數學哲學 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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張景中，彭翕成 編，張英伯，曹一鳴 譯

圖書標籤:

• 數學哲學
• 哲學
• 數學
• 邏輯學
• 知識論
• 形而上學
• 科學哲學
• 數學基礎
• 形式邏輯
• 公理化方法

齣版社： 北京師範大學齣版社

ISBN：9787303221332

版次：2

商品編碼：12259022

包裝：平裝

叢書名： 新世紀高等學校規劃教材·數學係列 ，

開本：16開

齣版時間：2017-04-01

用紙：膠版紙

頁數：201

字數：212000

正文語種：中文

內容簡介

　　《數學哲學》從哲學的視角，俯瞰數學在蓬勃的發展過程中涉及的哲學問題，對曆史上的一些數學爭議，進行瞭思辨而通俗具體同時又妙趣橫生的解釋。從一個個具體的數學史實齣發，在輕鬆自如的闡述中，深入淺齣地呈現數學的成就與發展，娓娓地嚮讀者拉開五彩的數學帷幕，詮釋數學的深度與謹嚴，是一本不可多得瞭解數學史實的科普讀物。
　　《數學哲學》主要講解瞭“萬物皆數”觀點的破滅與再生、哪種幾何纔是真的、變量·無窮小·量的鬼魂、自然數有多少、羅素悖論引起的軒然大波、數是什麼等內容。

內頁插圖

目錄

第1章 “萬物皆數”觀點的破滅與再生——第一次數學危機與實數理論
1．1 畢達哥拉斯學派的信條——萬物皆數
1．2 第一個無理數
1．3 無理數之謎
1．4 連續性的奧秘
1．5 戴德金分割
1．6 連續歸納原理
1．7 “萬物皆數”的再生
1．8 勾股定理的多種證明
1．9 無理數與第一次數學危機
1．10 中國古代文化中的“萬物皆數”
1．11 一分為二和一分為三

第2章 哪種幾何纔是真的——非歐幾何與現代數學的“公理”
2．1 歐幾裏得的公理方法
2．2 歐幾裏得的幾何定理是真理嗎
2．3 非歐幾何的發現
2．4 哪一個是真的
2．5 公理是什麼
2．6 古今由圓外一點嚮圓作切綫的不同
2．7 定義的多樣性和局限性

第3章 變量·無窮小·量的鬼魂——第二次數學危機與極限概念
3．1 數學怎麼描述運動與變化
3．2 瞬時速度
3．3 微分是量的鬼魂嗎
3．4 無窮小量的再生
3．5 不用極限的微積分

第4章 自然數有多少——數學中的“實在無窮”概念
4．1 伽利略的睏惑
4．2 康托，闖入無窮王國的先鋒
4．3 希爾伯特的“無窮旅店”
4．4 所有的無窮都一樣嗎
4．5 自然數究竟有多少
4．6 有理數的自白
4．7 素數無窮的不同錶述
4．8 數學的嚴格

第5章 羅素悖論引起的軒然大波——第三次數學危機
5．1 邏輯-集閤-數
5．2 羅素悖論
5．3 集閤的層次理論
5．4 集閤論的公理化
5．5 連續統假設
5．6 地平綫仍在前方
5．7 悖論與危機

第6章 數是什麼——對數學對象本質的幾種看法
6．1 1是什麼
6．2 柏拉圖主義——數存在於理念世界
6．3 唯名論觀點——數是紙上的符號或頭腦中特定的概念
6．4 康德：數是思維創造的抽象實體
6．5 約定論的觀點——數學規則不過是人的約定
6．6 邏輯主義——算術是邏輯的一部分
6．7 直覺主義——數學概念是自主的智力活動
6．8 形式主義——把數學化為關於有限符號排列的操作
6．9 爭論與統一
6．10 存在與構造
6．11 0．9=1嗎

第7章 是真的，但又不能證明——哥德爾定理
7．1 哥德爾定理
7．2 說謊者悖論與理查德悖論
7．3 算術有多少種
7．4 數學的力量與局限
7．5 數學的局限與加密
7．6 數學的局限與博弈

第8章 數學與結構——布爾巴基學派的觀點
8．1 在邏輯長鏈的背後
8．2 形形色色的加法
8．3 基本的結構
8．4 分析與綜閤的藝術
8．5 布爾巴基學派和新數運動

第9章 命運決定還是意誌自由——必然性與偶然性的數學思考
9．1 兩種對立的哲學觀點
9．2 從偶然産生必然
9．3 從必然産生偶然
9．4 一場風暴或一口痰能影響民族的命運嗎
9．5 什麼叫必然？什麼叫偶然
9．6 抽屜原理
9．7 五百年必有王者興

第10章 舉例子能證明幾何定理嗎——演繹與歸納的對立與統一
10．1 例證法——用演繹支持歸納
10．2 幾何定理也能用例子證明
10．3 進一步的思考
10．4 驗證三角形內角和定理
10．5 精確數學和近似數學
10．6 例證法與動態幾何

第11章 計算機正在改變數學
11．1 四色定理的機器證明
11．2 計算機證明的定理可靠嗎
11．3 數學和計算機共同發展
11．4 《九章算術》的算法思想
11．5 幾何信息搜索係統簡介
11．6 機器證明軟件簡介

第12章 數學與哲學隨想
12．1 數學的領域在擴大，哲學的地盤在縮小
12．2 數學始終在影響著哲學
12．3 抽象與具體
12．4 涉及具體問題時，語言必須精確嚴格
12．5 個彆與一般
12．6 事物與概念
12．7 “我不需要這個假設”
12．8 證實與證僞
12．9 數學世界是人的創造，但它是客觀的
12．10 事物的總體性
12．11 變化中的不變
12．12 預言
12．13 “沒有兩件事物完全一樣”
12．14 物極必反
12．15 論懷疑
12．16 量變與質變
12．17 羅素與“事素”

前言/序言

　　成為一名優秀的數學教師，是每一位有責任心和事業心的數學教師的神聖使命。推動中國數學教育實踐的良性發展，提高中國數學教育的質量，是每一位中國數學教育工作者的匹夫之責。
　　數學教育是數學的教育，數學教師需要有良好的數學素養。20世紀後半葉及21世紀初科學技術的迅猛發展，對大、中、小學數學教育提齣瞭越來越高的要求，數學課程改革需要不斷應對時代的挑戰。將一些現代數學的內容以及思想方法(譬如，微積分、嚮量、算法、編碼、統計、群等)引進中學數學課程，已是大勢所趨。相比以往，正在實施中的數學新課程，內容變化較大，許多選修課的內容甚至連教師都沒有學過。現在的課程內容涉及的知識麵廣，難以全麵掌握、深刻理解，使得廣大的中學數學教師正麵臨著前所未有的危機與挑戰。教師是一個專門的職業，作為一位優秀的數學教師需要有良好的數學教育素養。麵對時代的要求，麵對新的教學理論、教育技術，如何處理傳統與現代的關係，改進教學方式，讓學生主動參與教學，減輕學生過重的數學學習負擔，提高數學教學效率，促進學生長遠發展，這些都需要教師對數學教育理論進行係統的學習與研究。
　　全國高等師範院校數學教育類課程與教材建設正在進行之中。近年來的全國高等師範院校數學教育研究會特彆將“數學教育專業課程建設”以及“研究生培養”作為重點專題來研究。2005年全國高等師範院校數學教育研究會常務理事會期間，部分專傢提齣目前沒有閤適的、係統的數學教育本科、研究生(特彆是教育碩士)教材。2006年全國高等師範院校數學教育研究會議再次提齣這一問題。會議期間幾位熱心的學者著手策劃此事，從而誕生瞭本套叢書。該套叢書得到瞭許多著名數學傢以及數學教育傢的鼎力支持。張景中院士、徐利治教授、張奠宙教授欣然答應擔任叢書顧問，並承擔叢書的編寫工作。他們身體力行，為建設中國數學教育大業，提高數學教育類教材水平鞠躬盡瘁。他們嚴謹治學的態度深深地影響著參與叢書編寫工作的各位同仁。各位編委(分冊主編)齊心協力，充分利用參與國內外學術交流的機會，探討交流、齣謀劃策，經過大傢的共同努力，初步確定瞭這一套書的總體框架，也彰顯瞭國內數學教育同仁的強烈責任心和神聖使命感。北京師範大學齣版社大力支持我國的數學教育類課程與教材建設，理科編輯室梁誌國主任精心運作，將“叢書”納入齣版計劃，體現瞭北京師範大學齣版社服務於教育事業的使命感。
　　這套叢書共12本，構成一個整體，基於數學，緊密聯係數學教學實踐，各有側重：一類加深對數學素養的提升，如《數學哲學》《數學方法論選讀》《現代數學通覽》《現代數學與中學數學》(第2版)；另一類則注重於提升數學教育理論與研究水平，如《數學教育原理——哲學、文化與社會的視角》《數學課程導論教學論》《數學教學心理學》《數學教育測量與評價》《數學教育研究方法與論文寫作》《數學教育史》《數學教學案例研究》。
　　但願該套叢書的齣版能夠為有誌於係統研習數學教育理論，全麵提高數學及數學教學、科研水平的中小學教師、教研員、本科生、研究生提供有效的幫助。
　　數學教育叢書編委會

《數學的深邃迴響：思辨與探索》 在浩瀚的知識海洋中，數學以其嚴謹的邏輯、普適的規律和超越時空的特性，吸引著無數探求者。然而，當我們深入追問其根基、本質以及存在的意義時，一個更為廣闊且迷人的領域便在我們眼前展開——那便是數學的哲學。這本《數學的深邃迴響：思辨與探索》，並非要為您呈現一套完整的數學理論體係，也不是對某個具體數學分支的深入剖析。相反，它旨在邀請您一同踏上一段思想的旅程，去聆聽數學背後那永恒的、深刻的迴響，去思辨那些構築起數學大廈的基石，去探索其與人類認知、現實世界乃至宇宙本身之間錯綜復雜的聯係。 本書將帶領讀者繞過公式的紛繁與定理的羅列，聚焦於數學之所以為數學的核心問題。我們會從最根本的疑問開始：數學是人造的，還是被發現的？數字、集閤、空間這些抽象概念，它們真實存在於某種獨立於我們心靈之外的領域，等待著被揭示？抑或它們僅僅是我們心智的構建，是我們理解和組織世界的一種方式？我們將審視那些塑造瞭我們對數學理解的哲學流派，從柏拉圖式的實在論，到形式主義的嚴謹構建，再到直覺主義的強調心智活動，再到邏輯主義的追尋統一的邏輯基礎。每一派觀點都提供瞭一個獨特的視角，揭示瞭數學知識的來源、確證方式及其可靠性。 我們還將探討數學的語言。為何數學語言如此精確、高效，能夠跨越文化和時代的隔閡？其符號係統是如何在數韆年的發展中演化而來，並承載瞭如此豐富的思想內涵？語言與思維的關係，在數學領域尤為凸顯。數學的抽象性如何通過精確的語言得以錶達和傳承？當我們沉浸在數學的邏輯鏈條中時，我們究竟是在與思想本身對話，還是在操縱一套約定俗成的符號？這些問題觸及瞭人類理性能力的邊界，以及語言在塑造我們認知世界中的關鍵作用。 邏輯，作為數學的骨架，自然是本書不可或缺的核心內容。我們不僅僅會提及邏輯規則的運用，更會深入探討邏輯本身的哲學意涵。邏輯是否具有絕對的普遍性？是否存在超越經典邏輯的其它邏輯體係？悖論的齣現，如羅素悖論，是如何動搖瞭早期數學基礎的，又如何促使數學傢們對邏輯和集閤論進行深刻的反思？這些挑戰性的問題，激發瞭數學傢們對形式係統、完備性、一緻性和可判定性等一係列深刻問題的探索，也為我們理解數學的內在一緻性和局限性提供瞭寶貴的啓示。 本書還會將目光投嚮數學與現實世界的接口。數學是如何神奇地能夠描述和預測自然現象的？從牛頓力學到愛因斯坦的相對論，再到量子力學，數學似乎是揭示宇宙奧秘的一把萬能鑰匙。然而，這種描述的精準性背後，又隱藏著怎樣的哲學睏境？我們所謂的“數學模型”是否就是現實本身的真實寫照？還是它們隻是對現實的一種高度抽象和簡化？“應用數學”的成功，究竟是證明瞭數學的客觀實在性，還是僅僅反映瞭人類心智在理解和改造世界過程中所展現齣的驚人能力？ 此外，我們還會審視數學中的一些“神秘”現象。例如，無窮的概念，它既是數學發展的強大引擎，又常常是引發哲學爭議的源泉。無窮集閤的不可思議的性質，如“康托爾的對角綫論證”，是如何挑戰我們日常的直覺，並促使我們重新認識數量的本質？幾何學中的非歐幾何的誕生，又是如何打破瞭人們長期以來對歐幾裏得幾何的絕對信仰，揭示瞭空間的多元可能性？這些例子無不展現瞭數學超越直觀、不斷拓展認知邊界的強大力量。 本書還將觸及數學的價值與意義。除瞭其作為科學研究工具的實用價值，數學本身作為一種純粹的智力活動，其內在的審美價值又體現在何處？數學的優雅、和諧與對稱，是否觸及瞭某種普適的美學原則？數學的探索是否滿足瞭人類最深層次的好奇心和求知欲？其對人類理性精神的塑造，對我們理解自身、理解世界又有著怎樣的意義？ 《數學的深邃迴響：思辨與探索》的寫作風格力求平實而富於啓發。我們將盡量避免使用晦澀的專業術語，或者在必要時進行清晰的解釋，旨在讓更多對數學有好奇心但非專業背景的讀者也能有所收獲。本書沒有既定的答案，更沒有需要死記硬背的公式。它是一場開放性的對話，鼓勵讀者在閱讀過程中，結閤自身的思考和體驗，去形成自己對數學的理解和感悟。 我們相信，當你深入探究數學的哲學層麵時，你所看到的數學將不再僅僅是冷冰冰的符號和冰冷的邏輯，而將是一個充滿生命力、承載著人類智慧結晶、並且不斷嚮我們揭示宇宙深層秘密的迷人世界。《數學的深邃迴響：思辨與探索》正是希望成為你在這趟探索之旅中的一個溫暖而智慧的嚮導，陪伴你一同聆聽那來自數學深處，令人振奮且引人深思的迴響。

評分☆☆☆☆☆

這本書的結構和論證方式，給我留下瞭極其深刻的印象。作者在解讀諸如“邏輯主義”、“直覺主義”、“形式主義”和“哲學數學”等不同流派時，始終堅持一種批判性的梳理和辨析。他並沒有簡單地呈現這些觀點，而是深入剖析瞭它們的核心論證，揭示瞭它們內在的邏輯聯係和潛在的矛盾。例如，在討論“邏輯主義”的局限性時，作者不僅指齣瞭“羅素悖論”的挑戰，還進一步探討瞭邏輯主義在處理無窮概念時的睏難，這使得我對數學的邏輯基礎有瞭更深層次的認識。而當轉嚮“直覺主義”時，作者則通過對“排中律”的質疑，展現瞭另一種關於數學真理的理解路徑，這種理解路徑更強調人類心智的構造能力，也更貼近我們對於“可理解性”的直觀感受。整本書讀下來，我感覺作者並非試圖灌輸某種單一的數學哲學觀點，而是鼓勵讀者在不同的思想體係之間遊走，自己去構建對數學的理解。這種開放式的引導，讓我體會到瞭數學哲學作為一門學科的魅力所在：它不是關於已知答案的學科，而是關於不斷探索和追問“為什麼”的旅程。

評分☆☆☆☆☆

《數學哲學》的閱讀體驗，與其說是一本教材，不如說是一次關於“何為真理”的集體思想實驗。作者在分析不同數學哲學流派時，並沒有采取枯燥的說教方式，而是通過大量的曆史案例和思想實驗，將抽象的哲學概念具象化。例如，在介紹“形式主義”時，作者通過對希爾伯特綱領的詳細闡述，讓我看到瞭數學傢們如何試圖通過形式化的語言和公理係統來構建一個“無懈可擊”的數學大廈。然而，哥德爾定理的齣現，如同給這座大廈敲響瞭警鍾，揭示瞭任何足夠復雜的數學係統都必然存在著無法在其內部證明為真的命題。這讓我不禁思考，數學的“真理”到底意味著什麼？它是否意味著一種絕對的、不容置疑的確定性？還是說，數學的真理本身就是一個不斷演進、自我修正的過程？書中對於“數學實在論”和“數學反實在論”的討論，更是讓我對數學對象的“存在”本身産生瞭深刻的哲學反思，它們是否隻是我們大腦中的幻影，還是獨立於我們意識存在的客觀實體？

評分☆☆☆☆☆

這本《數學哲學》讀下來，感覺像是踏上瞭一場橫跨古今的智慧之旅。開篇就以一種非常直觀的方式，將我帶入瞭數學的根源性問題：數字究竟是什麼？是獨立於我們存在的客觀實在，還是我們心靈構建的概念？作者並沒有直接給齣一個標準答案，而是巧妙地引用瞭柏拉圖的“理念論”，將數字視為超越感官的永恒“理念”，然後又對比瞭亞裏士多德的“形式說”，認為數字是事物內在的性質。這種對比並非簡單的羅列，而是深入剖析瞭兩種觀點在邏輯上的優劣，以及它們如何影響瞭我們對數學真理的理解。接著，筆鋒一轉，作者又探討瞭邏輯主義的興起，像弗雷格、羅素這樣的先驅，試圖將數學完全還原為邏輯，這讓我看到瞭數學傢們為瞭追求絕對的嚴謹和確定性所付齣的努力。其中對於“羅素悖論”的解讀，更是鞭闢入裏，讓我深刻體會到即使是建立在邏輯基礎上的數學，也並非一帆風順，充滿瞭意想不到的挑戰。讀到這裏，我仿佛看到瞭數學發展史上的一個又一個思想的火花在碰撞，也開始反思自己平日裏對數學的“理所當然”的態度，原來背後隱藏著如此深刻的哲學辯論。

評分☆☆☆☆☆

《數學哲學》這本書在探討數學的本質時，並沒有止步於邏輯和概念的層麵，而是將目光投嚮瞭更廣闊的認識論和本體論。作者通過對康德的“先驗綜閤判斷”的闡釋，讓我理解瞭數學知識為何能夠既具有普遍性又具有必然性。康德認為，數學判斷並非經驗的歸納，而是建立在人類心智的先天結構之上，空間和時間是我們感知世界的基本框架，而算術和幾何則是在這些框架內進行的理性活動。這對我來說是一個全新的視角，讓我意識到我們理解和構建數學世界的能力，其實與我們自身的心智運作方式息息相關。隨後，書中對直覺主義的介紹，又為我打開瞭一扇彆樣的門。布勞威爾強調數學對象的“創造性”和“構造性”，認為數學命題的真僞取決於我們能否在心智中“構造”齣相應的對象。這種觀點與傳統的數學觀念形成瞭鮮明對比，它否定瞭排中律在無窮集閤上的普遍適用性，也讓我對數學的“存在”有瞭更深的思考：一個數學對象，如果無法被構造齣來，它是否還能被認為是“存在”的？這種對數學實在性的不同理解，確實引人入勝，也讓我在閱讀過程中不斷地進行自我反思和質疑。

評分☆☆☆☆☆

這本書最讓我著迷的部分，在於它對數學的“不可思議的有效性”的探討。作者引述瞭維格納的經典論述，即數學語言與現實世界驚人的吻閤度，這種現象本身就充滿瞭神秘感。為什麼純粹抽象的數學概念，能夠如此精準地描述自然界的規律？從牛頓的萬有引力定律，到量子力學的復雜方程，數學都扮演著無可替代的角色。書中對於“形式主義”的介紹，也讓我看到瞭數學傢們如何試圖將數學視為一個獨立的、由公理和推理規則構成的形式係統，從而擺脫對現實世界參照的依賴。然而，即使是形式主義，也麵臨著哥德爾不完備定理的挑戰，這似乎在暗示，任何足夠強大的形式係統都無法在自身內部證明自身的完備性和一緻性。這讓我對數學的確定性和可靠性産生瞭新的睏惑，也讓我意識到，數學的魅力恰恰在於它既是抽象的，又是能夠深刻解釋現實世界的。這種辯證關係，是這本書帶給我的最深刻的啓發之一。