“發現數學”叢書 怎樣解題：數學思維的新方法 [How to Solve It:A New Aspect of Mathematical Method] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] G·波利亞 著，塗泓，馮承天 譯

圖書標籤:

• 數學思維
• 解題策略
• 數學方法
• 問題解決
• 邏輯思維
• 啓發式學習
• 數學教育
• 波利亞
• 經典教材
• 數學普及

齣版社： 上海科技教育齣版社

ISBN：9787542843876

版次：1

商品編碼：11885967

包裝：平裝

叢書名： “發現數學”叢書

外文名稱：How to Solve It:A New Aspect of Mathematical Method

開本：32開

齣版時間：2016-03-01

用紙：膠版紙

頁數：213

內容簡介

　　《“發現數學”叢書 怎樣解題：數學思維的新方法》是國際著名數學傢波利亞論述中學數學教學法的普及名著，對數學教育産生瞭深刻的影響。波利亞認為中學數學教育的根本宗旨是教會年輕人思考，他把“解題”作為培養學生數學纔能和教會他們思考的一種手段和途徑。
　　《“發現數學”叢書 怎樣解題：數學思維的新方法》是他專門研究解題的思維過程後的結晶。
　　《“發現數學”叢書 怎樣解題：數學思維的新方法》的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”錶。作者在書中引導學生按照“錶”中的問題和建議思考問題，探索解題途徑，進而逐步掌握解題過程的一般規律。書中還有一部“探索法小詞典”，對解題過程中典型有用的智力活動做進一步解釋。
　　《“發現數學”叢書 怎樣解題：數學思維的新方法》從1945年齣版後暢銷不衰，多次重印、再版，並被譯成多種文字，20世紀80年代初，曾在中國的數學教育界引起極大反響。
　　這本經久不衰的暢銷書齣自一位著名數學傢的手筆，雖然它討論的是數學中發現和發明的方法和規律，但是對在其他任何領域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導作用。

作者簡介

　　G·波利亞（George Polya，1887—1985），著名美國數學傢和數學教育傢。生於匈牙利布達佩斯。1912年獲布達佩斯大學博士學位。1914年至1940年在瑞士蘇黎世工業大學任數學助理教授、副教授和教授，1928年後任數學係主任。1940年移居美國，曆任布朗大學和斯坦福大學的教授。1976年當選美國國傢科學院院士。還是匈牙利科學院、法蘭西科學院、比利時布魯塞爾國際哲學科學院和美國藝術和科學學院的院士。其數學研究涉及復變函數、概率論、數論、數學分析、組閤數學等眾多領域。1937年提齣的波利亞計數定理是組閤數學的重要工具。長期從事數學教學，對數學思維的一般規律有深入的研究，這方麵的名著有《怎樣解題》、《數學的發現》、《數學與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。

目錄

第一部分 在教室裏
目的
1．幫助學生
2．問題，建議，思維活動
3．普遍性
4．常識
5．教師和學生，模仿和實踐
主要部分，主要問題
6．四個階段
7．理解題目
8．例子
9．擬訂方案
10．例子
11．執行方案
12．例子
13．迴顧
14．例子
15．不同的方法
16．教師提問的方法
17．好問題與壞問題進一步的例子
18．一道作圖題
19．一道證明題
20．一道速率題

第二部分 怎樣解題
一段對話

第三部分 探索法小詞典
類比
輔助元素
輔助題目
波爾察諾
齣色的念頭
你能檢驗這個結果嗎？
你能以不同的方式推導這個結果嗎？
你能應用這個結果嗎？
執行
條件
矛盾
推論
你能從已知數據中得齣一些有用的東西嗎？
你能重新敘述這道題目嗎？
分解和重組
定義
笛卡兒
決心、希望、成功
診斷
你用到所有的已知數據瞭嗎？
你知道一道與它有關的題目嗎？
畫一張圖
檢驗你的猜想
圖形
普遍化
你以前見過它嗎？
這裏有一道題目和你的題目有關
而且以前解過
探索法
探索式論證
如果你不能解所提的題目
歸納與數學歸納
創造者悖論
條件有可能滿足嗎？
萊布尼茨
引理
觀察未知量
現代探索法
符號
帕普斯，
拘泥與變通
實際題目
求解題、證明題
進展與成績
謎語
歸謬法與間接證明
多餘
常規題目
發現的規則
格式的規則
教學的規則
將條件的不同部分分開
建立方程
進展的標誌，
特殊化
潛意識活動
對稱性
新舊術語
量綱檢驗
未來的數學傢
聰明的解題者
聰明的讀者
傳統的數學教授
變化題目
未知量是什麼？
為什麼證明？
諺語的智慧
倒著乾

第四部分 題目、提示、解答
題目
提示
解答
注釋

精彩書摘

　　《“發現數學”叢書 怎樣解題：數學思維的新方法》：
　　1.幫助學生。教師最重要的任務之一是幫助他的學生。這個任務並不很容易，它需要時間、實踐、奉獻和正確的原則。
　　學生應當獲得盡可能多的獨立工作的經驗。但是，如果把問題留給他一人而不給他任何幫助，或者幫助不足，那麼他可能根本得不到提高。而如果教師的幫助太多，就沒有什麼工作留給學生瞭。教師應當幫助學生，但不能太多，也不能太少，這樣纔能使學生有一個閤理的工作量。
　　如果學生沒有能力做很多，那麼教師至少應當給他一些獨立工作的感覺。要做到這一點，教師應當謹慎地、不露痕跡地幫助學生。
　　然而，最好是順乎自然地幫助學生。教師應當把自己放在學生的位置上，他應當看到學生的情況，應當努力去理解學生心裏正在想什麼，然後提齣一個問題或是指齣一個步驟，而這正是學生自己原本應想到的。2.問題，建議，思維活動。為瞭能有效地，但不露痕跡和自然地幫助學生，教師得要一次又一次地問同樣的問題，指齣同樣的步驟。這樣，在數不清的題目中，我們不得不問這樣的問題：未知量是什麼？我們可以變換詞語，用多種不同的方法來問相同的事情：需要求的是什麼？你想求得什麼？你指望尋找什麼？這些問題的目的是要把學生的注意力集中到未知量上來。有時我們采用一個建議，來更自然地得到同樣的效果：觀察未知量！問題和建議的目的是為瞭同一個效果；它們試圖引起同樣的思維活動。
　　在作者看來，也許值得收集那些在與學生討論題目時通常有幫助的問題和提示，並加以歸類。我們學習的這一張錶包含瞭經仔細挑選和安排的這一類問題和建議；它們對於那些獨立的解題者同樣是有幫助的。如果讀者對該錶有充分的瞭解，並且能夠從那些建議中看齣所應采取的做法，那麼他就可能明白該錶所間接列舉的對解題通常有用的思維活動。這些思維活動是按照它們最可能發生的次序來排列的。
　　3.普遍性。普遍性是我們的錶中所包含的問題和建議的一個重要特徵。來看這些問題：未知量是什麼？已知數據是什麼？條件是什麼？這些問題是普遍適用的，我們可以在研究各種各樣的題目時問這些問題並取得良好的效果。它們的使用並不局限於任何論題。我們的題目可以是代數的或幾何的，數學的或非數學的，理論的或實際的，一個嚴肅的題目或隻是一個謎語；這一切都沒有什麼區彆，這些問題都是有意義的並且可能幫助我們解題。
　　事實上有一個限製，但它與論題無關。該錶中的某些問題和建議僅適用於“求解題”，而不適用於“證明題”。如果我們有一個屬於後一類型的題目，則必須使用不同的問題；見求解題、證明題。
　　4.常識。我們錶中的問題和建議是具有普遍性的，但除瞭普遍性以外，它們還是自然的、簡單的、明顯的，而且來自於普通的常識。來看這條建議：觀察未知量！並盡量想齣一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目。這一建議勸你去做無論如何應做的事，如果你認真對待你的題目的話，即使沒有任何勸告你也會去做的。你餓瞭嗎？你希望得到食品，你就會想起得到食品的一些熟悉的方法來。你有一個幾何作圖題嗎？你希望作一個三角形，你就會想起作三角形的一些熟悉的方法來。你有一個任意類型的題目嗎？你希望求某一個未知量，你就會想起求這樣一個未知量或是某些相似的未知量的一些熟悉的方法來。
　　……

前言/序言

　　一個重大的發現可以解決一道重大的題目，但是在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發現。你要解答的題目可能很平常，但是如果它激起你的好奇心，並使你的創造力發揮齣來，而且如果你用自己的方法解決瞭它，那麼你就能經曆那種緊張狀態，而且享受那種發現的喜悅。在一個易受外界影響的年齡段，這樣的經曆可能會培養齣對智力思考的愛好，並對思想和性格留下終生的影響。
　　因此，一位數學教師就有著很大的機會。如果他把分配給他的時間都用來讓學生操練一些常規運算，那麼他就會扼殺他們的興趣，阻礙他們的智力發展，從而錯失他的良機。相反地，如果他用和學生的知識相稱的題目來激起他們的好奇心，並用一些激勵性的問題去幫助他們解答題目，那麼他就能培養學生對獨立思考的興趣，並教給他們某些方法。
　　如果一個學生的大學課程中包含瞭某些數學科目，那麼他也就有瞭一個獨特的機會。當然，如果他把數學看成是一門這樣的課程，他必須從中得到多少多少學分，而在期末考試後則應盡可能快地把它遺忘掉，那麼他就失掉瞭這個機會。即使這個學生數學上有些天賦，他也有可能會失掉這一機會，因為和任何其他人一樣，他必須去發現他自己的天賦和興趣。要是他從未嘗過樹莓餡餅，他也就不可能知道自己會喜歡樹莓餡餅。然而，他卻有可能發現一道數學題目會如同一個縱橫字謎遊戲一樣有趣，或者發現充滿活力的思維練習就像一場激烈的網球比賽一樣令人神往。在嘗到瞭數學帶來的樂趣以後，他就不會輕易地忘記，於是數學就很有機會成為他生活中的一部分：一種愛好，或者他專業工作中的一種工具，或者是他的職業，或者是一種崇高的抱負。
　　作者還記得自己的學生時代，那時他還是一個有點雄心的學生，渴望能懂一點數學和物理學。他聽課、看書，試圖領會所給齣的解答及事實。但是有一個問題卻一再睏擾著他：“是的，這個解答看來是行的，它似乎是正確的，但怎樣纔能想到這樣一個解答呢？是的，這個實驗看起來可行，這似乎是事實，但是人們怎麼會發現這些事實的？而我自己如何纔能想到或發現它們呢？”如今，作者正在一所大學中教授數學。他認為，或者說他希望，他的一些更努力的學生能提齣類似的一些問題，他會盡力去滿足他們的好奇心。不僅要盡力去理解這道或那道題目的解答，而且要去理解這個解答的動機和步驟，並盡力嚮彆人解釋這些動機和步驟，這就最終導緻他寫瞭現在這本書。作者希望本書對於那些期望提高學生解題能力的教師，以及對於渴望提高個人能力的學生都會有用。

發現數學：邏輯、直覺與創新的交匯點 叢書簡介 “發現數學”叢書，旨在為廣大數學愛好者、學生以及專業研究人員，提供一個深入理解數學核心思想、拓寬解題視野、激發創新思維的廣闊平颱。本叢書不局限於單一學科分支的知識堆砌，而是著重於揭示數學思想的本質、探尋不同數學領域之間的內在聯係，並引導讀者掌握那些超越具體公式和定理的、普適性的思維工具。 我們的核心理念是：數學的學習不應止步於計算的熟練，更在於思維方式的革新。優秀的數學傢並非僅僅是知識的容器，他們更是問題的解構者和新路徑的探索者。本叢書緻力於從宏觀的視角審視數學的建構過程，幫助讀者培養“數學的眼光”，即識彆問題結構、洞察隱藏聯係、並最終構建優雅解決方案的能力。 第一輯：思維的架構——數學傢是如何思考的？ 本輯聚焦於數學思維的基本構成要素，探討那些支撐數學發現和證明的非算法性技能。 1. 概念的誕生與演化： 數學並非憑空齣現的一係列規則，而是人類對世界抽象和模式識彆的産物。本部分將深入探討核心數學概念（如“無窮”、“連續性”、“對稱性”）是如何在曆史長河中被提煉、定義和完善的。我們將分析概念的模糊性在數學發展初期的作用，以及如何通過嚴謹的邏輯定義來消除歧義，最終形成穩固的理論基石。讀者將學習如何“解構”一個既有概念，理解其前因後果，並嘗試在不同框架下重新審視它。 2. 類比推理與直覺的力量： 嚴謹的邏輯證明固然是數學的終點，但引導我們走嚮正確方嚮的往往是非形式化的直覺和類比。本輯將考察數學傢如何運用幾何直覺、物理模型類比，甚至單純的模式猜測來建立猜想。我們將分析一些經典數學定理的發現過程，展示直覺如何作為“燈塔”，指引研究者穿越復雜的計算迷霧。重點將放在如何培養一種“有根據的猜測”的能力，即如何將不確定的直覺轉化為可供檢驗的數學命題。 3. 結構化與視角轉換： 許多棘手的數學問題之所以睏難，是因為我們所處的視角限製瞭我們的視野。本輯將介紹如何通過改變觀察角度來簡化問題。例如，將代數問題轉化為幾何圖形，或將離散問題嵌入連續係統。我們將探討“同構”的概念，即識彆不同數學結構之間隱藏的相似性，從而將已知領域的成熟方法遷移到未知領域。讀者將學會係統地列齣所有可能的視角轉換，並評估每種轉換對問題復雜度的影響。 第二輯：問題的藝術——從混沌到清晰 本輯關注於解題過程中最關鍵的環節：問題的理解、分解與重構。 4. 問題的解構與邊界設定： 一個未經充分理解的問題，任何試圖求解的努力都可能是徒勞的。本部分將詳細闡述如何對一個復雜的數學陳述進行“解剖”。這包括識彆已知的條件、明確未知的目標、以及界定問題的內在約束（邊界）。我們將探討如何識彆問題中的“冗餘信息”和“關鍵要素”，並學習如何在必要時主動引入額外的、輔助性的假設（但不突破原題的限製），以簡化初期探索。 5. 模型的建立與簡化： 現實世界或抽象空間中的問題往往被復雜的細節所掩蓋。本輯將指導讀者如何構建一個足夠簡單，但又能捕捉問題核心特徵的數學模型。我們將討論“理想化”的藝術——在不損失本質信息的前提下，如何去除噪音。本部分會通過實例說明，一個好的簡化模型比一個不切實際的復雜模型，更有助於通往真正的解決方案。 6. 探索性計算與“反嚮工程”： 有時，嘗試從最終結果反推迴起點，能夠揭示問題的內在邏輯。本輯介紹如何利用計算或數值模擬來探測問題的解空間。這並非為瞭直接得齣答案，而是為瞭觀察特定參數變化時，解的行為模式，從而形成更精確的猜想。我們將探討如何通過構建“最簡單案例”、“極限案例”以及“反例”來反嚮驗證或修正初始的解題策略。 第三輯：工具箱的拓展——連接不同領域的橋梁 本輯關注於超越基礎代數和微積分的、更具普適性和交叉性的數學工具。 7. 組閤學思維在分析中的應用： 組閤數學不僅僅是計數。它的核心在於對“有限集閤”的組織和排序的理解，這種思維可以有效地用於分析連續過程。本部分將展示如何使用排列組閤的思想來理解概率分布的復雜性，以及如何通過離散化的視角來逼近某些微分方程的解。重點在於培養將連續性問題轉化為可計數組閤結構的能力。 8. 拓撲學的空間洞察： 拓撲學關注的是在形變下保持不變的性質。本輯將介紹拓撲思想如何幫助我們理解問題的“結構穩定性”。例如，在處理復雜的網絡問題或高維數據時，拓撲學提供的“連通性”、“孔洞”等概念，能提供比傳統幾何學更強大的抽象洞察力。讀者將學習如何用拓撲的語言來描述問題的本質，而不是沉溺於其具體的坐標錶示。 9. 代數結構與對稱性原理： 群論等抽象代數概念是現代數學中描述對稱性和不變性的強大工具。本輯將展示這些工具如何被應用到看似不相關的領域，如晶體學、信息論乃至解析數論。核心在於理解“不變量”的尋找過程——識彆在特定變換下保持不變的量，往往就是解決問題的關鍵。 結語：成為問題的創造者 “發現數學”叢書的最終目標，是培養讀者從“解題者”轉變為“問題發現者”的能力。成功的數學創新往往源於對現有框架的質疑和對新穎問題的構建。本叢書倡導的思維方式，是一種開放的、批判性的、勇於探索未知領域的精神。通過掌握這些思維工具和方法論，讀者將能夠以更深層次、更富創造性的方式進入數學的廣闊天地。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名就足夠吸引人，“發現數學”，聽起來就像是一場尋寶之旅，而副標題“數學思維的新方法”更是點燃瞭我探索的火花。作為一名在數學領域磕磕絆絆多年，總覺得自己總是差那麼一點點“靈氣”的普通讀者，我一直渴望找到能夠真正啓迪我思維的工具。市麵上不乏各種數學書籍，有的講授深奧的理論，有的專注於解題技巧，但總覺得它們像是把一塊塊精美的積木擺在我麵前，卻少瞭如何將它們巧妙組閤成令人驚嘆的建築的指導。這本書的書名所傳達的“發現”二字，讓我對它充滿瞭期待，仿佛它不是直接告訴我答案，而是指引我如何去探尋答案，如何在繁雜的數學世界裏找到屬於自己的路徑。我猜想，它或許會帶我跳齣固有的解題模式，用一種全新的視角去審視那些熟悉的數學問題，甚至是那些我曾經覺得難以逾越的障礙，也可能在書中找到意想不到的突破口。這種“新方法”的承諾，對於任何希望提升數學能力，不僅僅是應付考試，更是真正理解和享受數學的人來說，都具有無法抗拒的吸引力。它讓我想起小時候第一次解開一道難題時那種豁然開朗的喜悅，我期待這本書能帶我重溫那種感覺，並將其放大。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名——“發現數學”，本身就充滿瞭詩意和探索的意味，而副標題“數學思維的新方法”，更是直接擊中瞭我的痛點。我一直覺得，自己在解題時，常常陷入一種“隻會一種方法”的睏境，即使題目稍微變化一下，就顯得無所適從。我渴望的是能夠觸類旁通、舉一反三的思維能力，而不是死記硬背的解題技巧。這本書讓我看到瞭希望，它似乎暗示著，數學的解題過程，不僅僅是套用公式，更是一種思維的創造和升華。我期待它能提供一係列超越傳統教學模式的解題理念，或許會涉及到如何觀察、如何類比、如何構建模型、如何進行有效的猜想和驗證。我希望書中能夠引導我認識到，每一個數學問題背後，都可能隱藏著多種解決的可能性，而“發現”的過程，正是去探索這些不同路徑的奇妙旅程。這本書給我一種感覺，它不是在灌輸知識，而是在點燃我的思維，讓我自己去“發現”數學的內在邏輯和無限可能。

評分☆☆☆☆☆

“發現數學”這個係列名，就已經足夠吸引眼球瞭，再看到《怎樣解題：數學思維的新方法》這樣一個副標題，我簡直迫不及待想要翻開它。我一直覺得，學習數學，尤其是掌握解題能力，不能僅僅停留在“知道怎麼做”的層麵，更重要的是“理解為什麼這麼做”，以及“如何更巧妙地去做”。“新方法”這幾個字，給我一種耳目一新的感覺，仿佛它要打破我固有的思維模式，帶我進入一個全新的數學視野。我猜想，這本書不會像很多教材那樣，隻是羅列大量的公式和例題，而是更側重於揭示數學問題背後隱藏的思維邏輯和解題策略。我期待書中能夠通過一些生動有趣的例子，來闡釋如何從不同的角度切入問題，如何有效地進行聯想和推理，甚至是如何巧妙地運用一些看起來與問題無關的數學知識。它讓我感覺，解題不再是一項機械的任務，而是一場充滿智慧和創造力的遊戲，而這本書，就是我的遊戲攻略，指引我如何在這個遊戲裏玩得更齣色、更遊刃有餘。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學有著濃厚興趣，但又時常感到力不從心的讀者，我看到“發現數學”叢書以及其下的這本《怎樣解題：數學思維的新方法》時，內心湧起一股強烈的渴望。我一直認為，數學不應是枯燥的符號和冰冷的公式堆砌，而是一種充滿創造力和探索精神的智力活動。“新方法”這個詞，仿佛為我推開瞭一扇塵封已久的大門，讓我看到瞭擺脫傳統解題思維束縛的可能性。我猜測，這本書可能不會直接提供大量的習題解答，而是著重於講解如何構建和應用數學思維模型，如何培養敏銳的觀察力、精準的判斷力和靈活的聯想能力。也許書中會通過一些經典的數學難題，來演示這些“新方法”是如何一步步將看似無從下手的問題，變得清晰明瞭，甚至充滿趣味。我希望能從中學習到如何更好地理解問題的本質，如何跳齣條條框框的限製，去尋找那些隱藏在錶象之下的數學規律。總而言之，這本書給我的感覺，就像一位經驗豐富的嚮導，不是直接把我送到目的地，而是教我如何辨識方嚮，如何使用地圖，讓我自己去發現最適閤的道路。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學的魅力不僅僅在於其嚴謹的邏輯和精確的計算，更在於它背後蘊含的深刻思想和解決問題的智慧。“數學思維的新方法”這個副標題，讓我對這本書的期望值瞬間飆升。我常常在思考，那些偉大的數學傢是如何突破思維的藩籬，找到獨闢蹊徑的解題路徑的？難道他們真的擁有某種與生俱來的天賦？我更傾嚮於相信，這是一種可以學習和培養的思維方式。這本書，或許就為我們揭示瞭這種“新方法”的奧秘。我設想，它可能會提供一些非常規但極其有效的策略，幫助我們打破思維定勢，從不同的角度去分析問題。也許會介紹一些在解決復雜問題時，如何將大問題分解成小問題，如何類比、如何抽象、如何從反麵思考等等。這些都不是僵化的公式，而是靈活的思維工具，能夠適應各種不同的數學情境。我尤其好奇，書中會如何闡述“發現”數學的過程，它是如何從直覺、猜想，一步步走嚮嚴謹證明的？這種探索性的描述，對於我這種更看重過程和理解而非死記硬背的學習者來說，無疑是極具吸引力的。

評分☆☆☆☆☆

好看好看好看十分滿意

評分☆☆☆☆☆

屯早瞭，留著慢慢看，書還是很不錯的。

評分☆☆☆☆☆

個人觀點，所謂兩敗俱傷的貿易戰是很難真正打起來的。美國隻是一種姿態想獲得更好的談判結果而已。資本市場反應過度而已。所以我個人認為，緊盯個股基本麵，好的公司正好趁市場恐慌不斷低吸買入。

評分☆☆☆☆☆

物流很快，但是書的側麵髒瞭，上麵有汙漬。不知道為什麼。

評分☆☆☆☆☆

好

評分☆☆☆☆☆

很好，還沒有看完

評分☆☆☆☆☆

很棒的書，打摺時賣的，希望能有好的收獲

評分☆☆☆☆☆

雙十一買瞭很多書，先囤起來慢慢看

評分☆☆☆☆☆

好書