数论1：Fermat的梦想和类域论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[日] 加藤和也 等 著，胥鸣伟，印林生 译

图书标签:

• 数论
• 费马大定理
• 类域论
• 代数数论
• 高等数学
• 数学分析
• 抽象代数
• 数域
• 伽罗瓦理论
• 丢番图方程

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040263602

版次：1

商品编码：10005389

包装：平装

丛书名： 现代数学基础

开本：16开

出版时间：2009-06-01

用纸：胶版纸

页数：298

字数：450000

正文语种：中文，英语

内容简介

　　《数论1：Fermat的梦想和类域论》起点低，但内容丰富，包括了现代数论的基本知识，如：椭圆曲线、p进数、代数数域、局部-整体方法等。该书的主要目标是证明数论的高峰之一：类域论。在以往的数论书籍中，代数数论、椭圆曲线、类域论是分开的三《数论1：Fermat的梦想和类域论》，但《数论1：Fermat的梦想和类域论》在有限的篇幅内，将三者巧妙地融为一体，使读者能很快地达到数论的一个高峰。开篇通过介绍Fermat的工作，给出了现代数论的一些定理的背景和意义。对于初学者难以掌握的类域论，专门有一章介绍类域论的背景和主要定理的意义。类域论的主要定理通过应用函数计算Brauer群而得到证明。《数论1：Fermat的梦想和类域论》的另一特点是先承认一些结论，然后推导出一些进一步的结果，而将它们的证明放在一起一个一个地进行。
　　《数论1：Fermat的梦想和类域论》的第零章通过介绍Fermat的工作和结果，从而窥见丰富的、深奥的数的世界。一章以Fermat的工作为起点，介绍椭圆曲线的基本知识。第二章介绍p进数及二次曲线的Hasse原理。第三章介绍了涵数在整点的特殊值。这几章适合于仅知道群、环、域概念的低年级本科生。后面几章关于代数数论和类域论的内容适合于高年级本科生和研究生学习。

作者简介

　　加藤和也，1952年出生，1975年毕业于东京大学理学院数学系，现任京都大学研究生院理学研究科教授，专业：数论。
　　黑川信重，1952年出生，1975年毕业于东京工业大学理学院数学系，现任东京工业大学研究生院理工学研究科教授，专业：数论。
　　斋藤毅，1961年出生，1984年毕业于东京大学理学院数学系，现任东京大学研究生院数理科学研究科教授，专业：数论。

内页插图

目录

中文版序言
前言
写在单行本发行之际
理论的概要及目标
数学记号与用语
第零章 序——Fermat和数论
§0.1 Fermat以前
§0.2 素数与二平方和
§0.3 p=x2+2y2，p=x2+3y2
§0.4 Pell方程
§0.5 3角数，4角数，5角数
§0.6 3角数，平方数，立方数
§0.7 直角三角形与椭圆曲线
§0.8 Fermat大定理
习题
第一章 椭圆曲线的有理点
§1.1 Fermat与椭圆曲线
§1.2 椭圆曲线的群结构
§1.3 Mordell定理
小结
习题
第二章 二次曲线与p进数域
§2.1 二次曲线
§2.2 同余式
§2.3 二次曲线与二次剩余符号
§2.4 p进数域
§2.5 p进数域的乘法构造
§2.6 二次曲线的有理点
小结
习题
第三章 ζ
§3.1 ζ函数值的三个奇特之处
§3.2 在正整数处的值
§3.3 在负整数处的值
小结
习题
第四章 代数数论
§4.1 代数数论的方法
§4.2 代数数论的核心
§4.3 虚二次域的类数公式
§4.4 Fermat大定理与Kummer
小结
习题
第五章 何谓类域论
§5.1 类域论的现象的例子
§5.2 分圆域与二次域
§5.3 类域论概述
小结
习题
第六章 局部与整体
§6.1 数与函数的惊人类似
§6.2 素点与局部域
§6.3 素点与域扩张
§6.4 阿代尔(adele)环与伊代尔(idele)群
小结
习题
第七章 ζ(Ⅱ)
§7.1 ζ的出现
§7.2 Riemann ζ 与Dirichlet L
§7.3 素数定理
§7.4 Fp[T]的情形
§7.5 Dedekind ζ与Hecke L
§7.6 素数定理的一般程式
小结
习题
第八章 类域论(Ⅱ)
§8.1 类域论的内容
§8.2 整体域和局部域上的可除代数
§8.3 类域论的证明
小结
习题
附录A Dedekind环汇编
§A.1 dedekind环的定义
§A.2 分式理想
附录B Galois理论
§B.1 Galois理论
§B.2 正规扩张与可分扩张
§B.3 范与迹
§B.4 有限域
§B.5 无限GaloiS理论
附录C 素数的威力
§C.1 Hensel引理
§C.2 Hasse原理
问题解答
习题解答
索引

精彩书摘

　　表现为整数比的数是有理数，我们看到它们在由实数构成的数直线上没有空隙地满满地排列着，但实际上却存在像、根号5这样的不是有理数的实数。这个事实用我们的肉眼难于判断，而虽然只有经古希腊数学所得到的所谓“证明”方法之后才认知了这个事实，但据说Pythagora8本人对于亲自证明了无理数存在这件事则深感惊恐，因不知对此该如何解释而苦恼。（Pythagoras把无理数存在这件事看成是神的失败，从而禁止弟子们向外人说出此事，据传说，有破坏了禁令的弟子因冒犯神灵罪被乘船抛海而丧命。）
　　公元前3世纪左右写就的集古希腊数学之大成的Euclid的《几何原本》中，关于数方面写了“存在无限多个素数”的证明以及关于最大公约数、最小公倍数等等（《几何原本》全部13卷中的第7卷和第9卷）。在《几何原本》中还谈及上述的无理数存在问题，即关于“以整数比（有理数）为出发点如何得出实数”这样的问题，从而展开了更高层次的实数理论的讨论（《几何原本》第5卷）。这个使PythagoraS烦恼的，而《几何原本》却讨论了很多的“从有理数为出发点如何得出实数”的问题，在很远以后的19世纪才给出了完全的解答（参看《数论1:Fermat的梦想和类域论》§2。4）。

前言/序言

　　在本书出版的1996年前的200年，即1796年，Gauss将现代数论大大地向前推进了一步，这距今实在是有些年头了。当时正值十几岁年龄段最后一年的Gauss，在是年的3月30日，发现了正十七边形的作图法，4月8日又证明了被Gauss自己称为“瑰宝”的“二次剩余互反律”（参看本书的§2.2），5月31日则提出了关于素数分布的“素数定理”的猜想，7月10日又证明了所有自然数可表示为不多于三个的三角数之和本书的§0.5），到了10月1日则得到了对以后年代产生极大影响的关于有限域系数的方程的解的个数的结果，等等许多的研究。所有这些都写在了本书及后续的《数论2》中。
　　在由简单地列举1，2，3，4，…而数出来的数世界里，隐藏着许多使得年轻的Gauss着迷的奇特东西，而一个时代的发现呼唤出下一个时代的更为深刻的发现。100年后的1896年，上述的素数定理得到了证明，大约120年后，二次剩余互反律在“类域论”中得到了发展，大约150年后，Weil在考察了上述10月1日的GaUSS的结果后，提出了对于20世纪的代数几何给予极大影响的Weil猜想。Gauss所琢磨过的瑰宝经后来人们的琢磨更增添了光彩。即便在声称地球的秘境几乎已探索穷尽了的现代，在数的世界里所充满的谜还远未被探索清楚，使我们感到我们所有的并非是一个浅底的自然界，而是显示出她的无限丰厚。
　　在本书中，我们不仅重视数所具有的奇特性质，而且也在探索现代的数论，想要描绘出在它的深处的丰富多彩的世界。由于作者们才疏学浅，有许多力所不能及之处，如果读者们只要能因此而感受到数的不可思议之处，以及自然界的丰富多彩，我们就颇感荣幸了。

好的，这是一份关于一本假想图书的详细简介，书名设定为《数论1：Fermat的梦想和类域论》，但内容完全不涉及该书名的具体主题。 --- 书名：《数学分析的基石：极限、积分与收敛》 内容简介 本书旨在为初学者和希望巩固基础的读者，提供一套严谨、透彻且富有启发性的数学分析入门指南。我们深知，数学分析是现代高等数学的根基，它以逻辑的严密性和概念的深刻性著称，是连接微积分直觉与现代数学严谨性的桥梁。本书聚焦于该领域最核心的三个概念：极限的精确定义、黎曼积分的构建，以及序列与级数的收敛性。 第一部分：极限的严密构建——从直觉到ε-δ语言 本部分是全书的逻辑起点。我们不会停留在微积分中对极限的直观理解，而是系统地引入“ε-δ”语言，这是数学分析的语言。 第一章：预备知识与拓扑基础 我们将从实数系的完备性这一核心性质出发，这是建立分析学的基础。接着，我们将深入探讨开集、闭集、邻域以及紧集的概念。这些拓扑概念对于理解极限的局部行为至关重要。例如，通过对紧集的讨论，我们可以更自然地理解Bolzano-Weierstrass定理，为后续的收敛性分析打下坚实的基础。 第二章：序列的极限 序列（数列）是分析学中最基本的动态概念。本章详细阐述了序列收敛的ε-N定义。我们不仅会证明诸如单调有界序列必收敛等经典定理，还将深入探讨Cauchy序列的概念。Cauchy收敛准则的引入，使得我们能够在不引用实数完备性（即不预设极限存在）的情况下，判断一个序列是否具有收敛的潜力。此外，我们将讨论子序列的性质，特别是Bolzano-Weierstrass定理在序列空间中的具体应用。 第三章：函数的极限与连续性 本章将函数极限的讨论提升到与序列极限同等的严谨程度。我们将详细剖析函数在某一点的极限以及在无穷远处的极限的ε-δ表述。在此基础上，我们定义了函数在一点的连续性，并将其推广到区间上的连续性。连续函数的性质是分析学中最为强大的工具之一，例如，我们将证明介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem），这些定理的证明完全依赖于我们对连续性定义的精确把握。 第二部分：黎曼积分的构建与性质 积分是分析学的另一个核心支柱，本部分的目标是将“求面积”的直观概念转化为一个结构严谨的数学操作。 第四章：黎曼和的定义 我们从引入“分割”和“上和”、“下和”开始，逐步构建黎曼积分的框架。本章的重点在于理解积分的“可积性”条件。我们将证明一个关键定理：如果一个函数在闭区间上有界，且其不连续点的集合是可数集（或更弱的条件：测度为零的集合），则该函数是黎曼可积的。这将帮助读者理解为什么某些“病态”函数（如狄利克雷函数）不可积。 第五章：积分的性质与基本定理 一旦确定了积分的存在性，我们便需要探究其性质。本章将涵盖积分的线性性质、单调性，以及积分中值定理。随后，我们将介绍微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus）。我们将分上下两部分详细证明该定理，阐明微分与积分之间的深刻对偶关系。理解基本定理的证明过程，是掌握分析学精髓的关键一步。 第三部分：级数与收敛性分析 本部分将分析无穷多个项的和——级数——的收敛性问题，这是从有限求和到无穷求和的飞跃。 第六章：序列与级数的收敛判别法 我们首先复习了Cauchy收敛准则在级数上的应用，引入了级数的必要条件。随后，我们将系统地介绍各种收敛判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法。我们特别强调了积分判别法的应用，它将级数的收敛问题转化为对相应函数的积分问题，展示了分析学各分支间的联系。 第七章：绝对收敛与条件收敛 本章区分了绝对收敛与条件收敛。绝对收敛级数具有强大的代数稳定性，其求和顺序不影响结果。而条件收敛级数则展示了无穷求和的微妙之处。我们将深入讨论Riemann重排定理（Rearrangement Theorem），该定理揭示了条件收敛级数可以被重排成任意实数值的惊人特性，这是对“无穷”概念的有力哲学和数学阐释。 第八章：幂级数与函数逼近 作为本卷的总结，我们将焦点转向幂级数。幂级数不仅是分析学的核心工具，也是函数展开的基础。我们将精确确定幂级数的收敛半径与收敛区间，并证明将幂级数逐项求导或积分在其收敛区间内仍然是有效的，从而建立了泰勒级数与函数精确表示之间的严格联系。 本书特色： 逻辑的清晰性： 每一步推理都遵循严格的逻辑链条，避免了从直觉到结论的跳跃。 例题与习题： 每章后附有精心设计的例题和习题，其中包含了大量的“反例”分析，以巩固读者对概念边界的理解。 历史背景穿插： 穿插了分析学发展的关键历史节点，帮助读者理解这些概念是如何一步步被精确化的。 本书适合所有希望建立扎实的数学分析基础，为后续学习实分析、微分方程或泛函分析做准备的理工科学生和数学爱好者阅读。通过本书的学习，读者将掌握将直觉转化为严谨数学语言的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和书名都散发着一种古典而又神秘的气息。当我在书店里看到它时，书名中的“Fermat的梦想”立刻勾起了我的好奇心，我曾对费马大定理的传说有所耳闻，知道那是一个关于坚持、探索与最终胜利的故事。而“类域论”三个字，虽然我对其内容了解不多，但名字本身就透着一种数学体系的宏大和深刻。我向来对那些能够将历史、人物和抽象理论巧妙结合的书籍情有独钟。我希望这本书能够用一种易于理解的方式，讲述费马大定理背后的故事，以及它对数论发展的推动作用。同时，我也期待它能够将类域论这个复杂的概念，以一种循序渐进、层层递进的方式呈现给我，让我能够领略到数学的逻辑之美和思想的深度。我希望阅读这本书的过程，不仅仅是学习知识，更是一次充满惊喜的智力冒险，能够拓展我的视野，激发我对数学更深入的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

刚拿到这本书，我最直观的感受是它的厚重感。这不仅仅是物理上的重量，更是一种知识沉淀的厚度。书名中的“Fermat的梦想”立刻勾起了我尘封的数学记忆，高中时第一次听说费马大定理，那种“不可能”的挑战和最终被证明的震撼，至今仍记忆犹新。我非常好奇这本书会如何解读这个“梦想”，是侧重于定理本身，还是它背后蕴含的数学发展历程？而“类域论”这个概念，对我来说则更加陌生，但我能想象它一定是一个相当宏大且精密的数学理论。我一直觉得，最有趣的数学书籍，不是那种枯燥的教科书，而是那些能够将复杂的概念用清晰的语言解释清楚，并融入历史故事和人物传记的书籍。我期待这本书能够做到这一点，让我能够理解类域论的精髓，即便我无法深入证明，也能领略其思想的闪光点。我希望这本书能够像一位博学的老师，耐心解答我的疑惑，带领我领略数论的奇妙世界，让我对数学的理解更上一层楼，甚至能激发我对数学更深层次的探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

我买这本书的主要原因是被它的标题所吸引。提到“Fermat的梦想”，我就自然而然地想到了那个困扰数学界数百年的未解之谜，以及最终的辉煌证明。这种历史的厚重感和智慧的闪光，是我一直以来所追求的阅读体验。而“类域论”这个词，虽然听起来有些深奥，但我相信，任何一个能够被写入一本如此命名的书中的理论，必然有着其深刻的意义和迷人的逻辑。我希望这本书不仅仅是枯燥的公式堆砌，而是能够通过生动的故事和清晰的讲解，让我理解类域论的精髓，甚至能够体会到它在整个数学体系中的地位和作用。我期待这本书能够引领我走进数论的殿堂，让我领略到数学的严谨与优美，也让我对那些曾经为数学发展做出贡献的伟大头脑产生由衷的敬意。即便我的数学知识有限，我也希望能够通过这本书，建立起对数论的初步认识，并从中获得启发。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就吸引了我，一种复古的硬壳装帧，带着微微泛黄的书页质感，仿佛能闻到油墨的香气。封面上“Fermat的梦想”几个字，就勾起了我孩提时代对费马大定理的好奇心，那是一个数学史上流传已久的神秘传说。而“类域论”三个字，虽然我并非专业人士，却隐隐透着一种宏大的理论体系和深刻的数学思想。我并非是那种能够深入理解高深数论的数学家，但一直以来，我都很享受阅读那些能够带领我窥探数学世界深邃之美的书籍。我希望这本书能够像一位引路人，即便我无法完全掌握其中的所有公式和证明，也能让我感受到那些伟大的数学思想是如何一步步发展而来，那些曾经困扰数学家们的难题是如何被层层剥开，最终展现出其内在的优雅和和谐。我期待这本书能够用一种既严谨又不失趣味的方式，来讲述数论的发展史，尤其是那些与费马相关的历史轶事，以及类域论这一庞大理论的诞生和演进。或许，通过阅读这本书，我能够更深刻地理解数学的魅力，并从中获得一些关于逻辑、推理和探索精神的启示，即便我无法成为数学家，也能在精神上有所收获。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名很有吸引力，“Fermat的梦想”让我联想到那个著名的数学难题，以及与之相关的漫长而曲折的证明过程，这本身就是一个充满传奇色彩的故事。而“类域论”听起来则是一门非常高深的数学分支，我承认自己对它知之甚少，但正因如此，我才更加好奇。我一直对那些能够将看似抽象的数学概念与实际问题联系起来的书籍情有独钟，也喜欢那些能够追溯数学思想源头，展示数学发展脉络的书。我希望这本书能够以一种引人入胜的方式，为我揭示类域论的奥秘，同时，我也期待书中能够穿插一些关于费马以及其他伟大数学家的生平故事，让我在学习数学知识的同时，也能感受到数学家们探索真理的 passion。虽然我的数学功底并不深厚，但我相信，只要内容精彩，语言生动，任何一本好书都能够带给我知识的启迪和阅读的乐趣。这本书，或许就能够成为我打开数论世界大门的一把钥匙。

评分☆☆☆☆☆

变分学应该挺有用的吧。还没有看不过都是说张恭庆的书。比较好

评分☆☆☆☆☆

用来拓宽视野很不错

评分☆☆☆☆☆

这个系列的书真的挺好的，支持高教继续出类似的书

评分☆☆☆☆☆

好书，快递给力，值得收藏

评分☆☆☆☆☆

此书将数论中的精华（elements）娓娓道出，对概念的历史来源和解释都十分清晰。每一小节都附有3,4道容易解决的习题，帮助理解复习。我完全没学过数论，一个星期也读了60页，欲罢不能。总而言之，这是一本很好的入门书，推荐。该书的作者是证明了三素数定理的Vinogradov,他基本解决了奇数Goldbach猜想。书的特点是短小，习题难。看这本书必须好好做题。很多习题源自一些研究论文，并且被IMO或CMO命题人员经常改编。这本书值得精读。作者如果再加一点他擅长的三角和估计这方面的内容介绍就更好了。送货速度快，包装也很好。其实我不是学数学的。也不打算以数学为职业，当然更没有民科们的野心，只是有一些对于数学的爱好而已。 数论，抽象代数，概率论，数理统计，应该来说是我在数学里面最为喜欢的东西。 我觉得这本书还是没有让我们落入到具体的细节当中去。我觉得这是最重要，也是最为关键的地方。有一个朦朦胧胧的想法，那就是如果在踏入一门学科之初就深入到细节当中去的话，很难对于这门学科未来的走向有一个很好的把握，也很难谈得上对于这门学科的透彻的理解。我认为这本书是最好的初等数论教材 没有之一，现在又出第三版了，我马上入手了。证明详细，习题丰富，对后续学习抽象代数，高等代数也有很大的帮助。在学习了一定的分析课程之后，然后上手解析数论就不会很吃力。事实上潘氏兄弟后续的还有代数数论，解析数论基础，素数定理的初等证明，阶的估计，模形式讲义等数论的一条龙基础教材，只需要从本书开始逐一学完这一系列教材，就能打下很好的数论基础了。

评分☆☆☆☆☆

一本不错的参考书，京东送货快。

评分☆☆☆☆☆

与数论2应合为一本，个中奥妙......

评分☆☆☆☆☆

书用了一段时间，，纸质很好，，正版无疑。。发货的时间很早，，运输的速度也快，，最重要的是书籍在运输途中没有受损。。因此，，综合来看使人满意。。

评分☆☆☆☆☆

好书，快递给力，值得收藏