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J.Matou ek 著

图书标签:

• 离散几何
• 计算几何
• 几何学
• 数学
• 计算机科学
• 算法
• 图论
• 拓扑学
• 组合数学
• 理论计算机科学

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510037627

版次：1

商品编码：10914310

包装：平装

开本：24开

出版时间：2011-07-01

用纸：胶版纸

页数：481

内容简介

目录

前言/序言

空间、结构与形变的奥秘：现代拓扑学基础 作者： [此处可填写真实作者名，或留空] 出版社： [此处可填写真实出版社名，或留空] --- 内容概述 本书旨在为读者构建一个坚实而优雅的现代拓扑学基础。我们不再关注欧几里得空间中精确的长度、角度和面积，而是深入探讨那些在连续形变（拉伸、扭曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的内在性质。拓扑学，被誉为“橡皮膜几何学”，是连接代数、分析和几何学的关键桥梁，对于理解复杂系统的结构本质至关重要。 全书结构清晰，从直观的几何图像出发，逐步引入必要的严格数学工具，引导读者跨越直觉与严谨之间的鸿沟。我们不仅梳理了点集拓扑学的基本概念——如拓扑空间、连续性、紧致性、连通性——更进一步，深入探讨了代数拓扑学的核心思想，特别是同伦论和同调论的初步概念。 本书特别强调了对概念的几何直观理解，力求在严谨的数学证明与丰富的实例、图像说明之间取得完美的平衡。我们相信，理解一个拓扑空间的“洞”的数量比测量其“边长”更有洞察力。 --- 第一部分：点集拓扑的基石 (Foundations of Point-Set Topology) 本部分致力于建立读者对“空间”这一基本概念的全新认识，超越了我们日常经验中的欧氏空间。 第一章：从度量到拓扑 我们从熟悉的度量空间（如 $mathbb{R}^n$ 上的欧氏距离）出发，展示如何通过“开球”的概念抽象出更一般的“开集”结构。 开集与闭集的定义与性质： 深入探讨开集族如何定义一个拓扑结构，以及相对拓扑的概念，尤其是在子空间上的诱导拓扑。 邻域系统： 邻域如何描述一个点的“周围环境”，以及邻域基在构建拓扑时的重要性。 基、凝聚点与点列收敛： 介绍拓扑空间中极限的概念，并讨论可数性和分离公理（如 $T_1, T_2$ 郝斯多夫性质）对空间行为的限制。 第二章：连续性与函数空间 拓扑学中的连续性是保持空间结构不变的核心操作。 拓扑保持映射： 严格定义拓扑空间的连续函数，并与度量空间中的 $epsilon-delta$ 定义进行对比，突出其本质上的差异。 同胚： 引入“拓扑等价”的概念，即两个空间可以通过双射且双射的逆映射都是连续的相互转换，这是拓扑研究的最终目标。 商拓扑： 构造新空间的重要工具。通过等价关系定义商拓扑，形象地展示了“粘合”和“收缩”操作如何改变空间的整体结构（例如，圆周 $S^1$ 如何从线段 $[0,1]$ 构造而来）。 第三章：拓扑性质的量化：紧致性与连通性 紧致性和连通性是描述空间整体性质的两个最重要且最具有几何洞察力的概念。 紧致性 (Compactness)： 介绍开覆盖的有限子覆盖定义。重点分析欧氏空间中 Heine-Borel 定理的拓扑推广，以及紧致性在函数空间中的重要作用（如极值定理）。 连通性 (Connectedness)： 探讨一个空间是否可以被分解成两个不相交的开集的并集。引入路径连通性，并证明在 $mathbb{R}^n$ 中它们是等价的，但在一般拓扑空间中则不然。 应用： 讨论介值定理在任意连通空间中的推广。 --- 第二部分：构造性的代数工具 (Constructive Algebraic Tools) 本部分将视角从点集结构转向代数不变量，这是拓扑学能够解决复杂几何问题的关键。 第四章：构造性拓扑不变量：商空间的应用进阶 本章聚焦于如何利用商拓扑来构造和研究重要的经典拓扑空间。 流形的概念引入： 讨论局部看起来像 $mathbb{R}^n$ 的空间，并区分 1 维和 2 维流形（如球面、环面）的拓扑区别。 积空间： 介绍乘积拓扑，并用于理解多维空间的结构。 纤维丛的初步思想： 虽然不深入纤维丛理论，但通过圆周 $S^1$ 到实数线 $mathbb{R}$ 的覆盖空间概念，为后续的代数拓扑打下直观基础。 第五章：基础群与同伦理论的萌芽 本章是迈向代数拓扑的关键一步，用代数对象来区分拓扑上不同的空间。 路径与等价性： 定义路径（连续的曲线）及其端点保持的同伦等价关系。 基础群 (Fundamental Group)： 将环路（起点和终点重合的路径）及其同伦类构建成一个群结构。这是第一个重要的拓扑不变量。 计算实例： 计算圆周 $S^1$ 的基础群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$，并以此证明 $S^1$ 与 $mathbb{R}^2$ 中圆盘 $D^2$ 的拓扑差异。 不动点定理的拓扑视角： 简要讨论布劳威尔不动点定理在二维及以上空间中的重要性，并将其与拓扑不变量联系起来。 第六章：同调的直觉：洞的计数器 在更高维度上，基础群的计算变得非常复杂。本章引入同调理论的直观目标。 链、边界与循环： 介绍通过组合结构（单纯形复形）来逼近一般拓扑空间的思想。 零维、一维同调群： 解释 $H_0$ 与连通分支数的关系，$H_1$ 与“一维环路”或“洞”的数量的关系。 欧拉示性数 (Euler Characteristic)： 作为一个具有强大几何意义的不变量，展示其如何通过链复形计算得出，并将其与紧致曲面的分类联系起来（虽然不涉及完整的分类定理）。 --- 适用对象与学习目标 本书适合具有扎实微积分和线性代数基础的数学、物理、计算机科学（如几何处理、图形学）及工程学的高年级本科生和研究生。 完成本书学习后，读者将能够： 1. 熟练运用开集、紧致性和连通性等基本拓扑概念分析空间的内在结构。 2. 理解拓扑学与度量几何学的根本区别，并能构造不同拓扑结构的空间。 3. 掌握基础群的计算方法，并能运用它来证明简单的空间不可同胚性。 4. 对代数拓扑学的核心思想——即用代数对象（群、向量空间）来描述几何对象——形成深刻的认识。 本书的叙述风格严谨而不失启发性，旨在培养读者从“量化”思维转向“结构”思维的能力，为未来深入研究微分几何、代数几何或拓扑动力学打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

阅读体验非常考验耐心，可以说是“硬核”中的硬核。这本书的语言风格极其学术化，充满了大量的专业术语和复杂的符号系统，而且往往是首次引入一个概念时，就直接给出其最广义的形式，几乎没有“软着陆”的过渡。这对于非数学专业的理工科学生来说，简直是一场噩梦。我记得在深入到有限域上的几何结构时，作者仿佛完全忘记了读者可能需要从更具体的二维或三维空间想象开始建立直觉。书中的例题部分，少得可怜，而且选取的难度跨度极大，很多习题的解答思路需要极强的联想能力才能捕捉到。我不得不频繁地停下来，查阅其他关于线性代数和组合学的补充材料，才能勉强跟上作者的思路。与其说这是一本“讲义”，不如说它是一份精心整理但缺乏教学温度的原始资料汇编。如果定位是为研究生课程准备的教材，或许可以接受，但对于希望自学入门的朋友，这本书的门槛高到令人却步。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和装帧设计，坦白讲，让人感觉像是上个世纪八十年代的产物。墨迹的深浅不一，纸张的质地也比较粗糙，翻动时会发出轻微的沙沙声，这在现在这个追求极简和高清阅读体验的时代，确实让人有些不适应。内容上，它更侧重于罗列定理和给出详尽的证明步骤，但对这些定理背后的直观几何意义和实际应用场景的探讨则显得非常薄弱。例如，涉及到图论中关于连通性和路径算法的部分，虽然算法的描述清晰，但作者几乎没有花笔墨去说明为什么选择这种特定的算法，它比其他可能的路径搜索方法在效率上好在哪里，或者在实际工程问题中，例如网络路由规划中，这类离散结构是如何体现的。这种“就事论事”的写作风格，使得学习过程更像是在完成一系列枯燥的数学练习，而不是在探索一个迷人的数学领域。我希望作者能多加入一些历史背景的介绍，或者引用一些实际案例来佐证理论的价值，这样能让读者在攻克技术难点的同时，也感受到学科的生命力。

评分☆☆☆☆☆

我发现这本书在处理一些现代交叉领域的问题时显得力不从心。虽然它覆盖了离散几何的经典核心内容，如凸包、Voronoi图的基础理论，但对于近年来迅速发展起来的计算几何分支，比如表面网格的简化、或是在机器学习中对高维离散数据的处理，它几乎没有涉及。这本书的结构看起来非常稳定和古典，像一座用坚固花岗岩砌成的堡垒，但现代的数学和计算领域正在快速地向外扩张，而这本书似乎并没有跟上这种步伐。它的参考书目也倾向于选择年代较早的经典文献，对于最新的研究进展和算法优化，读者需要自行去更专业的期刊或更现代的教材中寻找。因此，如果你期望这本书能为你提供进入前沿研究领域的“导航图”，那么你可能会失望。它更像是一份扎实的、关于“什么是离散几何”的定义性文件，但对于“离散几何正在去向何方”的展望则显得保守和不足。

评分☆☆☆☆☆

坦白讲，这本书在理论的完整性和证明的严谨性方面，是无可挑剔的，这是它最大的优点。作者在构造数学框架时展现出的深厚功底，使得每一个结论都有坚实的逻辑基础支撑。然而，这种极致的严谨性也带来了阅读上的巨大障碍——它牺牲了所有的“趣味性”和“启发性”。全书的论述风格是线性的、不可动摇的，没有提供任何“旁门左道”或者“非主流但直观”的解题思路。例如，在讲解格点几何（Lattice Geometry）时，书中的论证过程几乎完全依赖于代数和矩阵的运算，对于那些习惯于通过几何直觉来解决问题的读者，会感到非常不适。这本书更像是数学家写给其他数学家看的，它假设读者对“美观的证明”和“优雅的结构”有着共同的理解和追求。对于我这样，更偏向于应用和可视化理解的学习者而言，这本书缺乏了一种必要的桥梁，将抽象的公式与我们能感知到的空间结构联系起来。

评分☆☆☆☆☆

这本书，说实话，刚拿到手的时候，我对它的期望值其实挺高的。毕竟“离散几何”这个名字听起来就带着一种严谨和精妙，总觉得能从里面挖掘出很多深刻的数学结构和视觉上的美感。然而，读完之后，我发现它更像是一部工具书，一本厚重的参考手册。它的叙述方式非常直接，缺乏那种引人入胜的引导。作者似乎默认读者已经对基础概念了如指掌，所以很多地方的过渡显得有些生硬。比如，在阐述欧拉公式及其在多面体上的应用时，推导过程跳跃性很大，对于初学者来说，理解起来需要反复回溯前面的章节。我记得尤其是在讲到拓扑结构时，插图的数量和精细度都不太够，很多抽象的概念仅仅依靠文字描述，这在学习几何类学科时是非常吃力的。我花了大量时间去自己手绘图示，试图将文字中的严密逻辑具象化。总的来说，它适合已经有一定基础，需要一本详尽的、结构化的资料库来查阅特定定理和证明的进阶学习者，但如果指望它能点亮你对离散几何的兴趣火花，那可能会感到有些枯燥和晦涩难懂。

评分☆☆☆☆☆

离散几何方面的书不少，但本书很系统，内容也很丰富。本书起点低，适合多数的数学工作者。

评分☆☆☆☆☆

离散几何方面的书不少，但本书很系统，内容也很丰富。本书起点低，适合多数的数学工作者。

评分☆☆☆☆☆

不错的书

评分☆☆☆☆☆

世图引进的书很多印刷都不理想

评分☆☆☆☆☆

离散几何方面的书不少，但本书很系统，内容也很丰富。本书起点低，适合多数的数学工作者。

评分☆☆☆☆☆

京东5折促销买的，很实惠。

评分☆☆☆☆☆

离散几何方面的书不少，但本书很系统，内容也很丰富。本书起点低，适合多数的数学工作者。

评分☆☆☆☆☆

京东5折促销买的，很实惠。

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不错的书