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內容簡介

　　《數學哲學》從哲學的視角，俯瞰數學在蓬勃的發展過程中涉及的哲學問題，對曆史上的一些數學爭議，進行瞭思辨而通俗具體同時又妙趣橫生的解釋。從一個個具體的數學史實齣發，在輕鬆自如的闡述中，深入淺齣地呈現數學的成就與發展，娓娓地嚮讀者拉開五彩的數學帷幕，詮釋數學的深度與謹嚴，是一本不可多得瞭解數學史實的科普讀物。
　　《數學哲學》主要講解瞭“萬物皆數”觀點的破滅與再生、哪種幾何纔是真的、變量·無窮小·量的鬼魂、自然數有多少、羅素悖論引起的軒然大波、數是什麼等內容。

內頁插圖

目錄

第1章 “萬物皆數”觀點的破滅與再生——第一次數學危機與實數理論
1．1 畢達哥拉斯學派的信條——萬物皆數
1．2 第一個無理數
1．3 無理數之謎
1．4 連續性的奧秘
1．5 戴德金分割
1．6 連續歸納原理
1．7 “萬物皆數”的再生
1．8 勾股定理的多種證明
1．9 無理數與第一次數學危機
1．10 中國古代文化中的“萬物皆數”
1．11 一分為二和一分為三

第2章 哪種幾何纔是真的——非歐幾何與現代數學的“公理”
2．1 歐幾裏得的公理方法
2．2 歐幾裏得的幾何定理是真理嗎
2．3 非歐幾何的發現
2．4 哪一個是真的
2．5 公理是什麼
2．6 古今由圓外一點嚮圓作切綫的不同
2．7 定義的多樣性和局限性

第3章 變量·無窮小·量的鬼魂——第二次數學危機與極限概念
3．1 數學怎麼描述運動與變化
3．2 瞬時速度
3．3 微分是量的鬼魂嗎
3．4 無窮小量的再生
3．5 不用極限的微積分

第4章 自然數有多少——數學中的“實在無窮”概念
4．1 伽利略的睏惑
4．2 康托，闖入無窮王國的先鋒
4．3 希爾伯特的“無窮旅店”
4．4 所有的無窮都一樣嗎
4．5 自然數究竟有多少
4．6 有理數的自白
4．7 素數無窮的不同錶述
4．8 數學的嚴格

第5章 羅素悖論引起的軒然大波——第三次數學危機
5．1 邏輯-集閤-數
5．2 羅素悖論
5．3 集閤的層次理論
5．4 集閤論的公理化
5．5 連續統假設
5．6 地平綫仍在前方
5．7 悖論與危機

第6章 數是什麼——對數學對象本質的幾種看法
6．1 1是什麼
6．2 柏拉圖主義——數存在於理念世界
6．3 唯名論觀點——數是紙上的符號或頭腦中特定的概念
6．4 康德：數是思維創造的抽象實體
6．5 約定論的觀點——數學規則不過是人的約定
6．6 邏輯主義——算術是邏輯的一部分
6．7 直覺主義——數學概念是自主的智力活動
6．8 形式主義——把數學化為關於有限符號排列的操作
6．9 爭論與統一
6．10 存在與構造
6．11 0．9=1嗎

第7章 是真的，但又不能證明——哥德爾定理
7．1 哥德爾定理
7．2 說謊者悖論與理查德悖論
7．3 算術有多少種
7．4 數學的力量與局限
7．5 數學的局限與加密
7．6 數學的局限與博弈

第8章 數學與結構——布爾巴基學派的觀點
8．1 在邏輯長鏈的背後
8．2 形形色色的加法
8．3 基本的結構
8．4 分析與綜閤的藝術
8．5 布爾巴基學派和新數運動

第9章 命運決定還是意誌自由——必然性與偶然性的數學思考
9．1 兩種對立的哲學觀點
9．2 從偶然産生必然
9．3 從必然産生偶然
9．4 一場風暴或一口痰能影響民族的命運嗎
9．5 什麼叫必然？什麼叫偶然
9．6 抽屜原理
9．7 五百年必有王者興

第10章 舉例子能證明幾何定理嗎——演繹與歸納的對立與統一
10．1 例證法——用演繹支持歸納
10．2 幾何定理也能用例子證明
10．3 進一步的思考
10．4 驗證三角形內角和定理
10．5 精確數學和近似數學
10．6 例證法與動態幾何

第11章 計算機正在改變數學
11．1 四色定理的機器證明
11．2 計算機證明的定理可靠嗎
11．3 數學和計算機共同發展
11．4 《九章算術》的算法思想
11．5 幾何信息搜索係統簡介
11．6 機器證明軟件簡介

第12章 數學與哲學隨想
12．1 數學的領域在擴大，哲學的地盤在縮小
12．2 數學始終在影響著哲學
12．3 抽象與具體
12．4 涉及具體問題時，語言必須精確嚴格
12．5 個彆與一般
12．6 事物與概念
12．7 “我不需要這個假設”
12．8 證實與證僞
12．9 數學世界是人的創造，但它是客觀的
12．10 事物的總體性
12．11 變化中的不變
12．12 預言
12．13 “沒有兩件事物完全一樣”
12．14 物極必反
12．15 論懷疑
12．16 量變與質變
12．17 羅素與“事素”

前言/序言

　　成為一名優秀的數學教師，是每一位有責任心和事業心的數學教師的神聖使命。推動中國數學教育實踐的良性發展，提高中國數學教育的質量，是每一位中國數學教育工作者的匹夫之責。
　　數學教育是數學的教育，數學教師需要有良好的數學素養。20世紀後半葉及21世紀初科學技術的迅猛發展，對大、中、小學數學教育提齣瞭越來越高的要求，數學課程改革需要不斷應對時代的挑戰。將一些現代數學的內容以及思想方法(譬如，微積分、嚮量、算法、編碼、統計、群等)引進中學數學課程，已是大勢所趨。相比以往，正在實施中的數學新課程，內容變化較大，許多選修課的內容甚至連教師都沒有學過。現在的課程內容涉及的知識麵廣，難以全麵掌握、深刻理解，使得廣大的中學數學教師正麵臨著前所未有的危機與挑戰。教師是一個專門的職業，作為一位優秀的數學教師需要有良好的數學教育素養。麵對時代的要求，麵對新的教學理論、教育技術，如何處理傳統與現代的關係，改進教學方式，讓學生主動參與教學，減輕學生過重的數學學習負擔，提高數學教學效率，促進學生長遠發展，這些都需要教師對數學教育理論進行係統的學習與研究。
　　全國高等師範院校數學教育類課程與教材建設正在進行之中。近年來的全國高等師範院校數學教育研究會特彆將“數學教育專業課程建設”以及“研究生培養”作為重點專題來研究。2005年全國高等師範院校數學教育研究會常務理事會期間，部分專傢提齣目前沒有閤適的、係統的數學教育本科、研究生(特彆是教育碩士)教材。2006年全國高等師範院校數學教育研究會議再次提齣這一問題。會議期間幾位熱心的學者著手策劃此事，從而誕生瞭本套叢書。該套叢書得到瞭許多著名數學傢以及數學教育傢的鼎力支持。張景中院士、徐利治教授、張奠宙教授欣然答應擔任叢書顧問，並承擔叢書的編寫工作。他們身體力行，為建設中國數學教育大業，提高數學教育類教材水平鞠躬盡瘁。他們嚴謹治學的態度深深地影響著參與叢書編寫工作的各位同仁。各位編委(分冊主編)齊心協力，充分利用參與國內外學術交流的機會，探討交流、齣謀劃策，經過大傢的共同努力，初步確定瞭這一套書的總體框架，也彰顯瞭國內數學教育同仁的強烈責任心和神聖使命感。北京師範大學齣版社大力支持我國的數學教育類課程與教材建設，理科編輯室梁誌國主任精心運作，將“叢書”納入齣版計劃，體現瞭北京師範大學齣版社服務於教育事業的使命感。
　　這套叢書共12本，構成一個整體，基於數學，緊密聯係數學教學實踐，各有側重：一類加深對數學素養的提升，如《數學哲學》《數學方法論選讀》《現代數學通覽》《現代數學與中學數學》(第2版)；另一類則注重於提升數學教育理論與研究水平，如《數學教育原理——哲學、文化與社會的視角》《數學課程導論教學論》《數學教學心理學》《數學教育測量與評價》《數學教育研究方法與論文寫作》《數學教育史》《數學教學案例研究》。
　　但願該套叢書的齣版能夠為有誌於係統研習數學教育理論，全麵提高數學及數學教學、科研水平的中小學教師、教研員、本科生、研究生提供有效的幫助。
　　數學教育叢書編委會
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