】 泛函分析教程第2版 A Course in Functional Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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J.B.Conway 编

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店铺： 学贯中西图书专营店

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787506259514

商品编码：27059642895

丛书名： 泛函分析教程 第2版

目录

 

Preface

Preface to the Second Edition

CHAPTER I Hilbert Spaces

1.Elementary Properties and Examples

2.Orthogonality

3.The Riesz Representation Theorem

4.Orthonormal Sets of Vectors and Bases

5.Isomorphic Hilbert Spaces and the Fourier Transform for the Circle

6.The Direct Sum of Hilbert Spaces

CHAPTER II Operators on Hilbert Space

1.Elementary Properties and Examples

2.The Adjoint of an Operator

3.Projections and Idempotents; Invariant and Reducing Subspaces

4.Compact Operators

5.* The Diagonalization of Compact Self-Adjoint Operators

6.* An Application: Sturm-Liouville Systems

7.* The Spectral Theorem and Functional Calculus for Compact Normal Operators

8.* Unitary Equivalence for Compact Normal Operators

CHAPTER III Banach Spaces

1.Elementary Properties and Examples

2.Linear Operators on Normed Spaces

3.Finite Dimensional Normed Spaces

4.Quotients and Products of Normed Spaces

5.Linear Functionals

6.The Hahn-Banach Theorem

7.* An Application: Banach Limits

8.* An Application: Runge's Theorem

9.* An Application: Ordered Vector Spaces

1.The Dual of a Quotient Space and a Subspace

11.Reflexive Spaces

12.The Open Mapping and Closed Graph Theorems

13.Complemented Subspaces of a Banach Space

14.The Principle of Uniform Boundedness

CHAPTER IV Locally Convex Spaces

1.Elementary Properties and Examples

2.Metrizable and Normable Locally Convex Spaces

3.Some Geometric Consequences of the Hahn-Banach Theorem

4.* Some Examples of the Dual Space of a Locally Convex Space

5.* Inductive Limits and the Space of Distributions

CHAPTER V Weak Topologies

1.Duality

2.The Dual of a Subspace and a Quotient Space

3.Alaoglu's Theorem

4.Reflexivity Revisited

5.Separability and Metrizability

6.* An Application: The Stone-t ech Compactification

7.The Krein-Milman Theorem

8.An Application: The Stone-Weierstrass Theorem

9.* The Schauder Fixed Point Theorem

10.* The Ryll-Nardzewski Fixed Point Theorem

11.* An Application: Haar Measure on a Compact Group

12.* The Krein-Smulian Theorem

13.* Weak Compactness

CHAPTER VI Linear Operators on a Banach Space

CHAPTER VII Banach Agebras and Spectral Theory for Operators on a Banach Space

CHAPTER VIII C-Algebras

CHAPTER IX Normal Operators on Hilbert Space

CHAPTER X Unbounded Operators

CHAPTER XI Fredholm Theory

APPENDIX A

APPENDIX B

APPENDIX C

Bibliography

List of Symbols

Index

 

好的，这是一份关于《泛函分析教程（第2版）》的图书简介，严格围绕该书内容展开，力求详实且自然流畅。 --- 泛函分析教程（第2版） 作者/译者信息： （此处应填写原书作者和译者，例如：[作者姓名]，[译者姓名] 著/译） 出版社： （此处应填写出版社信息） ISBN： （此处应填写ISBN信息） 定价： （此处应填写定价信息） 页数： （此处应填写页数信息） --- 内容提要 《泛函分析教程（第2版）》是一部深入而全面的数学专著，旨在为研究生和高年级本科生提供一个坚实、清晰且富有洞察力的泛函分析基础。本书覆盖了泛函分析的核心理论框架，并精选了现代应用中至关重要的主题，力求在理论的严谨性与教学的直观性之间找到完美的平衡。 本书的结构逻辑清晰，从最基础的拓扑概念和赋范线性空间出发，逐步引向巴拿赫空间和希尔伯特空间的核心理论，随后深入探讨了算子理论的关键工具——有界线性算子和紧算子。第二版在内容上进行了审慎的修订与扩充，以更好地适应当前数学研究的前沿需求。 第一部分：基础与铺垫——赋范空间与拓扑结构 教程的开篇着重于建立必要的预备知识。它首先回顾并细化了拓扑空间的基本概念，如开集、闭集、紧致性、连通性等，并将其应用于度量空间。这是理解泛函分析中“邻域”和“收敛性”的基石。 随后，本书的核心基础——赋范线性空间被引入。作者详细阐述了范数的定义、性质，以及范数诱导的拓扑结构，明确区分了赋范空间与一般拓扑向量空间的不同。重点分析了完备性的概念，这直接导出了巴拿赫空间（Banach Spaces）的定义。巴拿赫空间是泛函分析研究的主要舞台，本书在这一阶段着力于构造具体的例子（如连续函数空间 $C[a,b]$、可测函数空间 $L^p$ 等），帮助读者建立直观认识。 在巴拿赫空间理论的初步探索中，本书详尽介绍了三个被称为“三大定理”的基石性成果： 1. 开映射定理（Open Mapping Theorem）： 阐述了连续线性算子在完备空间之间的映射特性。 2. 闭图像定理（Closed Graph Theorem）： 提供了判断线性映射连续性的重要判据。 3. 一致有界性原理/均匀有界原理（Uniform Boundedness Principle）： 揭示了点态有界性与一致有界性之间的深刻联系。 这些定理的证明过程被细致地分解，突出了利用完备性进行构造性证明的技巧。 第二部分：希尔伯特空间——内积的几何力量 教程的下一核心部分聚焦于希尔伯特空间（Hilbert Spaces）。本书强调内积赋予的空间带来的强大几何直观。在介绍完 $L^2$ 空间和一般可分希尔伯特空间后，重点攻克了以下关键概念： 内积与正交性： 阐述了向量正交的几何意义，以及如何利用正交投影定理来求解距离最近的点，这是变分法和优化问题的理论基础。 Riesz 表示定理： 这是连接线性泛函与空间元素的桥梁，它表明在希尔伯特空间中，每个有界线性泛函都可以由空间中的一个特定向量表示。 自伴算子（Self-Adjoint Operators）： 对算子理论进行了初步的几何化处理，为后续谱理论的展开奠定基础。 第三部分：算子理论的核心——有界线性算子 在建立起巴拿赫空间和希尔伯特空间的基础上，本书转向研究作用于这些空间上的有界线性算子（Bounded Linear Operators）。 这一部分深入探讨了算子代数的性质，如算子范数、谱半径的概念。随后，谱理论（Spectral Theory）成为重点。对于巴拿赫空间上的有界算子 $T$，谱 $sigma(T)$ 的定义、性质，以及解析函数演算（Functional Calculus）被详尽介绍。 特别地，对于希尔伯特空间上的算子，本书引入了有界自伴算子的谱定理。作者详细阐述了谱测度（Spectral Measures）的概念，以及如何利用谱积分来刻画任意自伴算子的性质。这部分内容是量子力学中可观测量数学表述的核心。 第四部分：紧算子与应用拓展 教程的后半部分将研究的焦点集中于一类特殊的算子——紧算子（Compact Operators）。紧算子被视为有限维空间中线性算子的自然推广。 紧算子的性质： 书中分析了紧算子在巴拿赫空间和希尔伯特空间中的定义、特征化（例如，将它们等价于将单位球映射到相对紧集的算子）。 谱理论的简化： 对于紧算子，其谱理论（特别是特征值和特征向量）得到了极大的简化。本书详细讨论了维纳-施密特展开（在希尔伯特空间中）以及紧算子在有限维空间谱结构上的类似物——著名的施图姆-刘维尔问题的背景。 Fredholm 理论的初步介绍： 教程对 Fredholm 算子和 Fredholm 方程进行了概述，展示了泛函分析在积分方程理论中的直接应用。 第五部分：非连续性与强分析——Hahn-Banach 定理的深层含义 本书的结尾部分回归到Hahn-Banach 分离定理及其后果。 Hahn-Banach 定理： 不仅阐述了其在泛函延拓中的应用，更重要的是，它被用作证明无界线性泛函存在性的关键工具，从而引导读者理解“为什么在一般巴拿赫空间中，除非要求连续性，否则线性泛函可能并不总能保持有界性”。 共轭空间（Dual Spaces）： 详细讨论了巴拿赫空间的共轭空间 $X^$ 的结构，以及在特定空间（如 $L^p$ 空间）中如何明确地构造出其共轭空间，特别是Hölder 不等式在确定对偶空间中的作用。 本版特色与读者定位 第二版相较于初版，在某些关键证明的细节上进行了优化，增强了对算子代数中非交换性的讨论。本书的语言精确、论证严密，并非一本轻松的入门读物，而是为那些希望深入理解和运用泛函分析工具进行后续研究（如偏微分方程、调和分析、数学物理或概率论）的读者量身定制。读者应具备扎实的实分析（测度论、勒贝格积分）和线性代数基础。本书不仅教授“是什么”，更致力于解释“为什么是这样”，培养读者对无限维空间几何直觉的构建能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度是令人敬畏的，它不仅仅停留在讲解基础理论框架，更难能可贵的是，它巧妙地将泛函分析与其他数学分支的联系展现了出来。在讲解有界线性算子时，作者会不动声色地引入傅里叶分析中的相关概念，或者在讨论紧算子时，自然而然地涉及到测度论的一些高级应用。这种跨领域的融会贯通，极大地拓宽了我的视野，让我意识到泛函分析并非一个孤立的学科，而是连接了众多现代数学核心领域的桥梁。这种宏大的视野在教材中是极其罕见的，它帮助读者跳出了“为了证明而证明”的窠臼，真正理解了这些工具在解决实际数学问题时的强大威力。对于那些希望未来从事理论研究的读者来说，这种对学科整体图景的描绘至关重要。

评分☆☆☆☆☆

我特别欣赏这本书在例题和习题设计上的独到匠心。很多数学教材的习题要么过于简单，流于表面计算，要么直接跳跃到需要研究生级别技巧才能解决的难题，让人无所适从。然而，这本书的习题设置仿佛是一条精心规划的攀登路径，难度梯度设置得极其科学合理。基础的练习旨在巩固刚刚学到的定理和定义，确保知识点的真正消化；而中等难度的题目则开始引导读者尝试不同的视角和技巧进行证明，训练思维的灵活性；最重要的是，它穿插了一些巧妙的、具有启发性的挑战性问题，这些问题往往能触及到理论的深层结构，激发读者独立思考的潜能。更妙的是，书后附带的某些解答思路，并非直接给出完整证明，而是点拨关键步骤，迫使读者自己去完成最后的拼图，这种“授人以渔”的方式，远比直接看答案有效得多。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计简直是一场视觉的享受，尤其是封面那种哑光处理的质感，拿在手里沉甸甸的，让人立刻就能感受到它分量不凡的学术气息。我之前买过好几本同类的教材，但很少有能做到像这样，把复杂的理论知识与优雅的排版结合得如此恰到好处。内页的纸张选择也很考究，字迹清晰锐利，即使长时间阅读也不会觉得眼睛疲劳。装帧的细节之处，比如书脊的加固处理，都透露出出版方对这本书的重视程度，确保它能经受住多次翻阅和长期珍藏的考验。打开书本，那种新书特有的油墨香气混合着纸张的芬芳，对于沉浸在数学世界中的人来说，简直就是一种仪式感的开启。而且，这种扎实的物理呈现，也间接提醒着读者，里面承载的知识体系是多么的坚实和系统。对于我这种喜欢在书本上做大量批注和标记的读者来说，这本书的纸张厚度与韧性也恰到好处，墨水不会洇开，这极大地提升了我的学习体验。

评分☆☆☆☆☆

阅读体验方面，这本书的语言风格呈现出一种严谨而又带着一丝学术幽默的平衡感，这是我非常欣赏的一点。作者在阐述极其精确的数学定义时，措辞一丝不苟，每一个词语的选择都经过了深思熟虑，避免了任何歧义。然而，在引入新概念或者解释复杂证明背后的直觉动机时，笔锋又会变得相对灵活和富有启发性，仿佛一位经验丰富的导师正在耳边细细道来，而不是冷冰冰的文本陈述。这种人文化的气质，使得原本抽象的阅读过程变得更加引人入胜。书中的排版细节，如定理的编号、引用的交叉参考，都做得井井有条，使得在需要回溯查阅某个特定结论时，能够迅速定位，极大地提高了学习效率，体现了作者对读者便利性的高度关怀。

评分☆☆☆☆☆

这本书的章节逻辑编排简直是教科书级别的典范，它没有急于抛出那些令人望而生畏的抽象定义，而是采取了一种极其平滑的引导方式。从最基础的拓扑空间概念出发，逐步引入范数空间、内积空间，每一步的过渡都像是在搭建一座精密的脚手架，让人能稳扎稳打地向上攀升。作者似乎对初学者的心理有着深刻的洞察力，总能在关键的转折点提供恰到好处的铺垫和直观的几何解释，而不是简单地堆砌公式。特别是它对“收敛性”这个核心概念的处理，通过不同层级的空间结构对比，使得原本模糊的直觉变得清晰可辨。我发现，即便是第一次接触泛函分析的同行，也能通过这种循序渐进的叙述方式，迅速建立起坚实的认知框架，而不是在开篇就被那些高深的术语彻底击垮。这种对教学节奏的精准把握，是许多同类著作所欠缺的。