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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030306579

商品编码：29914743514

丛书名： Banach空间几何理论及应用

开本：16

出版时间：2011-05-01

内容介绍
本书介绍Banach空间几何理论及其在不动点理论的应用。全书分为5章。存介绍一些Banach空间的基本知识、Banach空间的弱拓扑与白反性的基础上，一方面叙述Banach空间几何理论的基本内容，特别讲述了与不动点有关的各种几何性、Banach空间中的各种模和几何常数，同时给出了其存不动点理论、集值映射的不动点理论方面的应用等；另一方面研究了Banach空间几何和逼近性质，包括逼近紧和度量投影的连续性、距离函数的可导性与逼近紧性以及Banach空间几何性质与太阳集等。本书结合国内外相关的研究成果，将Banach空间几何理论与不动点理论有机结合在一起，并给出了其在逼近论方面的部分应用。
目录
目录
前言
第1章 Banach空间的弱拓扑与自反性 1
1.1 预备知识 1
1.2 Bishop-Phelps定理 6
1.2.1 半序Banach空间 6
1.2.2 Bishop-Phelps定理 8
1.3 Krein-Milman定理 11
1.4 Choquet定理 14
1.5 James定理 17
1.6 超幂 25
第2章 与不动点有关的几何性质 31
2.1 预备知识 31
2.2 严格凸性和光滑性 34
2.3 一致凸性和一致光滑性 35
2.4 对偶映射 50
2.5 K一致凸 62
2.6 接近一致凸和接近一致光滑 64
2.7 β-性质 80
2.8 F-凸和P-凸 83
2.9 E-凸和O-凸 86
2.10 UNC 和NUNC 88
2.11 r一致非折 96
2.12 Opial性质 103
2.13 (M)性质 107
2.14 Banach-Saks性质 109
2.15 Dunford-Pettis性质 113
2.16 Pelczynski 性质(V*) 118
第3章 Banach空间中的模和常数 124
3.1 弱正交系数 124
3.2 弱收敛序列系数 128
3.3 与NUS有关的系数R(X) 134
3.4 U凸模 139
3.5 广义弱*凸模 145
3.6 广义Jordan-von Neumann常数 150
3.7 广义James常数 158
3.8 新常数JX,p(t) 166
第4章 集值映射不动点理论 175
4.1 集值映射 175
4.2 (DL)-条件 178
4.3 (D)性质 181
4.4 蕴含集值不动点性质的几何条件 183
第5章 Banach空间几何和逼近性质 192
5.1 逼近紧和度量投影的连续性 192
5.2 距离函数的可导性与逼近紧性 206
5.3 Banach空间几何性质和太阳集 212
参考文献 224
在线试读
第1章 Banach空间的弱拓扑与自反性
　　1.1 预备知识
　　设是Banach空间，用和分别表示Banach空间X的单位球及单位球面。用表示X的对偶空间，即为X上的有界线性泛函的全体。众所周知，线性空间X在赋予范数下为Banach空间。
　　称分离X，是指对于，存在y2Y满足；其中，n为自然数。若，则称为X的弱拓扑。如果X是对偶空间，即存在Banach空间Y满足，则称为X的弱拓扑。
　　记满足则JX为从X到JX(X)上的等距线性映射。若，则称X是自反的Banach空间。简记为。
　　引理1.1.1 设满足。则存在使得，其中称为f的核空间。
　　证明 设f6=0，则满足f(x0)6=0，于是，对于8x2X有x=y+ax0，其中。进而有；故，即当n=1时，结论成立。
　　假设时结论成立。当k=n时，考虑则有。由前面假设，存在满足若记，则对于有，即有。故又存在an2R满足因此，
　　若X是有限维Banach空间，则强拓扑与弱拓扑是等价的；对于无穷维Banach空间来说，强拓扑强于弱拓扑。对于凸集有下面结果。
　　引理1.1.2 (Mazur)设为有界凸集，则。
　　证明 若存在，则对应用分离定理，即存在，满足从而存在，使得，则存在，使得则。于是由(1.1.1)式，有这与矛盾，故。
　　注1.1.3 设，记表示的闭凸包，它是包含的*小闭凸集。若即，则存在满足，其中。
　　注1.1.4 弱Banach-Saks性质：设，若，且存在子列，满足则称X具有弱Banach-Saks性质。
　　Banach-Saks性质：若对任意有界序列，都存在子列及满足则称X具有Banach-Saks性质。
　　定义1.1.1 设X0是X的子集，对任意x2X，定义称为x到X0的距离。
　　引理1.1.5 (Riesz引理)设X0是X的真闭子空间，则
　　证明 由于对任意x2X，都有，故只需证明，对任意的，都存在，满足。
　　由于X0是X的真闭子空间，故存在，使得。由的定义知，对于，存在，满足
　　令则对于任意，有即
　　定义1.1.2 设记若对任意x2X，有，则称C是可逼近集；若对任意x2X，有PC(x)为单点集，则称C是Chebeshev集。
　　注1.1.6 若X0是X的可逼近子空间，则存在，满足；若对任意；都有；则X0是X的不可逼近子空间。
　　例1.1.1 在中，令则是X0的不可逼近子空间。
　　定义1.1.3 设为X中的一个序列，若对X中每个元x，存在*一数列，使得其中级数是按范数收敛的，则称X具有可列Schauder基，而叫做X的一个Schauder基，an称为x关于基fxng的第n个坐标。
　　引理1.1.7 (Helly定理)设X是赋范线性空间，为X上某n个有界线性泛函，为n个复数，是某一正数。则对于任意正数，存在，使其满足条件：
　　(1)；
　　(2)的充要条件是对于任意n个复数均有
　　证明 必要性。由条件(1)，(2)知，对任意n个复数，及任意，存在使得：由的任意性，有：
　　充分性。不妨设是线性无关的。考虑从X到n维复欧氏空间Cn的映射T，满足则T是满线性算子，事实上，若T的值域是Cn的m维(m　　于是，取X的n个元，使得当复数满表示半径为以原点为心的球)，则即包含着内以原点为心，以2为边长的n维开方体，当然也必然包含Cn的一个原点为心的球。
　　*后，用归谬法推出结论。反之，假设原命题不成立，则必存在某正数使得X中不存在满足定理的条件(1)，(2)的，即注意到与为两个不交的凸集，且由上述论证知。于是，当把Cn看成n维实线性空间时，由于由Eidelheit定理知，存在X上的实有界线性泛函，使得令泛函显然式变为由于必存在不均为0的n个复数，使得由(1.1.2)式中的元y以及元b的假设，可得注意到是球域，均为线性泛函，故由复数的特点及以上证明得即可得到由于f线性无关，故，从而有这与定理假设矛盾。
　　引理1.1.8 (Zorn)设X是半序集，若其每一个全序子集都有一个上界，则X有极大元。
　　1.2 Bishop-Phelps定理
　　1.2.1 半序Banach空间
　　定义1.2.1 称为凸集是指，对有
　　定义1.2.2 设是半序Banach空间，K是X中的闭凸集。满足
　　(1)若x2；则；
　　(2)若x2K；则x=μ；则称K是X的闭凸锥。
　　设K是X的闭凸锥，规定

图书简介：《拓扑场论：从低维到高维的统一视角》 引言：对空间结构与基本作用力的深度探索 本书旨在系统梳理和深入剖析二十世纪后半叶理论物理学中最具革命性的思想框架之一——拓扑场论（Topological Quantum Field Theory, TQFT）。拓扑场论以其独特的数学结构，成功地在几何、拓扑学以及量子场论之间架设了一座坚实的桥梁。它不依赖于黎曼度量，其物理量（关联函数、配分函数）仅取决于空间的拓扑性质，如连通分支数、亏格等。 本书的叙述将避开对局部微分几何和度量依赖的复杂计算，专注于如何运用代数拓扑和范畴论的工具来描述和理解物理系统。我们希望为读者提供一个清晰的、从低维到高维，从概念建立到实际应用的全面指南。 第一部分：拓扑场论的数学基础与低维范例 第一章：代数拓扑的复习与几何背景 本章首先回顾了读者可能熟悉的拓扑学基础，重点聚焦于对场论至关重要的概念：同调论（Hurewicz映射）、上同调（De Rham上同调与奇异上同调的对偶性）以及基本群。我们将特别阐述西格尔-威尔斯（Siegel-Witten）的洞见：即物理场论的真空态与某些代数拓扑空间是密切相关的。随后，介绍Cobordism范畴（$ ext{Cob}_n$）作为TQFT的数学骨架。 第二章：二维拓扑场论：共形场的对偶性 二维TQFT是理解该理论最直观的起点。我们详细探讨Chern-Simons（CS）理论在三维空间（$M_3$）中的作用，并将其通过边界（$M_2$）与二维共形场论（CFT）的对应关系展开。 Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型：作为一种非规范性的量子场论，WZW模型在紧致李群上的构造清晰地展示了如何通过一个三维作用量得到二维边界上的物理描述。 Fuchs-Kouvelis 映射：阐明了CS作用量如何编码了黎曼曲面上的模空间结构，特别是与模空间上经典拓扑不变量的联系。 量子不变量：重点讨论Jones多项式的场论起源，通过研究CS理论在三维流形上的配分函数，展示了场论如何生成著名的结和链不变量。 第三部分：高维推广与几何拓扑的应用 第三章：三维拓扑场论：格拉斯曼与扭转流形 进入三维世界，理论的复杂性显著增加。本章集中于非阿贝尔（Non-Abelian）的拓扑场论，并引入了扭转子（Twisted Cohomology）的概念，这对于描述费米子自由度至关重要。 扭曲理论的引入：讨论如何通过引入一个额外的“扭曲”结构（例如，一个二阶上同调类），将标准TQFT转化为更丰富的理论，这与描述某些弦论中的D-膜构造直接相关。 3D-3D 定理的初探：基于Donaldson理论与Chern-Simons理论的联系，探讨如何使用低维理论的拓扑不变量来计算高维流形上的规范场理论特征。 第四章：四维拓扑场论与杨-米尔斯理论 四维TQFT是连接理论物理核心——四维规范理论——的关键。然而，由于度量依赖的消除在四维中变得更加微妙，本章将侧重于Donaldson-Seiberg-Witten 理论的拓扑极限。 Chern-Simons 作用量的修正：介绍如何通过添加Chern-Simons项（即使在四维空间中，通过引入一个辅助三维流形或使用特定边界条件）来构造拓扑受限的杨-米尔斯理论。 Instantons 与 Seiberg-Witten 几何：虽然本书不深入规范场的精确解，但我们会阐述拓扑场论如何通过其边界限制（或在特定的阿贝尔极限下）来预测四维 $mathcal{N}=2$ 超对称规范理论的精确物理结果，特别是其对模空间的描述。 第三部分：拓扑场论的代数结构与范畴论视角 第五章：莫雷-萨顿（ নিয়ে-Sutton）理论与（n-1）维流形 本章将理论提升到更抽象的代数结构层面。我们将从莫雷-萨顿上同调的角度重新审视TQFT的构造。 （n-1）流形上的 TQFT：严格地定义一个 $n$ 维 TQFT如何从一个 $n$ 维的拓扑场论到其 $(n-1)$ 维的拓扑场论的映射，这一映射正是由Cobordism范畴的函子所定义的。 张量范畴与 Hopf 代数：阐述拓扑场论的场代数结构，特别是二维和三维理论中出现的张量范畴（如模块范畴），以及这些范畴如何由底层的李代数或李群所决定。这为理解拓扑序和量子计算中的纠错码提供了代数基础。 第六章：边界条件与缺陷线 在任何非平凡的物理理论中，边界条件至关重要。在本章中，我们研究 TQFT 中引入的缺陷（Defects）或边界条件对物理结果的影响。 边界的拓扑结构：当一个 $n$ 维 TQFT 存在于一个具有 $(n-1)$ 维边界的流形上时，这个边界必须支持一个 $(n-1)$ 维的理论，即所谓的“边界场论”。 缺陷的分类：缺陷如何编码了场论内部的代数结构？我们将展示，例如，在CS理论中，不同类型的Wilson线对应于李群表示的特定张量积结构。 结论：拓扑场论的未来展望 本书最后总结了拓扑场论在现代物理学中的地位，包括其在弦论（特别是IIA和IIB型理论的极限）、凝聚态物理（拓扑序和分数霍尔效应）中的深远影响，以及作为连接低维几何（如3-流形上的不变量）与高维理论的桥梁作用。本书强调，对拓扑不变量的理解，本质上是对底层作用量和几何空间拓扑结构深刻关联性的揭示。 本书特色： 纯粹的拓扑视角：严格避免依赖度量张量，专注于同调、上同调和范畴论工具。 层级递进的结构：从直观的二维模型出发，逐步过渡到抽象的四维及更高维的代数结构。 理论与应用并重：清晰阐释了拓扑不变量（如Jones多项式、Donaldson不变量）是如何从场论的配分函数中自然涌现的。

评分☆☆☆☆☆

评价五 一直以来，我对偏微分方程的理论研究都充满着探索的欲望，而 Banach空间，作为研究偏微分方程解的存在性、唯一性和稳定性等问题的基本框架，其重要性不言而喻。这本书的标题《Banach空间几何理论及应用》，让我看到了一个研究 Banach空间的新视角。我希望它能够系统地介绍 Banach空间的各种几何性质，并且解释这些几何性质是如何影响方程解的行为的。例如，空间中某些特殊的点（如不动点）的几何意义，以及空间中的“距离”和“大小”如何反映解的性质。我特别期待书中能够结合一些具体的偏微分方程问题，展示如何利用 Banach空间的几何理论来分析这些方程的解。比如，它是否会讨论Sobolev空间，以及这些空间中的几何特性对解的正则性有何影响？如果书中能够引导我理解，Banach空间的几何结构是如何为偏微分方程理论的构建提供坚实基础的，那么这本书的价值将远远超出我的预期。

评分☆☆☆☆☆

评价一 这本书的名字让我充满期待， Banach空间几何理论及应用，光是这个名字就带着一种数学的严谨和应用的广阔。我一直对函数空间和泛函分析很感兴趣，尤其是在遇到一些偏微分方程或者信号处理的问题时，总感觉 Banach空间是理解这些现象背后的深刻原理的关键。这本书的标题直接点明了“几何理论”和“应用”，这对我来说是个巨大的吸引力。我希望它能从最基础的定义出发，清晰地阐述 Banach空间的结构特点，例如范数的性质、开集、闭集、紧集等拓扑概念是如何在 Banach空间中体现出几何意义的。更重要的是，我非常期待书中能够深入探讨那些能够刻画 Banach空间几何性质的重要概念，比如光滑性、凸性、延拓性质等等，以及它们与空间结构的深刻联系。当然，如果书中能够结合一些经典的几何例子，比如 L_p 空间、C(K) 空间等的几何特征分析，那就更妙了。我希望这本书能够帮助我建立起对 Banach空间几何性质的直观认识，并且能够理解这些几何性质在解决实际问题时所扮演的角色。

评分☆☆☆☆☆

评价三 作为一名学习了几年数学的学生，我已经接触过不少关于线性代数、拓扑学和泛函分析的基础知识。Banach空间这个概念我并不陌生，但总觉得对它的理解还停留在比较表面的层次，尤其是“几何理论”这一点，我总觉得其中蕴含着更深层次的奥秘。这本书的标题，《Banach空间几何理论及应用》，让我觉得它可能是一扇通往更深层次理解的门。我希望这本书能够从更抽象、更普遍的视角出发，介绍 Banach空间中的各种“几何”概念，例如空间中的距离、角度、曲率等概念是否能够被推广到 Banach空间中，以及这些概念的性质。我期待书中能够解释，为什么研究 Banach空间的几何性质对于理解函数的性质，比如收敛性、极限行为、可微性等等如此重要。此外，如果书中能够提及一些在优化理论、逼近论等领域中，Banach空间几何性质的应用案例，那就再好不过了，这能让我看到理论与实践之间的紧密联系。

评分☆☆☆☆☆

评价四 我对机器学习和数据科学领域有着浓厚的兴趣，而近年来，许多新的算法和模型都与高维数据和抽象的数学空间紧密相关。Banach空间，作为一种拥有完备范数结构的向量空间，在表示和处理这些数据方面具有天然的优势。这本书的名字《Banach空间几何理论及应用》，让我对它寄予厚望，希望它能成为我理解这些高级算法背后数学原理的桥梁。我特别希望书中能够深入探讨 Banach空间的“几何”特性如何影响数据的表示和分析。例如，数据点在高维 Banach空间中的分布，或者数据点之间的距离如何度量，以及这些几何特征如何影响机器学习模型的性能。我期待书中能够介绍一些将 Banach空间几何理论应用于机器学习的实际例子，比如在核方法、流形学习、或者其他与度量学习相关的领域。我希望这本书能够帮助我建立起从数据到数学空间，再到算法的清晰认知，从而更好地理解和创新数据科学领域的模型。

评分☆☆☆☆☆

评价二 我最近一直在阅读一些关于概率论和随机过程的书籍，其中很多理论的建立都离不开抽象的函数空间。Banach空间，作为一种重要的函数空间，其理论的掌握程度直接影响着对这些高级概率论概念的理解深度。这本书的名字《Banach空间几何理论及应用》恰好切中了我的需求。我希望这本书能够提供一种不同于纯粹分析视角的理解方式，从“几何”的角度来审视 Banach空间。例如，它是否会讨论单位球的形状如何反映空间的性质？空间中的直线、平面、测地线等概念如何被定义和研究？我特别关心的是，书中是否会涉及到像 Rademacher 随机变量、Isoperimetric inequalities、Dvoretzky 现象等与 Banach空间几何密切相关的结果，因为这些结果在概率论和统计学中有着广泛的应用。我希望能通过这本书，不仅理解 Banach空间的定义和基本性质，更能体会到其内在的“几何美学”，并能将这些几何洞察力迁移到我正在研究的随机过程问题上，从而获得更深刻的理解和新的研究思路。