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圖書標籤:

• Banach空間
• 幾何理論
• 泛函分析
• 凸分析
• 優化
• 數值分析
• 固定點定理
• 非綫性分析
• 應用數學
• 理論數學

店鋪： 金衛文化圖書專營店

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030306579

商品編碼：29914743514

叢書名： Banach空間幾何理論及應用

開本：16

齣版時間：2011-05-01

內容介紹
本書介紹Banach空間幾何理論及其在不動點理論的應用。全書分為5章。存介紹一些Banach空間的基本知識、Banach空間的弱拓撲與白反性的基礎上，一方麵敘述Banach空間幾何理論的基本內容，特彆講述瞭與不動點有關的各種幾何性、Banach空間中的各種模和幾何常數，同時給齣瞭其存不動點理論、集值映射的不動點理論方麵的應用等；另一方麵研究瞭Banach空間幾何和逼近性質，包括逼近緊和度量投影的連續性、距離函數的可導性與逼近緊性以及Banach空間幾何性質與太陽集等。本書結閤國內外相關的研究成果，將Banach空間幾何理論與不動點理論有機結閤在一起，並給齣瞭其在逼近論方麵的部分應用。
目錄
目錄
前言
第1章 Banach空間的弱拓撲與自反性 1
1.1 預備知識 1
1.2 Bishop-Phelps定理 6
1.2.1 半序Banach空間 6
1.2.2 Bishop-Phelps定理 8
1.3 Krein-Milman定理 11
1.4 Choquet定理 14
1.5 James定理 17
1.6 超冪 25
第2章 與不動點有關的幾何性質 31
2.1 預備知識 31
2.2 嚴格凸性和光滑性 34
2.3 一緻凸性和一緻光滑性 35
2.4 對偶映射 50
2.5 K一緻凸 62
2.6 接近一緻凸和接近一緻光滑 64
2.7 β-性質 80
2.8 F-凸和P-凸 83
2.9 E-凸和O-凸 86
2.10 UNC 和NUNC 88
2.11 r一緻非摺 96
2.12 Opial性質 103
2.13 (M)性質 107
2.14 Banach-Saks性質 109
2.15 Dunford-Pettis性質 113
2.16 Pelczynski 性質(V*) 118
第3章 Banach空間中的模和常數 124
3.1 弱正交係數 124
3.2 弱收斂序列係數 128
3.3 與NUS有關的係數R(X) 134
3.4 U凸模 139
3.5 廣義弱*凸模 145
3.6 廣義Jordan-von Neumann常數 150
3.7 廣義James常數 158
3.8 新常數JX,p(t) 166
第4章 集值映射不動點理論 175
4.1 集值映射 175
4.2 (DL)-條件 178
4.3 (D)性質 181
4.4 蘊含集值不動點性質的幾何條件 183
第5章 Banach空間幾何和逼近性質 192
5.1 逼近緊和度量投影的連續性 192
5.2 距離函數的可導性與逼近緊性 206
5.3 Banach空間幾何性質和太陽集 212
參考文獻 224
在綫試讀
第1章 Banach空間的弱拓撲與自反性
　　1.1 預備知識
　　設是Banach空間，用和分彆錶示Banach空間X的單位球及單位球麵。用錶示X的對偶空間，即為X上的有界綫性泛函的全體。眾所周知，綫性空間X在賦予範數下為Banach空間。
　　稱分離X，是指對於，存在y2Y滿足；其中，n為自然數。若，則稱為X的弱拓撲。如果X是對偶空間，即存在Banach空間Y滿足，則稱為X的弱拓撲。
　　記滿足則JX為從X到JX(X)上的等距綫性映射。若，則稱X是自反的Banach空間。簡記為。
　　引理1.1.1 設滿足。則存在使得，其中稱為f的核空間。
　　證明 設f6=0，則滿足f(x0)6=0，於是，對於8x2X有x=y+ax0，其中。進而有；故，即當n=1時，結論成立。
　　假設時結論成立。當k=n時，考慮則有。由前麵假設，存在滿足若記，則對於有，即有。故又存在an2R滿足因此，
　　若X是有限維Banach空間，則強拓撲與弱拓撲是等價的；對於無窮維Banach空間來說，強拓撲強於弱拓撲。對於凸集有下麵結果。
　　引理1.1.2 (Mazur)設為有界凸集，則。
　　證明 若存在，則對應用分離定理，即存在，滿足從而存在，使得，則存在，使得則。於是由(1.1.1)式，有這與矛盾，故。
　　注1.1.3 設，記錶示的閉凸包，它是包含的*小閉凸集。若即，則存在滿足，其中。
　　注1.1.4 弱Banach-Saks性質：設，若，且存在子列，滿足則稱X具有弱Banach-Saks性質。
　　Banach-Saks性質：若對任意有界序列，都存在子列及滿足則稱X具有Banach-Saks性質。
　　定義1.1.1 設X0是X的子集，對任意x2X，定義稱為x到X0的距離。
　　引理1.1.5 (Riesz引理)設X0是X的真閉子空間，則
　　證明 由於對任意x2X，都有，故隻需證明，對任意的，都存在，滿足。
　　由於X0是X的真閉子空間，故存在，使得。由的定義知，對於，存在，滿足
　　令則對於任意，有即
　　定義1.1.2 設記若對任意x2X，有，則稱C是可逼近集；若對任意x2X，有PC(x)為單點集，則稱C是Chebeshev集。
　　注1.1.6 若X0是X的可逼近子空間，則存在，滿足；若對任意；都有；則X0是X的不可逼近子空間。
　　例1.1.1 在中，令則是X0的不可逼近子空間。
　　定義1.1.3 設為X中的一個序列，若對X中每個元x，存在*一數列，使得其中級數是按範數收斂的，則稱X具有可列Schauder基，而叫做X的一個Schauder基，an稱為x關於基fxng的第n個坐標。
　　引理1.1.7 (Helly定理)設X是賦範綫性空間，為X上某n個有界綫性泛函，為n個復數，是某一正數。則對於任意正數，存在，使其滿足條件：
　　(1)；
　　(2)的充要條件是對於任意n個復數均有
　　證明 必要性。由條件(1)，(2)知，對任意n個復數，及任意，存在使得：由的任意性，有：
　　充分性。不妨設是綫性無關的。考慮從X到n維復歐氏空間Cn的映射T，滿足則T是滿綫性算子，事實上，若T的值域是Cn的m維(m　　於是，取X的n個元，使得當復數滿錶示半徑為以原點為心的球)，則即包含著內以原點為心，以2為邊長的n維開方體，當然也必然包含Cn的一個原點為心的球。
　　*後，用歸謬法推齣結論。反之，假設原命題不成立，則必存在某正數使得X中不存在滿足定理的條件(1)，(2)的，即注意到與為兩個不交的凸集，且由上述論證知。於是，當把Cn看成n維實綫性空間時，由於由Eidelheit定理知，存在X上的實有界綫性泛函，使得令泛函顯然式變為由於必存在不均為0的n個復數，使得由(1.1.2)式中的元y以及元b的假設，可得注意到是球域，均為綫性泛函，故由復數的特點及以上證明得即可得到由於f綫性無關，故，從而有這與定理假設矛盾。
　　引理1.1.8 (Zorn)設X是半序集，若其每一個全序子集都有一個上界，則X有極大元。
　　1.2 Bishop-Phelps定理
　　1.2.1 半序Banach空間
　　定義1.2.1 稱為凸集是指，對有
　　定義1.2.2 設是半序Banach空間，K是X中的閉凸集。滿足
　　(1)若x2；則；
　　(2)若x2K；則x=μ；則稱K是X的閉凸錐。
　　設K是X的閉凸錐，規定

圖書簡介：《拓撲場論：從低維到高維的統一視角》 引言：對空間結構與基本作用力的深度探索 本書旨在係統梳理和深入剖析二十世紀後半葉理論物理學中最具革命性的思想框架之一——拓撲場論（Topological Quantum Field Theory, TQFT）。拓撲場論以其獨特的數學結構，成功地在幾何、拓撲學以及量子場論之間架設瞭一座堅實的橋梁。它不依賴於黎曼度量，其物理量（關聯函數、配分函數）僅取決於空間的拓撲性質，如連通分支數、虧格等。 本書的敘述將避開對局部微分幾何和度量依賴的復雜計算，專注於如何運用代數拓撲和範疇論的工具來描述和理解物理係統。我們希望為讀者提供一個清晰的、從低維到高維，從概念建立到實際應用的全麵指南。 第一部分：拓撲場論的數學基礎與低維範例 第一章：代數拓撲的復習與幾何背景 本章首先迴顧瞭讀者可能熟悉的拓撲學基礎，重點聚焦於對場論至關重要的概念：同調論（Hurewicz映射）、上同調（De Rham上同調與奇異上同調的對偶性）以及基本群。我們將特彆闡述西格爾-威爾斯（Siegel-Witten）的洞見：即物理場論的真空態與某些代數拓撲空間是密切相關的。隨後，介紹Cobordism範疇（$ ext{Cob}_n$）作為TQFT的數學骨架。 第二章：二維拓撲場論：共形場的對偶性 二維TQFT是理解該理論最直觀的起點。我們詳細探討Chern-Simons（CS）理論在三維空間（$M_3$）中的作用，並將其通過邊界（$M_2$）與二維共形場論（CFT）的對應關係展開。 Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型：作為一種非規範性的量子場論，WZW模型在緊緻李群上的構造清晰地展示瞭如何通過一個三維作用量得到二維邊界上的物理描述。 Fuchs-Kouvelis 映射：闡明瞭CS作用量如何編碼瞭黎曼麯麵上的模空間結構，特彆是與模空間上經典拓撲不變量的聯係。 量子不變量：重點討論Jones多項式的場論起源，通過研究CS理論在三維流形上的配分函數，展示瞭場論如何生成著名的結和鏈不變量。 第三部分：高維推廣與幾何拓撲的應用 第三章：三維拓撲場論：格拉斯曼與扭轉流形 進入三維世界，理論的復雜性顯著增加。本章集中於非阿貝爾（Non-Abelian）的拓撲場論，並引入瞭扭轉子（Twisted Cohomology）的概念，這對於描述費米子自由度至關重要。 扭麯理論的引入：討論如何通過引入一個額外的“扭麯”結構（例如，一個二階上同調類），將標準TQFT轉化為更豐富的理論，這與描述某些弦論中的D-膜構造直接相關。 3D-3D 定理的初探：基於Donaldson理論與Chern-Simons理論的聯係，探討如何使用低維理論的拓撲不變量來計算高維流形上的規範場理論特徵。 第四章：四維拓撲場論與楊-米爾斯理論 四維TQFT是連接理論物理核心——四維規範理論——的關鍵。然而，由於度量依賴的消除在四維中變得更加微妙，本章將側重於Donaldson-Seiberg-Witten 理論的拓撲極限。 Chern-Simons 作用量的修正：介紹如何通過添加Chern-Simons項（即使在四維空間中，通過引入一個輔助三維流形或使用特定邊界條件）來構造拓撲受限的楊-米爾斯理論。 Instantons 與 Seiberg-Witten 幾何：雖然本書不深入規範場的精確解，但我們會闡述拓撲場論如何通過其邊界限製（或在特定的阿貝爾極限下）來預測四維 $mathcal{N}=2$ 超對稱規範理論的精確物理結果，特彆是其對模空間的描述。 第三部分：拓撲場論的代數結構與範疇論視角 第五章：莫雷-薩頓（ নিয়ে-Sutton）理論與（n-1）維流形 本章將理論提升到更抽象的代數結構層麵。我們將從莫雷-薩頓上同調的角度重新審視TQFT的構造。 （n-1）流形上的 TQFT：嚴格地定義一個 $n$ 維 TQFT如何從一個 $n$ 維的拓撲場論到其 $(n-1)$ 維的拓撲場論的映射，這一映射正是由Cobordism範疇的函子所定義的。 張量範疇與 Hopf 代數：闡述拓撲場論的場代數結構，特彆是二維和三維理論中齣現的張量範疇（如模塊範疇），以及這些範疇如何由底層的李代數或李群所決定。這為理解拓撲序和量子計算中的糾錯碼提供瞭代數基礎。 第六章：邊界條件與缺陷綫 在任何非平凡的物理理論中，邊界條件至關重要。在本章中，我們研究 TQFT 中引入的缺陷（Defects）或邊界條件對物理結果的影響。 邊界的拓撲結構：當一個 $n$ 維 TQFT 存在於一個具有 $(n-1)$ 維邊界的流形上時，這個邊界必須支持一個 $(n-1)$ 維的理論，即所謂的“邊界場論”。 缺陷的分類：缺陷如何編碼瞭場論內部的代數結構？我們將展示，例如，在CS理論中，不同類型的Wilson綫對應於李群錶示的特定張量積結構。 結論：拓撲場論的未來展望 本書最後總結瞭拓撲場論在現代物理學中的地位，包括其在弦論（特彆是IIA和IIB型理論的極限）、凝聚態物理（拓撲序和分數霍爾效應）中的深遠影響，以及作為連接低維幾何（如3-流形上的不變量）與高維理論的橋梁作用。本書強調，對拓撲不變量的理解，本質上是對底層作用量和幾何空間拓撲結構深刻關聯性的揭示。 本書特色： 純粹的拓撲視角：嚴格避免依賴度量張量，專注於同調、上同調和範疇論工具。 層級遞進的結構：從直觀的二維模型齣發，逐步過渡到抽象的四維及更高維的代數結構。 理論與應用並重：清晰闡釋瞭拓撲不變量（如Jones多項式、Donaldson不變量）是如何從場論的配分函數中自然湧現的。

評分☆☆☆☆☆

評價四 我對機器學習和數據科學領域有著濃厚的興趣，而近年來，許多新的算法和模型都與高維數據和抽象的數學空間緊密相關。Banach空間，作為一種擁有完備範數結構的嚮量空間，在錶示和處理這些數據方麵具有天然的優勢。這本書的名字《Banach空間幾何理論及應用》，讓我對它寄予厚望，希望它能成為我理解這些高級算法背後數學原理的橋梁。我特彆希望書中能夠深入探討 Banach空間的“幾何”特性如何影響數據的錶示和分析。例如，數據點在高維 Banach空間中的分布，或者數據點之間的距離如何度量，以及這些幾何特徵如何影響機器學習模型的性能。我期待書中能夠介紹一些將 Banach空間幾何理論應用於機器學習的實際例子，比如在核方法、流形學習、或者其他與度量學習相關的領域。我希望這本書能夠幫助我建立起從數據到數學空間，再到算法的清晰認知，從而更好地理解和創新數據科學領域的模型。

評分☆☆☆☆☆

評價三 作為一名學習瞭幾年數學的學生，我已經接觸過不少關於綫性代數、拓撲學和泛函分析的基礎知識。Banach空間這個概念我並不陌生，但總覺得對它的理解還停留在比較錶麵的層次，尤其是“幾何理論”這一點，我總覺得其中蘊含著更深層次的奧秘。這本書的標題，《Banach空間幾何理論及應用》，讓我覺得它可能是一扇通往更深層次理解的門。我希望這本書能夠從更抽象、更普遍的視角齣發，介紹 Banach空間中的各種“幾何”概念，例如空間中的距離、角度、麯率等概念是否能夠被推廣到 Banach空間中，以及這些概念的性質。我期待書中能夠解釋，為什麼研究 Banach空間的幾何性質對於理解函數的性質，比如收斂性、極限行為、可微性等等如此重要。此外，如果書中能夠提及一些在優化理論、逼近論等領域中，Banach空間幾何性質的應用案例，那就再好不過瞭，這能讓我看到理論與實踐之間的緊密聯係。

評分☆☆☆☆☆

評價二 我最近一直在閱讀一些關於概率論和隨機過程的書籍，其中很多理論的建立都離不開抽象的函數空間。Banach空間，作為一種重要的函數空間，其理論的掌握程度直接影響著對這些高級概率論概念的理解深度。這本書的名字《Banach空間幾何理論及應用》恰好切中瞭我的需求。我希望這本書能夠提供一種不同於純粹分析視角的理解方式，從“幾何”的角度來審視 Banach空間。例如，它是否會討論單位球的形狀如何反映空間的性質？空間中的直綫、平麵、測地綫等概念如何被定義和研究？我特彆關心的是，書中是否會涉及到像 Rademacher 隨機變量、Isoperimetric inequalities、Dvoretzky 現象等與 Banach空間幾何密切相關的結果，因為這些結果在概率論和統計學中有著廣泛的應用。我希望能通過這本書，不僅理解 Banach空間的定義和基本性質，更能體會到其內在的“幾何美學”，並能將這些幾何洞察力遷移到我正在研究的隨機過程問題上，從而獲得更深刻的理解和新的研究思路。

評分☆☆☆☆☆

評價五 一直以來，我對偏微分方程的理論研究都充滿著探索的欲望，而 Banach空間，作為研究偏微分方程解的存在性、唯一性和穩定性等問題的基本框架，其重要性不言而喻。這本書的標題《Banach空間幾何理論及應用》，讓我看到瞭一個研究 Banach空間的新視角。我希望它能夠係統地介紹 Banach空間的各種幾何性質，並且解釋這些幾何性質是如何影響方程解的行為的。例如，空間中某些特殊的點（如不動點）的幾何意義，以及空間中的“距離”和“大小”如何反映解的性質。我特彆期待書中能夠結閤一些具體的偏微分方程問題，展示如何利用 Banach空間的幾何理論來分析這些方程的解。比如，它是否會討論Sobolev空間，以及這些空間中的幾何特性對解的正則性有何影響？如果書中能夠引導我理解，Banach空間的幾何結構是如何為偏微分方程理論的構建提供堅實基礎的，那麼這本書的價值將遠遠超齣我的預期。

評分☆☆☆☆☆

評價一 這本書的名字讓我充滿期待， Banach空間幾何理論及應用，光是這個名字就帶著一種數學的嚴謹和應用的廣闊。我一直對函數空間和泛函分析很感興趣，尤其是在遇到一些偏微分方程或者信號處理的問題時，總感覺 Banach空間是理解這些現象背後的深刻原理的關鍵。這本書的標題直接點明瞭“幾何理論”和“應用”，這對我來說是個巨大的吸引力。我希望它能從最基礎的定義齣發，清晰地闡述 Banach空間的結構特點，例如範數的性質、開集、閉集、緊集等拓撲概念是如何在 Banach空間中體現齣幾何意義的。更重要的是，我非常期待書中能夠深入探討那些能夠刻畫 Banach空間幾何性質的重要概念，比如光滑性、凸性、延拓性質等等，以及它們與空間結構的深刻聯係。當然，如果書中能夠結閤一些經典的幾何例子，比如 L_p 空間、C(K) 空間等的幾何特徵分析，那就更妙瞭。我希望這本書能夠幫助我建立起對 Banach空間幾何性質的直觀認識，並且能夠理解這些幾何性質在解決實際問題時所扮演的角色。