二階橢圓偏微分方程(英文版) 9787506259224 世界圖書齣版公司 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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D.Gilbarg，N.S.Trudinger 著

圖書標籤:

• 偏微分方程
• 橢圓方程
• 數值分析
• 數學分析
• 高等數學
• 科學計算
• 工程數學
• 應用數學
• PDE
• 數值方法

店鋪： 北京文博宏圖圖書專營店

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787506259224

商品編碼：28420166080

包裝：平裝

齣版時間：2003-04-01

基本信息

書名：二階橢圓偏微分方程(英文版)

定價：59.00元

作者：D.Gilbarg,N.S.Trudinger

齣版社：世界圖書齣版公司

齣版日期：2003-04-01

ISBN：9787506259224

字數：

頁碼：

版次：1

裝幀：平裝

開本：

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編輯推薦

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內容提要

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This revision of the 1983 second edition of'Elliptic Partial Differential Equations of Second Order' corresponds to the Russian edition, published in 1989, in which we essentially updated the previous version to 1984. The additional text relates to the boundary H61der derivative estimates of Nikolai Krylov, which provided a fundamental ponent of the further development of the classical theory of elliptic (and parabolic), fully nonlinear equations in higher dimensions. In our presentation we adapted a simplification of Krylov's approach due to Luis Caffarelli.

目錄

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Chapter 1. Introduction
Part Ⅰ Linear Equations
　Chapter 2 Laplace’s Equation
　　2.1 The Mean Value Inequalities
　　2.2 Maximum and Minimum Principle
　　2.3 The Harnack Inequality
　　2.4 Green’s Representation
　　2.5 The Poisson Integral
　　2.6 Convergence Theorems
　　2.7 Interior Estimates of Derivatives
　　2.8 The Dirichlet Problem； the Method of Subharmonic Functions
　　2.9 Capacity
　　Problems
　Chapter 3 The Classical Maximum Principle
　　3.1 The Weak Maximum Principle
　　3.2 The Strong Maximum Principle
　　3.3 Apriori Bounds
　　3.4 Gradient Estimates for Poisson’s Equation
　　3.5 A Harnack Inequality
　　3.6 Operators in Divergence Form
Notes
　　Problems
Chapter 4 Poisson's Equation and the Newtonian Potential
4.1 Holder Continuity
4.2 The Dirichlet Problem for Poisson's Equation
4.3 Holder Estimates for the Second Derivatives
4.4 Eximates at the Boundary
4.5 Holder Estimates for the First Derivatives
Notes
　　Problems
Chapter 5 Banach and Hilbert Spaces
5.1 The Contraction Mapping Principle
5.2 The Method of Continity
5.3 The Fredholm Alternative
5.4 Dual Spaces and Adjoints
5.5 Hilbert Spaces
5.6 The Projection Theorem
5.7 The Riesz Represenation Theorem
5.8 The Lax-Milgram Theorem
5.9 The Fredholm Alternative in Hilbert Spaces
5.10 Weak Compactness
Notes
　　Problems
Chapter 6 Calssical Solutions; the Schauder Approach
Chapter 7 Sobolev Spaces
Chapter 8 Generalized Solutiona and regularity
Chapter 9 Strong Solutions
Part Ⅱ Quasilinear Equations
Chapter 10 Maximum and Comparison Principles
Chapter 11 Topological Fixed Point Theorems and Their Application
Chapter 12 Equation in Two Varables
Chapter 13 Holder Extimates for the Cradient
Chapter 14 Boundary Gradient Estimates
Chapter 15 Global and Interior Gradient Bounds
Chapter 16 Equations of Mean Curvature Type
Chapter 17 Fully Nonlinear Equations
Bibliography
Epilogue
Subject Index
Notation Index

作者介紹

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文摘

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序言

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偏微分方程前沿探索：從基礎理論到現代應用 本書精選收錄瞭當代偏微分方程（PDE）領域內一係列極具深度和影響力的研究論文與經典綜述，聚焦於理論的構建、關鍵算子的深入分析以及在物理、工程和數學交叉領域的最新應用進展。 本書的編纂旨在為高等院校的數學係研究生、科研人員以及從事應用數學和理論物理研究的專業人士提供一個全麵、深入的學習平颱。我們力求在保持嚴格的數學嚴謹性的同時，清晰地闡釋復雜的概念和前沿的研究方嚮。全書內容涵蓋瞭橢圓型、拋物型和雙麯型方程的統一理論框架，並特彆側重於奇異性、不適定問題以及非綫性演化方程的解的長期行為研究。 --- 第一部分：基礎理論的深化與推廣 本部分緻力於夯實讀者對經典偏微分方程理論的理解，並將其拓展至更具挑戰性的數學結構。 第一章：綫性算子理論的再審視與調和分析基礎 本章從泛函分析的視角齣發，對定常和演化方程中的關鍵綫性算子——拉普拉斯算子、狄拉剋算子以及相關的僞微分算子——進行瞭深入的剖析。重點探討瞭Sobolev空間、Bessel勢空間以及分層（Hölmander）範數的構造與性質。 橢圓型方程的先驗估計： 詳細論述瞭Schwartz型估計和Campanato型估計在確定強解和弱解的正則性方麵的核心作用。著重分析瞭邊值問題中Dirichlet條件和Neumann條件對解的穩定性的影響。 傅裏葉積分算子（FIOs）與僞微分算子： 引入瞭用於處理具有不規則係數或奇點的偏微分方程的工具。闡述瞭如何利用相空（Phase Space）技巧，精確地計算這些算子在特定函數空間上的作用以及它們與經典邊界層方法的聯係。 調和分析在PDE中的應用： 考察瞭Littlewood-Paley分解和Calderón-Zygmund奇異積分算子的界，這些工具是證明拋物方程解的平滑性和奇異積分方程解的存在性的基石。 第二章：非綫性方程的變分方法與拓撲度理論 本章聚焦於利用現代變分原理和拓撲方法解決非綫性偏微分方程的全局極值問題和臨界點問題。 Sobolev臨界點理論： 深入探討瞭泛函的鞍點、極小值和極大值點的尋找，特彆關注瞭能量泛函在不可壓縮流體模型（如Navier-Stokes方程的簡化版本）中的應用。引入瞭Mountain Pass引理和清楚山脊（Climbing the Mountain）算法的思想。 Lusternik–Schnirelmann 理論及其局限性： 分析瞭該理論在處理涉及高階導數和非局部算子的方程時，如何通過奇點移動和正則化技術進行修正。 拓撲度與不動點定理： 闡述瞭Brouwer和Leray-Schauder拓撲度在證明某些非綫性橢圓方程解的存在性方麵不可替代的作用，特彆是當標準變分方法因泛函非有界或非光滑而失效時。 --- 第二部分：演化方程與動力學係統 本部分關注時間依賴性的偏微分方程，特彆是它們的解的穩定性和長期演化特性。 第三章：拋物型方程的正則性與平均場效應 本章詳細考察瞭擴散過程、熱傳導和化學反應擴散係統中的拋物型方程，強調瞭奇異源項和非局部相互作用對解的全局行為的影響。 非綫性熱方程（p-Laplacian）： 分析瞭 $partial_t u = Delta_p u$ 模型的弱解的正則性提升現象（Regularity of Solutions）。研究瞭爆破現象（Blow-up phenomena）的類型，包括有限時間和無窮時間內的爆破速率分析。 反應擴散係統與行波解： 討論瞭KPP方程（Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov）在生態學和材料科學中的應用。著重分析瞭單調行波解的存在性、唯一性和速度估計，以及多重行波之間的相互作用。 平均場問題的正則化： 考察瞭包含密度依賴項的演化方程，例如Vlasov-Fokker-Planck係統，如何通過對速度空間進行積分平均化來簡化問題的復雜性，並保證瞭解的質量守恒或能量耗散特性。 第四章：雙麯型方程與波的傳播 本章聚焦於波動方程、歐拉方程和守恒律方程，核心在於解的構造、奇性傳播和黎曼問題的求解。 黎曼問題與特徵綫方法： 詳細推導瞭具有不連續初始數據的雙麯守恒律方程的熵解（Entropy Solutions）的概念，並利用Godunov方案和Lax-Fritdrichs格式來逼近這些解。 激波與稀疏波的相互作用： 分析瞭復雜波結構（如復閤激波、馬赫反射）的形成和演化，這在氣體動力學和彈性波理論中至關重要。引入瞭粘性近似（Viscous Approximation）來嚴格定義激波解。 綫性波動方程的散射理論： 研究瞭薛定諤方程和剋萊因-戈登方程中，小擾動對自由波傳播的影響。探討瞭在漸近態下如何利用波叢（Wave Packets）和波形分析來確定散射矩陣（S-Matrix）。 --- 第三部分：現代研究熱點與交叉學科應用 本部分深入探討瞭當前PDE研究的前沿領域，特彆是與幾何、概率和數據科學的交叉點。 第五章：幾何分析中的偏微分方程 本章將PDE工具應用於微分幾何中的經典問題，特彆是麯率流和測地綫方程。 平均麯率流（Mean Curvature Flow, MCF）： 探討瞭MCF在形狀演化、圖像去噪以及麯麵光滑化中的應用。重點分析瞭由奇異點（如尖點或非光滑邊界）引起的解的局部正則性喪失，並引入瞭“粘性解”的概念來處理這種退化。 Ricci流的奇異性分析： 詳細介紹瞭Hamilton-Ricci流在構造光滑三維流形上的重要性。深入討論瞭Perelman關於“手術”（Surgery）技術的精妙思想，用以移除奇點並實現流的嚮前推進。 測地綫方程與動力學： 在黎曼流形上研究最短路徑問題，即測地綫方程的解的穩定性。利用龐加萊坐標係分析瞭在具有復雜拓撲結構的流形上的軌道周期性。 第六章：隨機偏微分方程（SPDEs）與隨機控製 本章將概率論中的鞅論和隨機分析引入偏微分方程的研究中，以處理帶有噪聲項或不確定性的係統。 隨機演化方程的解的構造： 詳細介紹瞭Ito積分在處理具有白噪聲驅動的拋物型方程（如KPZ方程或隨機Cahn-Hilliard方程）中的應用。討論瞭隨機解的路徑依賴性。 隨機係統的穩定性與遍曆性： 考察瞭隨機係統在長時間內的統計平均行為。通過Lyapunov函數和隨機固定點定理，確定瞭係統的平穩分布（Stationary Distribution）的存在性，這在金融建模中具有實際意義。 最優控製與Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程： 闡述瞭如何利用HJB方程來求解具有隨機擾動的動態係統的最優控製問題。著重分析瞭HJB方程作為非綫性退化橢圓方程的正則性挑戰。 本書結構緊湊，內容全麵，旨在為讀者提供一個堅實的理論基礎，並引導他們進入當前偏微分方程領域最活躍的研究前沿。每章後的習題和延伸閱讀建議，都經過精心挑選，以期激發讀者的獨立思考和研究能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的國際視野是它的一大亮點，盡管是中文譯本，但其所引用的參考文獻和理論源頭，清晰地展示瞭該領域自二十世紀以來跨越歐美的學術脈絡。作者在處理像Dirichlet問題這樣經典的議題時，並沒有僅僅停留在最基礎的證明上，而是非常詳盡地對比瞭不同學派采用的不同方法論——例如，從變分法角度的切入與從特徵值問題的視角進行分析的差異。這使得讀者在學習具體技巧的同時，還能宏觀地把握整個學科的發展趨勢和思想碰撞。我特彆欣賞其中對“解的正則性”這一關鍵問題的討論，作者沒有簡單地給齣結論，而是詳細迴顧瞭Ladyzhenskaya和Uraltseva等人的裏程碑式工作，並輔以清晰的對比圖錶，讓復雜的正則性提升過程變得層次分明，易於消化。這種對學術史的尊重和細緻的梳理，體現瞭編撰者深厚的學術功底和對知識傳承的責任感。

評分☆☆☆☆☆

這本書的實用價值，如果從工程或應用物理的角度來衡量，也許需要讀者自己去“翻譯”一下。它更多的是在構建一個堅實的數學基礎框架，而不是直接提供現成的數值算法手冊。然而，正是這種對基礎理論的極緻挖掘，纔使得它成為後續研究的基石。我個人最受啓發的是其中關於非綫性橢圓方程的討論部分，作者巧妙地將拓撲學的一些直觀概念融入到不動點定理的介紹中，使得那些看似抽象的分析工具獲得瞭更強的操作感。閱讀過程中，我常常會停下來，對照著一本我正在使用的數值分析教材，試圖去理解這些嚴謹的理論是如何“實例化”為計算機可以處理的格式的。這本書沒有提供“捷徑”，它要求讀者沉浸於數學語言本身，一旦你掌握瞭它的語言，你便能用它來描述和解決任何相關的物理或工程難題。它是一把開啓高級研究大門的鑰匙，盡管開啓的過程需要你付齣汗水。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版質量，說實話，在專業數學書籍中算是頂尖水平瞭。印刷的清晰度毋庸置疑，那些復雜的公式和符號，即便是用很小的字號印齣來，也依然銳利得仿佛可以直接觸摸到。我經常需要在深夜颱燈下研讀，眼睛常常會因為長時間的閱讀而疲勞，但這本書的紙張選擇和字體間距處理得非常人性化，大大減輕瞭閱讀負擔。更讓我贊嘆的是，作者在引入新概念時，總是會非常貼心地給齣一些經典的應用實例作為鋪墊。比如，在講解調和函數性質時，書中穿插瞭幾頁關於電勢分布和穩態傳熱問題的簡要分析，這使得理論推導不再是空中樓閣，而是緊密聯係著實際物理圖景的。這種將理論與應用巧妙融閤的編排方式，極大地激發瞭我深入探究下去的興趣。那些幾何上的直觀解釋，也常常以精美的圖示形式呈現，即便隔著屏幕，那份用心也能感受得到。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計簡直是一場視覺盛宴，那種深沉的藍色調配上燙金的字體，立刻就讓人感受到其中蘊含的深厚學術底蘊。我記得第一次在書店看到它時，就被那種沉穩、專業的質感所吸引。當然，作為一本專注於偏微分方程的專著，它的內容自然是硬核的。我尤其欣賞作者在引言部分對二階橢圓型PDEs曆史沿革的梳理，從早期的勢論基礎到現代泛函分析的深刻介入，那種娓娓道來的敘事方式，讓原本枯燥的數學概念變得生動起來。書中對基本原理的闡述極其紮實，比如最大值原理的精妙證明，以及各種邊界條件的物理意義解讀，都處理得非常到位。對於初學者來說，可能需要一些時間來適應其嚴謹的邏輯推導，但一旦跨過這道門檻，你會發現作者構建瞭一個無比清晰且邏輯自洽的知識體係。這本書不僅僅是教科書，更像是一位老教授在你身邊，耐心而又不失深度地為你講解那些抽象的數學結構。它需要的不僅僅是智力上的投入，更需要一種對數學美學的感知和欣賞。

評分☆☆☆☆☆

我不得不承認，這本書的難度絕對不容小覷，它顯然是為已經具備紮實微積分和基礎泛函分析背景的讀者準備的。我第一次嘗試啃第三章的弱解理論時，幾乎是寸步難行。作者在證明過程中的跳躍性有時會讓人感到一絲挑戰，尤其是涉及Sobolev空間理論的深入討論部分，你必須得時刻保持高度集中，任何一個環節的疏忽都可能導緻對整體邏輯鏈條的誤解。但這恰恰是其價值所在——它迫使你走齣舒適區，去進行真正意義上的數學思考。我發現，每當我攻剋其中一個復雜的定理或推導時，那種成就感是無與倫比的。這本書就像一座巍峨的山峰，攀登過程充滿艱辛，但山頂的風光絕對值得。它教給我的不僅是知識，更是一種麵對復雜問題時，不畏懼、不退縮的學術態度。