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李治平 著

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• 偏微分方程
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• 数学物理
• 有限差分
• 有限元
• 谱方法
• 计算数学
• 数值分析

出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301176474

版次：1

商品编码：10269564

包装：平装

丛书名： 北京大学数学教学系列丛书 ，

开本：16开

出版时间：2010-08-01

用纸：胶版纸

页数：303

正文语种：中文

内容简介

　　《偏微分方程数值解讲义》是为高等院校计算数学专业高年级本科生和研究生偏微分方程数值解法课程编写的教材。全书分为差分方法和有限元方法两个相互独立的部分。差分方法部分的先修课程是数值分析、数值代数；有限元部分则同时要求学生对实变函数与泛函分析有初步的了解。掌握一定的数学物理方程的理论和方法无疑有助于本课程的深入学习。
　　《偏微分方程数值解讲义》在选材上注重充分反映偏微分方程数值解法中的核心内容，力图展现算法构造与分析的基本思想；在内容的处理上，体现了由浅入深、循序渐进的原则；在叙述表达上，严谨精练、清晰易读，便于教学与自学。为便于读者复习、巩固、理解和拓广所学的知识，每章之后配置了相当数量的习题，并在书后附上了大部分习题的答案或提示。
　　《偏微分方程数值解讲义》可作为综合大学、理工科大学、高等师范院校计算数学以及相关学科的本科生和研究生的教材或教学参考书，也可供从事计算数学、应用数学和科学工程计算研究的科技人员参考。

内页插图

目录

第1章 椭圆型偏微分方程的差分方法
1.1 引言
1.2 模型问题的差分逼近
1.3 一般问题的差分逼近
1.3.1 网格、网格函数及其范数
1.3.2 差分格式的构造
1.3.3 截断误差、相容性、稳定性与收敛性
1.3.4 边界条件的处理
1.4 基于最大值原理的误差分析
1.4.1 最大值原理与差分方程解的存在唯一性
1.4.2 比较定理与差分方程的稳定性和误差估计
1.5 渐近误差分析与外推
1.6 补充与注记
习题1

第2章 抛物型偏微分方程的差分方法
2.1 引言
2.2 模型问题及其差分逼近
2.2.1 模型问题的显式格式及其稳定性和收敛性
2.2.2 模型问题的隐式格式及其稳定性和收敛性
2.3 一维抛物型偏微分方程的差分逼近
2.3.1 直接差分离散化方法
2.3.2 基于半离散化方法的差分格式
2.3.3 一般边界条件的处理
2.3.4 耗散与守恒性质
2.4 高维抛物型偏微分方程的差分逼近
2.4.1 高维盒形区域上的显式格式和隐式格式
2.4.2 二维和三维交替方向隐式格式及局部一维格式
2.4.3 更一般的高维抛物型问题的差分逼近
2.5 补充与注记
习题2

第3章 双曲型偏微分方程的差分方法
3.1 引言
3.2 一维一阶线性双曲型偏微分方程的差分方法
3.2.1 特征线与CFL条件
3.2.2 迎风格式
3.2.3 15ax-Wendroff格式和Beam-Warming格式
3.2.4 ：蛙跳格式
3.2.5 差分格式的耗散与色散
3.2.6 初边值问题与边界条件的处理
3.3 一阶双曲守恒律方程与守恒型格式
3.3.1 有限体积格式
3.3.2 初始条件与边界条件的处理
3.4 对流扩散方程的差分方法
3.4.1 对流扩散方程的中心显式格式与修正中心显式格式
3.4.2 对流扩散方程的迎风格式
3.4.3 对流扩散方程的隐式格式
3.4.4 对流扩散方程的特征差分格式
3.5 波动方程的差分方法
3.5.1 波动方程的显式格式
3.5.2 波动方程的隐式格式
3.5.3 变系数波动方程隐式格式的能量不等式和稳定性
3.5.4 基于等价一阶方程组的差分格式
3.5.5 交错型蛙跳格式与局部能量守恒性质
3.6 补充与注记
习题3

第4章 再论差分方程的相容性、稳定性与收敛性
4.1 发展方程初边值问题及其差分逼近
4.2 截断误差与逼近精度的阶，相容性与收敛性
4.3 稳定性与Lax等价定理
4.4 稳定性的von Neumann条件和强稳定性
4.5 修正方程分析
4.6 能量分析方法

第5章 椭圆边值问题的变分形式
5.1 抽象变分问题
5.1.1 抽象变分问题
5.1.2 Lax-Milgram引理
5.2 变分形式与弱解
5.2.1 椭圆边值问题的例子
5.2.2 Sobolev空间初步
5.2.3 椭圆边值问题的变分形式与弱解
5.3 补充与注记
习题5

第6章 椭圆边值问题的有限元方法
6.1 Galerkin方法与Ritz方法
6.2 有限元方法
6.2.1 有限元方法的一个典型例子
6.2.2 有限元的一般定义
6.2.3 有限元与有限元空间的例子
6.2.4 有限元方程与有限元解
6.3 补充与注记
习题6

第7章 椭圆边值问题有限元解的误差估计
7.1 Cea引理与有限元解的抽象误差估计
7.2 Sobolev空间插值理论
7.2.1 Sobolev空间的多项式商空间与等价商范数
7.2.2 仿射等价开集上Sobolev半范数的关系
7.2.3 多项式不变算子的误差估计
7.2.4 有限元函数的反估计
7.3 多角形区域上二阶问题有限元解的误差估计
7.3.1 H1范数意义下的误差估计
7.3.2 Aubin—Nische技巧与L2范数意义下的误差估计
7.4 非协调性与相容性误差
7.4.1 第一和第二：Strang引理
7.4.2 Bramble-Hilbert，引理和双线性引理
7.4.3 数值积分引起的相容性误差
7.5 补充与注记
习题7

第8章 有限元解的误差控制与自适应方法
i8.1 有限元解的后验误差估计
8.2 后验误差估计子的可靠性与有效性
8.3 自适应方法
8.3.1 h型、p型与h-p型自适应方法
8.3.2 网格重分布型自适应方法
8.4 补充与注记
习题8
部分习题答案和提示
符号说明
参考文献
名词索引

精彩书摘

本章中我们介绍了经典的用有限差分法求解抛物型问题的显式格式、隐式格式（包括ADI和LOD格式）。显式格式的优点是格式构造简单，每个分量可以独立求解，因此易于实现；其缺点是稳定性较差。隐式格式的构造一般比较复杂，各分量需要联立求解；其优点是稳定性好。我们注意到，对于一维问题，隐式格式对应的线性方程组其系数矩阵是主对角占优三对角的，一般可以用经典的追赶法有效求解；而对于高维问题的ADI或LOD格式，则可以通过求解一系列具有主对角占优三对角系数矩阵的线性方程组来高效求解。值得指出的是，这类格式具有本质的可并行性。
从空间半离散化加时间方向常微分方程数值求解的角度，我们在本章的许多讨论也可以平行地推广到用有限体积法、有限元方法等求解抛物型问题上，其基本结论也是类似的。
……

前言/序言

　　自1995年以来，在姜伯驹院士的主持下，北京大学数学科学学院根据国际数学发展的要求和北京大学数学教育的实际，创造性地贯彻教育部“加强基础，淡化专业，因材施教，分流培养”的办学方针，全面发挥我院学科门类齐全和师资力量雄厚的综合优势，在培养模式的转变、教学计划的修订、教学内容与方法的革新，以及教材建设等方面进行了全方位、大力度的改革，取得了显著的成效。2 001年，北京大学数学科学学院的这项改革成果荣获全国教学成果特等奖，在国内外产生很大反响。
　　在本科教育改革方面，我们按照加强基础、淡化专业的要求，对教学各主要环节进行了调整，使数学科学学院的全体学生在数学分析、高等代数、几何学、计算机等主干基础课程上，接受学时充分、强度足够的严格训练；在对学生分流培养阶段，我们在课程内容上坚决贯彻“少而精”的原则，大力压缩后续课程中多年逐步形成的过窄、过深和过繁的教学内容，为新的培养方向、实践性教学环节，以及为培养学生的创新能力所进行的基础科研训练争取到了必要的学时和空间。这样既使学生打下宽广、坚实的基础，又充分照顾到每个人的不同特长、爱好和发展取向。与上述改革相适应，积极而慎重地进行教学计划的修订，适当压缩常微、复变、偏微、实变、微分几何、抽象代数、泛函分析等后续课程的周学时，并增加了数学模型和计算机的相关课程，使学生有更大的选课余地。

《偏微分方程数值解讲义》 本书旨在系统性地介绍偏微分方程（PDE）数值求解的理论与方法。偏微分方程在物理学、工程学、生物学、金融学等众多科学和工程领域中扮演着核心角色，它们能够精确地描述和预测复杂系统的演化规律。然而，许多重要的偏微分方程难以获得解析解，因此发展高效且可靠的数值求解方法成为解决实际问题的关键。 本书内容涵盖了偏微分方程数值解的几个主要方向，力求理论与实践相结合，为读者构建一个全面而深入的理解框架。 第一部分：基础理论与方法 引言： 深入阐述偏微分方程的意义、分类（如椭圆型、抛物型、双曲型）及其在不同学科中的典型应用。重点介绍为何需要数值解，以及数值方法的基本思想，如离散化、逼近和迭代。 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）： 基本概念： 介绍差商的定义，如何用差商逼近导数，以及在离散网格上的应用。 一阶导数近似： 详细讲解前向差分、后向差分和中心差分的构造及其精度分析。 高阶导数近似： 探讨如何构造高阶导数的有限差分格式，以及它们在求解方程中的作用。 网格类型： 介绍均匀网格和非均匀网格，以及在不同网格上的差分格式构造。 稳定性与收敛性： 这是有限差分法的核心内容。本书将深入讲解Lax等价定理，von Neumann稳定性分析方法，以及如何判断有限差分格式的收敛性。通过具体的例子，展示条件稳定性和无条件稳定性。 典型PDE的有限差分求解： 以经典的泊松方程（椭圆型）、热方程（抛物型）和波动方程（双曲型）为例，详细推导和分析它们的有限差分格式，包括边界条件的处理。 交错网格和不等距网格： 介绍在某些情况下使用交错网格（如MAC网格）或不等距网格的优势，以及相应的差分格式构建。 有限元方法（Finite Element Method, FEM）： 基本思想： 介绍变分原理和弱形式的概念，为何要从强形式的微分方程转向弱形式，以及如何引入形函数和基函数。 单元划分与形函数： 讲解如何将求解区域划分为简单的单元（如三角形、四边形），以及在单元内部构造多项式形函数（插值函数）。 伽辽金法（Galerkin Method）： 详细阐述基于伽辽金方法的离散化过程，如何从弱形式推导出代数方程组。 刚度矩阵和载荷向量： 介绍如何通过单元积分和总装技术构建全局的刚度矩阵和载荷向量。 边界条件处理： 详细讲解如何将Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和Robin边界条件融入有限元方程组。 收敛性与精度分析： 探讨有限元方法的收敛性证明（如Céa引理），以及与网格密度、形函数次数的关系。 经典PDE的有限元求解： 以泊松方程、梁方程（弹性力学）等为例，展示有限元方法的具体实现步骤。 有限体积法（Finite Volume Method, FVM）： 基本原理： 介绍其基于守恒律的思想，将方程在控制体上积分，并利用通量分析。 控制体划分与通量计算： 讲解如何划分控制体，以及如何在控制体边界上近似计算通量。 守恒性： 强调有限体积法在保持物理量的守恒性方面的优势。 典型PDE的有限体积求解： 以流体力学中的Navier-Stokes方程（或其简化形式）为例，展示其应用。 第二部分：高级主题与工程应用 时间离散化方法： 抛物型方程的时间推进： 详细介绍显式方法（如前向欧拉）、隐式方法（如后向欧拉）和Crank-Nicolson方法，分析它们的稳定性和精度。 双曲型方程的时间推进： 介绍Lax-Friedrichs、Lax-Wendroff、Godunov、MacCormack等方法，以及它们在处理激波等问题时的特点。 多步法与Runge-Kutta法： 介绍更高级的时间离散化技术。 非结构网格方法： 讨论在复杂几何形状区域上应用数值方法时，非结构网格的构建方法以及相应的数值格式。 自适应网格精细化（Adaptive Mesh Refinement, AMR）： 介绍如何根据解的特性（如梯度大小）自动调整网格密度，以提高计算效率和精度。 并行计算方法： 讨论如何在多处理器系统上并行求解大规模偏微分方程问题，包括域分解、迭代并行等技术。 求解线性方程组的迭代方法： 预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）： 介绍其原理和应用，以及各种预条件子的构造。 GMRES（Generalized Minimal Residual Method）： 介绍其在大规模稀疏线性系统求解中的优势。 多重网格方法（Multigrid Method）： 阐述其高效的加速收敛机制。 软件实现与编程实践： 常用数值库与框架： 介绍一些用于偏微分方程数值求解的开源库（如deal.II, FEniCS, PETSc）和开发工具。 算法的实际应用案例： 通过一个或多个实际工程问题（如传热、流体流动、电磁场模拟）的数值求解过程，巩固所学知识，并展示算法的威力。 计算误差分析与验证： 强调数值解的可靠性检验，包括与解析解的比较、网格收敛性研究、以及物理守恒量的验证。 本书适合于数学、物理、工程、计算科学等专业的本科生、研究生以及从事相关领域研究和工程实践的专业人士。通过学习本书，读者将能够理解偏微分方程数值解的基本原理，掌握多种主流的数值方法，并具备独立分析和解决实际问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

初次翻开《偏微分方程数值解讲义》，我几乎是被它厚实的身躯所震撼，但当指尖划过扉页，看到那严谨的排版和清晰的目录时，一种踏实感油然而生。我是一名刚刚接触偏微分方程数值方法的研究生，之前接触的教材大多侧重理论推导，对于如何将这些抽象的数学模型转化为计算机可以理解和运算的代码，总感觉隔着一层薄膜。这本讲义仿佛就是那层薄膜的破除者。它从最基础的离散化方法开始，循序渐进地讲解了有限差分法、有限元法、有限体积法等核心概念。我尤其喜欢作者在讲解每一种方法时，都会辅以生动形象的例子，比如在介绍有限差分法时，不是简单地给出差分格式，而是先通过物理现象（如热传导、流体流动）来引入，让读者明白这些数学公式背后所蕴含的物理意义。这种“由表及里”的讲解方式，大大降低了初学者的门槛，也帮助我建立了对数值方法更直观的认识。更让我惊喜的是，书中对每种方法的收敛性和稳定性分析也讲解得十分透彻，虽然初读时可能觉得有些晦涩，但经过反复研读和对照课后习题，我逐渐领悟到这些理论分析对于指导实际计算的重要性。例如，在处理非线性问题时，稳定性分析直接关系到数值解是否会失控发散。讲义中提供了多种稳定判据和处理策略，让我觉得在面对实际工程问题时，心中有了底气。我曾尝试将书中的某个例子代码实现，虽然遇到了不少bug，但在参考了讲义中的算法描述和伪代码后，最终成功运行，那种成就感是无法言喻的。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位耐心的老师，循循善诱，引导我一步步走进偏微分方程数值解的奇妙世界。

评分☆☆☆☆☆

《偏微分方程数值解讲义》给我的感受，可以用“意料之外的惊喜”来形容。在我开始阅读之前，我对偏微分方程的数值解知之甚少，甚至认为这是一个极其枯燥和理论化的领域。然而，这本书以一种非常引人入胜的方式，将我带入了计算科学的精彩世界。作者的叙述风格非常独特，他擅长将复杂的数学概念，用通俗易懂的比喻和生动的图示来解释。比如，在讲解有限元法的网格生成时，他引入了“拼图游戏”的比喻，将整个求解域想象成一块巨大的拼图，而网格就是这些拼图的碎片，每块碎片（单元）都有其特定的形状和性质。这种形象化的讲解，让我这个初学者也能快速理解网格划分和单元构建的基本思想。书中对不同数值方法的比较分析也做得非常出色，它不仅仅是简单地罗列公式，而是会从物理意义、计算效率、精度要求等多个维度进行阐述，帮助读者建立起对各种方法的全局认识。我尤其喜欢书中关于“误差分析”的章节，作者详细介绍了截断误差、离散化误差、舍入误差等概念，并给出了一些实用的误差估计方法。这对于我理解数值解的可靠性至关重要。此外，书中还涉及了一些高级主题，如求解刚性问题的数值方法和一些非线性偏微分方程的迭代求解技术。虽然我目前对这些内容理解得还不够深入，但它无疑为我打开了一扇新的大门，让我对未来的学习充满了期待。这本书的排版也十分精美，代码示例清晰易懂，这对于动手实践的读者来说，无疑是一大福音。

评分☆☆☆☆☆

《偏微分方程数值解讲义》这本书，在我看来，是一本集学术严谨性、内容全面性和应用指导性于一体的优秀著作。我是一位从事计算科学研究的研究员，平时工作中经常会遇到各种求解偏微分方程的挑战。在阅读此书的过程中，我发现作者在内容组织上做得非常出色，既有对基础知识的系统梳理，也有对前沿技术的深入探讨。例如，书中对黎曼问题的处理，以及如何将其应用于求解双曲型方程的数值方法，如Lax-Friedrichs格式、Lax-Wendroff格式以及WENO格式的讲解，都非常详尽且富有启发性。这对于从事计算流体力学和冲击波物理等领域的研究者来说，具有非常高的参考价值。我尤其欣赏书中对“奇点捕捉”和“高分辨率格式”的深入分析。在处理包含激波、接触间断等强非线性现象的偏微分方程时，这些技术至关重要。作者通过大量的图示和算例，生动地展示了不同高分辨率格式的优越性，并对其精度和稳定性进行了详细的比较。此外，书中对多尺度问题和耦合方程组的数值求解策略也进行了探讨，这为我们解决更加复杂的科学和工程问题提供了思路。我注意到，作者在编写过程中，非常注重理论与实践的结合，书中提供的算法描述和实现建议，能够极大地帮助研究人员将理论知识转化为实际的计算工具。尽管书中部分内容对初学者而言可能存在一定的挑战，但对于有志于深入研究偏微分方程数值解的科研人员来说，这本书无疑是一部不可多得的宝贵财富，它能够极大地拓宽研究视野，并为解决前沿科学问题提供有力的支撑。

评分☆☆☆☆☆

初次接触《偏微分方程数值解讲义》，我带着一丝好奇和一些对这个领域的敬畏。作为一个对科学计算抱有浓厚兴趣的学生，我一直被偏微分方程所描述的各种自然现象所吸引，但如何用计算机去模拟这些现象，却一直是一个谜团。这本书以一种令人欣喜的方式，为我揭开了这个谜团的面纱。作者的讲解方式非常注重“循序渐进”，从最简单的二阶线性偏微分方程开始，逐步引入更复杂的方程类型和数值方法。我特别喜欢书中关于“物理过程与数学模型”的对应关系，这使得我能够理解为什么这些数学公式能够准确地描述现实世界。例如，在讲解泊松方程的数值解时，作者将其与静电场和引力场等物理概念联系起来，让我对泊松方程的物理意义有了更直观的认识。书中对有限差分法、有限元法、有限体积法等核心方法的讲解，都配有清晰的图示和详细的推导步骤，这大大降低了我的学习难度。我曾经在学习有限元法时，对“弱形式”的概念感到困惑，但书中通过具体的例子，将弱形式的推导过程分解得非常清晰，并解释了其在弱化方程连续性要求方面的作用，让我豁然开朗。此外，书中对边界条件的处理也讲解得非常细致，涵盖了Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和Robin边界条件等，并给出了相应的数值实现方法。这对于我以后在实际应用中处理各种复杂的边界问题非常有帮助。总的来说，这本书就像一位经验丰富的向导，带领我一步步探索偏微分方程数值解的奥秘，让我从一个懵懂的学生，逐渐成长为一个能够独立进行科学计算的实践者。

评分☆☆☆☆☆

《偏微分方程数值解讲义》给我的第一印象是它的“深度”和“广度”。我是一位对数值分析充满热情的学生，一直渴望能够系统地学习偏微分方程的数值求解技术。这本书恰好满足了我的这一需求。它从最基础的有限差分法讲起，逐步深入到有限元法、有限体积法，甚至还触及了一些更前沿的方法，如无网格法和径向基函数插值法。我特别喜欢书中对每一种方法的推导过程，作者总是力求清晰明了，即使是一些复杂的数学推导，也能通过分步讲解和必要的辅助说明，变得易于理解。在讲解有限元法时，作者详细阐述了变分原理、希尔伯特空间、 Sobolev空间等理论背景，这让我对有限元法的数学基础有了更深刻的认识。书中对单元类型的讨论，如三角形单元、四边形单元、四面体单元和六面体单元，以及它们在不同维度上的应用，也让我对网格生成有了更全面的了解。此外，书中关于迭代求解线性方程组的部分，详细介绍了Jacobi法、Gauss-Seidel法、SOR法以及共轭梯度法等经典算法，并分析了它们的收敛性和适用范围。这对于解决大型稀疏线性系统至关重要。我记得在学习求解非线性偏微分方程的部分，作者介绍了Picard迭代法、Newton-Raphson法以及不动点迭代法等，并通过实例展示了它们的 প্রয়োগ。这些内容对于我今后解决复杂的工程问题非常有帮助。总的来说，这本书内容丰富，结构严谨，既有理论深度，又不失实践指导意义，是偏微分方程数值解领域一本难得的优秀教材。

评分☆☆☆☆☆

《偏微分方程数值解讲义》这本书，对于我这个一直以来都在理论研究边缘徘徊的学者来说，提供了一个重要的桥梁。我一直对数学模型的理论分析很感兴趣，但总觉得缺少一种将这些理论转化为实际计算的能力。这本书以一种非常接地气的方式，将抽象的数学理论与具体的数值计算方法紧密地结合起来。作者在讲解各种数值方法时，不仅仅给出了公式和算法，更重要的是，他会从算法的“效率”和“鲁棒性”这两个角度进行深入的分析。我记得在讨论求解大型稀疏线性系统时，作者详细比较了直接法（如LU分解）和迭代法（如CG法、GMRES法）的优缺点，并分析了它们在不同规模和结构的系统上的性能表现。这对于我今后在进行模型优化和计算加速方面，提供了宝贵的参考。此外，书中对“不适定问题”的讨论，以及如何通过正则化技术来获得稳定且有意义的解，让我耳目一新。这部分内容对于处理一些具有挑战性的逆问题和反演问题非常有帮助。我尤其欣赏书中关于“自适应网格”和“并行计算”的介绍。这些内容紧密结合了现代计算科学的发展趋势，为我今后的研究方向提供了重要的启示。虽然书中部分数学推导对于我来说可能需要反复研读，但其丰富的实践指导意义和对算法效率的深入分析，无疑是我在理论研究之外，获得的一笔宝贵的财富。这本书让我看到了理论研究与实际计算之间的紧密联系，也激发了我将数学理论应用于解决实际科学问题的热情。

评分☆☆☆☆☆

老实说，我最开始拿到《偏微分方程数值解讲义》的时候，并没有抱太高的期望。市面上关于这类题材的书籍很多，但真正能够做到既系统又实用的并不多见。然而，这本书却给了我一个大大的惊喜。我是一名在工业界工作的工程师，日常工作中经常会遇到各种偏微分方程的应用问题，从结构力学到热传导，再到流体力学。之前我们通常依赖一些商业软件来解决这些问题，但最近我们面临的一些挑战需要更深入地理解数值方法的原理，以便进行定制化的开发和优化。这本书恰好满足了我们的需求。它不像某些理论性的书籍那样晦涩难懂，而是非常注重方法的实际应用。书中对每一种数值方法的讲解都清晰明了，并且提供了大量的工程背景案例，让我们能够直观地理解这些数学方法是如何应用到实际工程问题中的。我特别欣赏书中对算法的描述，它不像教科书那样只给公式，而是会给出详细的步骤，甚至包含一些代码实现的建议。这对于我们工程师来说，非常有帮助。我们能够将书中的思路直接转化为实际的程序代码，大大节省了开发时间。另外，书中对不同方法的优缺点和适用范围的分析也十分到位，这帮助我们能够根据具体的问题选择最合适的数值方法，从而提高计算效率和精度。我记得有一章专门讨论了高维问题的处理，这正是我最近工作中遇到的一个难题。书中提供了一些降维技术和并行计算的思路，让我受益匪浅。总的来说，这本书是一本非常务实且具有指导意义的参考书，强烈推荐给所有从事偏微分方程数值计算的工程师和研究人员。

评分☆☆☆☆☆

我是一位有多年偏微分方程数值解研究经验的学者，阅书无数。当我拿到《偏微分方程数值解讲义》时，起初并未认为它能给我带来太多的新意。然而，阅读过程中，我逐渐发现这本书在某些方面有着独到的见解和深刻的洞察力。作者在处理诸如高精度格式、守恒格式以及谱方法等进阶内容时，展现了非凡的功力。例如，在讲解高精度差分格式时，作者不仅给出了多种构造方法，还对各种格式的截断误差进行了细致的分析，并讨论了它们在不同边界条件下的表现。这一点对于追求高精度计算的研究者来说，具有很高的参考价值。在有限体积法的部分，作者对“守恒性”这一核心概念的阐释尤为深刻。他不仅仅停留在理论层面，而是通过大量的算例，展示了守恒格式在处理激波、熵波等非连续现象时的优越性，这对于流体力学和气体动力学等领域的应用具有指导意义。另外，书中对谱方法的介绍，虽然篇幅不多，但提纲挈领，点出了其在高维问题中的高效性以及基函数的选择策略，这对于那些希望探索更高级数值方法的同行来说，提供了一个良好的起点。我个人尤其欣赏作者在讨论数值算法的并行化和GPU加速方面所做的探讨，这些内容紧跟时代发展的步伐，对于推动计算科学的进步具有重要意义。虽然书中部分内容对初学者而言可能稍显深奥，但对于有一定基础的研究者，这本书无疑是一份珍贵的学术资源，能够拓宽视野，启发新的研究思路。

评分☆☆☆☆☆

当我拿到《偏微分方程数值解讲义》这本书时，我首先注意到的是它那严谨的学术风格和对细节的关注。这本书不像某些科普读物那样轻松，它需要读者具备一定的数学基础，并愿意投入时间和精力去深入理解。我是一位对偏微分方程在物理建模中的应用非常感兴趣的本科生，而这本书正好提供了一个绝佳的平台，让我能够将课堂上学到的理论知识与实际计算联系起来。书中对物理背景的引入非常出色，它不仅仅给出数学公式，而是会从物理现象出发，解释为什么需要数值方法来求解这些方程，以及这些方法背后所蕴含的物理意义。例如，在讲解热传导方程的数值解时，作者不仅仅给出了差分格式，还详细解释了时间步长和空间步长对解的稳定性和精度的影响，这让我能够更直观地理解离散化过程中物理量的传递和扩散。书中对各种数值方法的比较分析也十分到位，它不仅仅列举了各种方法的优点，还会指出它们的局限性，这有助于读者在实际应用中做出明智的选择。我尤其喜欢书中关于“病态问题”的讨论，以及如何通过预条件技术来改善迭代求解器的收敛速度。这些内容对于处理实际工程中的复杂问题至关重要。此外，书中还提供了大量的伪代码和算法描述，这使得读者可以很容易地将书中的知识转化为实际的计算机程序。我曾经尝试复现书中的一个例子，虽然过程中遇到了一些困难，但在参考了书中详细的算法描述后，最终成功解决了问题。这本书极大地提升了我对偏微分方程数值解的信心，也激发了我进一步深入学习的兴趣。

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这本《偏微分方程数值解讲义》以一种极其严谨且略带挑战性的方式，勾勒出了偏微分方程数值求解的宏大图景。对于我这样已经有一定数理背景，但在此领域尚属新手的读者来说，它提供了一个极佳的进阶平台。书中的内容并非浅尝辄止，而是深入到了各种数值方法的本质。比如，在讨论有限元方法时，作者并未止步于基函数的选择和单元划分，而是详细阐述了弱形式的推导、形函数的构造、刚度矩阵和载荷向量的组装过程，甚至还涉及到一些高级话题，如超收敛技术和自适应网格的生成。这些内容对于真正想要深入理解有限元法的读者来说，无疑是宝贵的财富。书中对理论的阐述常常伴随着严谨的数学证明，这使得我在阅读时必须高度集中注意力，但一旦理解了其中的逻辑链条，便会豁然开朗。我记得在学习边界条件的处理部分，作者区分了第一类、第二类和第三类边界条件，并给出了各自在数值离散化过程中的具体实现方式。这一细节的处理，体现了作者对工程实际中各种复杂情况的深刻洞察。此外，书中还涉及了一些更具前瞻性的内容，例如对一些新兴的数值方法的简要介绍，虽然篇幅不多，但足以激发我的好奇心，并为我指明了进一步学习的方向。总而言之，这本书要求读者投入大量的时间和精力去钻研，但其回报也是巨大的。它帮助我建立起了一种严谨的科学思维方式，并为我将来从事相关研究奠定了坚实的基础。

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