二阶椭圆偏微分方程(英文版) 9787506259224 世界图书出版公司 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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D.Gilbarg，N.S.Trudinger 著

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出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787506259224

商品编码：28420166080

包装：平装

出版时间：2003-04-01

基本信息

书名：二阶椭圆偏微分方程(英文版)

定价：59.00元

作者：D.Gilbarg,N.S.Trudinger

出版社：世界图书出版公司

出版日期：2003-04-01

ISBN：9787506259224

字数：

页码：

版次：1

装帧：平装

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编辑推荐

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内容提要

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This revision of the 1983 second edition of'Elliptic Partial Differential Equations of Second Order' corresponds to the Russian edition, published in 1989, in which we essentially updated the previous version to 1984. The additional text relates to the boundary H61der derivative estimates of Nikolai Krylov, which provided a fundamental ponent of the further development of the classical theory of elliptic (and parabolic), fully nonlinear equations in higher dimensions. In our presentation we adapted a simplification of Krylov's approach due to Luis Caffarelli.

目录

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Chapter 1. Introduction
Part Ⅰ Linear Equations
　Chapter 2 Laplace’s Equation
　　2.1 The Mean Value Inequalities
　　2.2 Maximum and Minimum Principle
　　2.3 The Harnack Inequality
　　2.4 Green’s Representation
　　2.5 The Poisson Integral
　　2.6 Convergence Theorems
　　2.7 Interior Estimates of Derivatives
　　2.8 The Dirichlet Problem； the Method of Subharmonic Functions
　　2.9 Capacity
　　Problems
　Chapter 3 The Classical Maximum Principle
　　3.1 The Weak Maximum Principle
　　3.2 The Strong Maximum Principle
　　3.3 Apriori Bounds
　　3.4 Gradient Estimates for Poisson’s Equation
　　3.5 A Harnack Inequality
　　3.6 Operators in Divergence Form
Notes
　　Problems
Chapter 4 Poisson's Equation and the Newtonian Potential
4.1 Holder Continuity
4.2 The Dirichlet Problem for Poisson's Equation
4.3 Holder Estimates for the Second Derivatives
4.4 Eximates at the Boundary
4.5 Holder Estimates for the First Derivatives
Notes
　　Problems
Chapter 5 Banach and Hilbert Spaces
5.1 The Contraction Mapping Principle
5.2 The Method of Continity
5.3 The Fredholm Alternative
5.4 Dual Spaces and Adjoints
5.5 Hilbert Spaces
5.6 The Projection Theorem
5.7 The Riesz Represenation Theorem
5.8 The Lax-Milgram Theorem
5.9 The Fredholm Alternative in Hilbert Spaces
5.10 Weak Compactness
Notes
　　Problems
Chapter 6 Calssical Solutions; the Schauder Approach
Chapter 7 Sobolev Spaces
Chapter 8 Generalized Solutiona and regularity
Chapter 9 Strong Solutions
Part Ⅱ Quasilinear Equations
Chapter 10 Maximum and Comparison Principles
Chapter 11 Topological Fixed Point Theorems and Their Application
Chapter 12 Equation in Two Varables
Chapter 13 Holder Extimates for the Cradient
Chapter 14 Boundary Gradient Estimates
Chapter 15 Global and Interior Gradient Bounds
Chapter 16 Equations of Mean Curvature Type
Chapter 17 Fully Nonlinear Equations
Bibliography
Epilogue
Subject Index
Notation Index

作者介绍

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文摘

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序言

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偏微分方程前沿探索：从基础理论到现代应用 本书精选收录了当代偏微分方程（PDE）领域内一系列极具深度和影响力的研究论文与经典综述，聚焦于理论的构建、关键算子的深入分析以及在物理、工程和数学交叉领域的最新应用进展。 本书的编纂旨在为高等院校的数学系研究生、科研人员以及从事应用数学和理论物理研究的专业人士提供一个全面、深入的学习平台。我们力求在保持严格的数学严谨性的同时，清晰地阐释复杂的概念和前沿的研究方向。全书内容涵盖了椭圆型、抛物型和双曲型方程的统一理论框架，并特别侧重于奇异性、不适定问题以及非线性演化方程的解的长期行为研究。 --- 第一部分：基础理论的深化与推广 本部分致力于夯实读者对经典偏微分方程理论的理解，并将其拓展至更具挑战性的数学结构。 第一章：线性算子理论的再审视与调和分析基础 本章从泛函分析的视角出发，对定常和演化方程中的关键线性算子——拉普拉斯算子、狄拉克算子以及相关的伪微分算子——进行了深入的剖析。重点探讨了Sobolev空间、Bessel势空间以及分层（Hölmander）范数的构造与性质。 椭圆型方程的先验估计： 详细论述了Schwartz型估计和Campanato型估计在确定强解和弱解的正则性方面的核心作用。着重分析了边值问题中Dirichlet条件和Neumann条件对解的稳定性的影响。 傅里叶积分算子（FIOs）与伪微分算子： 引入了用于处理具有不规则系数或奇点的偏微分方程的工具。阐述了如何利用相空（Phase Space）技巧，精确地计算这些算子在特定函数空间上的作用以及它们与经典边界层方法的联系。 调和分析在PDE中的应用： 考察了Littlewood-Paley分解和Calderón-Zygmund奇异积分算子的界，这些工具是证明抛物方程解的平滑性和奇异积分方程解的存在性的基石。 第二章：非线性方程的变分方法与拓扑度理论 本章聚焦于利用现代变分原理和拓扑方法解决非线性偏微分方程的全局极值问题和临界点问题。 Sobolev临界点理论： 深入探讨了泛函的鞍点、极小值和极大值点的寻找，特别关注了能量泛函在不可压缩流体模型（如Navier-Stokes方程的简化版本）中的应用。引入了Mountain Pass引理和清楚山脊（Climbing the Mountain）算法的思想。 Lusternik–Schnirelmann 理论及其局限性： 分析了该理论在处理涉及高阶导数和非局部算子的方程时，如何通过奇点移动和正则化技术进行修正。 拓扑度与不动点定理： 阐述了Brouwer和Leray-Schauder拓扑度在证明某些非线性椭圆方程解的存在性方面不可替代的作用，特别是当标准变分方法因泛函非有界或非光滑而失效时。 --- 第二部分：演化方程与动力学系统 本部分关注时间依赖性的偏微分方程，特别是它们的解的稳定性和长期演化特性。 第三章：抛物型方程的正则性与平均场效应 本章详细考察了扩散过程、热传导和化学反应扩散系统中的抛物型方程，强调了奇异源项和非局部相互作用对解的全局行为的影响。 非线性热方程（p-Laplacian）： 分析了 $partial_t u = Delta_p u$ 模型的弱解的正则性提升现象（Regularity of Solutions）。研究了爆破现象（Blow-up phenomena）的类型，包括有限时间和无穷时间内的爆破速率分析。 反应扩散系统与行波解： 讨论了KPP方程（Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov）在生态学和材料科学中的应用。着重分析了单调行波解的存在性、唯一性和速度估计，以及多重行波之间的相互作用。 平均场问题的正则化： 考察了包含密度依赖项的演化方程，例如Vlasov-Fokker-Planck系统，如何通过对速度空间进行积分平均化来简化问题的复杂性，并保证了解的质量守恒或能量耗散特性。 第四章：双曲型方程与波的传播 本章聚焦于波动方程、欧拉方程和守恒律方程，核心在于解的构造、奇性传播和黎曼问题的求解。 黎曼问题与特征线方法： 详细推导了具有不连续初始数据的双曲守恒律方程的熵解（Entropy Solutions）的概念，并利用Godunov方案和Lax-Fritdrichs格式来逼近这些解。 激波与稀疏波的相互作用： 分析了复杂波结构（如复合激波、马赫反射）的形成和演化，这在气体动力学和弹性波理论中至关重要。引入了粘性近似（Viscous Approximation）来严格定义激波解。 线性波动方程的散射理论： 研究了薛定谔方程和克莱因-戈登方程中，小扰动对自由波传播的影响。探讨了在渐近态下如何利用波丛（Wave Packets）和波形分析来确定散射矩阵（S-Matrix）。 --- 第三部分：现代研究热点与交叉学科应用 本部分深入探讨了当前PDE研究的前沿领域，特别是与几何、概率和数据科学的交叉点。 第五章：几何分析中的偏微分方程 本章将PDE工具应用于微分几何中的经典问题，特别是曲率流和测地线方程。 平均曲率流（Mean Curvature Flow, MCF）： 探讨了MCF在形状演化、图像去噪以及曲面光滑化中的应用。重点分析了由奇异点（如尖点或非光滑边界）引起的解的局部正则性丧失，并引入了“粘性解”的概念来处理这种退化。 Ricci流的奇异性分析： 详细介绍了Hamilton-Ricci流在构造光滑三维流形上的重要性。深入讨论了Perelman关于“手术”（Surgery）技术的精妙思想，用以移除奇点并实现流的向前推进。 测地线方程与动力学： 在黎曼流形上研究最短路径问题，即测地线方程的解的稳定性。利用庞加莱坐标系分析了在具有复杂拓扑结构的流形上的轨道周期性。 第六章：随机偏微分方程（SPDEs）与随机控制 本章将概率论中的鞅论和随机分析引入偏微分方程的研究中，以处理带有噪声项或不确定性的系统。 随机演化方程的解的构造： 详细介绍了Ito积分在处理具有白噪声驱动的抛物型方程（如KPZ方程或随机Cahn-Hilliard方程）中的应用。讨论了随机解的路径依赖性。 随机系统的稳定性与遍历性： 考察了随机系统在长时间内的统计平均行为。通过Lyapunov函数和随机固定点定理，确定了系统的平稳分布（Stationary Distribution）的存在性，这在金融建模中具有实际意义。 最优控制与Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程： 阐述了如何利用HJB方程来求解具有随机扰动的动态系统的最优控制问题。着重分析了HJB方程作为非线性退化椭圆方程的正则性挑战。 本书结构紧凑，内容全面，旨在为读者提供一个坚实的理论基础，并引导他们进入当前偏微分方程领域最活跃的研究前沿。每章后的习题和延伸阅读建议，都经过精心挑选，以期激发读者的独立思考和研究能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，那种深沉的蓝色调配上烫金的字体，立刻就让人感受到其中蕴含的深厚学术底蕴。我记得第一次在书店看到它时，就被那种沉稳、专业的质感所吸引。当然，作为一本专注于偏微分方程的专著，它的内容自然是硬核的。我尤其欣赏作者在引言部分对二阶椭圆型PDEs历史沿革的梳理，从早期的势论基础到现代泛函分析的深刻介入，那种娓娓道来的叙事方式，让原本枯燥的数学概念变得生动起来。书中对基本原理的阐述极其扎实，比如最大值原理的精妙证明，以及各种边界条件的物理意义解读，都处理得非常到位。对于初学者来说，可能需要一些时间来适应其严谨的逻辑推导，但一旦跨过这道门槛，你会发现作者构建了一个无比清晰且逻辑自洽的知识体系。这本书不仅仅是教科书，更像是一位老教授在你身边，耐心而又不失深度地为你讲解那些抽象的数学结构。它需要的不仅仅是智力上的投入，更需要一种对数学美学的感知和欣赏。

评分☆☆☆☆☆

这本书的国际视野是它的一大亮点，尽管是中文译本，但其所引用的参考文献和理论源头，清晰地展示了该领域自二十世纪以来跨越欧美的学术脉络。作者在处理像Dirichlet问题这样经典的议题时，并没有仅仅停留在最基础的证明上，而是非常详尽地对比了不同学派采用的不同方法论——例如，从变分法角度的切入与从特征值问题的视角进行分析的差异。这使得读者在学习具体技巧的同时，还能宏观地把握整个学科的发展趋势和思想碰撞。我特别欣赏其中对“解的正则性”这一关键问题的讨论，作者没有简单地给出结论，而是详细回顾了Ladyzhenskaya和Uraltseva等人的里程碑式工作，并辅以清晰的对比图表，让复杂的正则性提升过程变得层次分明，易于消化。这种对学术史的尊重和细致的梳理，体现了编撰者深厚的学术功底和对知识传承的责任感。

评分☆☆☆☆☆

我不得不承认，这本书的难度绝对不容小觑，它显然是为已经具备扎实微积分和基础泛函分析背景的读者准备的。我第一次尝试啃第三章的弱解理论时，几乎是寸步难行。作者在证明过程中的跳跃性有时会让人感到一丝挑战，尤其是涉及Sobolev空间理论的深入讨论部分，你必须得时刻保持高度集中，任何一个环节的疏忽都可能导致对整体逻辑链条的误解。但这恰恰是其价值所在——它迫使你走出舒适区，去进行真正意义上的数学思考。我发现，每当我攻克其中一个复杂的定理或推导时，那种成就感是无与伦比的。这本书就像一座巍峨的山峰，攀登过程充满艰辛，但山顶的风光绝对值得。它教给我的不仅是知识，更是一种面对复杂问题时，不畏惧、不退缩的学术态度。

评分☆☆☆☆☆

这本书的实用价值，如果从工程或应用物理的角度来衡量，也许需要读者自己去“翻译”一下。它更多的是在构建一个坚实的数学基础框架，而不是直接提供现成的数值算法手册。然而，正是这种对基础理论的极致挖掘，才使得它成为后续研究的基石。我个人最受启发的是其中关于非线性椭圆方程的讨论部分，作者巧妙地将拓扑学的一些直观概念融入到不动点定理的介绍中，使得那些看似抽象的分析工具获得了更强的操作感。阅读过程中，我常常会停下来，对照着一本我正在使用的数值分析教材，试图去理解这些严谨的理论是如何“实例化”为计算机可以处理的格式的。这本书没有提供“捷径”，它要求读者沉浸于数学语言本身，一旦你掌握了它的语言，你便能用它来描述和解决任何相关的物理或工程难题。它是一把开启高级研究大门的钥匙，尽管开启的过程需要你付出汗水。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版质量，说实话，在专业数学书籍中算是顶尖水平了。印刷的清晰度毋庸置疑，那些复杂的公式和符号，即便是用很小的字号印出来，也依然锐利得仿佛可以直接触摸到。我经常需要在深夜台灯下研读，眼睛常常会因为长时间的阅读而疲劳，但这本书的纸张选择和字体间距处理得非常人性化，大大减轻了阅读负担。更让我赞叹的是，作者在引入新概念时，总是会非常贴心地给出一些经典的应用实例作为铺垫。比如，在讲解调和函数性质时，书中穿插了几页关于电势分布和稳态传热问题的简要分析，这使得理论推导不再是空中楼阁，而是紧密联系着实际物理图景的。这种将理论与应用巧妙融合的编排方式，极大地激发了我深入探究下去的兴趣。那些几何上的直观解释，也常常以精美的图示形式呈现，即便隔着屏幕，那份用心也能感受得到。