微分方程（組）邊值問題的變分原理及MATLAB求解/普通高等教育“十二五”規劃教材 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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李海春，張誌霞，黃蕊 等 著

圖書標籤:

• 微分方程
• 邊值問題
• 變分原理
• MATLAB
• 數值分析
• 高等數學
• 科學計算
• 工程數學
• 數學模型
• 規劃教材

齣版社： 中國水利水電齣版社

ISBN：9787517016571

版次：1

商品編碼：11410485

包裝：平裝

叢書名： 普通高等教育十二五規劃教材

開本：16開

齣版時間：2014-01-01

用紙：膠版紙

頁數：218

正文語種：中文

編輯推薦

　　《微分方程（組）邊值問題的變分原理及MATLAB求解/普通高等教育“十二五”規劃教材》屬於古典變分法的範疇，它突破變分法未在微分方程組中應用的限製，將該方法深入到方程組等相互作用的係統中，使變分法理論趨於完善。通過對微分方程組邊值問題的求解，顯示該方法有很大的可行性和正確性，這種方法將促使很多領域迅猛發展，特彆是在人工智能（機器人）、航空、航天、土木、機械、水文和原子能等領域。

內容簡介

　　《微分方程（組）邊值問題的變分原理及MATLAB求解/普通高等教育“十二五”規劃教材》共有6章：第1章簡單介紹C空間、Lp空間和Soboley空間及其性質，討論這些空間的積空間和對偶空間；第2章介紹變分引理、F．Riesz錶示定理、Lax—Milgram定理和Lion定理等；第3章建立微分方程（組）對應泛函；第4章給齣微分方程（組）周期邊值問題解的估計式；第5章運用Ritz方法，應用MATLAB軟件，求各種微分方程（組）邊值問題的近似解，並給齣程序；第6章運用Galerkin方法，應用MATLAB軟件，求各種微分方程（組）周期邊值問題的近似解，給齣程序。
　　《微分方程（組）邊值問題的變分原理及MATLAB求解/普通高等教育“十二五”規劃教材》藉鑒已有研究成果，可作為數學係相關專業和理工科學生教材。對於沒有基礎人員也可直接研究最後兩章，學會應用Ritz方法和Galerkin方法求解微分方程邊值問題等。一些重要的定義、內容和證明是作者給齣或引用的，疏漏和錯誤在所難免，真誠歡迎讀者批評指正。

目錄

前言
第1章 廣義空間和廣義（偏）導數
1.1 綫性空間和綫性算子
1.2 整數次Soboley空間及其廣義導數
1.3 積空間、對偶空間和廣義導數
1.4 泛函的Frechet和Gateaux微分

第2章 變分原理及其方法
2.1 變分方法的基本概念
2.2 變分法基本引理及不等式
2.3 泛函極值問題
2.4 F.Riesz錶示定理、Lax-Milgram定理和Lions定理
2.5 變分問題的直接方法

第3章 微分方程（組）邊值問題的弱解存在性與唯一性
3.1 微分方程邊值問題的弱解存在性與唯一性
3.2 常微分方程組邊值問題的弱解存在性
3.3 橢圓型方程組邊值問題的弱解存在性
3.4 拋物型方程組邊值問題的弱解存在性
3.5 雙麯型方程組邊值問題的弱解存在性

第4章 微分方程（組）解的先驗估計
4.1 微分方程邊值問題解的先驗估計
4.2 橢圓型方程邊值問題解的先驗估計
4.3 拋物型方程邊值問題解的先驗估計
4.4 雙麯型方程邊值問題解的先驗估計

第5章 Ritz方法求微分方程（組）邊值問題的近似解
5.1 常微分方程邊值問題的近似解
5.2 偏微分方程邊值問題的近似解
5.3 常微分方程組邊值問題的近似解
5.4 偏微分方程組近似解

第6章 Galerkin方法求微分方程（組）邊值問題的近似解
6.1 Galerkin方法求微分方程邊值問題的近似解
6.2 Galerkin方法求常微分方程組邊值問題的近似解
6.3 Galerkin方法求偏微分方程組邊值問題的近似解
參考文獻
後記

前言/序言

微分方程（組）邊值問題的變分原理及MATLAB求解 引言 微分方程是描述自然界和社會現象中各種變化規律的強大工具，而邊值問題是微分方程中一類具有重要理論和應用價值的方程。與初值問題不同，邊值問題在定義域的邊界上給齣條件，這使得問題的求解更具挑戰性，同時也帶來瞭更豐富的物理和工程內涵。本書旨在深入探討微分方程（組）邊值問題的變分原理，並結閤現代計算工具MATLAB，係統闡述求解各類邊值問題的有效方法。 第一部分：微分方程（組）邊值問題基礎 本部分將為讀者打下堅實的理論基礎，介紹微分方程（組）邊值問題的基本概念、分類及其重要性。 微分方程與邊值問題概述： 微分方程的定義與分類： 詳細介紹常微分方程和偏微分方程，區分它們的結構和應用場景。 邊值問題的定義： 明確邊值問題與初值問題的區彆，闡述邊界條件的形式（如Dirichlet條件、Neumann條件、Robin條件等）及其物理意義。 邊值問題的重要性： 探討邊值問題在物理學（熱傳導、流體力學、彈性力學）、工程學（結構分析、電路設計）、生物學（種群動態）等領域中的廣泛應用，通過具體實例展示邊值問題模型的建立過程。 邊值問題解的存在性與唯一性： 介紹判斷邊值問題解的存在性與唯一性的基本定理和方法，為後續的求解打下理論基礎。 一階與二階常微分方程邊值問題： 一階邊值問題： 分析一階常微分方程邊值問題的特點，探討其解的結構和性質。 二階常微分方程邊值問題： 重點研究二階常微分方程邊值問題，包括綫性與非綫性情況。介紹自伴算子、Sturm-Liouville理論等關鍵概念，為理解更復雜的邊值問題奠定基礎。 綫性二階邊值問題的解法： 討論解析解法（如參數變量法、待定係數法）在特定情況下的應用，並指齣其局限性。 非綫性二階邊值問題的挑戰： 分析非綫性邊值問題求解的復雜性，引齣數值求解方法的必要性。 高階常微分方程邊值問題： 高階綫性邊值問題： 介紹高階綫性常微分方程邊值問題的結構及其解的性質，探討利用綫性代數方法處理此類問題。 高階非綫性邊值問題： 簡要提及高階非綫性邊值問題的求解難度，為後續的數值方法做鋪墊。 偏微分方程邊值問題入門： 偏微分方程的基本概念： 介紹常見的偏微分方程，如熱方程、波動方程、拉普拉斯方程等。 偏微分方程邊值問題： 闡述偏微分方程邊值問題的定義，重點介紹在不同幾何區域上的邊界條件。 分離變量法： 介紹分離變量法在求解某些簡單偏微分方程邊值問題中的應用，展示其思想和局限性。 傅裏葉級數與傅裏葉變換： 介紹傅裏葉級數和傅裏葉變換在處理周期性邊界條件和無窮域問題中的重要作用。 第二部分：微分方程（組）邊值問題的變分原理 本部分將深入探討變分原理在邊值問題求解中的核心作用，揭示其理論的深刻性與應用的廣泛性。 泛函與變分： 泛函的定義： 引入泛函的概念，將其視為一個函數，其輸入是函數，輸齣是數值。 求泛函極值問題： 闡述求泛函極值與求函數極值的異同。 變分運算： 定義變分，類比微分，介紹變分運算的基本性質和法則。 歐拉-拉格朗日方程： 推導和闡述歐拉-拉格朗日方程，指齣它是求解泛函極值問題的核心工具，直接關聯著微分方程。 變分原理與微分方程（組）的聯係： 達朗貝爾原理與虛功原理： 從力學角度引入達朗貝爾原理和虛功原理，展示變分原理在力學問題中的起源。 能量最小化原理： 闡述許多物理係統的穩態（如彈性體的平衡態、穩態熱傳導）可以通過能量泛函的最小化來描述，從而導齣相應的微分方程。 黎曼積分與積分型變分原理： 將變分原理從解析形式轉化為積分形式，引入與特定微分方程（組）等價的積分型變分原理。 邊界條件與變分原理的對應關係： 詳細分析不同類型的邊界條件（Dirichlet, Neumann, Robin）是如何從變分原理中自然導齣的，理解其內在聯係。 泛函的構造： 探討如何為給定的微分方程（組）邊值問題構造相應的泛函，這是應用變分原理求解邊值問題的關鍵步驟。 經典變分原理的應用： 彈性力學中的最小勢能原理： 分析彈性體在受力作用下的平衡狀態，其總勢能泛函最小化，推導彈性力學的控製方程。 穩態熱傳導的最小熱能原理： 討論穩態熱傳導問題，建立相應的能量泛函，求解熱傳導方程。 其他物理與工程領域的變分原理： 介紹變分原理在電磁場理論、流體力學、量子力學等領域中的應用實例。 有限元法的變分原理基礎： 有限元法的基本思想： 介紹有限元法將連續域離散化為有限個單元的思想，以及其在工程和科學計算中的廣泛應用。 弱形式與變分形式： 闡述將微分方程轉化為其弱形式（或變分形式），這是有限元法求解的理論基礎。 伽遼金法與瑞茲法： 介紹常用的求解弱形式的方法，如伽遼金法和瑞茲法，並說明它們與變分原理的緊密聯係。 構造有限元泛函： 講解如何在離散域上構造有限元泛函，並利用變分原理求解。 第三部分：MATLAB在邊值問題求解中的應用 本部分將重點介紹如何利用MATLAB強大的數值計算和可視化能力，求解各種類型的微分方程（組）邊值問題，將理論與實踐相結閤。 MATLAB數值求解基礎： MATLAB環境介紹： 簡要介紹MATLAB的開發環境、基本語法和常用工具箱。 數值微分與積分： 介紹MATLAB中用於數值微分和積分的函數，及其在求解微分方程中的作用。 綫性代數運算： 強調MATLAB在處理大型綫性方程組中的優勢，以及在有限元法等數值方法中的關鍵地位。 MATLAB求解常微分方程邊值問題： `bvp4c`函數詳解： 深入講解MATLAB內置的常微分方程邊值問題求解器`bvp4c`，包括其工作原理、函數調用格式、參數設置以及結果處理。 案例分析： 通過一係列典型的二階和高階常微分方程邊值問題，展示如何使用`bvp4c`進行求解，包括自定義ode函數、邊界條件函數，以及如何處理不同類型的邊界條件。 結果可視化： 介紹如何利用MATLAB的繪圖函數，如`plot`，對求解得到的邊值問題解進行可視化展示，直觀理解解的分布和行為。 參數化研究： 演示如何利用`bvp4c`進行參數化研究，分析不同參數變化對邊值問題解的影響。 MATLAB求解偏微分方程邊值問題： 偏微分方程工具箱（PDE Toolbox）： 詳細介紹MATLAB PDE Toolbox的功能，包括其幾何建模、網格生成、方程設置、求解器選擇和結果分析等。 典型偏微分方程邊值問題求解： 熱傳導方程： 演示如何使用PDE Toolbox求解一維、二維和三維的熱傳導邊值問題，包括瞬態和穩態情況。 波動方程： 演示如何求解波動方程的邊值問題，模擬波的傳播過程。 拉普拉斯方程和泊鬆方程： 演示求解穩態場問題的邊值問題，如電勢分布、流體流動等。 自定義方程和邊界條件： 講解如何在PDE Toolbox中輸入自定義的偏微分方程和復雜的邊界條件。 網格劃分與適應性網格： 介紹網格劃分對求解精度的影響，以及適應性網格技術的使用。 結果分析與後處理： 演示如何對PDE Toolbox的求解結果進行可視化，如繪製位移圖、等值綫圖，以及進行數值分析。 有限元法在MATLAB中的實現： 基於MATLAB的有限元框架： 介紹如何利用MATLAB構建或使用現有的有限元分析框架，對邊值問題進行求解。 自定義有限元求解器： 演示如何編寫簡單的有限元求解器，從組裝單元剛度矩陣、載荷嚮量，到求解全局方程組，實現對邊值問題的數值求解。 與PDE Toolbox的結閤： 說明PDE Toolbox本質上也是基於有限元方法的，理解其內部實現機製。 高級應用與技巧： 迭代求解器的應用： 介紹在處理大型稀疏矩陣方程組時，MATLAB中常用的迭代求解器。 並行計算： 探討如何利用MATLAB的並行計算工具箱，加速大型邊值問題的求解。 代碼優化與性能提升： 提供一些編寫高效MATLAB代碼的技巧，以提升邊值問題求解的效率。 問題調試與錯誤排查： 針對常見的求解錯誤，提供有效的調試方法和排查思路。 結論 本書通過深入淺齣的講解，係統地梳理瞭微分方程（組）邊值問題的變分原理，並詳細介紹瞭如何運用MATLAB這一強大的計算工具求解各類邊值問題。我們希望本書能為讀者提供一個堅實的理論基礎和實用的操作技能，幫助他們在科學研究和工程實踐中，有效地解決微分方程（組）邊值問題。理解並掌握變分原理，不僅能加深對數學模型背後物理意義的認識，更能為開發更高效、更通用的數值求解算法提供理論指導。MATLAB的引入，則將理論研究的成果轉化為可操作的計算工具，使得復雜問題得以解決，並能通過直觀的可視化手段來理解和分析結果。本書的編寫旨在成為一本兼具理論深度和實踐指導意義的參考書，為廣大讀者提供有益的幫助。

評分☆☆☆☆☆

提到MATLAB求解，我更看重的是其“如何求解”的精髓，而不僅僅是復製粘貼代碼。我希望書中能夠詳細講解在MATLAB中實現有限元方法或其他變分數值方法時，涉及到的一些關鍵技術點。例如，如何構建單元剛度矩陣和載荷嚮量，如何根據邊界條件進行節點自由度的處理，以及如何使用MATLAB的綫性代數工具箱高效地求解大型稀疏方程組。此外，對於偏微分方程組的邊值問題，其復雜性會大大增加。我期待書中能夠展示如何處理多物理場耦閤的問題，例如熱應力耦閤問題，或者流固耦閤問題，以及如何在MATLAB中實現這些耦閤問題的變分數值求解。這種對實現細節的深入剖析，將極大地提升我獨立解決問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

作為一本“普通高等教育‘十二五’規劃教材”，我預計這本書在內容的係統性、嚴謹性和教學的適宜性上會有較高的水準。這意味著它不僅僅是學術研究的前沿探索，更是麵嚮 undergraduate 和 graduate 學生的紮實基礎知識體係。我期望這本書能夠循序漸進地引導讀者，從最基本的變分概念開始，逐步深入到復雜的偏微分方程組的邊值問題。對於沒有接觸過變分原理的讀者，書中是否能夠提供足夠的背景知識鋪墊，比如對泛函分析的初步介紹，或者對積分形式的微分方程的理解。而且，對於“十二五”規劃教材的要求，通常也意味著內容的時效性和實用性。我希望書中能夠涵蓋一些當前在工程領域中較為常見和重要的邊值問題類型，例如熱傳導、彈性力學、流體力學等領域中的一些經典問題。

評分☆☆☆☆☆

我對於變分原理的理解，還停留在一些比較基礎的層麵。我一直希望能夠更係統地學習如何將這種強大的理論工具應用於解決更復雜的邊值問題，尤其是那些存在不規則幾何形狀、復雜材料性質或者非綫性邊界條件的問題。我期待本書能夠提供一些通用的框架和方法，幫助我理解如何根據具體的邊值問題，構造齣閤適的變分泛函，並最終將其轉化為可計算的模型。同時，我希望書中能夠提供一些關於如何進行模型驗證和誤差分析的指導。例如，如何通過與解析解的對比，或者通過網格加密分析，來評估數值解的準確性。這種對科學研究嚴謹性的強調，是我在選擇技術書籍時非常看重的一點。

評分☆☆☆☆☆

在閱讀一本技術類書籍時，我通常會關注其理論深度和應用廣度的平衡。這本書的標題“微分方程（組）邊值問題的變分原理及MATLAB求解”似乎已經很好地兼顧瞭這一點。理論部分，我期待它能深入剖析變分原理的數學基礎，例如瑞利-裏茲法、伽遼金法等，並詳細推導它們與微分方程邊值問題的聯係。應用部分，我希望它能展示如何將這些理論應用於解決實際工程問題，並且通過MATLAB的求解過程，讓讀者直觀地看到理論的落地。我尤其關心書中是否會包含一些真實世界中的案例研究，例如橋梁的結構分析、飛機的氣動外形設計、或者地球物理勘探等領域中遇到的邊值問題，並通過變分原理和MATLAB求解來展示解決過程。這樣的案例，不僅能加深讀者對理論的理解，更能激發讀者將所學知識應用於解決實際問題的熱情。

評分☆☆☆☆☆

作為一名數理基礎相對紮實的工科博士生，我一直對如何更深入地理解和解決實際工程問題中的數學模型抱有濃厚的興趣。在我的學習和研究過程中，涉及微分方程的場景屢見不鮮，但很多時候，傳統的初值問題求解方法在麵對一些復雜的邊界約束時顯得力不從心，或者說，其理論框架難以直接套用。因此，當我偶然間看到《微分方程（組）邊值問題的變分原理及MATLAB求解/普通高等教育“十二五”規劃教材》這本書時，立刻被其標題所吸引。雖然我還沒有機會深入研讀，但從書名本身傳遞齣的信息，我能夠預見到這本書所蘊含的深刻價值。 首先，“變分原理”這個詞匯就讓我眼前一亮。它預示著本書將從一個更加宏觀和物理直觀的角度來審視微分方程的邊值問題。我一直認為，很多數學概念之所以難以理解，很大程度上是因為我們僅僅看到瞭其抽象的符號和推導過程，而忽略瞭其背後蘊含的物理意義和優化思想。變分原理，特彆是與物理係統中的能量最小化、作用量最小化等概念聯係起來時，往往能提供一種全新的視角，幫助我們理解問題的本質。這種從“物理”到“數學”的轉化，往往是解決復雜工程難題的關鍵。我非常期待書中能夠詳細闡述能量原理、伽遼金法等變分方法的由來、核心思想以及它們如何巧妙地轉化為求解邊值問題的強大工具。例如，在力學領域，很多結構穩定性、振動分析問題都可以通過尋找能量泛函的極值來獲得。在電磁場理論中，麥剋斯韋方程組的某些形式也可以用變分原理來錶述。我希望本書能夠清晰地梳理這些聯係，為我打開新的思路。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的另一大期待，在於其“MATLAB求解”的部分。在當今的科學研究和工程應用中，理論推導固然重要，但實際問題的數值求解能力更是不可或缺。MATLAB作為一種強大的數值計算和可視化工具，在工程界有著廣泛的應用。能夠將抽象的變分原理轉化為具體的MATLAB代碼實現，將極大地提升解決實際問題的效率和可行性。我希望書中不僅會給齣直接的MATLAB代碼示例，更重要的是，能夠深入講解如何根據變分原理推導齣求解算法，例如有限元法的離散化過程，以及如何在MATLAB中實現這些算法。這其中涉及到對數值積分、綫性方程組求解、網格劃分等一係列數值計算方法的理解和應用。如果書中能夠提供一些關於如何將復雜幾何形狀的邊值問題，通過網格劃分和單元插值，最終轉化為大型稀疏綫性方程組，並用MATLAB高效求解的指導，那將是我非常看重的。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，學習數學工具的目的，是為瞭更好地理解和改造世界。對於“變分原理”，我最感興趣的地方在於它所蘊含的“優化”思想。很多自然現象和工程係統，本質上都在遵循某種“最小化”或“最大化”的原則。例如，光綫在介質中的傳播遵循費馬原理，即光程最短；彈簧係統在平衡狀態下，其勢能最小。變分原理正是將這種“優化”思想係統化、數學化，並將其應用於求解微分方程。我希望本書能夠清晰地闡述這種“優化”思想是如何與微分方程的邊值問題建立聯係的，例如，通過構造一個泛函，使得該泛函的極值對應的函數解恰好是微分方程的邊值問題解。這種從“目的”齣發來尋找“方法”的思路，往往比直接從“方法”齣發來套用要深刻得多。

評分☆☆☆☆☆

我對於“十二五”規劃教材的定位，通常意味著其內容的權威性和前瞻性。雖然“十二五”已經過去，但這並不影響其作為一本優質教材所包含的經典理論和方法。我相信，這本書所涵蓋的變分原理和MATLAB求解方法，對於當前和未來的科學研究與工程實踐依然具有重要的指導意義。我尤其看重本書在理論構建和方法論上的嚴謹性。例如，在推導變分格式時，是否嚴謹地考慮瞭函數的性質、積分的收斂性等問題。在介紹MATLAB求解時，是否考慮瞭數值穩定性和精度的問題，以及如何選擇閤適的數值算法和參數。這些細節，往往是決定一個方法能否真正可靠應用的關鍵。

評分☆☆☆☆☆

我個人對“邊值問題”這個概念的理解，總是比初值問題要來得更加直觀和具象。初值問題像是描述一個係統從某個初始狀態齣發，在給定的時間演化規律下如何發展；而邊值問題則更像是“約束”和“平衡”的體現，係統需要滿足在空間域上的邊界條件，最終達到一個穩定的狀態。這種“約束”在實際工程中無處不在，例如固定在牆壁上的梁的受力變形，或者流體在管道中的流動狀態。我非常好奇，本書會如何從變分原理的角度來“解構”這些邊值問題。是會通過尋找一個滿足特定邊界條件的能量泛函的極值點來得到解？還是有其他更精妙的數學構造？我希望能看到書中對不同類型的邊值問題，例如Dirichlet、Neumann、Robin等邊界條件，在變分原理框架下的統一處理方式，以及它們各自的物理含義。

評分☆☆☆☆☆

在接觸瞭不同領域的科學問題後，我發現很多看似獨立的工程問題，在數學模型上卻有著驚人的相似之處，而變分原理及其數值求解方法，似乎是連接這些問題的通用語言。我期待這本書能夠幫助我建立起這種“數學模型通用性”的認知。例如，一個結構力學中的梁的彎麯問題，可能在數學形式上與一個流體力學中的薄膜振動問題有著異麯同工之妙。如果本書能夠通過對比不同領域的邊值問題，展示變分原理和MATLAB求解方法的普適性，那麼這本書的價值將遠遠超越其標題所限定的範圍，成為我學習和研究過程中一本不可多得的寶貴財富。它將幫助我培養一種從本質上去理解問題，並利用統一的數學工具去解決問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

很好用的書

評分☆☆☆☆☆

看看求解方法

評分☆☆☆☆☆

太理論化

評分☆☆☆☆☆

很好看的一本書

評分☆☆☆☆☆

適閤初學的做教材，參考書

評分☆☆☆☆☆

看上去不錯，還沒細看

評分☆☆☆☆☆

幫人買的，應該還不錯

評分☆☆☆☆☆

太理論化

評分☆☆☆☆☆

很好看的一本書