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[美] 志村五郎 著

图书标签:

• 数学
• 二次型
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• 算术
• 高等数学
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• 数学分析
• 矩阵分析
• 数值计算

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787519214784

版次：1

商品编码：12021535

包装：平装

开本：16开

出版时间：2016-12-01

用纸：胶版纸

内容简介

　　《二次型算术》主要包括两部分：第一部分代数数论的基础知识和半单代数理论，其中涉及两方面论：二次型分类和二次丢番图方程。第二部分包含以高斯三次方的和为特别例子的研究。
　　目次：二次互反律；代数数域算术；各种基本定理；域代数；域二次型；二次型代数；二次丢潘图方程；附录；索引。
　　读者对象：代数专业的研究生和数学工作者。

现代代数与数论探微：群、环与域的构造与应用 图书简介 本书旨在为读者提供一个严谨而深入的现代代数基础，并将其与数论中的核心概念紧密结合。全书结构清晰，逻辑严密，从最基础的集合论和映射概念出发，逐步构建起抽象代数的核心结构——群、环和域。我们着重于概念的内在联系、定理的构造性证明，以及这些抽象结构在实际数学分支中的应用。 第一部分：基础与预备知识 本部分作为全书的基石，回顾并强化了读者在初等代数和集合论方面的必要的背景知识。 第一章：集合、映射与关系 详细阐述集合的定义、常用操作（并、交、差、幂集），以及Cartesian积。重点讨论函数的性质，如单射（一对一）、满射（映满）和双射（一一对应）的精确定义及其相互关系。引入等价关系的概念，并构造商集（Quotient Set）的初步思想，为后续的同构和商代数打下基础。此外，还将介绍偏序集和良序原理，为理解代数结构中的某些构造提供必要的背景。 第二章：整数的代数结构与初等数论 虽然本书的主题是现代代数，但我们将从整数 $mathbb{Z}$ 的特殊性质入手，展示代数思想的萌芽。详细讨论整除性、最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）的欧几里得算法。深入探讨素数的基本性质，包括算术基本定理（唯一分解定理）的严谨证明。引入模运算（Modular Arithmetic）的概念，建立同余关系，并初步探讨 $mathbb{Z}_n$ （模 $n$ 整数环）的结构，作为后面讨论环理论的具体实例。 第二部分：群论——对称性的语言 本部分是全书的核心，系统地构建和分析群的结构。 第三章：群的定义与基本性质 严格定义群的四个公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）。通过大量的实例（如对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$、矩阵群 $GL(n, F)$）来加深理解。讨论群中的阶（Order）的概念，证明 Lagrange 定理及其在计算群元素阶和子群数量上的重要应用。 第四章：子群与陪集 定义子群（Subgroup）的判定准则。深入分析陪集（Cosets）的概念，区分左陪集与右陪集，并证明它们构成原群的一个划分。这是理解正规子群和商群的关键桥梁。 第五章：正规子群与商群（因子群） 详细阐述正规子群（Normal Subgroups）的充要条件，并解释为何只有正规子群才能用来构造商群。构造商群的运算规则，并证明该运算的良定义性。引入同态（Homomorphism）和同构（Isomorphism）的概念，并详细阐述群同态基本定理（First Isomorphism Theorem），展示了如何通过“除以核”来简化群结构。 第六章：群作用与Sylow定理 介绍群作用（Group Action）的概念及其分类空间（Orbit）和稳定子群（Stabilizer）。利用群作用证明 Cauchy 定理。本书将重点和篇幅投入到 Sylow 定理的阐述和证明上，这是有限群结构理论的巅峰成果。通过 Sylow 定理，读者将学会如何分析一个有限群的子群结构，尤其关注 $p$-群的性质。 第三部分：环论——代数运算的泛化 本部分将代数的概念从单一的二元运算推广到两个运算（加法和乘法）的结构——环。 第七章：环的定义与基本结构 定义环（Ring）的加法与乘法公理，区分交换环和非交换环，以及具有单位元的环。考察常见的环实例，如整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $R[x]$、矩阵环 $M_n(R)$ 以及 $mathbb{Z}_n$。定义子环、单位（Unit）、零因子（Zero Divisor）。 第八章：整环、域与分式域 专门讨论没有非零零因子的交换环，即整环（Integral Domain）。进一步定义域（Field）的概念，并证明所有有限域都是 $p$ 阶域（其中 $p$ 是素数）。重点阐述域的构造——分式域（Field of Fractions），展示如何从 $mathbb{Z}$ 构造 $mathbb{Q}$。 第九章：理想与商环 将群论中的正规子群概念推广到环论中的理想（Ideal）。区分左理想、右理想和双边理想。证明商环（Quotient Ring）的构造及其运算的良定义性。详述环同态的基本定理，并探讨主理想（Principal Ideals）和主理想整环（PID）的概念。 第十章：整环中的分解理论 本章深入探讨不同类型的环中的因子分解性质。详细分析欧几里得整环（Euclidean Domain, ED）、主理想整环（PID）和唯一分解整环（UFD）之间的层级关系（$ED implies PID implies UFD$）。通过实例（如 $mathbb{Z}$、高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$）来区分这些结构，并讨论何时 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 不满足唯一分解的例子。 第四部分：域论与多项式 本部分聚焦于域的扩张和多项式环的性质。 第十一章：多项式环 $F[x]$ 在域 $F$ 上构造多项式环 $F[x]$，证明其具有与整数环 $mathbb{Z}$ 类似的性质（如带余除法）。讨论多项式在域上的因式分解问题。引入多项式的根（Roots）的概念，并探究有理根定理。 第十二章：域扩张与代数元 定义域扩张 $E/F$。讨论域扩张的次数 $[E:F]$。定义代数元素（Algebraic Element）和超越元素（Transcendental Element）。详细构造最小多项式（Minimal Polynomial）的概念，并证明其存在性和唯一性。引入扩域 $F(alpha)$ 的构造。 第十三章：代数闭包与有限域 引入代数闭包（Algebraic Closure）的概念，并说明每个域都存在一个代数闭包。重点介绍有限域（Finite Fields）的存在性与唯一性（Galois 域 $GF(p^n)$），及其在编码理论和密码学中的应用基础。 结语：从抽象到应用 全书的最终目标是培养读者用代数思维解决问题的能力。在每一章的末尾，本书都提供了大量的练习题，并精选了一些与初等数论、几何结构（如刚体旋转的对称性）以及现代密码学（如椭圆曲线加密中的有限域运算）相关的应用性说明，以展示抽象代数在现代科学中的强大生命力。 本书对读者的要求是具备微积分和线性代数的基础知识，旨在成为数学系本科生或对抽象结构有深入探究需求的自学者的一部重要参考书。内容覆盖了现代抽象代数课程中最核心和基础的知识体系。

评分☆☆☆☆☆

“二次型算术”这本书，在我看来，就像是一把能够打开数学宝库的钥匙。我从其他读者的反馈中了解到，这本书并没有止步于对二次型本身的介绍，而是将其作为一个强大的工具，去探索更广阔的数学领域。我设想，书中可能会详细阐述二次型在图论、编码理论，甚至是最优化问题中的应用，展现数学理论的普适性和强大的解决实际问题的能力。我对书中关于“二次互反律”及其在数论中的重要地位有着浓厚的兴趣，而这本书将二次型作为基础，来阐述这一深刻的理论，无疑会让我对这一经典结果有全新的认识。同时，我期待书中能够包含一些关于代数几何的初步介绍，特别是二次曲面和二次锥面的研究，并展示它们与二次型理论的紧密联系。这本书的深度和广度，让我相信它能够满足我对数学的求知欲，并帮助我构建一个更加完整和深刻的数学知识体系，体验数学的逻辑之美和思想之妙。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学的各个分支充满好奇，而“二次型算术”这个书名，仅仅是它本身就带给我一种深邃而迷人的感觉。读过这本书的读者，他们所描绘的那些抽象的概念、精妙的构造，以及那些似乎隐藏着宇宙奥秘的数学语言，都让我产生了强烈的求知欲。我设想，这本书一定不仅仅是枯燥的公式堆砌，而更像是一场智慧的探险，引领读者穿越数学的迷宫，去发现那些潜藏在看似简单二次型背后的宏大理论。我期待着能够理解那些关于数域、域扩张、以及更深层次的代数结构之间的联系，特别是当这些概念与二次型结合时，会激发出怎样的火花。书中可能涉及的那些古老而又现代的数论问题，例如平方和问题、二次互反律的推广，甚至是更高级的数域上的二次型理论，都让我感到无比兴奋。我甚至可以想象，这本书可能会解释一些看似遥不可及的数学猜想，或者为理解某些物理现象提供新的数学视角。能够沉浸在这样的学术氛围中，去探索那些最纯粹的数学思想，是我一直以来非常渴望的体验。

评分☆☆☆☆☆

“二次型算术”这本书，对我而言，是一场关于优雅与力量的数学发现之旅。我之前对二次型的理解仅仅停留在基础的线性代数层面，但这本书彻底颠覆了我的认知。作者以一种非常直观且富有洞察力的方式，揭示了二次型在数论领域扮演的核心角色。书中对二次型分类、不变量以及等价类关系的讨论，让我深刻理解了二次型之间的内在联系和结构。我特别欣赏书中对“判别式”和“行列式”这些基本概念在二次型理论中的深入挖掘，以及它们如何决定了二次型的性质和行为。书中关于数域上的二次型，特别是实数域、有理数域以及有限域上的二次型，都有着详尽的介绍，这让我对不同数学背景下的二次型有了更全面的认识。那些关于二次型的表示、分类和变换的定理，在我看来，都闪耀着数学智慧的光芒。我感觉这本书不仅仅是关于“二次型”，更是关于如何用数学的语言来描述和解决一系列深刻的数学问题，以及如何揭示数字世界隐藏的规律。

评分☆☆☆☆☆

读完“二次型算术”，我感觉自己像是被一股强大的智识洪流所席卷。这本书以一种我从未预料到的方式，将代数、数论以及几何的概念巧妙地融合在一起。它不仅仅是在讲解二次型本身，更是在展现二次型作为一种核心工具，在构建和理解更复杂数学结构中的关键作用。我尤其被书中对“表示”问题的探讨所吸引，例如一个给定的整数能否被某个二次型所表示，以及如何计数表示的个数。这些问题看似简单，但书中揭示的深刻数论性质，以及与丢番图方程之间的紧密联系，让我为之惊叹。书中对二次域、二次互反律及其推广的阐述，更是打开了我对数论全局观的新认识。我开始理解，为什么二次型不仅仅是形式上的构造，而是能够承载如此丰富的数论信息。整本书的逻辑严谨，论证清晰，即使在涉及非常抽象的概念时，作者也能够通过精妙的比喻和实例，将它们变得相对易于理解。我感觉自己在阅读过程中，思维被不断地激发和拓展，对数学的理解也提升到了一个新的层次。

评分☆☆☆☆☆

我一直对那些能够将看似分散的数学概念巧妙地联系起来的著作深感敬佩，“二次型算术”无疑就是这样的典范。我读到这本书的读者评价时，就被其中所描绘的对数学结构深层理解的体验所深深吸引。他们提及的关于二次型的“不变量”和“等价关系”，让我对数学研究的严谨性和精妙性有了更深刻的体会。我猜想，这本书会带领我深入到代数数论的核心，去理解二次域上的理想类群，以及这些概念与二次型之间的微妙关联。书中可能出现的对海森堡群、辛群等对称群的讨论，如果与二次型紧密结合，那将是多么令人兴奋的数学画面。我非常期待能够通过这本书，去理解那些关于二次型的分类定理，例如雅可比定理、史密斯标准形等，并领略它们在代数几何和表示论中的应用。整本书的行文风格，在我读到的描述中，都透露出一种深厚的学术功底和对数学的热爱，这让我更加渴望去亲自翻阅，去感受那种数学的魅力。

评分☆☆☆☆☆

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好好，经典的图书，????

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活动买了一些教材，很不错

评分☆☆☆☆☆

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