偏微分方程数值解法 9787030424273 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

陈艳萍，鲁祖亮，刘利斌 著

图书标签:

• 偏微分方程
• 数值方法
• 科学计算
• 数学模型
• 数值分析
• 高等教育
• 理工科
• 数值解
• 计算数学
• 工程数学

店铺： 中颐图书专营店

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030424273

商品编码：27299303330

包装：圆脊精装

出版时间：2016-05-17

基本信息

书名：偏微分方程数值解法

定价：88.0元

作者：陈艳萍,鲁祖亮,刘利斌

出版社：科学出版社

出版日期：2016-05-17

ISBN：9787030424273

字数：280

页码：

版次：31

装帧：圆脊精装

开本：B5

商品重量：0.4kg

编辑推荐

---

内容提要

---

目录

---

作者介绍

---

文摘

---

精彩页

序言

---

偏微分方程数值解法导论：理论、方法与应用 ISBN：978-7-030-42427-3 （注：此处为示例ISBN，实际简介内容不涉及该书特定信息） --- 丛书导言：计算科学前沿的基石 偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）是描述自然界和工程领域中各种连续介质现象（如流体力学、电磁学、热传导、量子力学等）的核心数学工具。然而，对于绝大多数复杂的几何结构和非线性问题，解析解几乎是不可求得的。这使得偏微分方程的数值解法成为了现代科学计算中不可或缺的核心技术。 本书旨在为研究生、高年级本科生以及从事计算科学、工程仿真和应用数学的研究人员，提供一个全面、深入且实用的偏微分方程数值解法导论。我们聚焦于理论基础的构建、主流离散方法的深入剖析，以及在实际工程问题中的应用与挑战。 本书结构严谨，逻辑清晰，不仅涵盖了经典的有限差分法，更系统地介绍了现代计算数学中占据主导地位的有限元法、有限体积法，并对先进的谱方法和快速迭代求解器进行了必要的介绍。 --- 第一部分：理论基础与离散化原理 (Foundations and Discretization) 本部分为后续所有数值方法的理论基石。我们首先回顾必要的泛函分析和算子理论知识，为严格的误差分析奠定基础。 1. 偏微分方程的数学模型与适定性： 详细讨论椭圆型、抛物型和双曲型方程的物理意义和数学分类。重点讲解了弱解（Variational Formulation）的概念，特别是针对边界值问题（BVP）的能量不等式和解的存在性、唯一性讨论，这是理解有限元法的关键前提。 2. 稳定性、一致性和收敛性： 数值方法的“三要素”是评价其可靠性的黄金标准。我们采用严格的数学工具（如CFL条件、离散Sobolev空间）来分析方法的稳定性（Stability）和与原问题的接近程度（Consistency），并最终证明数值解收敛于真实解（Convergence）。特别地，我们将深入探讨离散算子在特定范数下的收敛速度。 3. 离散化误差的来源与估计： 清晰区分截断误差（Truncation Error）和舍入误差（Round-off Error）。引入局部特截误差（LTE）和全局误差的概念，并展示如何通过对流守恒或能量一致性来控制和减小误差。 --- 第二部分：经典数值方法深度剖析 (Core Numerical Methods) 本部分详述三种最重要且应用最广泛的数值离散技术。 4. 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）： FDM是历史最悠久的方法，基于泰勒展开进行局部近似。 网格生成与坐标变换： 讨论均匀网格和非均匀网格下的差分格式构造。 高阶精度格式： 介绍中心差分、紧格式（Compact Schemes）以及如何处理非线性项的离散化。 处理复杂边界： 重点讲解了如何在高阶FDM中精确处理 Neumann 边界条件和曲面边界的逼近问题。 5. 有限元法（Finite Element Method, FEM）： FEM是处理复杂几何和高维问题的首选工具，其核心在于变分原理。 基函数与插值： 详细介绍 P1、P2 等阶次的形函数（Shape Functions）及其性质，包括刚度矩阵和载荷向量的组装过程。 对流-扩散问题的挑战： 深入探讨标准Galerkin方法在小粘度或高对流主导问题中出现的振荡现象，并引入迎风格式（Upwinding）和稳定化技术（如 SUPG, DG 方法的初步概念）。 装配与求解： 介绍全局刚度矩阵的稀疏性、对称性，以及基于自然边界条件的求解流程。 6. 有限体积法（Finite Volume Method, FVM）： FVM在流体力学和守恒律方程中占据绝对主导地位，其优势在于内在的守恒性。 通量守恒与积分形式： 强调FVM是从积分形式出发，确保了物理量（如质量、动量）在控制体积上的精确守恒。 通量重建技术： 详细讲解黎曼求解器（Riemann Solvers）在处理激波和接触间断时的作用，如 Roe, HLL, Lax-Friedrichs 等格式的构建与比较。 TVD 格式与ENO/WENO 格式： 讨论如何通过限制器（Limiters）来避免在高梯度区域产生非物理振荡，实现高分辨率的解。 --- 第三部分：线性系统的求解与效率提升 (Linear System Solvers and Efficiency) 无论采用何种离散方法，最终都会归结为求解一个大型、稀疏的线性代数方程组 $mathbf{A}mathbf{x} = mathbf{b}$。本部分着重于高效求解策略。 7. 直接法与稀疏矩阵存储： 介绍 LU 分解、Cholesky 分解的原理，并讨论稀疏矩阵存储格式（如 CSR, CSC）对内存和计算效率的影响。 8. 迭代求解器： 迭代法是求解大规模问题的关键。 预处理技术（Preconditioning）： 强调预处理器的重要性，深入讲解 Jacobi, Gauss-Seidel, 缀减超松弛法（SOR）作为基本的迭代格式。 Krylov 子空间方法： 详细推导和分析共轭梯度法 (CG)（适用于对称正定系统）和 双共轭梯度法 (BiCG) 及其变种 (GMRES, BiCGSTAB)（适用于非对称系统）的收敛机理。 9. 预处理器设计： 重点介绍代数多重网格法（AMG）和不完全 LU 分解（ILU）作为高效预处理器的设计与应用，它们是实现大规模计算加速的核心技术。 --- 第四部分：特定类型方程的数值处理 (Specific Equation Treatments) 本部分将理论方法应用于不同类型的偏微分方程，凸显其特性。 10. 抛物型方程（热传导/扩散）： 时间离散化： 对比前向欧拉（显式）、后向欧拉（隐式）和 Crank-Nicolson（半隐式）方案的稳定性和精度。重点分析隐式方法的代数求解负担。 11. 双曲型方程（波动/对流）： 时间积分： 介绍高阶龙格-库塔法（Runge-Kutta）在求解 ODE 集（ODE Systems）时的应用。 非线性双曲问题的挑战： 讨论激波捕捉技术和 CFL 条件对时间步长的严格限制。 12. 椭圆型方程（稳态/泊松方程）： 处理非线性： 介绍牛顿迭代法（Newton's Method）在线性化非线性 PDE 时的应用，以及如何与迭代求解器结合。 --- 总结与展望 本书最终将读者带到计算科学的前沿，不仅掌握了数值求解的“工具箱”，更培养了对不同物理模型应选择何种数值方法的批判性思维。内容严格遵循数学推导的严谨性，辅以清晰的算法描述和必要的算例分析，确保读者能够将其理论知识转化为可靠的计算实践。本书旨在成为一本理论与实践并重的，面向复杂工程问题解决的权威参考书。

评分☆☆☆☆☆

我是在准备一个跨学科项目的过程中偶然接触到这本著作的，它的广度让我感到非常惊喜。它不仅仅局限于单一的数学分支，而是巧妙地将概率论、信息论甚至一些基础的量子力学概念融入到了数值模拟的框架之中。这种融会贯通的处理方式，使得整本书的视野非常开阔。我尤其欣赏作者在历史背景介绍上的用心，每一项关键技术的诞生和发展，都被赋予了鲜活的故事性，这让学习过程不再是单纯的知识灌输，而更像是一次探寻科学真理的旅程。对于想要构建全景式知识体系的读者来说，这本书无疑提供了绝佳的蓝图。它教会我的不仅仅是“如何计算”，更是“为什么要用这种方式计算”，这种哲学层面的思考，远比单纯的技巧传授来得宝贵得多。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为我这种理论基础尚可，但实战经验严重不足的人量身定做的“救星”。它的侧重点完全偏向于算法的实现和性能分析。作者花费了大量的篇幅来比较不同数值方法的优劣，比如收敛速度、稳定性和计算资源的消耗。我以前总是在选择算法时感到迷茫，不知道在特定精度要求下，A方法是否真的比B方法更高效。这本书里通过大量的图表和案例分析，给出了非常明确的指导方针。特别是关于大规模线性系统的求解部分，介绍了几种迭代法的预处理技术，讲解得极其透彻，连我这个对编程实现不太擅长的人，都能对照着代码框架把思路理顺。唯一的小遗憾是，某些高级的优化技巧涉及的细节内容略显跳跃，可能需要读者具备一定的背景知识才能完全领会。总的来说，这本书极大地提升了我工程计算的实操水平。

评分☆☆☆☆☆

最近沉迷于一本关于数学建模的书，这本书的结构和内容的深度简直让人欲罢不能。它没有像很多教材那样堆砌公式和定理，而是非常注重实际应用的场景。书里举的例子都紧密贴合工业生产和科学研究的前沿，比如流体力学中的复杂边界问题，以及金融领域中随机过程的模拟。作者的行文风格非常细腻，尤其是在解释那些抽象概念时，总能找到一个非常直观的比喻，让人茅塞顿开。我特别喜欢它在每一章末尾设置的“思考与拓展”部分，这些问题往往能引导读者跳出书本的框架，去思考更深层次的数学原理是如何与真实世界联系起来的。说实话，这本书完全颠覆了我对传统数学类书籍的刻板印象，它更像是一本由经验丰富的工程师撰写的实践指南，而不是枯燥的学术著作。读完之后，我感觉自己对如何将数学工具应用到解决实际工程难题上，有了质的飞跃。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书的阅读体验是充满挑战性的，但回报绝对是巨大的。它的数学推导部分极其严谨，几乎没有跳过任何关键步骤，对于基础的分析能力要求非常高。我感觉自己仿佛回到了研究生时代，需要不断地拿起笔，跟着作者的思路一步步推导验证。但正是这种“硬核”的风格，保证了书中所述理论的绝对可靠性。它不是一本可以轻松翻阅的读物，更像是一部需要反复研读的工具书和参考手册。我注意到作者在引用文献时非常考究，涵盖了从上世纪经典文献到近几年顶级期刊的最新成果，这使得书中的内容既有历史的厚重感，又不失时代的尖锐性。对于那些追求极致精确性和对数学本质有强烈探求欲的专业人士而言，这本书的价值是无可替代的，它像一块坚硬的磨刀石，能让你的思维更加锋利。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最大的感受是它的“人文关怀”。在讲解那些冷冰冰的算法和方程组时，作者总是能穿插一些关于教学方法和学习心得的片段。比如，他会详细说明为什么在教学中应该先引入离散化思想而不是直接给出有限差分公式，这种站在学习者角度的考量，让阅读过程变得异常顺畅和友好。书中的排版设计也值得称赞，公式的间距和符号的标注都非常清晰，极大地减轻了长时间阅读带来的视觉疲劳。此外，这本书提供了一个非常棒的在线资源链接，里面包含了许多用于验证算法的代码示例和数据集，极大地弥补了纸质书无法动态展示的缺陷。它不仅教会了我知识，更让我感受到了一个优秀教育者对读者群体深切的理解与支持，这是一本充满温度的学术著作。