微分方程（组）边值问题的变分原理及MATLAB求解/普通高等教育“十二五”规划教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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李海春，张志霞，黄蕊 等 著

图书标签:

• 微分方程
• 边值问题
• 变分原理
• MATLAB
• 数值分析
• 高等数学
• 科学计算
• 工程数学
• 数学模型
• 规划教材

出版社： 中国水利水电出版社

ISBN：9787517016571

版次：1

商品编码：11410485

包装：平装

丛书名： 普通高等教育十二五规划教材

开本：16开

出版时间：2014-01-01

用纸：胶版纸

页数：218

正文语种：中文

编辑推荐

　　《微分方程（组）边值问题的变分原理及MATLAB求解/普通高等教育“十二五”规划教材》属于古典变分法的范畴，它突破变分法未在微分方程组中应用的限制，将该方法深入到方程组等相互作用的系统中，使变分法理论趋于完善。通过对微分方程组边值问题的求解，显示该方法有很大的可行性和正确性，这种方法将促使很多领域迅猛发展，特别是在人工智能（机器人）、航空、航天、土木、机械、水文和原子能等领域。

内容简介

　　《微分方程（组）边值问题的变分原理及MATLAB求解/普通高等教育“十二五”规划教材》共有6章：第1章简单介绍C空间、Lp空间和Soboley空间及其性质，讨论这些空间的积空间和对偶空间；第2章介绍变分引理、F．Riesz表示定理、Lax—Milgram定理和Lion定理等；第3章建立微分方程（组）对应泛函；第4章给出微分方程（组）周期边值问题解的估计式；第5章运用Ritz方法，应用MATLAB软件，求各种微分方程（组）边值问题的近似解，并给出程序；第6章运用Galerkin方法，应用MATLAB软件，求各种微分方程（组）周期边值问题的近似解，给出程序。
　　《微分方程（组）边值问题的变分原理及MATLAB求解/普通高等教育“十二五”规划教材》借鉴已有研究成果，可作为数学系相关专业和理工科学生教材。对于没有基础人员也可直接研究最后两章，学会应用Ritz方法和Galerkin方法求解微分方程边值问题等。一些重要的定义、内容和证明是作者给出或引用的，疏漏和错误在所难免，真诚欢迎读者批评指正。

目录

前言
第1章 广义空间和广义（偏）导数
1.1 线性空间和线性算子
1.2 整数次Soboley空间及其广义导数
1.3 积空间、对偶空间和广义导数
1.4 泛函的Frechet和Gateaux微分

第2章 变分原理及其方法
2.1 变分方法的基本概念
2.2 变分法基本引理及不等式
2.3 泛函极值问题
2.4 F.Riesz表示定理、Lax-Milgram定理和Lions定理
2.5 变分问题的直接方法

第3章 微分方程（组）边值问题的弱解存在性与唯一性
3.1 微分方程边值问题的弱解存在性与唯一性
3.2 常微分方程组边值问题的弱解存在性
3.3 椭圆型方程组边值问题的弱解存在性
3.4 抛物型方程组边值问题的弱解存在性
3.5 双曲型方程组边值问题的弱解存在性

第4章 微分方程（组）解的先验估计
4.1 微分方程边值问题解的先验估计
4.2 椭圆型方程边值问题解的先验估计
4.3 抛物型方程边值问题解的先验估计
4.4 双曲型方程边值问题解的先验估计

第5章 Ritz方法求微分方程（组）边值问题的近似解
5.1 常微分方程边值问题的近似解
5.2 偏微分方程边值问题的近似解
5.3 常微分方程组边值问题的近似解
5.4 偏微分方程组近似解

第6章 Galerkin方法求微分方程（组）边值问题的近似解
6.1 Galerkin方法求微分方程边值问题的近似解
6.2 Galerkin方法求常微分方程组边值问题的近似解
6.3 Galerkin方法求偏微分方程组边值问题的近似解
参考文献
后记

前言/序言

微分方程（组）边值问题的变分原理及MATLAB求解 引言 微分方程是描述自然界和社会现象中各种变化规律的强大工具，而边值问题是微分方程中一类具有重要理论和应用价值的方程。与初值问题不同，边值问题在定义域的边界上给出条件，这使得问题的求解更具挑战性，同时也带来了更丰富的物理和工程内涵。本书旨在深入探讨微分方程（组）边值问题的变分原理，并结合现代计算工具MATLAB，系统阐述求解各类边值问题的有效方法。 第一部分：微分方程（组）边值问题基础 本部分将为读者打下坚实的理论基础，介绍微分方程（组）边值问题的基本概念、分类及其重要性。 微分方程与边值问题概述： 微分方程的定义与分类： 详细介绍常微分方程和偏微分方程，区分它们的结构和应用场景。 边值问题的定义： 明确边值问题与初值问题的区别，阐述边界条件的形式（如Dirichlet条件、Neumann条件、Robin条件等）及其物理意义。 边值问题的重要性： 探讨边值问题在物理学（热传导、流体力学、弹性力学）、工程学（结构分析、电路设计）、生物学（种群动态）等领域中的广泛应用，通过具体实例展示边值问题模型的建立过程。 边值问题解的存在性与唯一性： 介绍判断边值问题解的存在性与唯一性的基本定理和方法，为后续的求解打下理论基础。 一阶与二阶常微分方程边值问题： 一阶边值问题： 分析一阶常微分方程边值问题的特点，探讨其解的结构和性质。 二阶常微分方程边值问题： 重点研究二阶常微分方程边值问题，包括线性与非线性情况。介绍自伴算子、Sturm-Liouville理论等关键概念，为理解更复杂的边值问题奠定基础。 线性二阶边值问题的解法： 讨论解析解法（如参数变量法、待定系数法）在特定情况下的应用，并指出其局限性。 非线性二阶边值问题的挑战： 分析非线性边值问题求解的复杂性，引出数值求解方法的必要性。 高阶常微分方程边值问题： 高阶线性边值问题： 介绍高阶线性常微分方程边值问题的结构及其解的性质，探讨利用线性代数方法处理此类问题。 高阶非线性边值问题： 简要提及高阶非线性边值问题的求解难度，为后续的数值方法做铺垫。 偏微分方程边值问题入门： 偏微分方程的基本概念： 介绍常见的偏微分方程，如热方程、波动方程、拉普拉斯方程等。 偏微分方程边值问题： 阐述偏微分方程边值问题的定义，重点介绍在不同几何区域上的边界条件。 分离变量法： 介绍分离变量法在求解某些简单偏微分方程边值问题中的应用，展示其思想和局限性。 傅里叶级数与傅里叶变换： 介绍傅里叶级数和傅里叶变换在处理周期性边界条件和无穷域问题中的重要作用。 第二部分：微分方程（组）边值问题的变分原理 本部分将深入探讨变分原理在边值问题求解中的核心作用，揭示其理论的深刻性与应用的广泛性。 泛函与变分： 泛函的定义： 引入泛函的概念，将其视为一个函数，其输入是函数，输出是数值。 求泛函极值问题： 阐述求泛函极值与求函数极值的异同。 变分运算： 定义变分，类比微分，介绍变分运算的基本性质和法则。 欧拉-拉格朗日方程： 推导和阐述欧拉-拉格朗日方程，指出它是求解泛函极值问题的核心工具，直接关联着微分方程。 变分原理与微分方程（组）的联系： 达朗贝尔原理与虚功原理： 从力学角度引入达朗贝尔原理和虚功原理，展示变分原理在力学问题中的起源。 能量最小化原理： 阐述许多物理系统的稳态（如弹性体的平衡态、稳态热传导）可以通过能量泛函的最小化来描述，从而导出相应的微分方程。 黎曼积分与积分型变分原理： 将变分原理从解析形式转化为积分形式，引入与特定微分方程（组）等价的积分型变分原理。 边界条件与变分原理的对应关系： 详细分析不同类型的边界条件（Dirichlet, Neumann, Robin）是如何从变分原理中自然导出的，理解其内在联系。 泛函的构造： 探讨如何为给定的微分方程（组）边值问题构造相应的泛函，这是应用变分原理求解边值问题的关键步骤。 经典变分原理的应用： 弹性力学中的最小势能原理： 分析弹性体在受力作用下的平衡状态，其总势能泛函最小化，推导弹性力学的控制方程。 稳态热传导的最小热能原理： 讨论稳态热传导问题，建立相应的能量泛函，求解热传导方程。 其他物理与工程领域的变分原理： 介绍变分原理在电磁场理论、流体力学、量子力学等领域中的应用实例。 有限元法的变分原理基础： 有限元法的基本思想： 介绍有限元法将连续域离散化为有限个单元的思想，以及其在工程和科学计算中的广泛应用。 弱形式与变分形式： 阐述将微分方程转化为其弱形式（或变分形式），这是有限元法求解的理论基础。 伽辽金法与瑞兹法： 介绍常用的求解弱形式的方法，如伽辽金法和瑞兹法，并说明它们与变分原理的紧密联系。 构造有限元泛函： 讲解如何在离散域上构造有限元泛函，并利用变分原理求解。 第三部分：MATLAB在边值问题求解中的应用 本部分将重点介绍如何利用MATLAB强大的数值计算和可视化能力，求解各种类型的微分方程（组）边值问题，将理论与实践相结合。 MATLAB数值求解基础： MATLAB环境介绍： 简要介绍MATLAB的开发环境、基本语法和常用工具箱。 数值微分与积分： 介绍MATLAB中用于数值微分和积分的函数，及其在求解微分方程中的作用。 线性代数运算： 强调MATLAB在处理大型线性方程组中的优势，以及在有限元法等数值方法中的关键地位。 MATLAB求解常微分方程边值问题： `bvp4c`函数详解： 深入讲解MATLAB内置的常微分方程边值问题求解器`bvp4c`，包括其工作原理、函数调用格式、参数设置以及结果处理。 案例分析： 通过一系列典型的二阶和高阶常微分方程边值问题，展示如何使用`bvp4c`进行求解，包括自定义ode函数、边界条件函数，以及如何处理不同类型的边界条件。 结果可视化： 介绍如何利用MATLAB的绘图函数，如`plot`，对求解得到的边值问题解进行可视化展示，直观理解解的分布和行为。 参数化研究： 演示如何利用`bvp4c`进行参数化研究，分析不同参数变化对边值问题解的影响。 MATLAB求解偏微分方程边值问题： 偏微分方程工具箱（PDE Toolbox）： 详细介绍MATLAB PDE Toolbox的功能，包括其几何建模、网格生成、方程设置、求解器选择和结果分析等。 典型偏微分方程边值问题求解： 热传导方程： 演示如何使用PDE Toolbox求解一维、二维和三维的热传导边值问题，包括瞬态和稳态情况。 波动方程： 演示如何求解波动方程的边值问题，模拟波的传播过程。 拉普拉斯方程和泊松方程： 演示求解稳态场问题的边值问题，如电势分布、流体流动等。 自定义方程和边界条件： 讲解如何在PDE Toolbox中输入自定义的偏微分方程和复杂的边界条件。 网格划分与适应性网格： 介绍网格划分对求解精度的影响，以及适应性网格技术的使用。 结果分析与后处理： 演示如何对PDE Toolbox的求解结果进行可视化，如绘制位移图、等值线图，以及进行数值分析。 有限元法在MATLAB中的实现： 基于MATLAB的有限元框架： 介绍如何利用MATLAB构建或使用现有的有限元分析框架，对边值问题进行求解。 自定义有限元求解器： 演示如何编写简单的有限元求解器，从组装单元刚度矩阵、载荷向量，到求解全局方程组，实现对边值问题的数值求解。 与PDE Toolbox的结合： 说明PDE Toolbox本质上也是基于有限元方法的，理解其内部实现机制。 高级应用与技巧： 迭代求解器的应用： 介绍在处理大型稀疏矩阵方程组时，MATLAB中常用的迭代求解器。 并行计算： 探讨如何利用MATLAB的并行计算工具箱，加速大型边值问题的求解。 代码优化与性能提升： 提供一些编写高效MATLAB代码的技巧，以提升边值问题求解的效率。 问题调试与错误排查： 针对常见的求解错误，提供有效的调试方法和排查思路。 结论 本书通过深入浅出的讲解，系统地梳理了微分方程（组）边值问题的变分原理，并详细介绍了如何运用MATLAB这一强大的计算工具求解各类边值问题。我们希望本书能为读者提供一个坚实的理论基础和实用的操作技能，帮助他们在科学研究和工程实践中，有效地解决微分方程（组）边值问题。理解并掌握变分原理，不仅能加深对数学模型背后物理意义的认识，更能为开发更高效、更通用的数值求解算法提供理论指导。MATLAB的引入，则将理论研究的成果转化为可操作的计算工具，使得复杂问题得以解决，并能通过直观的可视化手段来理解和分析结果。本书的编写旨在成为一本兼具理论深度和实践指导意义的参考书，为广大读者提供有益的帮助。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的另一大期待，在于其“MATLAB求解”的部分。在当今的科学研究和工程应用中，理论推导固然重要，但实际问题的数值求解能力更是不可或缺。MATLAB作为一种强大的数值计算和可视化工具，在工程界有着广泛的应用。能够将抽象的变分原理转化为具体的MATLAB代码实现，将极大地提升解决实际问题的效率和可行性。我希望书中不仅会给出直接的MATLAB代码示例，更重要的是，能够深入讲解如何根据变分原理推导出求解算法，例如有限元法的离散化过程，以及如何在MATLAB中实现这些算法。这其中涉及到对数值积分、线性方程组求解、网格划分等一系列数值计算方法的理解和应用。如果书中能够提供一些关于如何将复杂几何形状的边值问题，通过网格划分和单元插值，最终转化为大型稀疏线性方程组，并用MATLAB高效求解的指导，那将是我非常看重的。

评分☆☆☆☆☆

我个人对“边值问题”这个概念的理解，总是比初值问题要来得更加直观和具象。初值问题像是描述一个系统从某个初始状态出发，在给定的时间演化规律下如何发展；而边值问题则更像是“约束”和“平衡”的体现，系统需要满足在空间域上的边界条件，最终达到一个稳定的状态。这种“约束”在实际工程中无处不在，例如固定在墙壁上的梁的受力变形，或者流体在管道中的流动状态。我非常好奇，本书会如何从变分原理的角度来“解构”这些边值问题。是会通过寻找一个满足特定边界条件的能量泛函的极值点来得到解？还是有其他更精妙的数学构造？我希望能看到书中对不同类型的边值问题，例如Dirichlet、Neumann、Robin等边界条件，在变分原理框架下的统一处理方式，以及它们各自的物理含义。

评分☆☆☆☆☆

在阅读一本技术类书籍时，我通常会关注其理论深度和应用广度的平衡。这本书的标题“微分方程（组）边值问题的变分原理及MATLAB求解”似乎已经很好地兼顾了这一点。理论部分，我期待它能深入剖析变分原理的数学基础，例如瑞利-里兹法、伽辽金法等，并详细推导它们与微分方程边值问题的联系。应用部分，我希望它能展示如何将这些理论应用于解决实际工程问题，并且通过MATLAB的求解过程，让读者直观地看到理论的落地。我尤其关心书中是否会包含一些真实世界中的案例研究，例如桥梁的结构分析、飞机的气动外形设计、或者地球物理勘探等领域中遇到的边值问题，并通过变分原理和MATLAB求解来展示解决过程。这样的案例，不仅能加深读者对理论的理解，更能激发读者将所学知识应用于解决实际问题的热情。

评分☆☆☆☆☆

作为一名数理基础相对扎实的工科博士生，我一直对如何更深入地理解和解决实际工程问题中的数学模型抱有浓厚的兴趣。在我的学习和研究过程中，涉及微分方程的场景屡见不鲜，但很多时候，传统的初值问题求解方法在面对一些复杂的边界约束时显得力不从心，或者说，其理论框架难以直接套用。因此，当我偶然间看到《微分方程（组）边值问题的变分原理及MATLAB求解/普通高等教育“十二五”规划教材》这本书时，立刻被其标题所吸引。虽然我还没有机会深入研读，但从书名本身传递出的信息，我能够预见到这本书所蕴含的深刻价值。 首先，“变分原理”这个词汇就让我眼前一亮。它预示着本书将从一个更加宏观和物理直观的角度来审视微分方程的边值问题。我一直认为，很多数学概念之所以难以理解，很大程度上是因为我们仅仅看到了其抽象的符号和推导过程，而忽略了其背后蕴含的物理意义和优化思想。变分原理，特别是与物理系统中的能量最小化、作用量最小化等概念联系起来时，往往能提供一种全新的视角，帮助我们理解问题的本质。这种从“物理”到“数学”的转化，往往是解决复杂工程难题的关键。我非常期待书中能够详细阐述能量原理、伽辽金法等变分方法的由来、核心思想以及它们如何巧妙地转化为求解边值问题的强大工具。例如，在力学领域，很多结构稳定性、振动分析问题都可以通过寻找能量泛函的极值来获得。在电磁场理论中，麦克斯韦方程组的某些形式也可以用变分原理来表述。我希望本书能够清晰地梳理这些联系，为我打开新的思路。

评分☆☆☆☆☆

提到MATLAB求解，我更看重的是其“如何求解”的精髓，而不仅仅是复制粘贴代码。我希望书中能够详细讲解在MATLAB中实现有限元方法或其他变分数值方法时，涉及到的一些关键技术点。例如，如何构建单元刚度矩阵和载荷向量，如何根据边界条件进行节点自由度的处理，以及如何使用MATLAB的线性代数工具箱高效地求解大型稀疏方程组。此外，对于偏微分方程组的边值问题，其复杂性会大大增加。我期待书中能够展示如何处理多物理场耦合的问题，例如热应力耦合问题，或者流固耦合问题，以及如何在MATLAB中实现这些耦合问题的变分数值求解。这种对实现细节的深入剖析，将极大地提升我独立解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，学习数学工具的目的，是为了更好地理解和改造世界。对于“变分原理”，我最感兴趣的地方在于它所蕴含的“优化”思想。很多自然现象和工程系统，本质上都在遵循某种“最小化”或“最大化”的原则。例如，光线在介质中的传播遵循费马原理，即光程最短；弹簧系统在平衡状态下，其势能最小。变分原理正是将这种“优化”思想系统化、数学化，并将其应用于求解微分方程。我希望本书能够清晰地阐述这种“优化”思想是如何与微分方程的边值问题建立联系的，例如，通过构造一个泛函，使得该泛函的极值对应的函数解恰好是微分方程的边值问题解。这种从“目的”出发来寻找“方法”的思路，往往比直接从“方法”出发来套用要深刻得多。

评分☆☆☆☆☆

我对于变分原理的理解，还停留在一些比较基础的层面。我一直希望能够更系统地学习如何将这种强大的理论工具应用于解决更复杂的边值问题，尤其是那些存在不规则几何形状、复杂材料性质或者非线性边界条件的问题。我期待本书能够提供一些通用的框架和方法，帮助我理解如何根据具体的边值问题，构造出合适的变分泛函，并最终将其转化为可计算的模型。同时，我希望书中能够提供一些关于如何进行模型验证和误差分析的指导。例如，如何通过与解析解的对比，或者通过网格加密分析，来评估数值解的准确性。这种对科学研究严谨性的强调，是我在选择技术书籍时非常看重的一点。

评分☆☆☆☆☆

在接触了不同领域的科学问题后，我发现很多看似独立的工程问题，在数学模型上却有着惊人的相似之处，而变分原理及其数值求解方法，似乎是连接这些问题的通用语言。我期待这本书能够帮助我建立起这种“数学模型通用性”的认知。例如，一个结构力学中的梁的弯曲问题，可能在数学形式上与一个流体力学中的薄膜振动问题有着异曲同工之妙。如果本书能够通过对比不同领域的边值问题，展示变分原理和MATLAB求解方法的普适性，那么这本书的价值将远远超越其标题所限定的范围，成为我学习和研究过程中一本不可多得的宝贵财富。它将帮助我培养一种从本质上去理解问题，并利用统一的数学工具去解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

作为一本“普通高等教育‘十二五’规划教材”，我预计这本书在内容的系统性、严谨性和教学的适宜性上会有较高的水准。这意味着它不仅仅是学术研究的前沿探索，更是面向 undergraduate 和 graduate 学生的扎实基础知识体系。我期望这本书能够循序渐进地引导读者，从最基本的变分概念开始，逐步深入到复杂的偏微分方程组的边值问题。对于没有接触过变分原理的读者，书中是否能够提供足够的背景知识铺垫，比如对泛函分析的初步介绍，或者对积分形式的微分方程的理解。而且，对于“十二五”规划教材的要求，通常也意味着内容的时效性和实用性。我希望书中能够涵盖一些当前在工程领域中较为常见和重要的边值问题类型，例如热传导、弹性力学、流体力学等领域中的一些经典问题。

评分☆☆☆☆☆

我对于“十二五”规划教材的定位，通常意味着其内容的权威性和前瞻性。虽然“十二五”已经过去，但这并不影响其作为一本优质教材所包含的经典理论和方法。我相信，这本书所涵盖的变分原理和MATLAB求解方法，对于当前和未来的科学研究与工程实践依然具有重要的指导意义。我尤其看重本书在理论构建和方法论上的严谨性。例如，在推导变分格式时，是否严谨地考虑了函数的性质、积分的收敛性等问题。在介绍MATLAB求解时，是否考虑了数值稳定性和精度的问题，以及如何选择合适的数值算法和参数。这些细节，往往是决定一个方法能否真正可靠应用的关键。

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适合初学的做教材，参考书

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不是和京东配送一起来的这一本书很新了

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太理论化

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帮人买的，应该还不错

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看上去不错，还没细看

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好书

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看看求解方法

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