散度、旋度、梯度释义（图解版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] H.M.斯彻（H.M.Schey） 著，李维伟，夏爱生，段志坚 等 译

图书标签:

• 矢量分析
• 数学物理
• 高等数学
• 工程数学
• 梯度
• 散度
• 旋度
• 数学公式
• 图解
• 学习辅导

出版社： 机械工业出版社

ISBN：9787111501718

版次：1

商品编码：11821840

品牌：机工出版

包装：平装

丛书名： 图解直观数学译丛

开本：16开

出版时间：2015-11-01

用纸：轻型纸

页数：128

编辑推荐

适读人群 ：理工科学生，以及相关科研工作者
　　《散度、旋度、梯度释义（图解版）》以内容简明扼要、通俗易懂广受关注和读者好评。第Ⅰ章介绍了一个矢量函数的实例；第Ⅱ章介绍了应用高斯定理求场强、在柱状和球面坐标系中计算散度并且介绍了哈密顿算子；第Ⅲ章介绍了路径独立问题、旋度、环路定理、斯托克斯定理、安培环路定理；第Ⅳ章介绍了梯度和应用拉普拉斯方程求电场强度。全书内容结合图形与实例来介绍，以便读者更容易理解。
　　此书适用于理工科学生作为场论等课程的教材，也可作为相关科研工作者的参考书。

内容简介

　　《散度、旋度、梯度释义（图解版）》着重介绍了散度，梯度，旋度以及与之相关的矢量微积分，并使用图形的方式直观的理解他们的定义以及性质，书中例子多采用，电子，工程领域的实例。可为广大工程技术人员提供相关的参考。全书结合图形与实例以便读者更容易理解。

作者简介

　　H.M. 斯彻，是罗彻斯特理工学院数学与统计学专业的教授。30年前，他编写的《散度、梯度、旋度释义》第1版一经问世就以其内容简明扼要、通俗易懂广受关注和好评，随后经过不断的修订、完善，时至今日已经是第4版，可谓是经久不衰。

目录

译者的话
第4版序言
第Ⅰ章引言、矢量函数和静电学1
引言1
矢量函数2
静电学4
习题Ⅰ6
第Ⅱ章面积分和散度8
高斯定理8
单位法向量9
面积分的定义12
计算面积分15
通量23
应用高斯定理求电场强度24
散度28
柱状和球面坐标系下的散度31
哈密顿算子33
散度定理34
散度定理的两个简单应用37
习题Ⅱ39
第Ⅲ章线积分和旋度50
功和线积分50
涉及矢量函数的线积分52
路径的独立性55
旋度58
柱面坐标系和球面坐标系下的旋度63
旋度的意义66
环路定理的微分形式69
斯托克斯定理70
斯托克斯定理的应用75
斯托克斯定理和单连通区域77
路径的独立性和旋度78
习题Ⅲ79
第Ⅳ章梯度90
线积分和梯度90
计算静电场的电场强度94
应用拉普拉斯方程96
方向导数和梯度101
梯度的几何意义106
柱面和球面坐标系下的梯度109
习题Ⅳ112

前言/序言

　　新版与第3版的不同之处主要有两个方面。第一，增加了一些新的实例。这是采纳了一些学生的意见，他们认为这些例子有助于理解本书和解答习题。我们的目标是增加足够多的有益的实例，同时并不显著增加书的厚度。(两位评论人建议我一点也不增加书的页数，因此，书中没有提供Sr. de Cervantes'问题的解答)
　　本版和此前版本的第二个主要不同是两个球面角θ，φ角色的转换。之前版本的书中，通常θ作为极坐标角，φ作为方位角，现在，按照更通用的规范对二者掉换，使θ表示方位角，φ表示极坐标角。
　　我诚挚感谢多年来一直支持我的读者，他们与我的通信为我改进此书提出了很多宝贵的建议。许多建议都在本书中得以采纳，这也是此书经久不衰的重要原因之一。

物理世界中的运动与场：微积分在矢量分析中的应用 本书深入探讨了描述空间中变化和流动的核心数学工具——矢量微积分，通过详尽的数学推导和丰富的物理实例，系统阐述了如何运用梯度（Gradient）、散度（Divergence）和旋度（Curl）这三大算子来精确刻画自然界的各种物理现象。 第一部分：矢量场的几何直观与数学基础 在物理学和工程学中，我们常常需要处理的量不仅仅是大小（标量），还涉及方向，比如温度分布（标量场）和风速或电场强度（矢量场）。本部分为后续深入分析奠定坚实的数学基础。 1.1 坐标系的选择与变换 介绍直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系下的矢量表示。重点分析不同坐标系下矢量分量的变换规则，特别是如何构建和应用雅可比矩阵（Jacobian Matrix）来实现坐标系间的平滑过渡。理解坐标系对后续运算形式的影响至关重要。 1.2 矢量函数与偏导数 详细讲解矢量函数（Vector Function）的定义，即一个自变量（通常是空间位置 $ mathbf{r} = (x, y, z) $）对应一个矢量值。在此基础上，深入剖析偏导数的概念，这是理解梯度、散度和旋度的起点。我们通过分析特定物理量（如流体速度随时间或空间的变化率）如何依赖于各个独立变量，来建立偏导数的物理意义。 1.3 路径积分与面积分基础 矢量微积分的核心在于积分。本书首先引入线积分（Line Integrals）和面积分（Surface Integrals）的概念。线积分用于计算沿特定路径的功或通量积累，面积分则用于计算穿过某一曲面的总量。我们严格定义了这些积分，并展示了它们在电磁学（计算电场力所做的功）和流体力学（计算穿过截面的质量流率）中的基本应用场景。 第二部分：梯度——变化率的指向 梯度是描述标量场（如温度、势能）空间变化剧烈程度和方向的算子。 2.1 梯度的数学定义与计算 定义梯度算子 $ abla $（Nabla 算子），并给出其在直角坐标系下的明确表达式 $ abla f = left( frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z} ight) $。本书详细演示了如何对复杂的多元函数计算梯度，包括使用链式法则处理复合函数。 2.2 梯度的物理意义：最大变化率的方向 这是理解梯度的关键。通过二维平面的等高线图（Level Curves），直观展示梯度矢量总是垂直于等值线（或等势面）。在三维空间中，梯度矢量指向函数值增长最快的方向，其大小（模）则代表了该方向上的变化速率。我们通过分析山地地形图上爬升最陡峭的方向来类比这一概念。 2.3 梯度在物理学中的应用 保守场与势能： 阐述了保守力场（如重力场、静电力场）可以表示为某一标量势函数（如引力势能、电势）的负梯度，即 $ mathbf{F} = - abla V $。这极大地简化了力学和电磁学问题的求解。 热传导： 解释了热流密度（Heat Flux Density）的方向与温度梯度方向相反，体现了热量总是从高温流向低温的自然趋势。 第三部分：散度——场的源与汇 散度（Divergence）是描述矢量场在某一点发散或汇聚程度的标量算子。 3.1 散度的数学定义与计算 定义散度算子 $ abla cdot mathbf{F} $，它是矢量场 $ mathbf{F} $ 与 $ abla $ 算子的点积。详细计算了其在不同坐标系下的展开形式。 3.2 散度的物理意义：源强度与净流量 散度的物理意义在于衡量场源的强度。 如果某点的散度大于零 $ ( abla cdot mathbf{F} > 0) $，则该点是矢量场的“源”（Source），表示有净流出。 如果散度小于零 $ ( abla cdot mathbf{F} < 0) $，则该点是“汇”（Sink），表示有净流入。 如果散度等于零 $ ( abla cdot mathbf{F} = 0) $，则该场是无源场（Solenoidal Field），场线在该点既不产生也不消失。 3.3 散度定理（高斯定理） 本书将散度与面积分联系起来，详述了散度定理（Divergence Theorem）。该定理表明，通过一个闭合曲面的矢量场的净通量，等于该曲面所包围的体积内所有点散度之和（积分形式）。我们通过分析水箱中水流的进出情况，直观理解该定理如何连接了场源的密度和边界的总流量。 3.4 散度在物理学中的应用 流体力学： 对于不可压缩流体，其速度场的散度恒为零（质量守恒）。 电磁学（高斯定律）： 电场的散度与电荷密度 $ ho $ 直接相关，即 $ abla cdot mathbf{E} = frac{ ho}{epsilon_0} $，揭示了电荷是电场的源头。 第四部分：旋度——场的旋转倾向 旋度（Curl）是描述矢量场在某一点旋转或扭曲程度的矢量算子。 4.1 旋度的数学定义与计算 定义旋度算子 $ abla imes mathbf{F} $，它是 $ abla $ 算子与矢量场 $ mathbf{F} $ 的叉积。本书详细推导了其分量形式，并强调旋度是一个矢量，其方向遵循右手法则。 4.2 旋度的物理意义：旋转轴与角速度 旋度的矢量方向指示了场线上“最可能”的旋转轴，而其大小则衡量了旋转的强度。 如果某点的旋度为零 $ ( abla imes mathbf{F} = mathbf{0}) $，则该场是无旋场（Irrotational Field）。对于保守力场，其旋度必然为零。 如果旋度不为零，则表示场线在该点存在环流或涡旋结构。 4.3 斯托克斯定理（旋度定理） 将旋度与线积分联系起来，本书详细阐述了斯托克斯定理。该定理指出，矢量场沿一个闭合曲线的线积分（环流），等于该曲线所包围的曲面上旋度的面积分。这说明了环流是场在特定路径上旋转强度的积分体现。 4.4 旋度在物理学中的应用 流体力学： 旋度用于描述流体的涡度（Vorticity）。零旋度意味着流体微团在流动中没有净旋转。 电磁学（法拉第电磁感应定律）： 变化的磁场会产生涡旋电场，其关系式为 $ abla imes mathbf{E} = -frac{partial mathbf{B}}{partial t} $，揭示了电场和磁场之间的动态耦合关系。 第五部分：矢量微积分的统一框架 本部分总结了三大算子之间的内在联系，并讨论了在更抽象的微分几何框架下，它们如何共同构成了描述空间变化的完备工具集。通过对比梯度、散度和旋度的数学形式，读者将能建立一个统一的视角，理解它们在描述物理实在中的互补作用。本书旨在使读者不仅掌握计算方法，更能深刻理解这些数学工具背后的物理内涵。

评分☆☆☆☆☆

让我印象特别深刻的是关于“旋度”的阐述。在我的求学经历中，旋度这个概念总是伴随着“旋转”、“涡旋”等描述，但始终缺乏一种深入骨髓的理解。这本书的作者在这方面下了很大的功夫，他用非常巧妙的类比，比如描述水龙头放水时水流的漩涡，或者电风扇转动时扇叶周围空气的流动，来解释旋度的物理意义。更重要的是，他通过大量的图示，详细地展示了矢量场在某个微小区域内的“旋转趋势”，以及如何通过计算这个区域内的环量来衡量旋度的大小和方向。我尤其喜欢作者在讲解过程中，不断强调旋度和“力矩”、“角动量”等物理概念的联系，这让我意识到，旋度不仅仅是数学工具，更是理解很多物理现象的钥匙。读完这部分，我再遇到涉及旋转和涡流的物理问题，脑海中立刻就会浮现出书中的图示，并且能更自信地分析问题的本质，这是一种非常宝贵的学习体验。

评分☆☆☆☆☆

这本书的优点远不止于对单个概念的图解。它非常注重将这三个概念——散度、旋度、梯度——联系起来，展示它们之间的内在关系以及在不同物理定律中的应用。例如，在讲解高斯定律、安培定律等经典物理方程时，作者会用散度和旋度来解释这些方程的物理含义，以及它们如何描述电场、磁场等场的性质。我最欣赏的一点是，这本书并不是简单地罗列公式和应用，而是通过逻辑清晰的推理过程，将抽象的数学工具与具体的物理现象紧密结合，让我们明白为什么需要这些概念，以及它们如何帮助我们理解和描述自然界的规律。这种“知其然，更知其所以然”的讲解方式，让我在学习过程中获得了极大的满足感，也让我对物理学的理解提升到了一个新的高度。

评分☆☆☆☆☆

梯度这个概念，在物理和数学中都无处不在，但理解它的“变化率”以及“最快增长方向”却需要一定的悟性。这本书在这方面做得相当出色。作者并没有直接抛出梯度公式，而是从更基础的“坡度”概念入手，比如山坡的陡峭程度，以及一个人想要最快速度爬上山顶的方向。通过这些直观的例子，梯度最核心的含义——“方向导数”和“变化率最大值”——就变得清晰可见。书中的图解也功不可没，它们展示了不同函数在三维空间中的等高线，以及梯度矢量如何垂直于等高线指向函数值增长最快的方向。我感觉自己好像真的在用手触摸函数的“地形”，感受它在不同方向上的“起伏”。这种从易到难、层层递进的讲解方式，让梯度这个曾经让我觉得有些抽象的概念，变得触手可及，也让我对它在求解最优化问题、描述物理场变化等方面的应用有了更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

总的来说，这本书是一本非常优秀的科普读物，它的目标读者群定位非常精准。无论是对物理学和高等数学感兴趣的初学者，还是希望加深对这些基础概念理解的在校学生，甚至是工作中会接触到相关概念的专业人士，都能从中获益匪浅。我尤其推荐那些曾经因为晦涩难懂的数学定义而对物理学望而却步的朋友们。这本书的图文并茂，语言通俗易懂，而且讲解的逻辑非常清晰，能够有效地消除学习中的障碍。它不仅仅是一本“工具书”，更像是一本“启迪书”，它点燃了我对数学和物理的兴趣，让我看到了理解世界的新视角。如果说以前我学习这些概念只是“死记硬背”，那么读完这本书，我感觉自己真的“活”了过来，能够用一种更直观、更深刻的方式去理解它们。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就相当吸引人，简洁却又充满科技感，让人一眼就能看出它和数学、物理领域息息相关。在翻阅的过程中，我最深的感受就是它成功地将那些曾经让我头疼的抽象概念变得生动起来。比如，关于“散度”的部分，作者不仅仅是给出了严谨的数学定义，更通过一些生活化的场景比喻，像是河流的水流、气体的扩散，甚至细致到每个节点的水压差，来形象地解释散度所代表的“源”或“汇”。更别提那些精美的插图了，它们不是简单的示意图，而是经过精心设计的，能够直观地展示矢量场在空间中的流动和分布，让我这个对数学公式容易产生“畏难情绪”的读者，也能轻松抓住散度的核心思想。读完这部分，我仿佛能“看到”物理世界中各种物质的流动和分布，理解它们是如何从某个点发散出去或汇聚到某处。这种“可视化”的讲解方式，让我不再觉得散度只是一个冰冷的数学符号，而是与我们身边的世界紧密相连的现象。

评分☆☆☆☆☆

放车里很久了。终于决定买下了

评分☆☆☆☆☆

满意

评分☆☆☆☆☆

隔座送钩春酒暖，分曹射覆蜡灯红。

评分☆☆☆☆☆

书本内容很好，印刷质量也很好。。

评分☆☆☆☆☆

质量很好，知识点全面，好评

评分☆☆☆☆☆

每年我会在网上买不少书，这两年主要购书渠道变成京东了。

评分☆☆☆☆☆

场论入门的书。

评分☆☆☆☆☆

讲的清楚

评分☆☆☆☆☆

这本书系统全面而且深入的讲解了散度、旋度和梯度等场论方面的基本概念及其应用，非常好，值得推荐购买。