散度、鏇度、梯度釋義（圖解版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] H.M.斯徹（H.M.Schey） 著，李維偉，夏愛生，段誌堅 等 譯

圖書標籤:

• 矢量分析
• 數學物理
• 高等數學
• 工程數學
• 梯度
• 散度
• 鏇度
• 數學公式
• 圖解
• 學習輔導

齣版社： 機械工業齣版社

ISBN：9787111501718

版次：1

商品編碼：11821840

品牌：機工齣版

包裝：平裝

叢書名： 圖解直觀數學譯叢

開本：16開

齣版時間：2015-11-01

用紙：輕型紙

頁數：128

編輯推薦

適讀人群 ：理工科學生，以及相關科研工作者
　　《散度、鏇度、梯度釋義（圖解版）》以內容簡明扼要、通俗易懂廣受關注和讀者好評。第Ⅰ章介紹瞭一個矢量函數的實例；第Ⅱ章介紹瞭應用高斯定理求場強、在柱狀和球麵坐標係中計算散度並且介紹瞭哈密頓算子；第Ⅲ章介紹瞭路徑獨立問題、鏇度、環路定理、斯托剋斯定理、安培環路定理；第Ⅳ章介紹瞭梯度和應用拉普拉斯方程求電場強度。全書內容結閤圖形與實例來介紹，以便讀者更容易理解。
　　此書適用於理工科學生作為場論等課程的教材，也可作為相關科研工作者的參考書。

內容簡介

　　《散度、鏇度、梯度釋義（圖解版）》著重介紹瞭散度，梯度，鏇度以及與之相關的矢量微積分，並使用圖形的方式直觀的理解他們的定義以及性質，書中例子多采用，電子，工程領域的實例。可為廣大工程技術人員提供相關的參考。全書結閤圖形與實例以便讀者更容易理解。

作者簡介

　　H.M. 斯徹，是羅徹斯特理工學院數學與統計學專業的教授。30年前，他編寫的《散度、梯度、鏇度釋義》第1版一經問世就以其內容簡明扼要、通俗易懂廣受關注和好評，隨後經過不斷的修訂、完善，時至今日已經是第4版，可謂是經久不衰。

目錄

譯者的話
第4版序言
第Ⅰ章引言、矢量函數和靜電學1
引言1
矢量函數2
靜電學4
習題Ⅰ6
第Ⅱ章麵積分和散度8
高斯定理8
單位法嚮量9
麵積分的定義12
計算麵積分15
通量23
應用高斯定理求電場強度24
散度28
柱狀和球麵坐標係下的散度31
哈密頓算子33
散度定理34
散度定理的兩個簡單應用37
習題Ⅱ39
第Ⅲ章綫積分和鏇度50
功和綫積分50
涉及矢量函數的綫積分52
路徑的獨立性55
鏇度58
柱麵坐標係和球麵坐標係下的鏇度63
鏇度的意義66
環路定理的微分形式69
斯托剋斯定理70
斯托剋斯定理的應用75
斯托剋斯定理和單連通區域77
路徑的獨立性和鏇度78
習題Ⅲ79
第Ⅳ章梯度90
綫積分和梯度90
計算靜電場的電場強度94
應用拉普拉斯方程96
方嚮導數和梯度101
梯度的幾何意義106
柱麵和球麵坐標係下的梯度109
習題Ⅳ112

前言/序言

　　新版與第3版的不同之處主要有兩個方麵。第一，增加瞭一些新的實例。這是采納瞭一些學生的意見，他們認為這些例子有助於理解本書和解答習題。我們的目標是增加足夠多的有益的實例，同時並不顯著增加書的厚度。(兩位評論人建議我一點也不增加書的頁數，因此，書中沒有提供Sr. de Cervantes'問題的解答)
　　本版和此前版本的第二個主要不同是兩個球麵角θ，φ角色的轉換。之前版本的書中，通常θ作為極坐標角，φ作為方位角，現在，按照更通用的規範對二者掉換，使θ錶示方位角，φ錶示極坐標角。
　　我誠摯感謝多年來一直支持我的讀者，他們與我的通信為我改進此書提齣瞭很多寶貴的建議。許多建議都在本書中得以采納，這也是此書經久不衰的重要原因之一。

物理世界中的運動與場：微積分在矢量分析中的應用 本書深入探討瞭描述空間中變化和流動的核心數學工具——矢量微積分，通過詳盡的數學推導和豐富的物理實例，係統闡述瞭如何運用梯度（Gradient）、散度（Divergence）和鏇度（Curl）這三大算子來精確刻畫自然界的各種物理現象。 第一部分：矢量場的幾何直觀與數學基礎 在物理學和工程學中，我們常常需要處理的量不僅僅是大小（標量），還涉及方嚮，比如溫度分布（標量場）和風速或電場強度（矢量場）。本部分為後續深入分析奠定堅實的數學基礎。 1.1 坐標係的選擇與變換 介紹直角坐標係、柱坐標係以及球坐標係下的矢量錶示。重點分析不同坐標係下矢量分量的變換規則，特彆是如何構建和應用雅可比矩陣（Jacobian Matrix）來實現坐標係間的平滑過渡。理解坐標係對後續運算形式的影響至關重要。 1.2 矢量函數與偏導數 詳細講解矢量函數（Vector Function）的定義，即一個自變量（通常是空間位置 $ mathbf{r} = (x, y, z) $）對應一個矢量值。在此基礎上，深入剖析偏導數的概念，這是理解梯度、散度和鏇度的起點。我們通過分析特定物理量（如流體速度隨時間或空間的變化率）如何依賴於各個獨立變量，來建立偏導數的物理意義。 1.3 路徑積分與麵積分基礎 矢量微積分的核心在於積分。本書首先引入綫積分（Line Integrals）和麵積分（Surface Integrals）的概念。綫積分用於計算沿特定路徑的功或通量積纍，麵積分則用於計算穿過某一麯麵的總量。我們嚴格定義瞭這些積分，並展示瞭它們在電磁學（計算電場力所做的功）和流體力學（計算穿過截麵的質量流率）中的基本應用場景。 第二部分：梯度——變化率的指嚮 梯度是描述標量場（如溫度、勢能）空間變化劇烈程度和方嚮的算子。 2.1 梯度的數學定義與計算 定義梯度算子 $ abla $（Nabla 算子），並給齣其在直角坐標係下的明確錶達式 $ abla f = left( frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z} ight) $。本書詳細演示瞭如何對復雜的多元函數計算梯度，包括使用鏈式法則處理復閤函數。 2.2 梯度的物理意義：最大變化率的方嚮 這是理解梯度的關鍵。通過二維平麵的等高綫圖（Level Curves），直觀展示梯度矢量總是垂直於等值綫（或等勢麵）。在三維空間中，梯度矢量指嚮函數值增長最快的方嚮，其大小（模）則代錶瞭該方嚮上的變化速率。我們通過分析山地地形圖上爬升最陡峭的方嚮來類比這一概念。 2.3 梯度在物理學中的應用 保守場與勢能： 闡述瞭保守力場（如重力場、靜電力場）可以錶示為某一標量勢函數（如引力勢能、電勢）的負梯度，即 $ mathbf{F} = - abla V $。這極大地簡化瞭力學和電磁學問題的求解。 熱傳導： 解釋瞭熱流密度（Heat Flux Density）的方嚮與溫度梯度方嚮相反，體現瞭熱量總是從高溫流嚮低溫的自然趨勢。 第三部分：散度——場的源與匯 散度（Divergence）是描述矢量場在某一點發散或匯聚程度的標量算子。 3.1 散度的數學定義與計算 定義散度算子 $ abla cdot mathbf{F} $，它是矢量場 $ mathbf{F} $ 與 $ abla $ 算子的點積。詳細計算瞭其在不同坐標係下的展開形式。 3.2 散度的物理意義：源強度與淨流量 散度的物理意義在於衡量場源的強度。 如果某點的散度大於零 $ ( abla cdot mathbf{F} > 0) $，則該點是矢量場的“源”（Source），錶示有淨流齣。 如果散度小於零 $ ( abla cdot mathbf{F} < 0) $，則該點是“匯”（Sink），錶示有淨流入。 如果散度等於零 $ ( abla cdot mathbf{F} = 0) $，則該場是無源場（Solenoidal Field），場綫在該點既不産生也不消失。 3.3 散度定理（高斯定理） 本書將散度與麵積分聯係起來，詳述瞭散度定理（Divergence Theorem）。該定理錶明，通過一個閉閤麯麵的矢量場的淨通量，等於該麯麵所包圍的體積內所有點散度之和（積分形式）。我們通過分析水箱中水流的進齣情況，直觀理解該定理如何連接瞭場源的密度和邊界的總流量。 3.4 散度在物理學中的應用 流體力學： 對於不可壓縮流體，其速度場的散度恒為零（質量守恒）。 電磁學（高斯定律）： 電場的散度與電荷密度 $ ho $ 直接相關，即 $ abla cdot mathbf{E} = frac{ ho}{epsilon_0} $，揭示瞭電荷是電場的源頭。 第四部分：鏇度——場的鏇轉傾嚮 鏇度（Curl）是描述矢量場在某一點鏇轉或扭麯程度的矢量算子。 4.1 鏇度的數學定義與計算 定義鏇度算子 $ abla imes mathbf{F} $，它是 $ abla $ 算子與矢量場 $ mathbf{F} $ 的叉積。本書詳細推導瞭其分量形式，並強調鏇度是一個矢量，其方嚮遵循右手法則。 4.2 鏇度的物理意義：鏇轉軸與角速度 鏇度的矢量方嚮指示瞭場綫上“最可能”的鏇轉軸，而其大小則衡量瞭鏇轉的強度。 如果某點的鏇度為零 $ ( abla imes mathbf{F} = mathbf{0}) $，則該場是無鏇場（Irrotational Field）。對於保守力場，其鏇度必然為零。 如果鏇度不為零，則錶示場綫在該點存在環流或渦鏇結構。 4.3 斯托剋斯定理（鏇度定理） 將鏇度與綫積分聯係起來，本書詳細闡述瞭斯托剋斯定理。該定理指齣，矢量場沿一個閉閤麯綫的綫積分（環流），等於該麯綫所包圍的麯麵上鏇度的麵積分。這說明瞭環流是場在特定路徑上鏇轉強度的積分體現。 4.4 鏇度在物理學中的應用 流體力學： 鏇度用於描述流體的渦度（Vorticity）。零鏇度意味著流體微團在流動中沒有淨鏇轉。 電磁學（法拉第電磁感應定律）： 變化的磁場會産生渦鏇電場，其關係式為 $ abla imes mathbf{E} = -frac{partial mathbf{B}}{partial t} $，揭示瞭電場和磁場之間的動態耦閤關係。 第五部分：矢量微積分的統一框架 本部分總結瞭三大算子之間的內在聯係，並討論瞭在更抽象的微分幾何框架下，它們如何共同構成瞭描述空間變化的完備工具集。通過對比梯度、散度和鏇度的數學形式，讀者將能建立一個統一的視角，理解它們在描述物理實在中的互補作用。本書旨在使讀者不僅掌握計算方法，更能深刻理解這些數學工具背後的物理內涵。

評分☆☆☆☆☆

讓我印象特彆深刻的是關於“鏇度”的闡述。在我的求學經曆中，鏇度這個概念總是伴隨著“鏇轉”、“渦鏇”等描述，但始終缺乏一種深入骨髓的理解。這本書的作者在這方麵下瞭很大的功夫，他用非常巧妙的類比，比如描述水龍頭放水時水流的漩渦，或者電風扇轉動時扇葉周圍空氣的流動，來解釋鏇度的物理意義。更重要的是，他通過大量的圖示，詳細地展示瞭矢量場在某個微小區域內的“鏇轉趨勢”，以及如何通過計算這個區域內的環量來衡量鏇度的大小和方嚮。我尤其喜歡作者在講解過程中，不斷強調鏇度和“力矩”、“角動量”等物理概念的聯係，這讓我意識到，鏇度不僅僅是數學工具，更是理解很多物理現象的鑰匙。讀完這部分，我再遇到涉及鏇轉和渦流的物理問題，腦海中立刻就會浮現齣書中的圖示，並且能更自信地分析問題的本質，這是一種非常寶貴的學習體驗。

評分☆☆☆☆☆

梯度這個概念，在物理和數學中都無處不在，但理解它的“變化率”以及“最快增長方嚮”卻需要一定的悟性。這本書在這方麵做得相當齣色。作者並沒有直接拋齣梯度公式，而是從更基礎的“坡度”概念入手，比如山坡的陡峭程度，以及一個人想要最快速度爬上山頂的方嚮。通過這些直觀的例子，梯度最核心的含義——“方嚮導數”和“變化率最大值”——就變得清晰可見。書中的圖解也功不可沒，它們展示瞭不同函數在三維空間中的等高綫，以及梯度矢量如何垂直於等高綫指嚮函數值增長最快的方嚮。我感覺自己好像真的在用手觸摸函數的“地形”，感受它在不同方嚮上的“起伏”。這種從易到難、層層遞進的講解方式，讓梯度這個曾經讓我覺得有些抽象的概念，變得觸手可及，也讓我對它在求解最優化問題、描述物理場變化等方麵的應用有瞭更深刻的認識。

評分☆☆☆☆☆

這本書的優點遠不止於對單個概念的圖解。它非常注重將這三個概念——散度、鏇度、梯度——聯係起來，展示它們之間的內在關係以及在不同物理定律中的應用。例如，在講解高斯定律、安培定律等經典物理方程時，作者會用散度和鏇度來解釋這些方程的物理含義，以及它們如何描述電場、磁場等場的性質。我最欣賞的一點是，這本書並不是簡單地羅列公式和應用，而是通過邏輯清晰的推理過程，將抽象的數學工具與具體的物理現象緊密結閤，讓我們明白為什麼需要這些概念，以及它們如何幫助我們理解和描述自然界的規律。這種“知其然，更知其所以然”的講解方式，讓我在學習過程中獲得瞭極大的滿足感，也讓我對物理學的理解提升到瞭一個新的高度。

評分☆☆☆☆☆

總的來說，這本書是一本非常優秀的科普讀物，它的目標讀者群定位非常精準。無論是對物理學和高等數學感興趣的初學者，還是希望加深對這些基礎概念理解的在校學生，甚至是工作中會接觸到相關概念的專業人士，都能從中獲益匪淺。我尤其推薦那些曾經因為晦澀難懂的數學定義而對物理學望而卻步的朋友們。這本書的圖文並茂，語言通俗易懂，而且講解的邏輯非常清晰，能夠有效地消除學習中的障礙。它不僅僅是一本“工具書”，更像是一本“啓迪書”，它點燃瞭我對數學和物理的興趣，讓我看到瞭理解世界的新視角。如果說以前我學習這些概念隻是“死記硬背”，那麼讀完這本書，我感覺自己真的“活”瞭過來，能夠用一種更直觀、更深刻的方式去理解它們。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就相當吸引人，簡潔卻又充滿科技感，讓人一眼就能看齣它和數學、物理領域息息相關。在翻閱的過程中，我最深的感受就是它成功地將那些曾經讓我頭疼的抽象概念變得生動起來。比如，關於“散度”的部分，作者不僅僅是給齣瞭嚴謹的數學定義，更通過一些生活化的場景比喻，像是河流的水流、氣體的擴散，甚至細緻到每個節點的水壓差，來形象地解釋散度所代錶的“源”或“匯”。更彆提那些精美的插圖瞭，它們不是簡單的示意圖，而是經過精心設計的，能夠直觀地展示矢量場在空間中的流動和分布，讓我這個對數學公式容易産生“畏難情緒”的讀者，也能輕鬆抓住散度的核心思想。讀完這部分，我仿佛能“看到”物理世界中各種物質的流動和分布，理解它們是如何從某個點發散齣去或匯聚到某處。這種“可視化”的講解方式，讓我不再覺得散度隻是一個冰冷的數學符號，而是與我們身邊的世界緊密相連的現象。

評分☆☆☆☆☆

作為研究高等流體力學必備的數學基礎，值得一看！

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

一下買瞭好多書，慢慢看吧

評分☆☆☆☆☆

東西不錯一直想學習一下，豐富下自己的知識

評分☆☆☆☆☆

經典教材，期待潛心鑽研後能有所收獲！

評分☆☆☆☆☆

很好，推薦給學生瞭。

評分☆☆☆☆☆

京東買書的好處是送貨快，但這有個前提，要單獨選一下京東自營的産品，如果一不小心選錯瞭，買瞭第三方的圖書，常常不知道要等到什麼時候纔能送到。即使是買書，送貨速度也依然很影響購物體驗，主要是用戶心理上的預期感受。

評分☆☆☆☆☆

這個非常好 不愧是教材總排名榜前五 習題有趣 讓我不是很煩

評分☆☆☆☆☆

電動力學學不明白的的可以買這本書，在不明白很大程度上就是祖師爺不賞飯瞭。