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齣版社： 科學齣版社有限責任公司

ISBN：9787030182890

商品編碼：27465059956

包裝：圓脊精裝

齣版時間：2018-03-01

基本信息

書名：代數數論

定價：198.00元

作者：(德)諾伊基希(Jürgen,N.)著

齣版社：科學齣版社有限責任公司

齣版日期：2018-03-01

ISBN：9787030182890

字數：

頁碼：

版次：31

裝幀：圓脊精裝

開本：128開

商品重量：0.4kg

編輯推薦

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內容提要

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該書係統、全麵地介紹瞭該領域的經典理論，並對今後的研究方嚮作瞭介紹，書中包含瞭大量的例子，幫助讀者理解。

目錄

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作者介紹

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文摘

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序言

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現代高等幾何學導論 作者： [此處留空，請自行填寫作者姓名] 齣版社： [此處留空，請自行填寫齣版社名稱] 齣版年份： [此處留空，請自行填寫年份] --- 內容簡介： 《現代高等幾何學導論》旨在為讀者提供一個全麵且深入的現代幾何學視角，重點關注微分幾何、代數拓撲基礎以及它們在物理學和工程學中的應用。本書避免瞭傳統幾何學中過於側重歐幾裏得空間和解析方法的局限性，轉而采用現代數學的抽象語言和結構化方法，構建起一個從流形概念到張量分析，再到同調理論的連貫知識體係。 全書共分為五大部分，涵蓋瞭從基礎概念的嚴格定義到前沿研究方嚮的初步探索。 --- 第一部分：流形與張量分析基礎 本部分為後續深入研究奠定基礎，通過嚴謹的定義和清晰的示例，引入現代幾何學的核心對象——微分流形。 第一章：拓撲空間的迴顧與推廣 本章從緊湊性、連通性等基本拓撲性質齣發，快速迴顧必要概念。重點在於介紹流形的概念，包括光滑性（$C^k$ 結構）的嚴格定義，以及圖冊（Atlas）和坐標變換的構建。討論瞭子流形、商流形以及嵌入定理的初步討論，確保讀者理解流形是局部看起來像歐幾裏得空間，但整體結構可能非常復雜的空間。 第二章：嚮量場、切空間與張量場 切空間是理解流形上微積分的關鍵。本章詳細構造瞭流形上任意一點 $p$ 的切空間 $T_p M$，並將其視為定義在 $M$ 上光滑函數的導數的嚮量空間。接著，引入嚮量場作為光滑截麵，並定義李括號，探討其滿足的代數結構（李代數）。 第三章：微分形式與外代數 本章引入微分形式作為協嚮量的推廣，即切空間上多重綫性、反對稱的函數。詳細構建瞭楔積（Wedge Product），定義瞭 $k$-形式空間 $Lambda^k(T_p^M)$。這是理解積分和微分方程的語言。核心內容包括外微分 $mathrm{d}$ 的定義及其關鍵性質（如 $mathrm{d}^2 = 0$），並展示瞭它如何推廣瞭傳統的梯度、鏇度和散度算子。 第四章：黎曼幾何的初步接觸 本章引入黎曼度量張量 $g$，將其定義為光滑的、正定的二次型張量場。基於度量，定義瞭升降指標的操作，以及黎曼麯率張量（使用愛因斯坦求和約定）。雖然本部分不深入討論測地綫方程，但會建立起度量在切空間上提供內積結構的概念，為後續體積和距離的概念鋪平道路。 --- 第二部分：積分幾何與微積分 本部分聚焦於如何在流形上進行積分和微分運算，核心是斯托剋斯定理的推廣形式。 第五章：定嚮體積形式與積分 定義瞭體積形式（即流形維數上的最高階微分形式）以及定嚮的積分概念。討論瞭拉迴（Pullback）操作，特彆是當處理函數在浸入或覆蓋映射下的積分變換時。 第六章：斯托剋斯定理的現代闡述 這是本部分的高潮。在流形上，廣義斯托剋斯定理將 $k$-形式在某 $k$-維子流形上的積分與其邊界上的 $(k-1)$-形式的積分聯係起來。本章將嚴格證明此定理，並展示其在歐氏空間中格林公式、高斯公式和基本微積分定理中的具體體現。 第七章：流與李導數 本章探討流形上流（Flow）的概念，即由嚮量場在時間參數下産生的坐標變換。由此引齣李導數 ($mathcal{L}_X$)，它衡量瞭沿著嚮量場 $X$ 方嚮函數或微分形式的變化率。重點闡述李導數與外微分之間的關係，特彆是 $mathcal{L}_X = i_X mathrm{d} + mathrm{d} i_X$（De Rham分解）。 --- 第三部分：代數拓撲的基石：同調與上同調 本部分將視角從光滑結構轉嚮內在的拓撲結構，介紹描述空間“洞”的代數不變量。 第八章：鏈復形與邊界算子 首先引入奇異鏈復形的概念，即使得拓撲空間 $X$ 與其鏈群 $C_k(X)$ 相關聯。定義邊界算子 $partial$，並驗證其核心性質 $partial circ partial = 0$。 第九章：同調群的構造與意義 基於邊界算子，定義循環群 $Z_k(X)$（核）和邊界群 $B_k(X)$（像）。同調群 $H_k(X) = Z_k(X) / B_k(X)$ 被定義為衡量空間中“洞”的代數不變量。通過例子（如圓環 $S^1$ 和球麵 $S^2$）計算其同調群。 第十章：德拉姆上同調（De Rham Cohomology） 將第二部分的微分工具與第九部分的拓撲不變量結閤起來。定義上鏈群，並利用 $mathrm{d}^2 = 0$ 的性質，構造德拉姆上同調群 $H_{dR}^k(M)$。關鍵在於證明德拉姆定理：對於光滑流形 $M$，德拉姆上同調群與奇異上同調群（或同調群）在有理係數下同構。這展示瞭微分幾何可以計算拓撲不變量。 第十一章：截麵的函子性質 介紹上同調群的函子性：光滑映射 $f: M o N$ 誘導齣上同調群之間的映射 $f^: H^(N) o H^(M)$，並討論瞭這些映射的性質，如米勒-韋爾定理的初步介紹。 --- 第四部分：聯絡與麯率 本部分將目光投嚮流形上的嚮量場如何“移動”，即協變導數和聯絡的概念。 第十二章：嚮量叢與縴維叢 將切叢視為最基本的縴維叢。本章定義瞭嚮量叢的嚴格結構，以及截麵（Section）的概念。理解嚮量叢是研究麯率和聯絡的必要背景。 第十三章：綫性聯絡與協變導數 定義綫性聯絡（Connection） $ abla$ 作為一種在嚮量叢上定義“導數”的方法，它必須滿足滿足特定的兼容性條件。核心是協變導數 $ abla_X Y$ 的定義，以及它如何依賴於坐標係的選擇。 第十四章：麯率與撓率 利用聯絡定義撓率張量（Torsion）和麯率張量（Curvature）。討論平移不變性與麯率的關係。重點闡述在黎曼流形上，樂維-奇維塔聯絡的唯一性，以及該聯絡的麯率張量如何決定瞭空間的幾何性質。 --- 第五部分：應用初探 本部分簡要展示現代幾何學在其他領域的交匯點。 第十五章：規範場論的幾何視角 簡要介紹主縴維叢和聯絡在物理學（如電磁學和楊-米爾斯理論）中的應用。將電磁場的強度張量識彆為麯率張量（或其簡化形式），從而以幾何語言描述物理定律。 第十六章：辛幾何與經典力學 引入辛流形的概念，即帶有非退化、斜對稱的辛形式 $omega$ 的流形。展示如何使用辛形式定義泊鬆括號，並將哈密頓力學中的泊鬆括號結構提升到流形上的幾何描述。 --- 本書特點 本書的結構旨在建立一個從低維拓撲直觀到高維微分結構的橋梁。它強調代數工具（如鏈和群論）與分析工具（如微分和積分）的深度融閤，特彆是通過德拉姆上同調實現理論統一。目標讀者應具備紮實的實分析、綫性代數基礎，並對抽象代數有初步瞭解。本書不涉及代數數論、數論或幾何群論等領域的內容。

評分☆☆☆☆☆

我購買這本書主要是因為被它在緒論中對學科重要性的論述所吸引。作者並沒有將這個領域描繪成一個孤芳自賞的象牙塔，而是非常有力地闡述瞭它與現代密碼學、甚至高維空間幾何的內在聯係。這種宏觀的視野讓我立刻感受到瞭學習這門學科的價值所在。書中對各個分支的劃分也體現瞭極高的專業水準，結構層次分明，從基礎的概念鋪墊到復雜結構的構建，每一步都顯得那麼自然而然，毫不勉強。我特彆留意瞭圖錶的使用，它們非常精準地描繪瞭抽象的代數結構，避免瞭純文字帶來的理解障礙。然而，我有一個小小的建議，或許在書的後半部分，可以增加一些實際應用案例的拓展閱讀鏈接或者簡短介紹，這樣可以讓讀者在理論學習之餘，能感受到這些抽象工具是如何在現實世界中大顯身手的。總而言之，這本書為我打開瞭一扇通往更廣闊數學領域的窗戶，它的價值遠超其定價。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版真是讓人眼前一亮，那種經典教科書的厚重感撲麵而來，紙張的質感也相當不錯，翻閱起來非常順手。雖然我個人對一些非常理論性的部分還需要反復咀嚼，但不得不說，作者在構建知識體係時展現齣的清晰邏輯令人佩服。例如，在介紹數論基礎概念時，作者並沒有急於深入復雜的定理，而是先用非常直觀的例子和類比幫助我們建立起對基本結構的理解，這一點對於初學者來說簡直是福音。我特彆欣賞它在章節之間過渡時的流暢性，仿佛在讀一本精心編排的樂章，每一個知識點都恰到好處地銜接在下一個之前，避免瞭那種突兀感。不過，我倒是希望在某些推導過程的細節上能夠再多加一些注釋，畢竟數學的嚴謹性要求很高，即便是很小的跳躍也可能讓像我這樣的讀者感到睏惑。總的來說，這是一本值得放在書架上時常翻閱的工具書，它不僅僅是知識的集閤，更像是一位耐心的導師，引導你逐步探索更深層次的數學世界。它的厚度本身就是一種承諾，承諾瞭其中蘊含的知識的深度和廣度，讓人充滿瞭探索的動力。

評分☆☆☆☆☆

閱讀體驗是極其個性化的，而這本書成功地在我的閱讀旅程中留下瞭深刻的印記。它不是那種讓你讀完後隻能記住幾個公式的“快餐式”讀物，而是一種需要沉浸其中、與之共舞的體驗。作者在闡述復雜定理時所采用的論證節奏掌握得爐火純青，時而緊湊有力，一氣嗬成，時而又放慢速度，細細剖析每一個邏輯環節，這種張弛有度的敘述方式極大地增強瞭閱讀的節奏感和吸引力。我發現自己常常會因為被某個精妙的證明思路所摺服，而不得不停下來，細細迴味作者的巧妙構思。唯一的遺憾是，由於篇幅所限，一些前沿的研究方嚮隻是點到為止，我希望能有更多的篇幅來探討這些正在蓬勃發展的領域，哪怕隻是作為拓展閱讀的引子也好。但即便如此，這本書依然以其無與倫比的深度和清晰度，為我建立起瞭一個堅不可摧的理論框架，這是任何其他材料都難以替代的寶貴財富。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格簡直是教科書界的“一股清流”，它沒有那種高高在上的學術腔調，反而充滿瞭數學傢特有的那種對美和結構的癡迷。作者似乎深知，即便是最抽象的概念，也能通過精妙的措辭變得觸手可及。我尤其喜歡它在講解一些曆史背景或概念起源時的那種娓娓道來，這讓冰冷的公式和定理瞬間有瞭溫度和故事性。讀起來一點也不覺得枯燥，反而像是在參與一場精彩的智力對話。不過，我發現書中的某些定理的證明部分，雖然在邏輯上無懈可擊，但如果能增加一些“為什麼是這個證明而不是其他”的思考路徑的探討，那體驗感會更上一層樓。畢竟，數學之美不僅僅在於結果的正確性，更在於達到結果的優雅過程。這本書的版式設計也十分講究，重點公式用粗體或不同的顔色框選齣來，非常有助於快速定位和迴顧關鍵信息，這對於需要經常查閱的讀者來說，簡直是效率的神器。我感覺作者在編寫這本書時，真的把讀者的學習體驗放在瞭首位。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀和細節處理體現瞭齣版方對學術書籍應有品質的堅持。書本的裝訂非常結實，即便我經常需要把它平攤在桌麵上長時間研讀，它也依然保持著良好的形態，不會有書頁鬆動或翹起的擔憂。紙張的選擇也很好，閱讀時不會反光過度，長時間閱讀眼睛也不會感到疲勞。內容上，作者在定義新概念時總是異常審慎和詳盡，確保讀者在踏入下一步之前，對腳下的基礎已經牢固掌握。我尤其贊賞它在處理符號係統時所展現齣的一緻性，從頭到尾，符號的含義從未齣現過模棱兩可的情況，這在處理高度符號化的數學領域中是極為寶貴的品質。如果非要說有什麼不足，那就是某些較為深入的章節，作者似乎默認讀者已經具備瞭某種高級預備知識，如果能稍微增加一些對這些“隱形前提”的簡要迴顧，對自學者來說會更加友好。這本書的整體感覺是嚴謹、紮實，是那種可以伴隨我進行長期學術探索的夥伴。