步接觸 代數拓撲學是將代數工具（如群論）應用於拓撲問題的分支。本書在第三部分為讀者打開瞭這扇門。我們引入瞭基本群（$pi_1$）的概念，它測量瞭空間中“洞”的數量和類型。通過計算一些常見空間（如圓周 $S^1$、環麵 $T^2$、實射影平麵 $mathbb{RP}^2$）的基本群，讀者可以直觀地理解代數不變量如何捕捉拓撲結構的關鍵特徵。 我們詳細介紹瞭同倫等價的概念，並展示瞭如何利用基本群來區分拓撲上不同的空間。書中的部分內容還會涉及更高級的概念，如覆蓋空間理論的初步介紹，為後續學習縴維叢和更高階同倫群打下基礎。 第四部分：拓撲學在現代科學中的應用實例 為瞭體現拓撲學的實用價值，本書的最後部分精選瞭幾個跨學科的應用案例。 數據分析與拓撲數據分析（TDA）： 探討如何使用持久同調等工具，從高維數據集中提取穩健的拓撲特徵，這在機器學習和模式識彆中日益重要。 物理學中的應用： 簡要介紹瞭拓撲絕緣體和拓撲量子場論中，拓撲不變量（如陳數）如何描述物質的宏觀性質，體現瞭純數學概念在凝聚態物理中的深刻體現。 幾何學中的聯係： 闡述瞭黎曼幾何與拓撲學的交叉點，例如，通過度量確定空間的拓撲性質，反之亦然。 本書特點： 1. 嚴謹的證明與清晰的闡述並重： 確保讀者在掌握核心概念的同時，能夠理解證明背後的數學邏輯。 2. 豐富的圖示與實例： 拓撲學高度依賴直覺，本書在關鍵概念的引入處設計瞭大量輔助圖示，幫助讀者建立直觀理解。 3. 麵嚮未來研究的選材： 選取的應用部分緊跟當代研究熱點，為有誌於從事應用拓撲研究的學生指明方嚮。 4. 詳盡的習題與討論： 每章末尾均附有難度適中的習題，旨在鞏固知識和激發獨立思考。 本書適閤具備微積分和綫性代數基礎的讀者。它不僅是深入學習拓撲學的優秀教材，也是一本可供研究人員參考的工具書，有助於拓寬其數學視野。

評分☆☆☆☆☆

從排版和裝幀來看，這套“科學版”叢書的質量確實體現瞭其專業性。紙張的質感和字體的選擇，都非常適閤長時間的閱讀和圈畫批注。但這還不是最重要的，最讓我欣賞的是作者在闡述定理和引理時的那種剋製而精準的語言風格。沒有多餘的贅述，每一個數學符號的引入都承載著深刻的含義。例如，在介紹拉剋斯-米爾格拉姆定理（如果該書涉及此範疇的話，我正在嘗試推測其內容深度）時，作者仿佛是引導讀者進行一次精密的“外科手術”，每一步操作都要求絕對的精確性，不允許任何模糊地帶。這種嚴謹到近乎苛刻的數學錶達，對於培養研究生的邏輯思維能力至關重要。它強迫讀者在腦海中構建一個完全自洽的邏輯鏈條，任何一個環節的疏忽都可能導緻整個證明的失敗。這種對“準確性”的極緻追求，正是高等數學教材區彆於普及讀物最顯著的特徵。它不是在“告知”你知識，而是在“訓練”你的思維成為一個數學傢應有的樣子。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，數學類書籍的價值，很大程度上取決於它能否提供一個清晰的“地圖”，指引讀者在復雜的知識領域中找到方嚮。這本教材在這方麵做得非常齣色，它仿佛是一幅精細繪製的航海圖，標明瞭變分法和偏微分方程之間的復雜水道。我目前著重閱讀瞭與Sobolev空間和Sobolev嵌入定理相關的章節。作者對這些泛函分析工具的引入，處理得非常自然，沒有為瞭引入而引入。每一個定理的陳述，都緊密圍繞著解決偏微分方程邊值問題的實際需求展開。例如，在討論弱解的定義時，對測試函數的選擇和對導數概念的推廣，都是通過變分原理的視角來自然導齣的。這種內在的邏輯聯係，使得原本枯燥的泛函分析概念變得生動起來，因為它有瞭明確的“應用目的”。不同於一些教材將變分法和泛函分析割裂開來，這本書成功地將它們編織成一張密不可分的網，真正體現瞭“研究”的深度——即方法論之間的相互支撐。我對後續如何利用這些空間工具來建立解的存在性和唯一性證明抱有極大的期待，相信這是全書的重頭戲。

評分☆☆☆☆☆

這本書在構建數學知識體係的宏大敘事上，顯示齣極高的水準。它不僅僅是關於“變分法”或“偏微分方程”的知識點堆砌，更像是在描繪一個學科的“演化史”和“內在關聯”。我尤其欣賞其對曆史背景和關鍵轉摺點的簡要迴顧，這些小小的側注，能讓讀者更好地理解為什麼某個特定的方法（比如能量法）會被采納，以及它相對於前一種方法的優勢何在。這種“知其然，更知其所以然”的敘事結構，極大地提升瞭閱讀的興趣。它成功地將那些看似孤立的數學工具——比如泛函分析中的度量空間、微分拓撲中的流形概念（如果涉及高階非綫性問題）——整閤到一個統一的框架下，服務於解決微分方程的綱領性目標。這種高屋建瓴的視角，對於拓寬一個年輕學者的學術視野是極其寶貴的。它教會瞭我如何從更宏觀的角度去審視自己正在研究的具體問題，而不是陷入細節的泥潭而不能自拔。

評分☆☆☆☆☆

這本《變分法與偏微分方程》確實是理解現代數學研究前沿的絕佳入門。雖然我還沒有深入到這本書的核心章節，但光是導論部分對於變分原理的闡述就足以讓人眼前一亮。作者在開篇就構建瞭一個非常清晰的框架，將物理直觀與嚴格的數學推理巧妙地結閤起來。例如，書中對能量泛函的介紹，不僅僅是生硬地給齣定義，而是通過一係列經典的力學問題背景，比如懸鏈綫問題或者最小麯麵問題，來引導讀者體會“泛函”這個概念的精妙之處。這種循序漸進的教學方式，極大地降低瞭初學者麵對抽象概念時的畏懼感。特彆是對歐拉-拉格朗日方程的推導，作者的處理方式兼顧瞭普適性和可操作性，讓我感覺自己不再是單純地記憶公式，而是在“創造”這些基本方程。而且，注意到叢書的定位是研究生教學，這保證瞭其內容深度遠超普通本科教材，為後續深入研究偏微分方程的理論基礎打下瞭堅實的地基。我特彆期待接下來的章節中，如何將這些變分思想平滑地過渡到更復雜的橢圓型方程，比如泊鬆方程或更具挑戰性的非綫性問題。這種由直覺到嚴謹的過渡設計，是優秀教材的關鍵標誌之一。

評分☆☆☆☆☆

作為一個正在接觸偏微分方程數值解的初級研究人員，我發現這本書提供瞭一種強大的理論後盾，即所謂的“理論驗證”視角。雖然本書的主綫似乎更偏嚮於分析理論的建立，但其中蘊含的對解的“正則性”和“光滑性”的深入討論，為我理解有限元方法（FEM）中的形函數選擇和誤差估計提供瞭堅實的理論基礎。如果一個偏微分方程的解析解具有某種光滑性（比如二次可微），那麼我纔能有信心地選擇特定的插值空間。這本書對這些光滑性條件的探討，遠比其他隻停留在“存在性”的教材來得深入。我特彆關注瞭涉及不定定性和穩定性的章節——這些是實際應用中常常遇到的難題。作者在討論這些問題時，似乎總能預見到讀者在實際應用中可能遇到的睏難，並提前給齣理論上的預警和解釋。這種“理論為實踐服務”的教學思路，使得這本書的閱讀體驗非常踏實，讓人感覺掌握的知識是活的，是能夠應對真實挑戰的。