欧氏几何对偶原理研究 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

陈传麟 著

图书标签:

• 欧氏几何
• 对偶原理
• 射影几何
• 几何学
• 数学
• 定理
• 证明
• 研究
• 数学史
• 基础研究

出版社： 上海交通大学出版社

ISBN：9787313070302

版次：1

商品编码：10501280

包装：精装

开本：16开

出版时间：2011-01-01

用纸：胶版纸

页数：311

字数：351000

内容简介

《欧氏几何对偶原理研究》内容有一是构建及论证欧氏几何对偶原理的存在（包括三维几何）；二是该原理的应用。《欧氏几何对偶原理研究》指出椭圆、双曲线、抛物线经“对偶”都可以当做“圆”；反之，圆经“对偶”都可以当做“椭圆”，或“双曲线”，或“抛物线”，《欧氏几何对偶原理研究》还指出存在“自对偶”的图形和“互对偶”的图形，等等。欧氏几何对偶原理的建立，使欧氏几何这棵参天古树绽开了一片新葩。
《欧氏几何对偶原理研究》可作为大专院校数学系师生和中学数学教师的参考用书。

目录

绪论
第1章 红几何
1.1 欧氏几何
1.2 欧氏几何的研究对象
1.3 “相交”和“平行”
1.4 “红点”和“红线”
1.5 “红线段”
1.6 “红角”
1.7 “红标准点”
1.8 两个红角的相等
1.9 两条红线段的相等
1.1O 红几何的逻辑基础
1.11 抽象的观点和集合的观点
1.12 红点、红线的坐标
1.13 红点、红线间的三种关系：“属于”、“介于”、“合于”
1.14 “红变换”
第2章 蓝几何
2.1 “蓝几何?
2.2 蓝几何中的“平行”
2.3 “蓝线段”
2.4 “蓝角”
……
第3章 黄几何
第4章 自对偶
第5章 互对偶
第6章 欧氏几何对偶原理的应用
人名中英文对照
参考文献
后记

前言/序言

欧氏几何对偶原理研究：空间结构的内在对称性探析 导言：重塑我们对几何空间的认知框架 几何学，作为人类理解和描绘物质世界形态与结构的基础学科，经历了数千年的演进。从古希腊欧几里得对平面和立体结构的严谨公理化描述，到十九世纪非欧几何的兴起，我们对空间本体的理解从未停止深化。然而，在看似坚不可摧的欧氏几何体系中，隐藏着一种深刻且优雅的内在联系——对偶性（Duality）。 本书旨在提供一个全面、深入且具有前瞻性的视角，对欧氏几何体系中对偶原理的起源、形式化表达、拓扑蕴含及其在现代数学分支中的应用进行系统性的梳理与剖析。我们不满足于将对偶性视为一种偶然出现的、孤立的数学现象，而是将其提升至一种核心的哲学与结构洞察的高度，探究它如何揭示欧氏空间中点与线、面与体之间相互依存的辩证关系。 第一部分：对偶性的哲学基石与历史溯源 对偶性的概念并非凭空产生，它根植于人类对结构对称性和完备性的不懈追求。本部分将首先追溯对偶思想在早期数学萌芽中的体现，并将其与古希腊的比例和谐观念进行对比。 1.1 射影几何的诞生与对偶概念的明确化 对偶原理的真正成熟，标志着几何学从纯粹的度量转向了对“关系”和“连通性”的关注。我们将详细考察笛卡尔坐标系出现之前，特别是十八世纪以来，以庞斯莱（Poncelet）和波利尼（Bolyai）为代表的数学家如何系统地构建射影几何。射影几何的出现，使得对偶性从一种经验观察转变为一套严谨的代数规则：如果一个定理是通过交换“点”与“线”（以及更高维度的元素）的操作后仍保持真确，则称之为对偶定理。我们将通过具体的平面几何例子，如关于点的集合（曲线）与关于线的集合（包络）的对偶关系，展示这种原理的威力。 1.2 欧氏几何中的“隐性”对偶 虽然对偶性在射影几何中表现得最为鲜明，但其影子早已存在于欧氏几何的基石之中。本章将探讨如何从欧氏几何的公理体系出发，识别出那些看似独立的概念，实则遵循着潜在的对偶结构。这包括对垂线、平行性以及距离概念的重新审视，并论证欧氏几何作为射影几何的一个特例，其内部结构的对称性如何被度量概念所“隐藏”或“约束”。 第二部分：对偶原理的数学形式化表达 要深入理解对偶性，必须建立其精确的数学语言。本部分将聚焦于如何将对偶性从概念层面提升到严格的代数和拓扑框架内。 2.1 射影空间与对偶子空间 本书将详细介绍射影空间 $mathbb{P}^n$ 的定义，并利用齐次坐标系（Homogeneous Coordinates）来系统地表示点与超平面。我们将引入对偶射影空间 $mathbb{P}^{n}$ 的概念，并清晰地论证 $mathbb{P}^n$ 与 $mathbb{P}^{n}$ 之间的结构同构性。核心在于展示如何通过一个非奇异二次型（或更一般的对偶张量）将一个点集映射到其极线集，反之亦然。 2.2 对偶性的代数实现：张量与二次型 在更高维度的欧氏空间中，对偶性往往表现为张量运算。我们将探讨正交群 $O(n)$ 对欧氏空间的作用，并分析在这一群作用下，哪些几何对象保持不变，哪些对象之间存在对偶关系。具体而言，本章将深入分析二次型在定义点集（如球、椭圆）及其极（Polar）几何结构中的关键作用，并将其与平面几何中的对偶概念联系起来。我们将展示如何使用矩阵的伴随矩阵或逆矩阵来显式地构造对偶变换。 2.3 拓扑视角下的对偶性：欧氏空间与球面几何 将欧氏空间中的概念提升到拓扑层面，可以更清晰地看到对偶性的本质。本部分将分析如何通过球极投影（Stereographic Projection）将欧氏平面 $mathbb{R}^2$ 上的直线与圆，映射到三维球面 $mathbb{S}^2$ 上的“大圆”或“小圆”。在这个映射下，点与线的对偶关系转化为球面上的点与平面（或小圆）之间的关系，这为理解欧氏空间中的对偶性提供了直观的几何模型。 第三部分：对偶原理在经典几何学中的应用与延伸 对偶性并非一个抽象的理论构造，它在解决具体的几何问题时展现出惊人的效率和洞察力。 3.1 构造性几何中的应用：圆锥曲线的对偶描述 我们将详细分析对偶性在圆锥曲线理论中的应用。一个圆锥曲线可以被定义为点的轨迹（如椭圆的定义），也可以被定义为线的包络（如一系列相切直线的边界）。我们将证明，关于点的定义所得到的全部性质，都可以在不改变证明结构的前提下，通过交换“点”与“切线”得到关于线的对应性质。这包括对焦点、准线以及极点-极线对的对偶处理。 3.2 欧氏几何的局部对偶：多面体与施莱格尔图 对于三维欧氏空间，对偶性体现在多面体的结构上。我们将探讨柏拉图多面体（正多面体）的对偶关系，如立方体与八面体的对偶。更进一步，我们将研究施莱格尔图（Schlegel Diagrams）如何将多面体及其对偶关系，清晰地投影到二维平面上，从而利用平面几何的对偶原理来推导三维凸体的性质。 3.3 对偶性与欧氏变换群 本章将探讨对偶性在欧氏运动群（刚体变换）下的不变性。我们将分析哪些几何构造在旋转和平移下保持对偶关系，以及对偶性如何帮助我们理解欧氏空间中固定点定理（如旋转轴的存在性）的几何意义。 结语：对偶性作为数学统一性的桥梁 对偶原理超越了具体的几何形式，它揭示了数学结构中普遍存在的对称与互补规律。通过对欧氏几何对偶性的深入研究，我们不仅巩固了对经典几何的理解，更获得了洞察代数几何、微分几何乃至拓扑学中更复杂对偶结构的钥匙。本书旨在激发读者从对偶性的角度重新审视数学中的每一个概念，认识到结构之美往往蕴含在看似对立的元素之间的精妙平衡之中。

评分☆☆☆☆☆

老实说，我拿到这本书的时候，首先关注的是它是否能提供一些新的视角来解读我们从小就接触的几何概念。毕竟，对偶原理在许多人眼中，可能只是一个晦涩的数学术语。我特别留意了作者在引言中是如何界定“欧氏几何”的边界，以及他们打算如何在这种相对固定的、以距离和角度为核心的体系内，构建出“对偶”这一灵活的结构。我希望能看到具体的几何构造图示和严格的代数证明，而非仅仅是概念的罗列。如果这本书能有效地将抽象的对偶思想，具体化到笛卡尔坐标系下的某个方程转换上，那将是极大的成功。我设想，它或许会探讨在保持欧氏度量不变的前提下，如何通过某种变换机制，使得原本的“点”在对偶后的世界里，自然而然地扮演“线”的角色。这种跨越维度的思维转换，正是几何学魅力所在，希望这本书能将这种魅力展现得淋漓尽致，而不是将其淹没在冗长的符号推导中。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和纸张质量给我的第一印象是：这是一本可以放在书架上、经得起时间考验的学术参考书。纸张的厚度和印刷的清晰度都属于上乘，这对于需要反复查阅和做笔记的读者来说至关重要。我注意到书的侧边似乎有较宽的留白，这通常意味着作者或编辑鼓励读者在书页边缘进行批注和思考延伸。我个人推测，在内容上，作者很可能花费了大量篇幅来区分欧氏对偶与其他几何体系（比如射影几何或微分几何）中对偶概念的异同。这种细致的界定，对于避免概念混淆至关重要。如果书中能提供一个清晰的对比表格，说明在不同几何框架下，对偶映射的具体形式有何不同，那对我的学习将有莫大的帮助。总而言之，从物理形态上判断，这是一本为深度阅读和长期研究而准备的工具书。

评分☆☆☆☆☆

这本《欧氏几何对偶原理研究》的封面设计和排版风格，首先给我的感觉就是相当的严谨和学术化。那种带着一丝古典气息的字体选择，搭配着冷静的蓝灰色调，让人一眼就能察觉到这并非一本轻松的读物。我翻开目录，看到里面涉及的章节标题，比如“射影变换下的对偶性保持”、“欧氏空间中点与线的对偶关系探讨”等等，立刻意识到这可能是一本深入剖析几何学基础理论的专著。我本身对数学，尤其是经典几何学抱有浓厚的兴趣，总觉得欧氏几何的每一个看似基础的公理背后，都隐藏着更深层的逻辑结构。这本书的结构安排显然是循序渐进的，从基础概念的梳理到复杂定理的推导，这种扎实的学术路径，对于想要系统性学习对偶原理的读者来说，无疑是极大的福音。我期待它能清晰地阐明，在欧氏几何的框架下，点与线、面与体之间的那种优雅的、近乎镜像的对应关系是如何建立并发挥作用的。从装帧的质感来看，出版社显然是下了功夫的，这表明了他们对这部作品学术价值的认可，也让人对内文的专业性和准确性充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

从书名中“研究”二字的分量来看，我预期这本书的内容深度绝非科普层面，而是直指该领域的前沿或核心难题。我希望作者不仅仅是复述已有的经典结论，更能展示出对于这些结论的重新审视和深入挖掘。例如，在欧氏空间中，对偶原理的有效性和限制性在哪里？是否存在某些欧氏结构下的特定情形，使得对偶操作变得异常复杂甚至失效？如果作者能展示出他们独特的思考路径，比如通过引入某些特定的坐标系或特定的变换群来简化或揭示对偶关系的本质，那这本书的价值就会大大提升。我更期待看到对“欧氏性”的坚持——即对偶原理的构建过程，必须严格限定在欧氏几何的公理系统之内，并探讨这种限制带来的数学美感或局限性。这本书理应是一次对经典理论的致敬与再创造，而非简单的知识搬运工。

评分☆☆☆☆☆

作为一名业余爱好者，我对纯粹的理论推导有时会感到吃力，所以我更看重作者的叙述口吻和对例子的选取。如果这本书能用一种既不失严谨性，又能让初学者感到亲近的方式来阐述对偶原理，那它无疑是成功的。我希望看到的，是那种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的阅读体验。比如，当介绍完一个核心对偶定理后，能否立刻跟上一个简洁明了的、用欧氏几何中的基本图形（如三角形、圆锥曲线等）来验证的例子？这样的设计能极大地增强读者的理解和记忆。我尤其关注作者是否会涉及到一些关于“不变性”的讨论，因为对偶性的核心就在于某种变换下，结构保持不变的优雅。如果能用通俗的语言解释为何这种“不变”对于几何问题的解决如此重要，那就太棒了。毕竟，理论的价值最终要体现在其应用和解释力上。

评分☆☆☆☆☆

帮同事的孩子买的，很多网站都没有这本书。

评分☆☆☆☆☆

不错哦，没有推荐错！

评分☆☆☆☆☆

不错哦，没有推荐错！

评分☆☆☆☆☆

不错哦，没有推荐错！

评分☆☆☆☆☆

帮同事的孩子买的，很多网站都没有这本书。

评分☆☆☆☆☆

不错哦，没有推荐错！

评分☆☆☆☆☆

不错哦，没有推荐错！

评分☆☆☆☆☆

不错哦，没有推荐错！

评分☆☆☆☆☆

不错哦，没有推荐错！