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孙炯，王万义，赫建文 著

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• 泛函分析
• 数学
• 高等数学
• 分析学
• 函数空间
• 算子理论
• 巴拿赫空间
• 希尔伯特空间
• 谱理论
• 线性空间

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040288896

版次：1

商品编码：10337258

包装：平装

开本：16开

出版时间：2010-03-01

用纸：胶版纸

页数：263

字数：320000

内容简介

本书主要内容分为七章，前三章侧重于线性泛函分析中各种空间、极限等基本概念的引入和基本性质的讨论；第四、第五章主要介绍了有界线性算子及其组成的空间，讲述Banach空间中线性算子的基本性质，重点讲述了Hilbert空间的共轭空间，Hilbert空间中的共轭算子。最后两章是线性算子的谱理论。谱理论从结构上剖析了算子作用的本质特征，它的处理方式体现了数学结构在分析、代数和几何上的和谐统一。本书没有引进谱族的概念，从纯粹分析的角度介绍了线性算子谱的定义，讨论了有界线性算子特别是自共轭算子、紧算子谱的基本性质。

目录

绪论
第一章 距离空间
1.1 距离空间的基本概念
1.1.1 距离空间的定义
1.1.2 距离空间的例
1.1.3 距离空间中的收敛
1.2 开集和连续映射
1.2.1 开球、闭球
1.2.2 内点、开集、邻域
1.2.3 等价的距离、连续映射
1.3 闭集 可分性列紧性
1.3.1 距离空间中的闭集
1.3.2 闭集的结构
1.3.3 可分的距离空间
1.3.4 列紧的距离空间
1.4 完备的距离空间
1.4.1 Cauchy列
1.4.2 完备的距离空间
1.4.3 完备与不完备距离空间的例
1.4.4 距离空间的完备化
1.5 完备距离空间的性质和一些应用
1.5.1 闭球套定理
1.5.2 压缩映射原理
1.5.3 压缩映射原理的应用
习题1
第二章 线性赋范空间
2.1 赋范空间的基本概念
2.1.1 赋范空间和Banach空间的定义
2.1.2 范数的连续性
2.1.3 范数与距离的关系
2.2 完备的赋范空间
2.2.1 连续函数上定义的不同范数
2.2.2 赋范空间的完备化
2.2.3 Lp空间
2.2.4 L∞空间
2.2.5 lp空间
2.3 赋范空间的几何结构
2.3.1 凸集
2.3.2 子空间
2.3.3 Riesz引理
2.4 有限维的赋范空间
2.4.1 等价的范数
2.4.2 有限维空间
2.4.3 有限维赋范空间的几何特征
2.5 赋范空间的进一步性质
2.5.1 赋范空间中的级数
2.5.2 赋范空间的商空间
2.5.3 赋范空间的乘积空间
习题2
第三章 内积空间与Hilbert空间
3.1 内积空间的基本性质
3.1.1 内积空间的定义
3.1.2 由内积生成的范数
3.1.3 内积和相应范数的关系
3.1.4 完备的内积空间
3.2 正交与正交分解
3.2.1 正交的定义
3.2.2 正交补集
3.2.3 最佳逼近
3.2.4 Hilbert空间的正交分解
3.3 正交系和正交基
3.3.1 内积空间中的正交系
3.3.2 正交投影
3.3.3 正交基
3.4 Bessel不等式和正交列的完备性
3.4.1 Bessel不等式
3.4.2 正交列的完备性
3.4.3 标准正交基的例
3.5 可分的Hilbert空间
3.5.1 线性无关组的正交化算法
3.5.2 可分的Hilbert空间与l2等距同构
习题3
第四章 有界线性算子
4.1 有界线性算子与有界线性泛函
4.1.1 有界线性算子与有界线性泛函的定义
4.1.2 有界线性算子组成的赋范空间
4.1.3 有界线性算子的例
4.1.4 有界线性算子范数的计算
4.2 有界线性算子空间的收敛与完备
4.2.1 有界线性算子空间中的收敛性
4.2.2 有界线性算子空间的完备性
4.3 一致有界原则
4.3.1 Baire纲定理
4.3.2 一致有界原则
4.3.3 强收敛意义下的完备性
4.3.4 共鸣定理的应用
4.4 开映射定理与逆算子定理
4.4.1 逆算子
4.4.2 开映射定理
4.4.3 逆算子定理
4.5 闭算子与闭图像定理
4.5.1 闭算子的定义
4.5.2 闭算子的例
4.5.3 闭图像定理
习题4
第五章 共轭空间和共轭算子
5.1 Hahn-Banach定理
5.1.1 Hahn-Banach定理
5.1.2 Hahn-Banach定理的推论
5.1.3 线性泛函和闭集分离
5.2 共轭空间
5.2.1 共轭空间的概念
5.2.2 Lp[a，b]的共轭空间（1 5.2.3 C[a，b]的共轭空间
5.2.4 空间c的共轭空间
5.3 Hilbert空间的共轭空间 共轭算子
5.3.1 Riesz表示定理
5.3.2 Hilbert空间的共轭空间
5.3.3 Hilbert空间上的共轭算子
5.4 自共轭的有界线性算子
5.4.1 有界自共轭算子的定义、例
5.4.2 自共轭算子的性质
5.4.3 Cartesian分解
5.5 Banach空间上的共轭算子 弱收敛
5.5.1 Banach空间上的共轭算子
5.5.2 自反性
5.5.3 弱收敛
5.5.4 一些具体空间中的弱收敛
习题5
第六章 线性算子的谱理论
6.1 谱集和正则点集
6.1.1 谱点和正则点的定义
6.1.2 特征值和特征元素
6.1.3 闭线性算子的正则点
6.1.4 存在不是特征值的谱点
6.2 有界线性算子的谱集
6.2.1 有界线性算子的谱集是有界集
6.2.2 有界线性算子的谱集是闭集
6.2.3 有界线性算子的谱集非空
6.2.4 有界线性算子的谱半径
6.3 有界自共轭线性算子的谱
6.3.1 有界自共轭线性算子剩余谱集是空集
6.3.2 有界自共轭线性算子谱集的性质
6.3.3 有界自共轭线性算子谱的分布
习题6
第七章 紧线性算子的谱分解
7.1 紧线性算子
7.1.1 紧线性算子的定义
7.1.2 紧线性算子的例
7.1.3 紧线性算子空间
7.1.4 紧算子的有穷秩逼近
7.2 紧线性算子的谱
7.2.1 紧线性算子的特征值
7.2.2 紧线性算子零空间的结构和连续谱
7.2.3 紧线性算子像空间的结构和剩余谱
7.2.4 Riesz-Schauder理论
7.3 紧的自共轭线性算子的谱
7.3.1 紧的自共轭线性算子的谱分解
7.3.2 极大极小原理
7.4 投影算子的加权和
7.4.1 投影算子和投影算子的加权和
7.4.2 投影算子加权和的性质
7.4.3 投影算子加权和的谱
7.4.4 紧的自共轭投影算子的加权和
习题7
附录
附录Ⅰ 距离空间的紧性
Ⅰ.1 列紧集，完全有界集
Ⅰ.2 紧集
Ⅰ.3 不同空间中紧集的充要条件
Ⅰ.4 弱列紧
附录Ⅱ 线性空间
Ⅱ.1 线性空间的概念
Ⅱ.2 线性无关和线性相关
Ⅱ.3 线性空间的维数与Hilbert基
附录Ⅲ Lp空间
Ⅲ.1 Lp空间完备性的证明
Ⅲ.2 Lp空间的收敛性
附录Ⅳ 有界变差函数空间V[a，b]
索引
参考文献

《数学的深邃之境》 本书带领读者踏上一场穿越数学宏伟殿堂的旅程，探索那些构成现代科学和工程基石的抽象概念。我们并非直接深入某个特定分支的艰深技术，而是旨在揭示数学思想的内在联系与演进脉络，领略其普遍性和力量。 旅程始于我们最为熟悉的数字世界，从整数的朴素构建，逐步触及无理数、复数的奇妙拓展，理解数的连续性与完备性是如何从根本上改变我们对量度的认知。我们将探讨集合论的基石，认识到无限的概念如何以多种形式存在，以及集合之间的比较与分类如何为后续的抽象化打下基础。 随后，我们将目光投向那些隐藏在图形与空间之中的规律。从欧几里得几何的严谨证明，到非欧几何的革命性突破，我们将见证空间概念的丰富性与多样性。曲线、曲面以及更高维度的结构将不再是陌生的概念，而是通过代数与几何的交融，展现出其内在的对称性与变换规律。我们将初步接触到函数——这一连接输入与输出的桥梁，理解其作为数学语言的核心作用。 进入代数的领域，我们将在群论的光辉下，探索对称性的普适规律，理解运算的结构如何塑造着数学对象的本质。矩阵的出现将为我们描绘出线性变换的清晰图景，揭示方程组求解的内在逻辑，并为我们理解多维空间中的几何关系提供强大的工具。我们还将触及多项式方程的求解历史，感受代数方程理论的深刻演变。 本书的另一条重要线索将是逻辑与证明的力量。我们将审视数学推理的严谨性，理解公理化体系的构建方式，以及数学证明如何确保知识的可靠性。从直观的几何证明到形式化的逻辑推导，我们将体会到数学思维的精确与严密。悖论的出现将引导我们反思直觉的局限，并认识到形式化语言在避免歧义方面的关键作用。 我们还将展望数学在自然界中的映射。斐波那契数列、黄金分割率在植物生长、艺术设计中的和谐体现，以及分形几何在描述自然界复杂边界方面的独特优势，都将揭示数学作为描述宇宙规律的语言所蕴含的惊人力量。混沌理论的初步介绍，将带领我们窥探确定性系统中涌现出的不可预测性。 在探索这些基本概念的同时，本书将始终强调数学的抽象化思维。我们如何从具体的例子中提炼出普遍的规律？如何构建抽象的数学模型来描述复杂现象？这些问题的解答将贯穿始终，培养读者对数学本质的深刻理解。 《数学的深邃之境》并非旨在提供一套完整的学习手册，而是期望点燃读者对数学的求知欲，展现其跨越领域、连接学科的宏大图景。它鼓励读者以一种更广阔的视角去审视数学，理解数学语言的优雅，感受数学思维的魅力，并认识到它在塑造我们理解世界的方式中所扮演的关键角色。这趟旅程将让你看到，数学不仅仅是冰冷的数字和公式，更是人类智慧对宇宙奥秘不懈探索的结晶，是通往理解无限与可能性的钥匙。

评分☆☆☆☆☆

这本《泛函分析》给我带来了前所未有的数学体验。作为一名多年从事应用数学研究的学者，我一直在寻找能够深化我理论理解的工具和视角。这本书恰恰满足了我的需求。书中关于“收敛”和“极限”的讨论，超越了传统实分析的范畴，引入了更普适的拓扑概念，这对于理解各种分析空间中的极限行为至关重要。书中对开集、闭集、紧集等基本拓扑概念的精确定义和性质的梳理，为后续深入探讨巴拿赫空间和希尔伯特空间的性质打下了坚实的基础。我尤其对书中关于“连续性”的讨论印象深刻，它不仅定义了在度量空间和拓扑空间上的连续性，更重要的是，通过各种例子，展示了连续函数所具有的各种优良性质，以及它们在保持拓扑结构方面的作用。书中关于紧空间的紧致性特征的讲解，让我对这个概念有了更深入的理解，这对于后面证明一些重要的存在性定理至关重要。另外，书中关于紧致性在实数域中的一些经典结果，比如Heine-Borel定理，在这本书中得到了更普适的推广，这让我体会到了抽象化带来的力量。我还在书中看到了对一些重要分析空间（如C(X)空间）的构造，以及它们所拥有的丰富结构，这对于我理解一些函数空间上的优化问题和逼近理论有着重要的启发意义。这本书的数学语言精准而优美，每一个符号的引入都有其深刻的含义，每一个定理的阐述都闪烁着智慧的光芒。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计非常专业，封面的配色和字体都透露出一种严谨学术的气息，给人一种值得信赖的感觉。我是一名数学系大三的学生，在学习了实变函数和一些基础的拓扑学知识后，我一直在寻找一本能够系统介绍泛函分析的教材。这本书正是我的理想选择。书中对“范数”概念的引入，让我看到了将代数结构与分析方法结合的精妙之处。范数不仅定义了向量的“长度”，更重要的是，它赋予了向量空间一种“距离”的概念，使得我们可以在向量空间中讨论收敛、连续等分析学中的基本概念。书中对几种重要的赋范空间（如Lp空间，C[a,b]空间）的详细介绍，以及它们各自的性质和应用，让我对这些空间有了更直观的认识。我特别喜欢书中对Lp空间中的柯西序列和收敛性的讨论，这让我理解了为什么这些空间被称为“巴拿赫空间”，即完备的赋范向量空间。书中对巴拿赫不动点定理的讲解，更是让我眼前一亮。这个定理在解决很多方程（包括微分方程、积分方程）问题时都起到了至关重要的作用，而其证明过程却异常简洁优美，充分体现了泛函分析的威力。我还在书中看到了对商空间和积空间的讨论，这让我意识到，即使是最基本的向量空间，也存在着各种各样有趣的构造方式，而这些构造方式往往能够揭示出更深层次的数学结构。

评分☆☆☆☆☆

这本《泛函分析》的封面设计就足够吸引人，简约而不失厚重感，色彩搭配也十分协调，一眼就能感受到这是一本严谨而有深度的学术著作。翻开书页，纸张的质感也相当不错，触感温润，即使长时间阅读也不会感到疲劳。我是一名对数学理论充满好奇心的研究生，一直希望能深入理解抽象的数学概念，尤其是在分析学领域。泛函分析作为连接经典数学和现代数学的重要桥梁，一直是我想要攻克的难关。这本书的目录结构清晰明了，从最基础的度量空间、拓扑空间，到巴拿赫空间、希尔伯特空间，再到算子理论和谱理论，层层递进，逻辑严谨。尽管我对其中的一些概念已经有初步的了解，但这本书的讲解方式却给了我全新的视角。例如，书中对于“完备性”的阐释，不仅仅是停留在定义上，而是通过丰富的例子，生动地展示了完备性在构造重要数学对象（如Lp空间）中的关键作用，这让我对这个看似抽象的概念有了更深刻的理解。此外，书中对各种空间的定义和性质的细致分析，也让我意识到，表面上相似的空间，其内在的结构和性质可能存在巨大的差异，而正是这些差异，催生了各种精妙的数学定理。我特别喜欢书中对一些经典定理的证明过程，作者没有像一些教材那样，将证明过程简化得过于跳跃，而是详细地列出了每一步的推导，并解释了每一步的依据，这对于像我这样需要扎实掌握证明技巧的学生来说，是莫大的帮助。读完第一章，我已经感觉自己对度量空间和拓扑空间的理解有了质的飞跃，迫不及待地想继续探索下去。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计有一种沉静而深邃的美感，让人一看就想深入探究其内容。我是一名即将毕业的数学专业本科生，一直对数学分析的抽象化和一般化很感兴趣，也了解泛函分析在这个方向上的重要性。《泛函分析》这本书，正是为我这样的学生量身定做的。书中对“向量空间”的定义和性质进行了详细的介绍，这为后续引入范数和拓扑奠定了基础。我尤其喜欢书中对线性子空间、商空间、直积空间等基本构造的讲解，这让我看到了如何在已有的空间基础上，构造出更多具有特定性质的新空间。书中对“线性算子”的引入，更是将代数中的线性映射概念，推广到了函数空间。对有界线性算子性质的详细分析，让我看到了数学家们如何用量化的方式来刻画这些“空间之间的变换”。我最感兴趣的部分是关于“对偶空间”的讨论。对偶空间就像是原空间的一个“镜子”，它们之间有着深刻而美妙的联系。书中对最大化和最小化问题的联系，以及一些优化理论的基础，都与对偶空间的研究紧密相关。我还在书中看到了对巴拿赫空间和希尔伯特空间的一些重要定理的证明，比如Hahn-Banach定理。这个定理在许多领域都有着极其广泛的应用，而其证明过程的精巧，让我由衷地赞叹数学的魅力。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学史和数学思想发展感兴趣的爱好者。在了解了微积分、微分方程等经典数学分支后，我开始关注数学的抽象化和一般化趋势，而泛函分析正是在这一趋势下的重要产物。《泛函分析》这本书，以其深邃的洞察力和严谨的逻辑，为我打开了新世界的大门。书中对“集合”和“映射”这些最基础的概念，如何在新的框架下被赋予更丰富的意义，这一点令我着迷。比如，书中对“距离”和“开集”这些概念的引入，是如何将代数结构与几何直观相结合，从而构建出全新的分析框架。我特别欣赏书中对“度量空间”的讲解。度量不仅仅是勾股定理的简单推广，它更是刻画空间结构的关键。书中通过不同度量如何在同一集合上诱导出不同的拓扑，这一分析让我深刻理解了“拓扑”与“度量”之间的关系。此外，书中对“巴拿赫空间”的定义和性质的深入探讨，让我看到了完备性在数学中的重要性。完备性保证了柯西序列能够收敛到空间中的某一点，这对于解决许多存在性问题至关重要。我还在书中看到了对“算子”的研究，它们是如何在函数空间中扮演着类似“微分”和“积分”的角色，以及它们之间相互作用的复杂性。

评分☆☆☆☆☆

这本书的字体清晰，排版大方，给我一种高质量学术著作的感觉。我是一名在读的博士生，研究方向是偏微分方程，而泛函分析则是解决这类问题不可或缺的理论基础。《泛函分析》这本书，为我提供了坚实的理论支撑。书中关于“线性空间”的定义和基本性质的梳理，为后续引入范数和拓扑奠定了基础。我特别关注书中对“巴拿赫空间”的讲解。巴拿赫空间是完备的赋范向量空间，它为解决许多涉及极限和收敛的问题提供了理想的框架。书中对Lp空间、C(X)空间的详细介绍，以及它们作为巴拿赫空间的性质，都对我理解方程解的存在性、唯一性以及性质至关重要。我还在书中看到了对“算子理论”的深入探讨。算子是函数空间上的变换，它们的研究是泛函分析的核心内容之一。书中对有界线性算子、紧算子、自伴算子等性质的分析，让我能够更好地理解微分算子、积分算子等在偏微分方程中的作用。我特别期待书中关于“谱理论”的部分，这对于理解算子的一些基本性质，以及方程的解的性质，具有决定性的意义。我相信，通过对这本书的学习，我将能够更有效地利用泛函分析的工具来解决我的研究问题。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常吸引人，它不像一些教材那样枯燥乏味，而是充满了数学的智慧和美感。我是一名对数学理论充满热情的自学者，一直渴望深入了解数学的底层逻辑。《泛函分析》这本书，以其清晰的逻辑和精辟的讲解，深深地吸引了我。书中对“拓扑空间”的介绍，为理解各种分析空间提供了一个统一的语言。开集、闭集、邻域这些概念，在这本书的阐释下，显得格外生动和有力量。我尤其被书中对“紧致性”的讨论所打动。紧致性不仅仅是“有界闭集”，它更是一种“局部决定全局”的强大性质。书中通过生动的例子，展示了紧致性在数学分析中的重要作用，比如连续函数在紧致集上的有界性、一致连续性以及最值定理。我还在书中看到了对“度量空间”的细致分析。度量不仅仅是简单的长度概念，它更是刻画空间结构的关键。书中对不同度量如何在同一集合上诱导出不同的拓扑，这一分析让我深刻理解了“拓扑等价”和“同胚”这些概念的精妙之处。此外，书中对“赋范空间”的介绍，让我看到了如何将代数上的向量空间与分析学中的距离概念相结合，从而构建出更强大的分析工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的纸张质量很好，翻阅起来手感舒适，字迹清晰，印刷精良，给人一种沉甸甸的学术感。我是一名数学系的教师，在教学和研究中，始终致力于将最前沿的数学思想和方法传达给学生。《泛函分析》这本书，是我近年来教学和研究中的得力助手。书中关于“度量空间”和“拓扑空间”的系统性介绍，为学生们理解各种分析空间奠定了坚实的基础。我特别欣赏书中对“完备性”的强调。完备性是巴拿赫空间的本质特征之一，它保证了柯西序列在空间中有极限，这对于解决很多存在性问题至关重要。书中通过Lp空间等具体例子，生动地展示了完备性的重要性。此外，书中对“线性算子”的深入分析，为学生们理解微分算子、积分算子等在方程求解中的作用提供了理论依据。我尤其看重书中对“谱理论”的讲解。谱理论是理解算子性质的关键，它能够揭示算子的特征值和特征向量，从而帮助我们理解方程的解的性质。这本书的逻辑严谨，内容丰富，语言精练，非常适合作为高等院校数学专业高年级本科生和研究生的教材。

评分☆☆☆☆☆

我是一名数学爱好者，虽然不是科班出身，但对数学理论的学习一直保持着浓厚的兴趣。近年来，我一直关注着数学领域的发展，尤其对那些能够揭示事物本质的抽象理论感到着迷。《泛函分析》这本书，以其深邃的思想和严谨的逻辑，深深地吸引了我。这本书的语言风格非常独特，既有数学论文的严谨性，又不乏学术专著的启发性。在阅读过程中，我仿佛置身于一个宏大的数学世界，与伟大的数学家们一起探索着数学的奥秘。书中对各种抽象概念的引入，并非生硬的堆砌，而是循序渐进，环环相扣，让我在不知不觉中接受了这些复杂的思想。我尤其欣赏书中对希尔伯特空间的讲解，它不仅是一个抽象的空间，更是许多实际问题的数学模型。书中对正交性、投影定理的精彩阐述，让我看到了数学在解决实际问题中的强大力量。比如，书中提到的傅里叶级数和傅里叶变换，就是希尔伯特空间在信号处理、量子力学等领域的重要应用。这让我深刻体会到，看似抽象的数学理论，其实离我们的生活并不遥远。此外，书中对算子理论的介绍，也让我大开眼界。算子，就是作用在函数空间上的“函数”，它们的研究涉及到微分方程、积分方程等众多数学分支。书中对有界线性算子、紧算子、自伴算子等性质的深入分析，让我看到了数学的深度和广度。虽然有些地方的证明过程对我来说仍然具有一定的挑战性，但我相信，随着我阅读的深入，我一定能够逐渐领悟其中的奥秘。这本书就像一位智慧的长者，用它深厚的学识，引领我走进数学的殿堂。

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作为一名对数学充满热情的业余研究者，我一直在努力寻找能够拓展我数学视野的书籍。《泛函分析》这本书，无疑是我近年来阅读过的最令人印象深刻的数学著作之一。它以一种宏大而精妙的视角，重新审视了数学中的“空间”和“变换”。书中关于“拓扑”的引入，为理解各种分析空间提供了一个统一的语言和框架。开集、闭集、邻域这些看似基础的概念，在这本书的阐释下，展现出了它们在刻画空间性质方面的强大威力。我尤其被书中对“紧致性”的讨论所吸引。紧致集不仅仅是“有界闭集”，它更是一种“局部性质决定全局性质”的强大工具。书中对紧致空间的一些基本性质（如紧致子集的闭性）的证明，让我领略到了数学推理的严谨和精巧。此外，书中对“度量空间”的系统性阐述，让我看到了将代数上的距离概念推广到更抽象空间的可能性。比如，书中对不同度量如何定义在同一个集合上，从而产生不同的拓扑结构，这一点的阐释，让我深刻理解了“拓扑等价”和“同胚”这些概念的重要性。我还在书中看到了对一些经典数学问题的泛函分析方法，例如，用泛函分析的工具来研究偏微分方程的解的存在性问题，这让我看到了数学理论的强大应用潜力。

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附录Ⅱ

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点集拓扑讲义（第4版O）/普通高等教育“十一五”国家级规划教材

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Banach空间上S的共轭算子S