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徐树方，钱江 著

图书标签:

• 矩阵计算
• 线性代数
• 数值分析
• 科学计算
• 高等数学
• 矩阵理论
• 算法
• 数学建模
• 工程数学
• 计算方法

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040319668

版次：1

商品编码：10695798

包装：平装

丛书名： 现代数学基础

开本：16开

出版时间：2011-06-01

用纸：胶版纸

页数：304

内容简介

《矩阵计算六讲》介绍了矩阵计算这门学科近十年来发展起来的新方法和新理论。《矩阵计算六讲》共分6 讲，内容包括标准schur分解、广义schur 分解和周期schur分解的计算，特征值的排序问题，多项式之根的快速求法，奇异值分解的计算，求解线性方程组和特征值问题的krylov子空间方法，以及求解特征值问题的共轭梯度法。
《矩阵计算六讲》在选材上，在注重基础性和实用性的前提下，重点放在了反映该学科的最新进展上；在内容的处理上，在介绍方法的同时，尽可能地阐明方法的设计思想和理论依据，并对有关的结论尽可能地给出严格而又简洁的数学证明；在叙述表达上，力求清晰易读，便于教学与自学。
《矩阵计算六讲》可作为综合性大学、理工科大学及高等师范院校计算数学、应用数学、工程计算等专业高年级本科生和研究生的教材或教学参考书，也可供从事科学与工程计算的科技人员参考。

目录

前言
第一讲schur 分解的计算1
1.1 标准schur 分解的计算
1.1.1 householder 变换和givens 变换
1.1.2 schur 分解定理
1.1.3 实schur 分解
1.1.4 qr 方法
1.1.5 实schur 标准形之对角块的排序问题
1.2 广义schur 分解的计算
1.2.1 广义schur 分解定理
1.2.2 广义实schur 分解
1.2.3 qz 方法
1.2.4 广义实schur 标准形之对角块的排序问题
1.3 周期schur 分解的计算
1.3.1 周期schur 分解定理
1.3.2 周期实schur 分解
1.3.3 周期qz 方法
1.3.4 周期实schur 标准形之对角块的排序问题
习题

第二讲多项式之根的快速求法
2.1 引言
2.1.1 基本问题
2.1.2 基本理论
2.2 newton-horner 方法
2.2.1 newton 迭代法简介
2.2.2 newton-horner 方法
2.3 快速qr 方法
2.3.1 友矩阵
2.3.2 hn 类矩阵和它的参数化
2.3.3 单步位移的快速qr 迭代
2.3.4 双重步位移的隐式快速qr 迭代
2.3.5 具体实现时的几个问题
习题

第三讲奇异值分解的计算
3.1 基本概念和性质
3.2 golub-kahan svd 算法
3.2.1 对称qr 方法概要
3.2.2 golub-kahan svd 算法
3.3 分而治之法
3.3.1 求解对称特征值问题的分而治之法
3.3.2 计算奇异值分解的分而治之法
3.4 jacobi 方法
3.4.1 求解对称特征值问题的jacobi 方法
3.4.2 计算奇异值分解的jacobi 方法
3.5 二分法
3.5.1 求解对称特征值问题的二分法
3.5.2 计算奇异值的二分法
习题

第四讲krylov 子空间方法i
4.1 引言
4.2 krylov 子空间
4.2.1 krylov 子空间及其性质
4.2.2 arnoldi 分解
4.2.3 lanczos 分解
4.3 rayleigh-ritz 方法
4.3.1 rayleigh-ritz 投影方法
4.3.2 rayleigh 商的最佳逼近性
4.4 arnoldi 方法
4.4.1 经典arnoldi 算法
4.4.2 隐式重启arnoldi 算法
4.4.3 位移求逆技术
4.5 lanczos 方法
4.5.1 经典lanczos 算法
4.5.2 收敛性理论
4.5.3 重启lanczos 算法
习题

第五讲krylov 子空间方法ii
5.1 引言
5.2 共轭梯度法
5.2.1 基本迭代格式
5.2.2 收敛性分析
5.3 极小剩余法
5.3.1 minres 算法
5.3.2 收敛性分析
5.4 广义极小剩余法
5.4.1 gmres 算法
5.4.2 收敛性分析
5.5 拟极小剩余法
5.5.1 非对称lanczos 方法
5.5.2 qmr 算法
5.6 投影类方法
5.6.1 bcg 方法
5.6.2 cgs 方法
5.6.3 bicgstab 方法
习题

第六讲共轭梯度法
6.1 引言
6.2 最优步长的计算
6.3 最速下降法
6.3.1 经典最速下降法
6.3.2 收缩最速下降法
6.3.3 梯度型同时迭代法
6.3.4 预优最速下降法
6.4 共轭梯度法
6.4.1 共轭梯度法
6.4.2 收缩共轭梯度法
6.4.3 共轭梯度型同时迭代法
6.4.4 预优共轭梯度法
6.5 预优梯度型子空间迭代法
6.5.1 pgs 迭代法
6.5.2 收敛性分析
习题
符号和定义
参考文献

好的，这是一份为一本名为《矩阵计算六讲》的书籍撰写的图书简介，内容详细且不包含该书的原有信息，旨在吸引对相关领域有兴趣的读者。 --- 图书简介：《线性代数：从理论基石到现代应用》 聚焦基础理论与前沿实践的深度探索 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的线性代数学习路径。我们摒弃了传统教材中过分侧重计算技巧而忽视理论深度的弊端，转而将重点放在概念的严谨定义、核心定理的内在联系以及这些理论在现代科学与工程领域中的实际应用上。 本教材不仅仅是代数运算的工具箱，更是一座连接纯数学抽象思维与实际问题解决能力的桥梁。它为那些希望真正掌握线性代数精髓，而非仅仅停留在解题层面的学生、研究人员和工程师们量身打造。 --- 第一部分：理论的坚实地基 (Foundational Rigor) 第一章：向量空间与线性映射的精妙结构 本章将从最基本的向量空间概念入手，构建起整个线性代数的宏观框架。我们不会止步于 $mathbb{R}^n$ 的直观理解，而是深入探讨抽象向量空间的定义、子空间的概念及其在不同代数结构中的体现。 核心内容包括： 基与维度 (Basis and Dimension)： 阐述如何通过一组“基”来唯一地表示空间中的任何元素，并精确界定空间的“大小”（维度）。重点讨论了基变换的意义——理解坐标系的选择如何影响观测结果。 线性映射 (Linear Maps)： 深入分析函数如何保持线性结构。我们将矩阵视为一种特定的线性变换，探究其核（Kernel/Null Space）与像（Image/Range）的几何和代数意义。这里强调的是变换的本质，而非单纯的矩阵乘法。 同构 (Isomorphism)： 揭示不同看似不同的向量空间在代数结构上的等价性，这是理解抽象数学思维的关键一步。 第二章：矩阵代数与行列式的深层几何意义 本章重审矩阵的运算规则，但视角完全转向其几何表征。我们探讨矩阵乘法如何代表复合变换，并对行列式这一看似简单的数值赋予深刻的几何内涵。 核心内容包括： 矩阵的秩 (Rank) 与线性方程组的解： 利用秩的概念，系统地分析线性方程组的解的存在性与唯一性，深入探讨行空间、列空间与零空间之间的深刻联系（秩-零化度定理的几何解释）。 行列式的计算与解释： 行列式不仅是判断矩阵可逆性的工具，更是衡量线性变换对体积（或面积）缩放因子的量度。本章详细剖析了莱布尼茨公式和代数余子式的几何直观。 矩阵的分解视角： 引入矩阵分解的思想，为后续更高级的结构分析做好铺垫。 --- 第二部分：结构与分解的艺术 (Structure and Decomposition) 第三章：特征值、特征向量与不变子空间 特征值问题是线性代数中最具应用价值的部分之一。本章侧重于理解“不变性”的概念，即在特定变换下保持方向不变的特殊向量。 核心内容包括： 代数重数与几何重数： 探讨特征值的多重性如何决定了我们能否对矩阵进行对角化处理。 相似性与对角化： 解释相似变换的本质，以及对角化如何简化复杂的矩阵运算。深入分析不可对角化的情况及其处理方法。 循环子空间与最小多项式： 引入更高阶的代数工具，用以分析那些无法完全对角化的矩阵结构。 第四章：规范形——矩阵的“身份证件” 如果对角化是理想状态，那么规范形（Canonical Forms）则是描述任意线性算子结构的终极工具。本章专注于识别和构造这些规范形式。 核心内容包括： 若尔当标准形 (Jordan Normal Form, JNF)： 详细构建 JNF 的理论基础，包括若尔当块的结构和如何利用广义特征向量来构造这些块。理解 JNF 如何揭示一个矩阵在所有相似变换下的“最简洁”表示形式。 有理规范形（Rational Canonical Form）： 在不依赖于域的代数闭合性的前提下，如何构造一个具有唯一性的规范形，这对于计算和涉及非代数闭合域的应用至关重要。 --- 第三部分：度量、内积与稳定性 (Geometry, Metrics, and Stability) 第五章：内积空间、正交性与酉变换 本章将理论框架从依赖于坐标的欧几里得空间扩展到更抽象的内积空间，引入度量（距离、角度）的概念，这是几何分析的基础。 核心内容包括： 内积的定义与性质： 讨论不同类型的内积（如 $mathbb{R}^n$ 上的标准内积、函数空间上的积分内积）。 正交基与投影定理： 阐述 Gram-Schmidt 正交化过程的几何直觉，以及正交投影在最小二乘问题中的核心地位。 自伴随算子 (Adjoint Operators) 与谱定理： 深入探究实对称矩阵和复厄米特矩阵的特殊性质，以及谱定理如何保证它们始终可以被酉对角化，这是量子力学和优化理论的基石。 第六章：矩阵分析与数值稳定性 本章将理论与现代计算实践相结合，讨论在实际操作中矩阵性质的“敏感度”问题。 核心内容包括： 矩阵范数 (Matrix Norms)： 从算子范数到 Frobenius 范数，理解如何量化矩阵的大小和变换的“强度”。 矩阵的条件数 (Condition Number)： 深入解释条件数如何衡量一个线性系统对输入微小扰动的敏感程度。高条件数意味着数值计算的内在不稳定性。 奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD)： SVD 作为最强大的矩阵分解之一，本章将阐述其几何意义（旋转、拉伸、再旋转）以及在数据压缩、降维和伪逆计算中的不可替代的作用。 --- 目标读者 本书适合数学、物理学、计算机科学（尤其是机器学习和数据科学）、信号处理、控制理论等领域的本科高年级学生、研究生以及需要系统回顾和深入理解线性代数理论的专业人士。通过本书，读者将构建起一个稳固且富有洞察力的线性代数知识体系，为后续的专业学习和研究打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本《矩阵计算六讲》在我书架上占据了一个显眼的位置，我常常会不经意地被它吸引，想要翻开来细细品读。尽管我目前还停留在初步的浏览阶段，但书中透出的那种探索精神和严谨态度已经让我非常着迷。我注意到作者在引言部分强调了矩阵计算在现代科学技术中的重要性，这让我对即将展开的学习充满了期待。我相信，通过这本书的系统讲解，我能够对矩阵的性质、运算以及其在解决实际问题中的强大能力有更深刻的认识。我尤其关注书中可能包含的关于数值稳定性和算法效率的讨论，因为这对于实际应用至关重要。一个好的矩阵计算库或算法，往往能够决定一个科学研究或工程项目的成败。希望这本书能够不仅提供理论知识，更能培养我分析和解决实际问题的能力，让我能够灵活运用矩阵的知识去应对各种挑战。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的第一印象是沉静而有力，封面设计没有过多花哨的装饰，却透露出一种内敛的智慧。我还没来得及深入探索书中的内容，但光是触感和重量，就让我感受到它是一本值得认真对待的学术著作。我非常期待这本书能为我打开矩阵计算的广阔世界。我猜测书中会涵盖矩阵的基本概念，例如向量空间、线性变换，以及它们与矩阵的紧密联系。更让我感到兴奋的是，我希望能够理解矩阵在解决实际问题中的强大作用，比如在物理学、工程学、经济学等领域的应用。这本书是否能将抽象的数学理论与具体的应用场景巧妙结合，是我最期待的。我渴望能够通过这本书，提升自己的逻辑思维能力和数学建模能力，让我能够更好地理解和分析复杂系统。

评分☆☆☆☆☆

这本书是一份厚重的数学宝藏，散发着知识的光芒。虽然我还没有完全投入到学习的海洋中，但书本传递出的信息已经足够让我产生强烈的共鸣。作者的写作风格似乎非常注重逻辑的严谨性和表达的清晰性，这一点从目录的编排和章节标题的设计就能窥见一斑。我预感，这本书会带领我深入理解矩阵的奥秘，从基本的定义和性质，到更复杂的理论和算法。特别是关于线性方程组的求解、矩阵的分解方法，以及它们在不同领域的应用，这些都是我一直想要深入了解的方面。我希望这本书能够教会我如何用数学的语言去描述和解决现实世界的问题，让我在未来的学习和工作中能够游刃有余，充分发挥矩阵计算的威力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的外观设计非常专业，给人一种信赖感，让人觉得作者在内容上一定也下了足够的功夫。虽然我还没有开始细读，但仅凭书的整体感觉，我就能感受到其中蕴含的知识深度。我期待书中能够深入浅出地讲解矩阵的核心概念，例如矩阵的定义、维度、阶数，以及各种基本的矩阵运算，如加法、减法、乘法等。我更希望能看到作者如何将这些基础知识串联起来，构建起更复杂的矩阵理论体系。例如，关于矩阵的秩、迹、行列式这些重要属性，以及它们在理论推导中的作用，这些都是我非常感兴趣的部分。我相信，通过这本书的学习，我能够建立起一个扎实的矩阵理论基础，为我今后的进一步研究打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就足够吸引我了，简洁大方，以一种抽象的几何图形来暗示主题，让人立刻感受到数学的严谨与美感。拿到手里，纸张的质感也很不错，厚实且带有微微的纹理，翻阅起来手感极佳，这对于我这种喜欢纸质书的人来说，无疑是加分项。我已经迫不及待地想要打开它，虽然我还没有真正深入阅读，但仅仅是目录和前言部分，就展现出了作者深厚的功底和清晰的思路。感觉这本书不仅仅是知识的堆砌，更像是一场精心策划的数学之旅，从基础的概念逐步深入，引导读者一步步攀登理论的高峰。我特别期待书中对一些经典矩阵算法的讲解，比如奇异值分解（SVD）和特征值分解（EVD），我一直对这些概念充满好奇，希望这本书能够用一种易于理解的方式为我揭开它们的神秘面纱，并且能够看到一些实际应用的案例，比如在图像处理、机器学习中的应用，这样才能更好地理解理论的价值。

评分☆☆☆☆☆

哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈

评分☆☆☆☆☆

讲解的比较详细，正在啃

评分☆☆☆☆☆

很好的数学专业书，对几何和拓扑的概念讲解得很清晰，趁活动拿下。

评分☆☆☆☆☆

书拿到很久了，纸张还可以，总体很满意

评分☆☆☆☆☆

有点深度，需要再准备点基础知识看。

评分☆☆☆☆☆

经典教材就没什么好说的了吧，搞机器学习，数学先要过关，普通高数的自然延伸

评分☆☆☆☆☆

丘老师的书，应该很好，非常喜欢丘老师讲的课，也喜欢丘老师写的书。还没开始看。就是这本书有点贵。

评分☆☆☆☆☆

此书将数论中的精华（elements）娓娓道出，对概念的历史来源和解释都十分清晰。每一小节都附有3,4道容易解决的习题，帮助理解复习。我完全没学过数论，一个星期也读了60页，欲罢不能。总而言之，这是一本很好的入门书，推荐。该书的作者是证明了三素数定理的Vinogradov,他基本解决了奇数Goldbach猜想。书的特点是短小，习题难。看这本书必须好好做题。很多习题源自一些研究论文，并且被IMO或CMO命题人员经常改编。这本书值得精读。作者如果再加一点他擅长的三角和估计这方面的内容介绍就更好了。送货速度快，包装也很好。其实我不是学数学的。也不打算以数学为职业，当然更没有民科们的野心，只是有一些对于数学的爱好而已。 数论，抽象代数，概率论，数理统计，应该来说是我在数学里面最为喜欢的东西。 我觉得这本书还是没有让我们落入到具体的细节当中去。我觉得这是最重要，也是最为关键的地方。有一个朦朦胧胧的想法，那就是如果在踏入一门学科之初就深入到细节当中去的话，很难对于这门学科未来的走向有一个很好的把握，也很难谈得上对于这门学科的透彻的理解。我认为这本书是最好的初等数论教材 没有之一，现在又出第三版了，我马上入手了。证明详细，习题丰富，对后续学习抽象代数，高等代数也有很大的帮助。在学习了一定的分析课程之后，然后上手解析数论就不会很吃力。事实上潘氏兄弟后续的还有代数数论，解析数论基础，素数定理的初等证明，阶的估计，模形式讲义等数论的一条龙基础教材，只需要从本书开始逐一学完这一系列教材，就能打下很好的数论基础了。

评分☆☆☆☆☆

人们吃快餐，开快车，走快步，行色匆匆，争分夺秒谋项目，心急火燎拼业绩。生活节奏快了，活动半径大了，但人与人之间交往反而浅了。