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童裕孙 著

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• 泛函分析
• 数学
• 研究生
• 教学
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• 高等教育
• 分析学
• 函数空间
• 数学分析
• 理论基础

出版社： 复旦大学出版社

ISBN：9787309037654

版次：2

商品编码：10159582

包装：平装

开本：16开

出版时间：2008-02-01

页数：303

正文语种：中文

编辑推荐

　　《研究生教学用书·泛函分析教程》可作为基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、概率论与数理统计等数学类各专业方向的研究生学位课教材，也可供理工类相关专业的研究生以及自然科学工作者、工程技术人员参考使用。

内容简介

　　《研究生教学用书·泛函分析教程》是研究生泛函分析教材。全书共7章，以概述线性泛函分析的基本理论为入口，分别介绍了Banach空间上紧算子和Fredholm算子、Banach代数、C*代数初步和Hilbert空间上正规算子的谱分析、无界算子、算子半群、无限维空间上的微分学、拓扑度理论等。《研究生教学用书·泛函分析教程》既注意以现代数学的观点统率各章节内容，突出泛函分析中重要的基本理论，也精选了在应用中受到普遍关注的若干题材，同时还配备了一定数量的难易不等的习题，以利读者加深理解，启发思考。

内页插图

目录

第一章 线性泛函分析基础
1.1 拓扑空间
1.1.1 拓扑空间的概念
1.1.2 网
1.1.3 连续映射
1.1.4 距离空间
1.1.5 距离空间的完备性

1.2 拓扑线性空间
1.2.1 拓扑线性空间的概念
1.2.2 赋准范线性空间
1.2.3 赋范线性空间
1.2.4 内积空间
1.2.5 一致凸空间和严格凸空间

1.3 紧性
1.3.1 紧集的概念
1.3.2 紧集上的连续映射
1.3.3 Zorn引理
1.3.4 紧空间的乘积空间
1.3.5 Stone-Weierstrass定理
1.3.6 距离空间中的列紧集与完全有界集
1.3.7 有限维赋范线性空间的特征
1.3.8 Banach-Alaoglu定理
1.3.9 Hilbert空间单位球的弱紧性

1.4 Hahn-Banach定理及其几何形式
1.4.1 线性空间上线性泛函的延拓
1.4.2 赋范线性空间上连续线性泛函的延拓
1.4.3 自反空间
1.4.4 连续线性泛函保范延拓的唯一性
1.4.5 凸集的分离性
1.4.6 端点、Krein-Milman定理

1.5 线性算子基本定理
1.5.1 开映射定理
1.5.2 逆算子定理和范数等价定理
1.5.3 闭图像定理
1.5.4 共鸣定理
1.5.5 应用
1.5.6 Schauder基
1.5.7 点列的收敛性
1.5.8 泛函序列和算子序列的收敛性
习题

第二章 谱论Ⅰ：Banach空间上的紧算子及Fredholm算子
2.1 Banach代数中元素的谱
2.1.1 代数和理想
2.1.2 赋范代数
2.1.3 Banach代数中元素的谱

2.2 线性算子的谱
2.2.1 线性算子谱的概念
2.2.2 线性算子谱的分类
2.2.3 近似谱点
2.2.4 共轭算子及共轭算子的谱

2.3 紧算子
2.3.1 有限秩算子
2.3.2 紧算子的概念
2.3.3 紧算子的Ricsz-Schauder理论
2.3.4 Banach空间的直和分解
2.3.5 紧算子的Ricsz-Schauder理论(续)

2.4 Fredholm算子
2.4.1 Fredholm算子的概念
2.4.2 Fredholm算子的性质
习题

第三章 谱论Ⅱ：Hilbert空间上的正规算子
3.1 Banach代数的Gelfand表示
3.1.1 可乘线性泛函
3.1.2 Gclfand表示
3.1.3 极大理想空间

3.2 C*代数
3.2.1 C*代数的概念
3.2.2 C*代数中的正规元
3.2.3 Gelfand-Naimark定理
3.2.4 GNS构造

3.3 谱测度和谱积分
3.3.1 投影算子
3.3.2 谱测度与谱积分
3.3.3 谱系

3.4 Hilbert空间上正规算子的谱分解
3.4.1 谱定理与函数演算
3.4.2 函数演算的扩充
3.4.3 正规算子的谱分解定理
3.4.4 正规算子的谱
3.4.5 Hilbert空间上紧算子的结构
3.4.6 正规算子的本质谱
3.4.7 von Neumann代数
习题

第四章 无界算子
4.1 对称算子和自伴算子
4.1.1 稠定算子的共轭算子
4.1.2 对称算子与自伴算子的概念
4.1.3 算子的图像
4.1.4 对称算子为自伴算子的条件
4.1.5 自伴算子的谱
4.1.6 Cayley变换
4.1.7 无界函数的谱积分
4.1.8 自伴算子的谱分解定理
4.1.9 L2(-∞，+∞)上的乘法算子

4.2 对称算子的自伴扩张
4.2.1 闭对称算子的亏指数
4.2.2 正定双线性泛函
4.2.3 半有界算子的Friedrichs扩张定理

4.3 自伴算子的扰动
4.3.1 可闭算子的扰动
4.3.2 自伴算子的扰动
4.3.3 自伴算子在扰动下的谱

4.4 无界算子序列的收敛性
4.4.1 预解意义下的收敛性
4.4.2 图意义下的收敛性
习题

第五章 算子半群
5.1 向量值函数
5.1.1 向量值函数的连续性
5.1.2 向量值函数的可导性
5.1.3 向量值函数的Ricmann积分
5.1.4 向量值函数的可测性
5.1.5 强可测与弱可测的关系
5.1.6 算子值可测函数

5.2 Bochner积分和Pettis积分
5.2.1 Pettis积分
5.2.2 Bochner积分
5.2.3 Bochner积分的性质

5.3 算子半群的概念
5.3.1 算子半群概念的由来
5.3.2 C0类算子半群
5.3.3 算子半群的一些例子

5.4 C0类算子半群的表示
5.4.1 C0类算子半群无穷小母元的概念
5.4.2 无穷小母元的预解式
5.4.3 C0类算子半群的表示

5.5 无穷小母元的特征
5.5.1 C0类算子半群无穷小母元的特征
5.5.2 标准型C0类算子半群母元的特征
5.5.3 C0类压缩半群母元的特征
5.5.4 Hilben空间上C0类压缩半群母元的特征

5.6 单参数酉算子群、Stone定理
5.6.1 单参数算子群的无穷小母元
5.6.2 Stone定理
5.6.3 Stone定理的应用：Bochner定理
5.7 遍历定理
5.7.1 相空间上的保测变换
5.7.2 Boltzmann遍历假设
5.7.3 不可压缩稳定流
5.7.4 遍历定理
5.7.5 变换群的遍历性
习题

第六章 无穷维空间的微分学
6.1 映射的微分
6.1.1 Gatcaux微分
6.1.2 Frechet微分
6.1.3 高阶导数
6.1.4 Taylor公式
6.1.5 幂级数

6.2 隐函数定理
6.2.1 Cp映射与微分同胚
6.2.2 隐函数的存在性
6.2.3 隐函数的可微性

6.3 泛函极值
6.3.1 线性方程的解与二次泛函的极小问题
6.3.2 泛函极值的必要条件
6.3.3 泛函极值的存在性：下半弱连续条件
6.3.4 最速下降法
6.3.5 泛函极值的存在性：Palais-Smale条件
习题

第七章 拓扑度
7.1 Brouwcr度
7.1.1 C1类映射的拓扑度(非临界点情形)
7.1.2 3个引理
7.1.3 C1类映射的拓扑度(一般情形)
7.1.4 Brouwcr度
7.1.5 Brouwcr度的性质

7.2 Leray-Schauder度
7.2.1 一个例子
7.2.2 全连续映射
7.2.3 Leray-Schauder度的定义
7.2.4 Leray-Schauder度的性质

7.3 不动点定理及其应用
7.3.1 Brouwer不动点定理
7.3.2 Schauder不动点定理
7.3.3 非紧性测度
7.3.4 集压缩映射的不动点
7.3.5 Kakutani不动点定理
7.3.6 应用：代数学基本定理
7.3.7 应用：不变子空间
7.3.8 应用：对策论基本定理
习题
参考文献

前言/序言

　　本书第一版问世至今，4个年头已过去了。在此期间，承蒙读者厚爱，作者获得了不少有关本书的信息反馈。其中既有粗线条的对全书风格的总体评议，也有细致入微的关于某些章节处理方法的探讨商酌。这些意见和建议对作者启发颇大。同时期，作者以此书为蓝本，又先后为几届研究生讲授泛函分析。教学相长，在使用过程中对全书的修订形成了明确的思路。
　　本书的整体框架由两部分组成：前3章和第四章第一节的内容适用于基础泛函分析的教学，其余部分则可根据各数学分支应用的需要作为选修的材料。教学实践表明以这两个部分各对应于一学期每周3学时的教学，大致是合理妥当的。修订后的第二版并不改变原教材的编写宗旨、结构框架和主要内容，因为原书的特色正是通过它们体现出来的。只是第一版由于编写时间拖得较长，以致前后不尽协调，个别概念重复出现，部分材料稍嫌粗糙，忽略了几个知识点，还有若干内容缺少深入的分析与实例。感谢出版社为本书提供了再版的机会，使我得以比较从容地对全书材料作统一的疏理。在修订过程中，作者补充了一些基本概念，如Banach空间的Schauder基，算子的本质谱等，使相关内容更系统、更完整；增加了一些具体例子，如作为无界自伴算子的乘法算子，Urysohn算子的全连续性等，使抽象概念更直观、更充实；同时，还改善了若干证明，使逻辑推理更简洁、更严密；此外，还调整了一些习题，使训练更有针对性。修订的笔墨散见于全书，其目的是使这本教材更适于教、便于学，有利于实际教学过程，有效地提升原书的质量。作者深知一本成熟的教材须久经锤炼，因而仍然殷切地期望同行和同学们一如既往，不吝指正，以期通过共同努力，从教材建设着手，进一步提高研究生基础课的教学水平。

《泛函分析教程》：探索抽象数学的广阔天地 本书是一本面向研究生阶段的数学专业教材，旨在系统、深入地介绍泛函分析这一现代数学的重要分支。泛函分析以函数空间为研究对象，是连接经典分析与现代数学理论的桥梁，其思想和方法渗透到数学的各个领域，并在物理学、工程学、经济学等众多学科中有着广泛而深刻的应用。 本书的编写力求兼顾理论的严谨性与内容的系统性。我们从最基础的概念出发，逐步构建起清晰的理论框架。开篇，我们将带领读者走进度量空间的奇妙世界，理解收敛、完备性、紧致性等核心概念，为后续更抽象的理论奠定坚实的基础。在此基础上，我们将自然而然地过渡到赋范线性空间，这是泛函分析中最基本的研究对象之一。我们将详细阐述开映射定理、闭图像定理、有界逆定理等一系列刻画线性算子的基本工具，这些定理不仅揭示了赋范空间的重要性质，更是解决许多实际问题的强大武器。 接着，本书将重点介绍Banach空间和Hilbert空间。Banach空间作为完备的赋范线性空间，是泛函分析研究的中心舞台。我们将深入探讨其对偶空间、有界线性算子代数等内容，理解其结构上的丰富性和分析上的便利性。而Hilbert空间，作为Banach空间的一个特殊而重要的子类，其内积结构赋予了它更为丰富的几何直观。我们将详尽介绍正交性、投影定理、Riesz表示定理等，这些概念在量子力学、信号处理等领域扮演着核心角色。 本书的另一重要组成部分是紧算子和谱理论。紧算子是Hilbert空间中有界线性算子中的一个重要子类，它们具有许多良好的性质，并且与有限维空间中的算子有着许多相似之处。我们将深入研究紧算子的谱性质，包括其特征值、特征向量的性质，以及紧算子和自伴算子的谱分解。这些理论不仅是理解算子性质的关键，也是解决许多微分方程边值问题、积分方程问题的重要手段。 此外，本书还将触及算子代数和分布论等相关内容，为读者提供更广阔的视野。算子代数是研究算子集合的代数结构，在量子统计力学、非交换几何等领域有着重要的应用。分布论则极大地扩展了函数的概念，使得我们能够处理一些在经典函数理论中无法定义的“函数”，这在偏微分方程理论中至关重要。 在内容的组织上，我们力求循序渐进，每个章节都建立在前一章节的基础上，并辅以大量的例题和练习题，帮助读者巩固理解。这些例题涵盖了从理论证明到具体应用的各个方面，旨在培养读者运用泛函分析工具解决问题的能力。 通过学习本书，读者将能够： 掌握度量空间、赋范线性空间、Banach空间和Hilbert空间的基本概念、性质及其之间的关系。 深入理解有界线性算子的基本定理，如开映射定理、闭图像定理和有界逆定理。 熟悉紧算子的性质及其在方程求解中的应用。 掌握谱理论的基本内容，理解算子的谱分解。 初步了解算子代数和分布论等相关理论。 培养抽象思维能力和严谨的数学推导能力。 为进一步深入研究泛函分析的各个分支或相关应用学科打下坚实的理论基础。 本书适合高等院校数学、应用数学、计算数学等专业的本科高年级学生和研究生作为教材或参考书使用。对于对泛函分析感兴趣的科研人员和工程师，本书也将是一份有价值的参考资料。我们相信，通过对本书内容的学习，读者将能够领略泛函分析的优雅与力量，并为未来的学术研究和职业发展奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

初见此书，一股浓郁的学术气息扑面而来，没有任何花哨的修饰，书名便直截了当地宣告了它的身份——一本为研究生教学量身打造的泛函分析教程。书页纸张的质感良好，翻阅时不易产生静电，印刷清晰，字迹工整，这些细节都体现了出版方对学术书籍的严谨态度。泛函分析作为现代数学的核心内容之一，其重要性自不必多言，它不仅在纯粹数学的研究中扮演着关键角色，更在物理学、工程学、经济学等众多领域有着广泛而深入的应用。因此，对于即将踏入研究生学习阶段的我而言，一本优秀的泛函分析教程是奠定坚实理论基础的基石。我殷切地期盼这本书能够以一种循序渐进、深入浅出的方式，引领我探索泛函分析的宏伟世界。从最基础的度量空间、拓扑空间的概念，到巴拿赫空间、希尔伯特空间的性质，再到线性算子的理论，我希望作者能够清晰地梳理脉络，提供严谨的定义和精妙的证明。同时，我更期待书中能够包含丰富多样的例题和习题，这些不仅是检验学习成果的利器，更是激发思考、加深理解的催化剂。

评分☆☆☆☆☆

这本书的外观给我一种朴实而坚实的感觉，封面设计简洁大气，没有使用时下流行的炫酷元素，而是直接以书名“研究生教学用书：泛函分析教程”作为主体，字体清晰，色彩沉稳，传递出一种专注学术、潜心研究的信号。对于我这样一名准备攻读研究生，并将在数学领域深入探索的学生来说，一本好的泛函分析教程是必不可少的。泛函分析作为现代数学的一个核心分支，它不仅在纯粹数学的研究中有广泛应用，更是连接数学与其他科学领域（如物理、工程、计算机科学）的桥梁。因此，这本书的出现，让我对其内容充满了好奇与期待。我希望这本书能够从最基础的概念讲起，例如集合论、拓扑学、度量空间等作为预备知识，然后逐步深入到赋范线性空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间等核心内容。我特别期待书中能够对这些抽象概念的几何直观进行充分的阐释，并提供丰富的例题来帮助理解。同时，我也希望书中能够涉及算子理论，特别是紧算子和有界线性算子的性质，以及谱理论等重要内容，并能有严谨的证明和清晰的逻辑推导，让我能够真正掌握这些工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计简洁而大气，封面采用了一种沉稳的蓝色调，搭配烫金的字体，显得既专业又不失格调。这让我初步感受到了一种严谨治学的态度。作为一名对泛函分析充满好奇的学生，我一直在寻找一本能够真正帮助我理解其精髓的教材。泛函分析作为现代数学的重要基石之一，其应用领域极其广泛，从基础理论研究到许多尖端科学技术，都离不开它的支撑。因此，一本好的教材对于建立正确的数学思维和解决实际问题能力至关重要。我对手册中的内容充满了期待，希望它能够从最基础的概念讲起，层层递进，逐步深入到更复杂的理论。特别是像巴拿赫空间、希尔伯特空间、有界线性算子、谱理论等核心概念，我希望作者能够给出清晰的定义、深刻的解释，并配以恰当的例子来加深理解。此外，一本优秀的教程往往离不开精选的习题，我期待这本书能提供不同难度等级的习题，涵盖各个知识点，能够帮助我检验学习效果，并锻炼我的解题能力。当然，如果在书的结尾能够提供一些关于泛函分析在实际应用中的案例分析，那将是锦上添花，更能激发我的学习热情和对这门学科的深入兴趣。

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这部《研究生教学用书：泛函分析教程》的书名就如同它给人的第一印象一样，充满了学术的严谨与深邃。翻开书页，清晰的排版、合适的字体大小以及合理的行间距，都体现了出版方在细节上的考究。封面设计朴素而有力，没有过多的图饰，仅仅以书名本身彰显其价值，仿佛在无声地宣告：“内容为王”。泛函分析，作为连接线性代数、实分析和拓扑学的桥梁，是现代数学中不可或缺的一环，它在诸多科学领域都有着深远的影响，尤其是在解决偏微分方程、量子力学、信号处理等问题时，其重要性更是毋庸置疑。我怀揣着对知识的渴望，期待这本书能够为我铺就一条通往泛函分析殿堂的坚实道路。我希望书中能够系统地介绍诸如赋范线性空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间等基本概念，并对它们的性质进行深入剖析。同时，我期待作者能够以逻辑严密、语言精准的方式，阐释算子理论，特别是紧算子和自伴算子等内容，并能提供详实的证明和生动的例子，帮助我构建起对这些抽象概念的深刻理解。

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初次翻阅《研究生教学用书：泛函分析教程》，便被其严谨而不失亲和力的排版所吸引。书脊挺括，书页触感舒适，字迹印刷清晰，没有丝毫模糊不清之处，给人一种专业而精致的感觉。封面设计摒弃了冗余的装饰，以简洁的色块和字体直接点明主题，彰显了内容至上的原则。作为一名即将进入研究生阶段，并即将接触这门深度数学课程的学生，我对泛函分析充满期待，但也隐约感到一丝挑战。这门课程在现代数学中占据着举足轻重的地位，它是理解许多高级数学理论和解决复杂科学问题的基石。因此，拥有一本优质的教程是开启这段学习之旅的关键。我希望这本书能够从最基础的概念入手，比如各种空间（度量空间、赋范空间、希尔伯特空间等）的定义、性质以及它们之间的关系，能够有清晰的逻辑链条，让我能一步步构建起对这些抽象概念的认知。同时，对于像有界线性算子、不适定问题、泛函分析在偏微分方程和量子力学中的应用等核心内容，我期待作者能够提供深入浅出的讲解，辅以恰当的例子和证明，让抽象的理论变得生动具体，易于掌握。

评分☆☆☆☆☆

这本《研究生教学用书：泛函分析教程》的书名听起来就颇具分量，让人联想到严谨的学术氛围和深入的理论探索。拿到手后，首先映入眼帘的是其精炼而专业的排版，字体大小适中，段落分明，虽无华丽的插图，却透着一种朴实而强大的知识力量。我是一名即将步入研究生阶段的学习者，对泛函分析这门课程既充满期待，又带着一丝敬畏。泛函分析作为现代数学的一个重要分支，其抽象性和普适性决定了它在诸多领域，如偏微分方程、量子力学、信号处理等都有着至关重要的应用。因此，一本高质量的教程对于打下坚实的基础至关重要。从封面设计来看，没有过多的装饰，直接点明了本书的性质和目标读者，这种直截了当的方式反而让我感到安心，预示着这本书将聚焦于内容本身，而非形式。我可以想象，在未来的学习过程中，它会像一位循循善诱的良师益友，引导我一步步深入理解巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等核心概念。其“教程”的定位，也暗示着它会包含丰富的例题、习题，甚至可能包含一些启发性的思考题，以帮助我们巩固所学，激发进一步的探索欲。我非常期待在阅读的过程中，能感受到作者深厚的学术功底和教学经验，希望这本书能以清晰的逻辑、准确的表述，将这一复杂的数学理论生动地呈现在我面前。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计相当低调，采用了深蓝色为主色调，搭配白色和银色的字体，书名“研究生教学用书：泛函分析教程”清晰可见，没有过多的图案，显得非常专业和学术。这种设计风格给我一种沉稳可靠的感觉，预示着这是一本内容扎实、值得信赖的教材。泛函分析作为现代数学的一个重要分支，其理论抽象但应用广泛，对于研究生阶段的学习至关重要。我一直对它充满了学习的渴望，但也深知其难度。因此，一本好的教程对于我的学习之路至关重要。我期待这本书能够以一种清晰、系统的方式，引导我逐步掌握泛函分析的核心概念，例如巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等。我希望作者在解释这些抽象概念时，能够提供足够的例子和直观的理解，而不是仅仅罗列定义和定理。另外，我非常看重习题的质量和数量，一本优秀的教程应该配备精选的习题，能够帮助我巩固所学知识，并提升解决问题的能力。如果书中还能有一些历史背景介绍或者与其他数学分支的联系，那就更好了。

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这本书是研究生泛函分析教材，

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当年听童老师的课，呵呵，很多问题要理解透彻需要时间。

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特点和内容