内容简介
人们希望更好、更快、更强,所以就出现了各种竞技活动,像奥林匹克运动会。数学,作为锻炼思维的体操,一门可以充分展现头脑灵活度的学科,理所当然地被选择用来比试人们的思维、创新能力,于是乎出现了数学奥林匹克,即数学竞赛。
由于在激发青少年学习数学兴趣,培养刻苦学习精神,促进和提高数学教学水平及在发现科技人才、培养科技后备力量中所发挥的巨大作用,数学竞赛如春阳之草,生机勃发,并取得了令人欣慰的成绩。我国自从参加国际数学奥林匹克以来,每年都取得佳绩,始终保持在前几名。中国选手的优异表现为祖国赢得了巨大荣誉。在国内历届中、小学数学竞赛中涌现出的大批优秀青少年选手,他们大部分在以后的学习、科研和生产中崭露头角,取得了骄人的业绩。
在目前数学竞赛的良好发展氛围下,考虑到广大教师和学生的迫切需要,我们按新课标初中数学教材的进度分七、八、九年级编写了这套《初中数学竞赛教程》。题目精选自国内外竞赛卷,编者是多年从事数学竞赛工作的中学高级教师,所编选的题目无论从时效性、实践性,还是从指导性来说都是很好的。
本套丛书根据初中数学竞赛大纲及各年级课本内容,同步分30讲(九年级29讲),每讲设【赛点扫描】、【赛题解密】、【赛场演练】三个栏目。【赛点扫描】描述了本讲内容的相关赛点,点拨了命题思路,有利于掌握解题方法;【赛题解密】巧妙应用技法,让赛题全面解密;【赛场演练】跳出常规思路,演练竞赛精题。
为了方便读者自学,我们分年级编写了《解题手册》。《竞赛教程》中【赛场演练】栏目的题目只提供简单答案,而在相应的《解题手册》中提供了详细解答。如果将《解题手册》与《竞赛教程》配套使用,收效一定更佳。
内页插图
目录
第1讲 一元二次方程
第2讲 一元二次方程的应用
第3讲 一元二次方程根的判别式
第4讲 一元二次方程根与系数关系
第5讲 一元二次方程根的分布
第6讲 完全平方数与配方法
第7讲 二次函数
第8讲 二次函数的应用
第9讲 抛物线的平移、翻折、旋转
第10讲 二次函数的最值
第11讲 一元二次不等式
第12讲 锐角三角函数
第13讲 解直角三角形
第14讲 圆的基本性质
第15讲 直线与圆
第16讲 圆幂定理
第17讲 圆与圆
第18讲 与圆相关的计算
第19讲 四点共圆
第20讲 几何定值
第21讲 几何最值
第22讲 三角形的“五心”
第23讲 投影与三视图
第24讲 统计与概率
第25讲 反证法
第26讲 组合问题
第27讲 极端原理
第28讲 染色问题
第29讲 生活中的数学
参考答案
前言/序言
人们希望更好、更快、更强,所以就出现了各种竞技活动,像奥林匹克运动会。数学,作为锻炼思维的体操,一门可以充分展现头脑灵活度的学科,理所当然地被选择用来比试人们的思维、创新能力,于是乎出现了数学奥林匹克,即数学竞赛。
由于在激发青少年学习数学兴趣,培养刻苦学习精神,促进和提高数学教学水平及在发现科技人才、培养科技后备力量中所发挥的巨大作用,数学竞赛如春阳之草,生机勃发,并取得了令人欣慰的成绩。我国自从参加国际数学奥林匹克以来,每年都取得佳绩,始终保持在前几名。中国选手的优异表现为祖国赢得了巨大荣誉。在国内历届中、小学数学竞赛中涌现出的大批优秀青少年选手,他们大部分在以后的学习、科研和生产中崭露头角,取得了骄人的业绩。
在目前数学竞赛的良好发展氛围下,考虑到广大教师和学生的迫切需要,我们按新课标初中数学教材的进度分七、八、九年级编写了这套《初中数学竞赛教程》。题目精选自国内外竞赛卷,编者是多年从事数学竞赛工作的中学高级教师,所编选的题目无论从时效性、实践性,还是从指导性来说都是很好的。
本套丛书根据初中数学竞赛大纲及各年级课本内容,同步分30讲(九年级29讲),每讲设【赛点扫描】、【赛题解密】、【赛场演练】三个栏目。【赛点扫描】描述了本讲内容的相关赛点,点拨了命题思路,有利于掌握解题方法;【赛题解密】巧妙应用技法,让赛题全面解密;【赛场演练】跳出常规思路,演练竞赛精题。
为了方便读者自学,我们分年级编写了《解题手册》。《竞赛教程》中【赛场演练】栏目的题目只提供简单答案,而在相应的《解题手册》中提供了详细解答。如果将《解题手册》与《竞赛教程》配套使用,收效一定更佳。
初中数学竞赛教程(9年级):探索数海,点燃思维的火花 本书专为渴望在数学领域展现才华、挑战自我,为初中数学竞赛做好充分准备的九年级学子量身打造。它不仅仅是一本习题集,更是一扇通往数学思维深处的大门,引导你拨开知识的迷雾,领略数学的魅力,点燃思维的火花。 内容前瞻: 本书以“挑战与突破”为核心,精选了九年级数学课程中最为经典、最具挑战性的知识点,并在此基础上,深入挖掘了竞赛数学所特有的深度和广度。我们力求在有限的篇幅内,为您呈现最精华、最实用的内容,助您在竞赛的舞台上脱颖而出。 一、代数之翼:方程、函数与不等式的精妙融合 方程的艺术: 我们将从基础的一元一次方程、二元一次方程组出发,逐步深入到一元二次方程的多种解法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法),并重点讲解判别式的妙用,预测方程根的性质。此外,还将引入分式方程、无理方程的解法和检验方法,强调注意事项。对于高阶的方程思想,例如韦达定理在方程根与系数关系中的应用,根与几何图形的联系,以及一些特殊的方程构造方法,都将进行详细的阐述。例题设计将紧扣竞赛思维,引导学生分析问题本质,寻找解题捷径,而非机械套用公式。 函数的奥秘: 在一次函数、反比例函数、二次函数这三大基础函数的基础上,本书将着重于对函数性质的深入理解和应用。我们将分析函数的单调性、最值、图像变换(平移、对称、伸缩)及其对解题的影响。尤其会关注二次函数图像与坐标轴、直线、其他函数之间的交点问题,以及由此引申出的面积、最值等几何应用。对于函数与方程、不等式的关联,例如如何利用函数图像直观地解决不等式问题,如何通过函数模型解决实际应用题,都将进行深入的探讨。此外,我们将引入一些更具挑战性的函数概念,如分段函数、复合函数的基本思想,以及如何利用函数的单调性进行大小比较和证明。 不等式的智慧: 除了基础的代数不等式及其解法,本书将重点介绍不等式的基本性质,以及如何利用这些性质进行推理和证明。我们将详细讲解均值不等式(重要且适用范围广)、柯西-施瓦茨不等式(经典竞赛不等式)等,并通过大量例题展示它们在求解最值、证明不等式等方面的强大威力。此外,还将涉及一元二次不等式的解法,以及如何将不等式思想融入到几何问题和函数问题中。 二、几何的殿堂:图形、定理与空间想象力的飞跃 平面几何的精雕细琢: 在初中平面几何的基础上,本书将重点提升学生对几何图形的洞察力和分析能力。我们将深入探讨相似三角形的判定与性质,强调其在边长比例、角度关系、面积关系等方面的应用,并展示如何通过相似构建解题思路。勾股定理及其逆定理的多种应用场景,以及在解题中的巧妙转化,也将是重点。圆的性质(垂径定理、圆心角与圆周角、切线性质、弦切角定理)将得到系统梳理,并重点讲解圆与直线、圆与圆的位置关系,以及由此产生的复杂几何图形的分析。平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形等特殊平行四边形的性质的综合运用,以及它们在面积、周长计算和证明中的作用,将通过大量的变式题来巩固。 解析几何的初步探索: 本书将引入解析几何的基本思想,将代数方法与几何图形相结合。学生将学习如何用坐标表示点和线,如何利用距离公式、斜率公式、两点式、点斜式、截距式等方程表示直线。重点将放在直线与直线的位置关系(平行、相交、垂直),以及点到直线的距离公式的应用。更重要的是,我们将探索直线与圆的位置关系,例如直线与圆的相切、相交、相离的判定,以及如何利用圆的标准方程和直线方程联立求解交点或证明几何关系。解析几何在解决复杂几何问题中的简洁性和普适性将贯穿始终。 空间几何的启蒙: 对于九年级学生,本书将初步引导进入三维空间。我们将从基本的立体图形(正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥)的性质入手,重点讲解它们的表面积和体积计算。更重要的是,我们将培养学生的空间想象能力,学习如何作出空间图形的三视图,以及如何利用投影和截面来分析立体图形。点、线、面在空间中的位置关系(平行、相交、垂直)将得到初步的介绍,并会展示一些简单的空间几何证明,例如线线平行、线面平行、面面平行等。 三、概率与统计的初步领航:数据分析与决策的智慧 概率的计算与应用: 本书将从概率的基本概念入手,讲解等可能事件的概率计算,以及如何利用列表法、树状图等方法列举所有可能结果。重点将放在利用组合(分类计数原理、分步计数原理)来计算复杂事件的概率,例如摸球、掷骰子、抽签等问题。概率的统计意义和在实际生活中的应用,例如游戏公平性、风险评估等,也将有所涉及。 统计的分析与解读: 在数据收集和整理的基础上,本书将深入讲解统计图表(条形图、折线图、扇形图、频数分布直方图)的绘制与解读,培养学生从数据中提取关键信息的能力。我们将重点讲解平均数、中位数、众数、方差等统计量,并分析它们在描述数据集中趋势和离散程度方面的作用。如何利用统计知识对数据进行分析,从而做出合理的推断和决策,将通过实际案例进行讲解。 四、思维训练营:解题策略与创新方法 模型思想的精炼: 本书将系统梳理和讲解竞赛数学中常用的模型思想,例如“数形结合”思想、“分类讨论”思想、“转化与化归”思想、“类比推理”思想、“构造法”思想、“整体思想”等等。每种思想都将配以大量精心设计的例题,引导学生理解其内涵,掌握其应用技巧,并能灵活运用到各种题型中。 解题技巧的实战演练: 除了模型思想,本书还将提供一系列实用的解题技巧,例如“特殊值法”在验证结论中的应用,“排除法”在选择题中的妙用,“配凑法”在不等式证明中的灵活性,“构造辅助线”在几何证明中的关键作用等。这些技巧并非死记硬背,而是通过大量的解题过程展示,让学生在潜移默化中学会运用。 创新思维的培养: 竞赛数学的精髓在于创新。本书将鼓励学生跳出思维定势,尝试从不同的角度审视问题,寻找非传统的解题思路。我们将通过一些“怪题”、“巧题”的解析,激发学生的探索欲望,培养他们独立思考、勇于创新的精神。 本书特色: 紧扣竞赛脉搏: 内容紧密结合各类初中数学竞赛(如“希望杯”、“华杯赛”、“走美杯”等)的命题趋势和热点,侧重于考查学生的数学思维、逻辑推理能力和创新能力。 由浅入深,循序渐进: 从基础知识的巩固出发,逐步引入高难度、高思维强度的题目,确保学生在掌握基本功的同时,能够有效提升解题能力。 精选典型例题: 每一类题型都配以精心挑选的例题,例题的讲解详尽而透彻,分析到位,点拨关键,帮助学生理解解题思路和方法。 注重方法与思想: 强调解题思路、数学思想方法的讲解,而不仅仅是提供解题步骤,旨在培养学生举一反三、触类旁通的能力。 题型多样,难度递增: 涵盖了基础题、中档题、难题等多种题型,难度循序渐进,让学生在不同层次的挑战中不断进步。 鼓励独立思考: 在讲解过程中,不直接给出答案,而是引导学生自己去思考,去探索,去发现,从而真正掌握知识。 语言生动,逻辑清晰: 采用通俗易懂的语言,条理清晰的逻辑,力求让抽象的数学概念变得生动有趣,易于理解。 目标读者: 所有对初中数学竞赛充满兴趣,希望在竞赛中取得优异成绩的九年级学生。 希望系统梳理和提升九年级数学竞赛相关知识和解题能力的初中生。 有志于参加高层次数学竞赛,为高中数学学习打下坚实基础的学生。 指导学生进行数学竞赛辅导的初中数学教师。 拥有《初中数学竞赛教程(9年级)》,你将获得的不只是解题技巧,更是受益终身的数学思维方式。让我们一起踏上这段探索数海的征程,点燃思维的火花,迎接数学竞赛的挑战,展现属于你的数学光芒!