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内容简介

博弈论选讲对博弈论中的主要数学模型进行了比较全面的介绍, 然后应用非线性分析的理论和方法, 对此进行了比较深入的研究．内容包括：数学预备知识、矩阵博弈与两人零和博弈、双矩阵博弈与n 人非合作有限博弈、n 人非合作博弈、广义博弈、数理经济学中的一般均衡定理、BAyes 博弈与主从博弈、多目标博弈与广义多目标博弈、完美平衡点与本质平衡点、合作博弈简介．

目录

前言
第 1讲数学预备知识 1
1.1 n维欧氏空间 Rn 1

1.2凸集与凸函数 7

1.3集值映射的连续性 13

1.4不动点定理与 Ky FAn不等式 22第 2讲矩阵博弈与两人零和博弈 36
2.1矩阵博弈 36
2.2两人零和博弈 42第 3讲双矩阵博弈与 n人非合作有限博弈 44
3.1双矩阵博弈 44

3.2 n人非合作有限博弈 47第 4讲 n人非合作博弈 49
4.1 n人非合作博弈 NAsh平衡点的存在性 49
4.2鞍点的存在性 55
4.3 Cournot博弈 .58
4.4公共地悲剧问题 .60
4.5策略集无界情况下 NAsh平衡点的存在性 62

4.6轻微利他平衡点的存在性 64第 5讲广义博弈 66第 6讲数理经济学中的一般均衡定理 . 71
6.1 WAlrAs的一般经济均衡思想 71

6.2自由配置均衡价格的存在性 (超需映射是连续映射) 72

6.3自由配置均衡价格的存在性 (超需映射是集值映射) 75

6.4均衡价格的存在性 77

6.5福利经济学第一定理 80
6.6 NAsh平衡点存在性定理的应用 81第 7讲 BAyes博弈与主从博弈 88
7.1 BAyes博弈平衡点的存在性 88

7.2主从博弈平衡点的存在性 89

第 8讲多目标博弈与广义多目标博弈 . 91
8.1向量值函数关于 Rk 的连续性和凸性 91

+
8.2向量值 Ky FAn不等式 97

8.3向量值拟变分不等式 99
8.4多目标博弈弱 PAreto-NAsh平衡点的存在性 102

8.5策略集无界情况下多目标博弈弱 PAreto-NAsh平衡点的存在性 104
8.6广义多目标博弈弱 PAreto-NAsh平衡点的存在性 106
8.7多目标博弈的权 PAreto-NAsh平衡点 107第 9讲完美平衡点与本质平衡点 109
9.1完美平衡点 109

9.2本质平衡点 111
第 10讲合作博弈简介 116

10.1联盟与核心 116

10.2 ShApley值 119

参考文献 121

精彩书摘

第 1讲数学预备知识
本书的预备知识主要是有关凸分析、集值映射、不动点定理和 Ky FAn不等式的一些基本概念和结论 .本讲将在 n维欧氏空间 Rn的框架中 ,对这部分内容作简明扼要的介绍,主要参考了文献 [11]～[16].
1.1 n维欧氏空间 Rn
关于 n维欧氏空间 Rn ,相信读者是熟悉的．
对任意 Rn中的两点 x =(x1, ,xn)和 y =(y1, ,yn),定义 x与 y之间的距离
[ n]1 d (x, y)= 生 (xi . yi)22 .i=1
显然有
(1) d (x, y) . 0, d (x, y)=0当且仅当 x = y;

(2) d (x, y)= d (y, x);

(3)对任意
Rn中的一点 z =(z1, ,zn), d (x, y) : d (x, z)+ d (y, z).


m
设 {xm}是 Rn中的一个序列 , x ∈ Rn ,如果 d (x,x) → 0(m →∞),则称 xm → x,显然 x是唯一确定的,即如果 xm → x, xm → y,则 x = y.
又 d (x, y)是 (x, y)的连续函数 ,即如果 xm → x, ym → y,则 d (xm,ym) → d (x, y).
对任意 x0 ∈ Rn和实数 r> 0,记 O (x0,r) = {x ∈ Rn : d (x, x0) 00
设 G是 Rn中的非空点集 , x0 ∈ G,如果存在 r> 0,使 O (x,r) . G,则称 x是 G的内点 . G中全体内点的集合称为 G的内部 ,记为 intG.如果 G中每一点都
是 G的内点,即 G = intG,则称 G是 Rn中的开集.显然有
(1)空集
.和 Rn都是开集;

(2)
任意个开集的并集是开集;

(3)
有限个开集的交集是开集．
设 F是 Rn中的非空点集 ,如果对 F中的任一序列 {xm}, xm → x,则必有



x ∈ F ,就称 F是 Rn中的闭集.易知闭集的余集是开集,开集的余集是闭集,且有
(1)空集
.和 Rn都是闭集;

(2)
任意个闭集的交集是闭集;

(3)
有限个闭集的并集是闭集．


设 A是 Rn中的非空点集 ,所有包含 A的闭集的交集 ,也就是包含 A的最小闭集,称为 A的闭包,记为 Aˉ.显然 A是闭集当且仅当 A = Aˉ.
设 X是 Rn中的非空点集 ,可以将其视为 Rn的子空间 :对任意 X中的两点
x =(x1, ,xn)和 y =(y1, ,yn),仍以 Rn中两点之间的距离公式 d (x, y)来定义它们在 X中两点之间的距离 . Rn中任意开集与 X的交即为 X中的开集 , Rn中任意闭集与 X的交即为 X中的闭集 . x0 ∈ X,任何包含 x0的 X中的开集称为 x0在 X中的开邻域.
设 A是 Rn 中的非空点集 ,称 d (A) = sup d (x, y)为 A的直径 . 如果
x∈A,y∈A
d (A) < ∞,则称 A是 Rn 中的有界集.

以下两个结果的证明见文献 [17].
聚点收敛定理设 X是 Rn中的有界闭集 ,则对 X中的任意序列 {xm},必有子序列 {xmk },使 xmk → x ∈ X (mk →∞).
注 1.1.1这是数学分析实数理论中 WeierstrAss定理的推广 .进一步 ,如果 X是 Rn中的有界集 ,则对 X中的任意序列 {xm},必有子序列 {xmk },使
mk
→ x (mk →∞),这里因 X不一定是闭集,故 x不一定属于 X.
λ∈Λ
m

G1, ,Gm,使 Gi . X.
i=1
注 1.1.2这是数学分析实数理论中 Borel覆盖定理的推广 .进一步 ,如果 X是 Rn中的有界闭集 , {Gλ : λ ∈ Λ}是 X中的任意一族开集 (其中 Λ是指标集 ),
m
Gλ = X,则存在这族开集中的有限个开集 G1, ,Gm,使 Gi = X.
λ∈Λ i=1
证明 .λ ∈ Λ,因 Gλ是 X中的开集 ,存在 Rn中的开集 Gλ.,使 Gλ = G.λ n X.
mm
因 G X,存在 G1., ,G.,使 G X,故 Gi = X.
λ mi
λ∈Λ i=1 i=1

设 X是 Rn中的非空子集 , f : X → R是一个函数 , x0 ∈ X,如果 .ε> 0,存在x0在 X中的开邻域 O (x0),使 .x ∈ O (x0),有
f (x) f (x 0) . ε),
则称 f在 x0是上半连续的 (或下半连续的 ).如果 f在 x0既上半连续又下半连续 ,
则称 f在 x0是连续的 ,此时 .x ∈ O (x0),有 f (x) . f (x0) <ε.如果 .x ∈ X,
f在 x连续 (或上半连续 ,或下半连续 ),则称 f在 X上是连续的 (或上半连续的 ,
或下半连续的).
设 A是 Rn中的非空点集 , x ∈ Rn ,称 d (x, A) = inf d (x, y)为 x与 A之间的
y∈A
距离. d (x, A)是 x的连续函数且 d (x, A)=0当且仅当 x ∈ Aˉ.
引理 1.1.1设 X是 Rn中的非空点集, f : X → R是一个函数,则
(1) f在 X上是上半连续的当且仅当 .c ∈ R, {x ∈ X : f (x) c}是 X中的闭集;

(2) f在 X上是下半连续的当且仅当 .c ∈ R, {x ∈ X : f (x) : c}是 X中的闭集;

(3) f在 X上是连续的当且仅当 .c ∈ R, {x∈ X : f(x) c}和 {x ∈X :f (x) :c}都是 X中的闭集.


m
证明只证 (1).设 f在 X上是上半连续的 , .x∈{x ∈ X : f (x) c}, xm → x0 ∈ X,则 xm ∈ X,且 f (xm) cε> 0,因 f在 x0上半连续且 xm → x0 ,
反之 , .x0 ∈ X, .ε> 0,因 {x ∈ X : f (x) f (x0) + ε}是 X中的闭集 ,故 {x ∈ X : f (x) 0
有 f (x) 注 1.1.3可以将引理 1.1.1叙述为:
(1) f在 X上是上半连续的当且仅当 .c ∈ R, {x ∈ X : f (x)
(2) f在 X上是下半连续的当且仅当 .c ∈ R, {x ∈ X : f (x) >c}是 X中的开集;

(3) f在 X上是连续的当且仅当 .c∈R, {x∈X : f (x)c}都是 X中的开集.


定理 1.1.1设 X是 Rn中的有界闭集, f : X → R,那么有
(1)如果
f在 X上是上半连续的,则 f在 X上有上界,且达到其最大值;

(2)如果
f在 X上是下半连续的,则 f在 X上有下界,且达到其最小值;


(3)如果 f在 X上是连续的 ,则 f在 X上既有上界也有下界 ,且达到其最大值和最小值.
证明只证 (1).用反证法 ,如果 f在 X上无上界 ,则对任意正整数 m,存在
m
x∈ X,使 f (xm) >m.因 X是 Rn中的有界闭集 ,由聚点收敛定理 ,必有 {xm}
mk
的子序列 {xmk },使 x→ x0 ∈ X.因 f在 x0是上半连续的 ,令 ε = 1,当 mk充分大时,有 mk m
记 M = sup f (x) < ∞,则对任何正整数 m,存在 x∈ X,使 M . m 1 <
x∈X
f (xm) : M.同上 ,存在 {xm}的子序列 {xmk },使 xmk → x ∈ Xε> 0,当 mk充
分大时,有 M . 1 M : f (x0).又 f (x0) : M,最后得 f (x0) = M.定理 1.1.2设 X是 Rn中的有界闭集 , {G1, ,Gm}是 X中的 m个开集 ,且
m
Gi = X,则存在从属于此开覆盖 {G1, ,Gm}的连续单位分划 {β1, ,βm},
i=1
即 .i =1, ,m, βi : X → R满足

n
(1)0()1;在上是连续的且有 ::.∈βXXβxx,,ii (2)()0,如果则 ;.∈∈XβG>xxx,ii(3)()=1.∈ Xβxx, ．ii=1 =1证明 定义如下::.→iβXR ,m,, i ()= .∈ X,βxxi .生 ()=0,=1()=0,首先如果则有因是.dx,XGidx,XGG ,m,,i, ii 开集是闭集故即而这与矛盾∈∈∈∈XGXGXx/GXG=xxx,,,,,.iiiii=1 生=10()1,()=1.由此在上连续且有 ::∈iβXXββ ,mxxx,,,,, iii ()0,()0,如果则 ∈∈βdx,XGx/XGG>>xx,.iiii=()()定义的范数或模n.∈ Rxx,xx,,1nll ().()0()注意到 有这样 nnm.∈.∈.→→∞RRdd=xyxyx,yx,xm,,, =()=()nn 定义与的内积.∈.∈RRxx,xyy,yxy1,, 1,,nn生
d (x, XGi)
md (x, XGi) i=1
m
i=1

m
生
ni=1
2
n 1
生生 2ll =xx.i
i=1
显然有
(1) lxl 0, lxl =0当且仅当 x =0;

(2) .α ∈ R, lαxl = |α|lxl;


(3) .y ∈ Rn , lx + yl : lxl + lyl.当且仅当 lxm . xl→ 0(m →∞).
n(x, y) = xiyi.i=1
显然有
(1) (x, x) 0, (x, x) =0当且仅当 x =0;

(2) (x, y) = (y, x);

(3) .α, β ∈ R, .z ∈ Rn , (αx + βy, z) = α (x, z) + β (y, z).
注意到 .x ∈ Rn ,有 (x, x) = lxl2 ,且 .y ∈ Rn ,有



|(x, y)| : lxllyl (CAuchy不等式).
引理 1.1.2 .x ∈ Rn , .y ∈ Rn ,平行四边形公式
2
22 川
lx + yl+ lx . yl2 =2 (lxl+ lyl
成立.
证明
22
lx + yl+ lx . yl= (x + y, x + y) + (x . y, x . y) = (x, x) +2 (x, y) + (y, y) + (x, x). 2 (x, y) + (y, y)
22
川
=2 (lxl+ lyl.
设 X和 Y分别是 Rm和 Rn中的两个非空子集 , Rm和 Rn上的距离函数分别记为 d和 ρ, f : X → Y是一个映射 , x0 ∈ X.如果 .ε> 0,存在 x0在 X中的开邻域 O (x0),使 .x ∈ O (x0),有 ρ (f (x) ,f (x 0)) < ε,
则称映射 f在 x0上连续的 .如果 f在 X中的每一点都连续 ,则称 f在 X上是连续的.此外,定义 X × Y = {(x, y): x ∈ X, y ∈ Y } ,
. (x, y) ∈ X × Y, . (x ,y ) ∈ X × Y,定义 (x, y)和 (x ,y )之间的距离
2
l ((x, y) , (x ,y )) = [(d (x, x ))2 +(ρ (y, y ))2]1 .
易知 ,如果 X和 Y分别是 Rm和 Rn中的有界闭集 ,则 X × Y必是 Rm+n中的有界闭集.

前言/序言

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