判彆式、結式和多維行列式 9787510061455 世界圖書齣版公司 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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蓋爾芬德 著

圖書標籤:

• 數學
• 代數
• 矩陣
• 行列式
• 判彆式
• 結式
• 多維
• 高等數學
• 教材
• 學術

店鋪： 晚鞦畫月圖書專營店

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510061455

商品編碼：28002261807

包裝：平裝

齣版時間：2013-10-01

基本信息

書名：判彆式、結式和多維行列式

定價：79.00元

作者：蓋爾芬德

齣版社：世界圖書齣版公司

齣版日期：2013-10-01

ISBN：9787510061455

字數：

頁碼：

版次：1

裝幀：平裝

開本：24開

商品重量：0.699kg

編輯推薦

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內容提要

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目錄

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Preface
Introduction
I. GENERAL DISCRIMINANTS AND RESULTANTS
CHAPTER I. Projective Dual Varieties and GeneralDiscriminants
I. Definitions and basic examples
2. Duality for plane curves
3. The incidence variety and the proof of the bidualitytheorem
4. Further examples and properties of projective duality
5. The Katz dimension formula and its applications
CHAPTER 2. The Cayley Method for Studying Discriminants
1. Jet bundles and Koszul plexes
2, Discriminantai plexes
3, The degree and the dimension of the dual
4. Discriminantal plexes in terms of differential forms
5. The discriminant as the determinant of a spectral sequence
CHAPTER 3. Associated Varieties and General Resultants
1. Grassmannians. Preliminary material
2. Associated hypersurfaces
3. Mixed resultants
4. The Cayley method for the study of resultants
CHAPTER 4. Chow Varieties
1. Definitions and main properties
2. 0-cycles, factorizable forms and symmetric products
3. Cayley-Green-Morrison equations of Chow varieties
……

作者介紹

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文摘

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序言

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深入解析綫性代數與多項式代數核心概念的理論基石 本書聚焦於綫性代數和多項式代數中最為精妙且應用廣泛的核心工具——判彆式、結式，以及它們在更高維度結構——多維行列式中的體現與聯係。全書旨在為讀者提供一個嚴謹、深入且富有洞察力的理論框架，使其能夠徹底掌握這些概念的代數本質、幾何意義及其在現代數學和工程領域的實際應用價值。 第一部分：判彆式的深度剖析 判彆式（Discriminant）是衡量多項式根的性質，特彆是重根存在的關鍵代數不變量。它不僅是多項式性質的“晴雨錶”，更是理解代數方程解的穩定性和可約性的核心工具。 1. 單變量多項式的判彆式： 本章將從最基礎的二次、三次和四次方程的判彆式入手，係統闡述判彆式如何與維埃塔公式（Vieta's formulas）緊密結閤。我們將詳細推導判彆式的精確代數錶達式，並探討其在區分實根、復根以及重根時的決定性作用。重點解析如何利用判彆式來判斷二次麯綫（如圓錐麯綫）的類型，例如橢圓、拋物綫和雙麯綫的本質區彆，這涉及到將二次型轉化為標準形式的幾何過程。 2. 判彆式的代數性質與Galois理論的聯係： 深入探討判彆式作為多項式係數域上函數域的一個函數，其性質如何反映瞭多項式對應伽羅瓦群的結構。我們將展示判彆式在判斷一個多項式是否為完全平方或是否在特定域上可約時的重要性。此外，還會討論判彆式如何用於構造域擴張，以及在解決特定三次和四次方程時，判彆式在選擇正確根分支時的指導作用。 3. 多變量多項式的判彆式概念： 將判彆式的概念推廣到多元多項式的情形。多元判彆式，或稱為奇異值集閤的判彆式，描述瞭多項式零點集閤的“奇點”或“自相交”的條件。我們將使用張量方法和環論的工具來定義和計算多變量判彆式，特彆是針對二元函數，探討其在代數幾何中定義超麯麵奇點的地位。 第二部分：結式（Resultant）——根的消除工具 結式是代數幾何和消元理論中的核心概念，它提供瞭一種係統的方法來判斷兩個多項式是否共有一個共同的根，是綫性代數中矩陣秩概念在多項式空間中的延伸。 1. 雙變量多項式的結式： 本書將詳細介紹結式的定義，主要通過 Sylvester 矩陣來構造。我們將證明 Sylvester 矩陣的行列式恰好就是兩個多項式的結式。深入分析結式的代數性質，包括其乘法性和與最大公約式的關係：兩個多項式共有一個非零公根當且僅當它們的結式為零。 2. 結式的幾何意義與消元理論： 闡釋結式在求解多項式方程組中的核心作用。通過將結式視為一個多項式函數的零點集，我們展示瞭如何利用結式來“消除”一個變量，從而將兩個或多個變量的方程組降維為一個變量的方程。這與代數簇的投影密切相關，是理解代數簇在坐標平麵上的投影（影子）的關鍵。 3. 高階結式與張量錶示： 探討結式如何自然地推廣到更高維度的多項式集閤。在張量代數框架下，我們將引入多變量結式的推廣形式，雖然其代數錶達式更為復雜，但其在判定多個多項式零點集閤相交性方麵的威力巨大。討論如何通過 Gröbner 基或特定的張量分解來間接處理這些高階結式問題。 第三部分：多維行列式與結構的統一 本部分將判彆式和結式的理論提升到更高的維度，探討它們在多維數組和張量結構中的自然體現，並引入“多維行列式”的概念。 1. 矩陣行列式的本質迴歸： 首先迴顧標準行列式（二維張量）的定義及其與排列、綫性變換的關係。強調行列式作為一組嚮量綫性相關的判據的幾何意義。 2. 高階張量的廣義行列式（如永久式與群作用）： 介紹張量（多維數組）的概念，並討論不同類型的“多維行列式”——例如永久式（Permanent），雖然其代數形式與行列式相似，但其組閤意義和應用場景大相徑庭。重點探討在特定對稱群作用下，如何定義和計算具有特殊結構張量的行列式，這些結構往往與物理學中的對稱性問題相關。 3. 判彆式與結式在張量結構中的隱式錶達： 論述判彆式和結式概念在多維語境下的“退化”或“特徵化”作用。例如，一個高階張量在何種條件下可以被分解為低階張量的組閤（如秩一分解），這種分解條件的代數錶述往往可以通過推廣的判彆式概念來捕獲。我們將探討張量結構的“奇異性”集閤，這些集閤的邊界恰恰由多維判彆式或更復雜的張量不變量所界定。 4. 實際應用：多項式係統的求解與穩定性分析： 將前述理論應用於實際問題。討論如何結閤判彆式和結式工具來分析非綫性動力學係統的平衡點穩定性、控製理論中的可控性/可觀測性判定，以及信號處理中盲源分離問題的代數約束條件。多維行列式和張量視角則被用來處理涉及多個變量和多組約束的復雜係統模型。 本書力求通過嚴謹的數學推導和清晰的幾何闡釋，幫助讀者建立起綫性代數、多項式理論與現代代數幾何之間的深刻聯係，為進一步研究代數方程的解的結構和係統的內在性質打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書在內容深度上的廣度令人咋舌，但更讓我印象深刻的是其行文風格的嚴謹與剋製。它很少使用過於口語化或情緒化的錶達，全程保持著一種冷靜、客觀的學術態度。每一個定理的錶述都力求精確到每一個詞匯的恰當性，這對於需要精確引用和消歧義的學術寫作來說，是至關重要的財富。我發現，很多我過去在其他教材中讀到似是而非的概念，在這本書裏得到瞭非常清晰、無懈可擊的界定。特彆是關於多項式零點與行列式秩之間的微妙關係那一部分，作者的論證過程滴水不漏，讓人讀後對相關概念的理解達到瞭“瞭如指掌”的程度。這種對知識準確性的執著，使得這本書成為瞭我案頭常備的“最終參考書”，任何關於判彆式理論的疑問，翻閱此書總能得到最權威的解答。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計簡直是教科書級彆的典範，封麵那深沉的靛藍色配上燙金的標題字體，光是拿在手裏就能感受到一種學術的厚重感。我最欣賞的是它在細節處理上的用心，內頁紙張的選擇既保證瞭閱讀時的舒適度，又不至於因為反光而影響長時間的專注。排版布局非常清晰，每一個定理的推導過程都被嚴謹地放置在專門的區域，旁邊的空白處留得恰到好處，方便讀者隨時做筆記和標記關鍵步驟。這種對閱讀體驗的極緻追求，在現在的很多專業書籍中已經非常罕見瞭。它不僅僅是一本工具書，更像是一件精美的工藝品，讓人願意反復摩挲、細細品味。尤其是那些復雜公式的印刷效果，綫條銳利清晰，即便是最細微的下標和上下標都能準確無誤地呈現，這對於學習高度抽象的數學概念至關重要。我可以肯定地說，這本書在視覺上傳達的專業性，已經為接下來的深度學習打下瞭堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

作為一名長期在理論物理領域摸爬滾打的研究者，我深知這類代數工具的實用性和底層重要性。這本書的價值絕非停留在理論探討層麵，它在闡述這些數學結構時，巧妙地融入瞭它們在現代科學中的實際應用背景。雖然書中沒有直接給齣大量的工程案例，但它在介紹諸如“根的重數判彆”或“代數簇的相交性”時，其背後蘊含的物理或幾何意義被闡述得極為透徹。例如，當談到結式如何解決多項式方程組的解的存在性問題時，作者的論述方式讓我對數值分析中的某些迭代方法的收斂性有瞭全新的認識。這種理論與潛在應用之間的微妙聯係，極大地激發瞭我將這些工具應用於我當前研究課題的興趣，它提供瞭一種看待復雜係統的全新數學視角，遠超齣瞭純粹的數學手冊範疇。

評分☆☆☆☆☆

這本書的內容組織邏輯之精妙，簡直是我讀過的代數類書籍中的一股清流。作者似乎完全洞察瞭初學者和進階者在理解判彆式和結式時的常見睏惑點，因此在章節的銜接和知識點的遞進上做得非常自然流暢。它不是簡單地堆砌公式和定義，而是通過一係列精心設計的引例，循序漸進地揭示瞭這些概念背後的幾何或代數直覺。比如，對於多維行列式那個看似抽象的章節，作者首先從低維度的直觀感受入手，逐步過渡到高維空間的張量錶示，這種“由淺入深，由具體到抽象”的教學方法，極大地降低瞭理解門檻。我特彆贊賞它在證明環節的處理，關鍵步驟會用不同的字體或顔色進行強調，使得冗長的證明過程也變得有跡可循，而不是一團亂麻，讀起來效率極高，讓人有一種茅塞頓開的愉悅感。

評分☆☆☆☆☆

購買這本書的初衷是希望能在某些計算代數幾何的算法實現上找到更紮實的理論基礎，而這本書超齣瞭我的預期，因為它在“可計算性”和“內在結構”之間架起瞭一座堅固的橋梁。例如，在討論如何用數值方法逼近判彆式時，它不僅指齣瞭理論上的障礙（如浮點誤差），還從行列式展開式的結構齣發，暗示瞭某些更穩定的計算路徑。它的論述風格非常內斂，但信息密度卻極高，你必須放慢速度，纔能捕捉到隱藏在每段話背後的深層含義。這本書更像是一位經驗豐富的大師，在嚮你展示一張復雜地形圖時，他不會急於指齣所有的捷徑，而是先讓你透徹理解山川河流的走嚮，讓你自己去發現最佳的行進路綫。這種培養獨立思考而非被動接受的學習體驗，纔是它最寶貴的價值所在。