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出版社： 科学出版社有限责任公司

ISBN：9787030182890

商品编码：27465059956

包装：圆脊精装

出版时间：2018-03-01

基本信息

书名：代数数论

定价：198.00元

作者：(德)诺伊基希(Jürgen,N.)著

出版社：科学出版社有限责任公司

出版日期：2018-03-01

ISBN：9787030182890

字数：

页码：

版次：31

装帧：圆脊精装

开本：128开

商品重量：0.4kg

编辑推荐

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内容提要

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该书系统、全面地介绍了该领域的经典理论，并对今后的研究方向作了介绍，书中包含了大量的例子，帮助读者理解。

目录

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作者介绍

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文摘

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序言

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现代高等几何学导论 作者： [此处留空，请自行填写作者姓名] 出版社： [此处留空，请自行填写出版社名称] 出版年份： [此处留空，请自行填写年份] --- 内容简介： 《现代高等几何学导论》旨在为读者提供一个全面且深入的现代几何学视角，重点关注微分几何、代数拓扑基础以及它们在物理学和工程学中的应用。本书避免了传统几何学中过于侧重欧几里得空间和解析方法的局限性，转而采用现代数学的抽象语言和结构化方法，构建起一个从流形概念到张量分析，再到同调理论的连贯知识体系。 全书共分为五大部分，涵盖了从基础概念的严格定义到前沿研究方向的初步探索。 --- 第一部分：流形与张量分析基础 本部分为后续深入研究奠定基础，通过严谨的定义和清晰的示例，引入现代几何学的核心对象——微分流形。 第一章：拓扑空间的回顾与推广 本章从紧凑性、连通性等基本拓扑性质出发，快速回顾必要概念。重点在于介绍流形的概念，包括光滑性（$C^k$ 结构）的严格定义，以及图册（Atlas）和坐标变换的构建。讨论了子流形、商流形以及嵌入定理的初步讨论，确保读者理解流形是局部看起来像欧几里得空间，但整体结构可能非常复杂的空间。 第二章：向量场、切空间与张量场 切空间是理解流形上微积分的关键。本章详细构造了流形上任意一点 $p$ 的切空间 $T_p M$，并将其视为定义在 $M$ 上光滑函数的导数的向量空间。接着，引入向量场作为光滑截面，并定义李括号，探讨其满足的代数结构（李代数）。 第三章：微分形式与外代数 本章引入微分形式作为协向量的推广，即切空间上多重线性、反对称的函数。详细构建了楔积（Wedge Product），定义了 $k$-形式空间 $Lambda^k(T_p^M)$。这是理解积分和微分方程的语言。核心内容包括外微分 $mathrm{d}$ 的定义及其关键性质（如 $mathrm{d}^2 = 0$），并展示了它如何推广了传统的梯度、旋度和散度算子。 第四章：黎曼几何的初步接触 本章引入黎曼度量张量 $g$，将其定义为光滑的、正定的二次型张量场。基于度量，定义了升降指标的操作，以及黎曼曲率张量（使用爱因斯坦求和约定）。虽然本部分不深入讨论测地线方程，但会建立起度量在切空间上提供内积结构的概念，为后续体积和距离的概念铺平道路。 --- 第二部分：积分几何与微积分 本部分聚焦于如何在流形上进行积分和微分运算，核心是斯托克斯定理的推广形式。 第五章：定向体积形式与积分 定义了体积形式（即流形维数上的最高阶微分形式）以及定向的积分概念。讨论了拉回（Pullback）操作，特别是当处理函数在浸入或覆盖映射下的积分变换时。 第六章：斯托克斯定理的现代阐述 这是本部分的高潮。在流形上，广义斯托克斯定理将 $k$-形式在某 $k$-维子流形上的积分与其边界上的 $(k-1)$-形式的积分联系起来。本章将严格证明此定理，并展示其在欧氏空间中格林公式、高斯公式和基本微积分定理中的具体体现。 第七章：流与李导数 本章探讨流形上流（Flow）的概念，即由向量场在时间参数下产生的坐标变换。由此引出李导数 ($mathcal{L}_X$)，它衡量了沿着向量场 $X$ 方向函数或微分形式的变化率。重点阐述李导数与外微分之间的关系，特别是 $mathcal{L}_X = i_X mathrm{d} + mathrm{d} i_X$（De Rham分解）。 --- 第三部分：代数拓扑的基石：同调与上同调 本部分将视角从光滑结构转向内在的拓扑结构，介绍描述空间“洞”的代数不变量。 第八章：链复形与边界算子 首先引入奇异链复形的概念，即使得拓扑空间 $X$ 与其链群 $C_k(X)$ 相关联。定义边界算子 $partial$，并验证其核心性质 $partial circ partial = 0$。 第九章：同调群的构造与意义 基于边界算子，定义循环群 $Z_k(X)$（核）和边界群 $B_k(X)$（像）。同调群 $H_k(X) = Z_k(X) / B_k(X)$ 被定义为衡量空间中“洞”的代数不变量。通过例子（如圆环 $S^1$ 和球面 $S^2$）计算其同调群。 第十章：德拉姆上同调（De Rham Cohomology） 将第二部分的微分工具与第九部分的拓扑不变量结合起来。定义上链群，并利用 $mathrm{d}^2 = 0$ 的性质，构造德拉姆上同调群 $H_{dR}^k(M)$。关键在于证明德拉姆定理：对于光滑流形 $M$，德拉姆上同调群与奇异上同调群（或同调群）在有理系数下同构。这展示了微分几何可以计算拓扑不变量。 第十一章：截面的函子性质 介绍上同调群的函子性：光滑映射 $f: M o N$ 诱导出上同调群之间的映射 $f^: H^(N) o H^(M)$，并讨论了这些映射的性质，如米勒-韦尔定理的初步介绍。 --- 第四部分：联络与曲率 本部分将目光投向流形上的向量场如何“移动”，即协变导数和联络的概念。 第十二章：向量丛与纤维丛 将切丛视为最基本的纤维丛。本章定义了向量丛的严格结构，以及截面（Section）的概念。理解向量丛是研究曲率和联络的必要背景。 第十三章：线性联络与协变导数 定义线性联络（Connection） $ abla$ 作为一种在向量丛上定义“导数”的方法，它必须满足满足特定的兼容性条件。核心是协变导数 $ abla_X Y$ 的定义，以及它如何依赖于坐标系的选择。 第十四章：曲率与挠率 利用联络定义挠率张量（Torsion）和曲率张量（Curvature）。讨论平移不变性与曲率的关系。重点阐述在黎曼流形上，乐维-奇维塔联络的唯一性，以及该联络的曲率张量如何决定了空间的几何性质。 --- 第五部分：应用初探 本部分简要展示现代几何学在其他领域的交汇点。 第十五章：规范场论的几何视角 简要介绍主纤维丛和联络在物理学（如电磁学和杨-米尔斯理论）中的应用。将电磁场的强度张量识别为曲率张量（或其简化形式），从而以几何语言描述物理定律。 第十六章：辛几何与经典力学 引入辛流形的概念，即带有非退化、斜对称的辛形式 $omega$ 的流形。展示如何使用辛形式定义泊松括号，并将哈密顿力学中的泊松括号结构提升到流形上的几何描述。 --- 本书特点 本书的结构旨在建立一个从低维拓扑直观到高维微分结构的桥梁。它强调代数工具（如链和群论）与分析工具（如微分和积分）的深度融合，特别是通过德拉姆上同调实现理论统一。目标读者应具备扎实的实分析、线性代数基础，并对抽象代数有初步了解。本书不涉及代数数论、数论或几何群论等领域的内容。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格简直是教科书界的“一股清流”，它没有那种高高在上的学术腔调，反而充满了数学家特有的那种对美和结构的痴迷。作者似乎深知，即便是最抽象的概念，也能通过精妙的措辞变得触手可及。我尤其喜欢它在讲解一些历史背景或概念起源时的那种娓娓道来，这让冰冷的公式和定理瞬间有了温度和故事性。读起来一点也不觉得枯燥，反而像是在参与一场精彩的智力对话。不过，我发现书中的某些定理的证明部分，虽然在逻辑上无懈可击，但如果能增加一些“为什么是这个证明而不是其他”的思考路径的探讨，那体验感会更上一层楼。毕竟，数学之美不仅仅在于结果的正确性，更在于达到结果的优雅过程。这本书的版式设计也十分讲究，重点公式用粗体或不同的颜色框选出来，非常有助于快速定位和回顾关键信息，这对于需要经常查阅的读者来说，简直是效率的神器。我感觉作者在编写这本书时，真的把读者的学习体验放在了首位。

评分☆☆☆☆☆

我购买这本书主要是因为被它在绪论中对学科重要性的论述所吸引。作者并没有将这个领域描绘成一个孤芳自赏的象牙塔，而是非常有力地阐述了它与现代密码学、甚至高维空间几何的内在联系。这种宏观的视野让我立刻感受到了学习这门学科的价值所在。书中对各个分支的划分也体现了极高的专业水准，结构层次分明，从基础的概念铺垫到复杂结构的构建，每一步都显得那么自然而然，毫不勉强。我特别留意了图表的使用，它们非常精准地描绘了抽象的代数结构，避免了纯文字带来的理解障碍。然而，我有一个小小的建议，或许在书的后半部分，可以增加一些实际应用案例的拓展阅读链接或者简短介绍，这样可以让读者在理论学习之余，能感受到这些抽象工具是如何在现实世界中大显身手的。总而言之，这本书为我打开了一扇通往更广阔数学领域的窗户，它的价值远超其定价。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版真是让人眼前一亮，那种经典教科书的厚重感扑面而来，纸张的质感也相当不错，翻阅起来非常顺手。虽然我个人对一些非常理论性的部分还需要反复咀嚼，但不得不说，作者在构建知识体系时展现出的清晰逻辑令人佩服。例如，在介绍数论基础概念时，作者并没有急于深入复杂的定理，而是先用非常直观的例子和类比帮助我们建立起对基本结构的理解，这一点对于初学者来说简直是福音。我特别欣赏它在章节之间过渡时的流畅性，仿佛在读一本精心编排的乐章，每一个知识点都恰到好处地衔接在下一个之前，避免了那种突兀感。不过，我倒是希望在某些推导过程的细节上能够再多加一些注释，毕竟数学的严谨性要求很高，即便是很小的跳跃也可能让像我这样的读者感到困惑。总的来说，这是一本值得放在书架上时常翻阅的工具书，它不仅仅是知识的集合，更像是一位耐心的导师，引导你逐步探索更深层次的数学世界。它的厚度本身就是一种承诺，承诺了其中蕴含的知识的深度和广度，让人充满了探索的动力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和细节处理体现了出版方对学术书籍应有品质的坚持。书本的装订非常结实，即便我经常需要把它平摊在桌面上长时间研读，它也依然保持着良好的形态，不会有书页松动或翘起的担忧。纸张的选择也很好，阅读时不会反光过度，长时间阅读眼睛也不会感到疲劳。内容上，作者在定义新概念时总是异常审慎和详尽，确保读者在踏入下一步之前，对脚下的基础已经牢固掌握。我尤其赞赏它在处理符号系统时所展现出的一致性，从头到尾，符号的含义从未出现过模棱两可的情况，这在处理高度符号化的数学领域中是极为宝贵的品质。如果非要说有什么不足，那就是某些较为深入的章节，作者似乎默认读者已经具备了某种高级预备知识，如果能稍微增加一些对这些“隐形前提”的简要回顾，对自学者来说会更加友好。这本书的整体感觉是严谨、扎实，是那种可以伴随我进行长期学术探索的伙伴。

评分☆☆☆☆☆

阅读体验是极其个性化的，而这本书成功地在我的阅读旅程中留下了深刻的印记。它不是那种让你读完后只能记住几个公式的“快餐式”读物，而是一种需要沉浸其中、与之共舞的体验。作者在阐述复杂定理时所采用的论证节奏掌握得炉火纯青，时而紧凑有力，一气呵成，时而又放慢速度，细细剖析每一个逻辑环节，这种张弛有度的叙述方式极大地增强了阅读的节奏感和吸引力。我发现自己常常会因为被某个精妙的证明思路所折服，而不得不停下来，细细回味作者的巧妙构思。唯一的遗憾是，由于篇幅所限，一些前沿的研究方向只是点到为止，我希望能有更多的篇幅来探讨这些正在蓬勃发展的领域，哪怕只是作为拓展阅读的引子也好。但即便如此，这本书依然以其无与伦比的深度和清晰度，为我建立起了一个坚不可摧的理论框架，这是任何其他材料都难以替代的宝贵财富。