現代數學基礎叢書：索伯列夫空間導論 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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陳國旺 著

圖書標籤:

• 數學
• 泛函分析
• 索伯列夫空間
• 偏微分方程
• 函數空間
• 數學分析
• 實分析
• 現代數學
• 高等教育
• 學術著作

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030382399

版次：1

商品編碼：11309371

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎叢書

開本：16開

齣版時間：2013-08-01

用紙：膠版紙

頁數：405

字數：530000

正文語種：中文

內容簡介

　　《現代數學基礎叢書：索伯列夫空間導論》主要講述索伯列夫空間一般理論和在非綫性偏微分方程中的應用。內容涉及Lebesgue空間Lp（Ω）及其基本性質；整數階索伯列夫空間Wm，p（Ω）及其性質；Wm，p（Ω）空間的嵌入定理、緊嵌入定理和插值定理以及連續函數空間的嵌入定理。論述研究非綫性發展方程時，常用到的含有時間的空間和含有時間的索伯列夫空間。介紹類似於索伯列夫空間嵌人定理的離散函數的插值公式，並利用離散函數的插值公式證明廣義Schrodinger型方程組初邊值問題整體廣義解的存在性。講述速降函數、緩增廣義函數以及它們的Fourier變換和Lebesgue空間的Fourier變換，分數階索伯列夫空間Hs（RN）和Hs（Ω）及其性質。介紹近年來國內外關注的幾個非綫性發展方程的初邊值問題和Cauchy問題解的存在性以及解的爆破現象和解的漸近性質，使讀者較快地利用索伯列夫空間這個有力理論工具，進入研究偏微分方程等學科的前沿。
　　《現代數學基礎叢書：索伯列夫空間導論》可作為偏微分方程、計算數學、泛函分析、數學物理、控製論和微分幾何等專業的本科生、研究生的教材和參考書，也可供從事相關專業研究的科技工作者參考。

作者簡介

    陳國旺，鄭州大學數學係博士生導師，曾任《JournalofPartialDifferentialEquations》副主編，現任《數學季刊》編委。

內頁插圖

目錄

《現代數學基礎叢書》序
前言
第1章 基礎知識
1.1 幾個基本空間的定義
1.1.1 距離空間
1.1.2 綫性空間
1.1.3 綫性賦範空間
1.1.4 Hilbert空間
1.2 綫性算子與綫性泛函
1.2.1 綫性算子
1.2.2 綫性泛函
1.3 連續函數空間
1.3.1 Cm（□）空間的完備性
1.3.2 Cm，λ（□）空間的完備性
1.4 Hilbert空間的Pdesz錶示定理與Lax-Milgram定理

第2章 Lp（Ω）空間及其基本性質
2.1 Lp（Ω）空間
2.1.1 Lp（Ω）空間的定義
2.1.2 Holder不等式、Minkowski不等式和Lp（Ω）範數的內插不等式
2.1.3 Lp（Ω）空間的完備性
2.1.4 Lp（Ω）空間的一緻凸性
2.1.5 Lp（Ω）空間的一個嵌入定理
2.1.6 Cc（Ω）空間在Lp（Ω）空間中的稠密性
2.1.7 捲積、函數的正則化和C∞ c（Ω）空間在Lp（Ω）空間中的稠密性
2.1.8 Lp（Ω）空間的可分性
2.1.9 Lp（Ω）空間元素的整體連續性
2.2 Lp（Ω）空間上綫性泛函的錶示形式
2.2.1 預備知識
2.2.2 Lp（Ω）空間的Riesz錶示定理
2.3 Lp（Ω）空間的弱完備性
2.3.1 緊集的定義和關於強緊集定理
2.3.2 Lp（Ω）空間的弱完備性與弱緊集定理
2.4 弱Lp（Ω）空間、Marcinkiewicz插值定理
2.4.1 弱Lp（Ω）空間、次綫性算子、強型算子和弱型算子
2.4.2 Marcinkiewicz插值定理
2.4.3 Minkowski積分不等式
2.5 混閤範數Lp空間
2.6 Lp（、Q）空間中的準緊集

第3章 整數階索伯列夫空間Wm，p（Ω）及其基本性質
3.1 廣義函數
3.1.1 廣義函數的性質
3.1.2 廣義函數的支集
3.1.3 廣義函數的直積
3.1.4 廣義函數的捲積
3.1.5 廣義函數的導數
3.2 間Wm，p（Ω）空間及其性質
3.3 單位分解定理
3.4 區域的幾何性質
3.5 C∞ c（RN，Ω）在Wm，p（Ω）中的稠密性
3.6 Hm，p（Ω）空間
3.7 對偶性與空間W-m，p'（Ω）
3.7.1 Wm，p（Ω）的對偶與Wm，p 0（Ω）的賦範對偶
3.7.2 空間Lp'（Ω）的（-m，p'）-範數
3.8 差商與空間W1，p（Ω）

第4章 索伯列夫空間的嵌入定理和插值定理
4.1 嵌入的含義、坐標變換
4.1.1 嵌入的含義
4.1.2 坐標變換
4.2 嵌入定理
4.3 作為Banach代數的Wm，p（Ω）空間
4.4 插值定理
4.5 緊嵌入定理
4.6 延拓定理
4.7 邊界跡
4.8 Poincare不等式和Wm，p 0（Ω）的一個等價範數

第5章 含有時間的空間
5.1 抽象函數
5.2 抽象函數的Bochner積分
5.3 含有時間的空間
5.3.1 LP（（0，T）；X）空間的完備性
5.3.2 L∞（（0，T）；X）空間的完備性
5.4 含有時間的索伯列夫空間
5.5 Aubin引理

第6章 索伯列夫空間在偏微分方程中的應用（I）
6.1 預備知識
6.1.1 Gronwall不等式（微分形式）
6.1.2 Gronwall不等式（積分形式）
6.1.3 Jensen不等式
6.1.4 Leray-Schauder不動點定理
6.2 廣義Ginzburg-Landau模型方程的初邊值問題
6.2.1 初邊值問題（6.2.2）-（6.2.4）整體解的存在性與唯一性
6.2.2 解的漸近性質
6.3 一般綫性橢圓型方程的Dir-ichlet問題
6.4 具阻尼非綫性雙麯型方程的初邊值問題
6.5 廣義立方雙色散方程的初邊值問題
6.6 一類四階非綫性發展方程初邊值問題解的漸近性質
6.7 廣義IMBq型方程組的初邊值問題
6.7.1 問題的提齣和廣義解的定義
6.7.2 初邊值問題（6.7.17），（6.7.19），（6.7.21）的整體解
6.7.3 問題（6.7.16）-（6.7.21）的整體解

第7章 離散函數空間的插值公式和應用
7.1 一個指標的離散函數
7.1.1 離散函數的插值公式
7.1.2 關於離散函數指數為α的Holder係數的不等式
7.1.3 一個離散函數的不等式
7.1.4 有限維空間連續映射的不動點定理
7.2 廣義SchrSdinger型方程組初邊值問題的有限差分法
7.2.1 有限差分方程組（7.2.3）h和有限差分邊值條件（*）h解的存在性和唯一性
7.2.2 有限差分方程組（7.2.3）h在適當的有限差分邊值條件（*）h和離散的初值條件（7.2.8）h下解的先驗估計
7.2.3 當h2+△t2→0時，有限差分方程組（7.2.3）h，（*）h，（7.2.8）h的離散嚮量解v△={vn j}j=0，1，，J；n=0，1，，N）的收斂性

第8章 分數階索伯列夫空間
8.1 速降函數、緩增廣義函數
8.1.1 速降函數
8.1.2 緩增廣義函數
8.2 Fourier變換
8.2.1 □空間中函數的Fourier變換
8.2.2 □空間中函數的Fourier變換
8.2.3 Lebesgue空間中函數的Fourier變換
8.3 分數階索伯列夫空間Hs（RN）
8.4 Hs（RN）空間範數的內插
8.5 分數階索伯列夫空間Hs（Ω）

第9章 索伯列夫空間在偏微分方程中的應用（II）
9.1 具阻尼項的Ⅳ維廣義IMBq方程的Cauchy問題
9.1.1 問題的來曆
9.1.2 Cauehy問題（9.1.2），（9.1.3）在C2（[0，∞）；HS）中整體解的存在唯一性和解的爆破
9.2 Cauchy問題（9.1.2），（9.1.3）在C3（[0，∞）；Wm，p ∩ L∞ ∩ L2）中的整體解的存在唯一性和解的爆破
9.3 具Stokes阻尼項的IMBq方程的Cauchy問題
9.3.1 輔助問題（9.3.3），（9.3.4）整體解的存在性和唯一性
9.3.2 Cauchy問題（9.3.1），（9.3.2）
參考文獻
附錄
索引
《現代數學基礎叢書》已齣版書目

前言/序言

現代數學基礎叢書：索伯列夫空間導論 本書導讀：邁嚮泛函分析與偏微分方程的深度探索 《索伯列夫空間導論》是“現代數學基礎叢書”中的重要一捲，旨在為讀者提供一個係統、深入且富有洞察力的現代分析工具——索伯列夫空間的完整圖景。本書並非僅僅是對特定數學概念的簡單羅列，而是深刻地展示瞭索伯列夫空間如何在函數空間理論、泛函分析以及偏微分方程（PDEs）的現代研究中扮演核心角色。 本書的結構設計遵循瞭嚴謹的數學邏輯，從基礎概念的建立到高級理論的闡釋，逐步引導讀者進入這一領域的前沿。 第一部分：經典函數空間與泛函分析的復習與鋪墊 在正式介紹索伯列夫空間之前，本書花費瞭相當篇幅對讀者進行必要的知識準備。這部分內容旨在夯實讀者的基礎，確保他們對泛函分析的基本框架有清晰的認識，並為理解索伯列夫空間的“弱導數”概念做好準備。 1. 拓撲與度量空間迴顧： 簡要迴顧瞭完備性、緊緻性以及函數空間中的收斂性概念，如依點收斂、依範數收斂和依分布收斂。 2. $L^p$ 空間的深入剖析： 對經典 $L^p(Omega)$ 空間（$Omega$ 為 $mathbb{R}^n$ 的一個開子集）進行瞭詳盡的討論。重點關注瞭閔可夫斯基不等式、勒貝格控製收斂定理以及這些空間作為巴拿赫空間的完備性。在這裏，作者強調瞭 $L^p$ 空間在處理積分方程和經典PDEs中的局限性，特彆是當解不具備傳統意義上的經典導數時。 3. 分布理論的初步介紹： 分布（或廣義函數）理論是索伯列夫空間誕生的理論土壤。本書適時引入瞭測試函數空間 $mathcal{D}(Omega)$ 和緩增分布空間 $mathcal{S}(mathbb{R}^n)$ 的概念。通過傅裏葉變換的視角，初步展示瞭如何使用分布的“導數”來處理經典導數不存在的函數。這一部分的鋪墊至關重要，因為它確立瞭“弱”概念的必要性和閤理性。 第二部分：索伯列夫空間的構造與核心性質 本書的核心章節，聚焦於索伯列夫空間的精確定義、構造原理及其內在結構。 1. 弱導數的定義與等價性： 這是全書的基石。本書精確地給齣瞭函數 $u in L^1_{loc}(Omega)$ 具有弱導數 $v in L^1_{loc}(Omega)$ 的定義，即對於所有的測試函數 $phi$，滿足 $int_{Omega} u frac{partial phi}{partial x_i} dx = -int_{Omega} v phi dx$。隨後，通過詳細的論證，證明瞭在一定條件下（例如 $Omega$ 是光滑邊界），弱導數是唯一的。 2. 索伯列夫空間的定義 $W^{k,p}(Omega)$： 基於弱導數的概念，本書正式定義瞭索伯列夫空間 $W^{k,p}(Omega)$：它是所有在 $L^p(Omega)$ 中且其所有（廣義）偏導數均在 $L^p(Omega)$ 中的函數的集閤。本書深入分析瞭 $k=1$（即一階索伯列夫空間）的特性，並將其推廣到任意階 $k$ 的情況。 3. 空間結構的完備性： 證明瞭 $W^{k,p}(Omega)$ 裝備瞭特定的範數（通常是 $|u|_{W^{k,p}} = sum_{|alpha|leq k} |D^alpha u|_{L^p}$），是一個巴拿赫空間。這使得索伯列夫空間成為一個理想的分析工具，因為在其中，序列的極限操作是可靠的。 4. 嵌入定理（Sobolev Embedding Theorems）： 嵌入定理是索伯列夫空間的“魔力”所在。本書係統地梳理瞭這些定理，區分瞭兩種主要情況： $W^{k,p}(Omega) hookrightarrow L^q(Omega)$： 探討瞭在何種 $(k, p)$ 組閤下，索伯列夫空間中的函數可以在 $L^q$ 意義下保持有界性。 跡（Trace）理論的引入： 對於有界光滑域 $Omega$，討論瞭如何定義函數在邊界 $partial Omega$ 上的“跡”，並證明瞭存在一個有界的跡算子 $T: W^{k,p}(Omega) o L^q(partial Omega)$。這為邊界值問題的研究提供瞭至關重要的橋梁。 第三部分：高級主題與應用基礎 在掌握瞭基礎框架後，本書轉嚮瞭索伯列夫空間在現代數學中的更深層次的應用和性質。 1. 緊緻性與阿拉奧盧（Alaoglu）定理的應用： 討論瞭在特定條件下（如 $p>1$ 且 $Omega$ 有界），索伯列夫空間中的有界集是否具有緊子序列。這部分內容與變分法中的極值存在性密切相關。 2. 關鍵的嵌入結果：Rellich-Kondrachov 定理： 這是一個裏程碑式的成果，它精確地刻畫瞭從 $W^{k,p}(Omega)$ 到 $L^q(Omega)$ 的緊嵌入條件，為薛定諤方程和拉普拉斯方程的特徵值問題提供瞭嚴格的分析基礎。 3. 特殊空間：H$ddot{o}$lder 空間與 $W^{k,infty}$： 簡要對比瞭索伯列夫空間與 H$ddot{o}$lder 空間的區彆與聯係，並討論瞭 $W^{k,infty}$ 空間（即空間中的函數及其所有導數均有界）在解決某些非綫性方程中的意義。 4. 弱解的正則性提升： 本書的實踐意義體現在這裏。通過引入“正則性提升”的概念，展示瞭如果一個弱解滿足某些額外的光滑性假設（例如，如果方程的係數是光滑的），那麼這個弱解實際上就是經典意義下的光滑解。這為PDE解的存在性和唯一性分析提供瞭強有力的工具。 結語 《索伯列夫空間導論》的價值在於它提供瞭一個嚴謹而全麵的框架，將泛函分析的抽象概念與偏微分方程的實際問題緊密結閤。它不僅是研究生學習泛函分析和偏微分方程的必備教材，也是處理涉及變分法、幾何分析以及非綫性 PDE 等領域研究人員的重要參考書。本書的論證清晰、例證豐富，確保讀者在掌握技術工具的同時，也能深刻理解這些工具背後的數學思想和物理意義。掌握索伯列夫空間，即是掌握瞭現代數學分析的“通用語言”。

評分☆☆☆☆☆

“我一直對數學的抽象世界充滿瞭好奇，尤其對那些能夠提供堅實理論基礎的工具性分支。在尋找深入理解偏微分方程和泛函分析的路徑時，我偶然間翻閱瞭這本《索伯列夫空間導論》。這本書給我帶來的，不僅僅是知識的增量，更是一種思維的啓迪。它以一種非常係統且循序漸進的方式，將索伯列夫空間這一核心概念層層剝開，直至其精髓。我特彆欣賞作者在闡述過程中，沒有迴避那些看似晦澀的定義和定理，而是用清晰的語言、翔實的例子，甚至是巧妙的比喻，幫助讀者建立起直觀的理解。例如，在介紹Sobolev嵌入定理時，書中並沒有簡單地羅列公式，而是花瞭相當的篇幅去解釋這些嵌入關係在實際問題中的物理意義，以及它們如何連接不同空間的函數性質。這對於我這樣一個初學者來說，無疑是極大的幫助。我感覺自己仿佛站在巨人的肩膀上，能夠更清晰地看到數學海洋中的壯麗景色。這本書的排版也很舒服，大量的公式和證明清晰可見，紙質也很好，拿在手裏有分量感，讓人願意沉下心來仔細研讀。我非常期待通過這本書，能夠更深入地理解現代數學的構建基石，並將其應用到我感興趣的科學研究領域。對我而言，這本書就像一把鑰匙，打開瞭通往更廣闊數學天地的大門。”

評分☆☆☆☆☆

“說實話，我當初拿到這本《索伯列夫空間導論》的時候，並沒有抱太高的期望。我接觸數學的時間不算短，讀過不少偏微分方程的教材，但總感覺有些概念模糊不清，特彆是涉及到弱解和 Sobolev 空間的理論時，總覺得隔著一層紗。這本書的齣現，徹底改變瞭我的看法。它不僅定義嚴謹，而且在概念的引入上非常巧妙。作者沒有上來就給齣冰冷的定義，而是從一些實際問題齣發，讓我們體會到引入 Sobolev 空間是多麼的必要和自然。我尤其喜歡書中關於導數概念的推廣部分，它讓我明白瞭為什麼在某些情況下，我們必須超越經典意義上的可微性。而對於 Sobolev 空間的內積、範數，以及它們之間的各種不等式，書中給齣的推導過程清晰明瞭，邏輯性極強，每一步都扣人心弦。讀這本書的時候，我經常會停下來，反復咀嚼那些證明，仿佛在品味一道精緻的菜肴。更難能可貴的是，書中還穿插瞭不少曆史背景介紹，這讓我對這些數學概念的産生和發展有瞭更深的認識，也更加敬佩那些偉大的數學傢。這本書就像一位經驗豐富的老者，用他的人生智慧，為我指點迷津，讓我茅塞頓開。我感覺我以前對這些概念的模糊感，在這本書的引領下，得到瞭徹底的清除。”

評分☆☆☆☆☆

“我一直認為，數學的學習過程，不僅僅是記憶公式和定理，更重要的是培養一種解決問題的能力和一種數學的思維方式。《索伯列夫空間導論》這本書，在這方麵給我留下瞭深刻的印象。它不是一本死闆的教科書，而更像是一位循循善誘的老師，引導著我去探索和發現。書中對索伯列夫空間的介紹，充滿瞭啓發性。作者並沒有僅僅停留在定義和證明層麵，而是不斷地追問“為什麼”和“有什麼用”。例如，在介紹 Sobolev 空間的賦範性時，書中花瞭相當的篇幅去解釋這種範數是如何捕捉函數及其導數的整體行為的，以及為什麼這樣的捕捉對於分析 PDE 至關重要。我還在書中看到瞭許多精妙的技巧和巧妙的證明思路，這讓我意識到，數學並非隻有一種解題方法，而是充滿瞭創造性的空間。更讓我感到驚喜的是，書中還包含瞭不少“思考題”和“練習題”，這些題目設計得非常有水平，既能檢驗我的理解程度，又能激發我進一步的思考。做這些題的過程，就像是在和作者進行一場智力上的對話，讓我不斷地挑戰自己，突破自己的認知邊界。這本書不僅僅讓我學會瞭索伯列夫空間，更重要的是，它讓我體驗到瞭數學探索的樂趣，培養瞭我獨立思考和解決問題的能力。我感覺我不僅僅是在學習一本數學書，更是在塑造一種全新的數學視野。”

評分☆☆☆☆☆

“作為一名對數學物理有著濃厚興趣的研究生，我一直在尋找一本能夠係統性梳理索伯列夫空間及其在偏微分方程中應用的教材。《索伯列夫空間導論》這本書，可以說完全滿足瞭我的需求，甚至超齣瞭我的預期。書中對索伯列夫空間各個方麵的介紹都相當詳盡，從基礎的定義、性質，到各種嵌入定理、跡定理，再到與 PDE 相關的應用，都進行瞭深入的探討。我特彆欣賞作者在介紹復雜定理時，所采用的“化繁為簡”的策略，他善於用圖示和直觀的語言來解釋抽象的概念，這對於理解那些高度抽象的數學證明非常有幫助。比如，在解釋索伯列夫空間中的緊嵌入時，書中通過一些生動的例子，讓我能夠直觀地感受到函數在這些空間中的“光滑性”和“尺度”是如何被約束的。而且，書中對於一些重要的定理，提供瞭多種證明思路，這極大地豐富瞭我的理解，也讓我學會瞭從不同的角度去思考問題。我還在書中看到瞭很多前沿的研究方嚮的提示，這對我未來的研究課題選擇提供瞭寶貴的參考。這本書不僅是一本教科書，更像是一個寶庫，充滿瞭值得挖掘的數學思想和研究靈感。我強烈推薦給所有對偏微分方程、泛函分析以及數學物理感興趣的同行。”

評分☆☆☆☆☆

“我是一名在職的研究人員，平日裏工作繁忙，能用來閱讀的時間非常有限。因此，選擇一本能夠高效傳遞核心知識的書籍對我來說至關重要。《索伯列夫空間導論》這本書，在這一點上做得非常齣色。它在保持理論嚴謹性的同時，也注重知識的實用性和應用性。作者沒有浪費筆墨在旁枝末節上，而是集中火力，直擊索伯列夫空間的核心內容。我最喜歡的是書中對每一章節的結構設計，開篇點題，中間論證，結尾總結，邏輯清晰，重點突齣。即使是那些看似深奧的定理，通過作者精心組織的論證過程，也變得易於理解。我印象特彆深刻的是關於“正則性理論”的介紹，它讓我深刻理解瞭索伯列夫空間在分析 PDE 解的性質方麵所扮演的關鍵角色。書中通過一些經典的 PDE 問題作為案例，直觀地展示瞭索伯列夫空間是如何幫助我們證明解的存在性、唯一性和光滑性。這本書就像一位訓練有素的嚮導，在陌生的數學領域裏，為我指明瞭最直接、最高效的道路。我感覺在短時間內，就掌握瞭索伯列夫空間這一重要工具，這讓我對解決我工作中遇到的相關問題充滿瞭信心。這本書的精煉和高效，對於我這樣的時間有限的讀者來說，簡直是福音。”

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很好的，適閤學習，值得推薦

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偏微分方程研究與索伯列夫空間的好書

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