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张景中，彭翕成 编，张英伯，曹一鸣 译

图书标签:

• 数学哲学
• 哲学
• 数学
• 逻辑学
• 知识论
• 形而上学
• 科学哲学
• 数学基础
• 形式逻辑
• 公理化方法

出版社： 北京师范大学出版社

ISBN：9787303221332

版次：2

商品编码：12259022

包装：平装

丛书名： 新世纪高等学校规划教材·数学系列 ，

开本：16开

出版时间：2017-04-01

用纸：胶版纸

页数：201

字数：212000

正文语种：中文

内容简介

　　《数学哲学》从哲学的视角，俯瞰数学在蓬勃的发展过程中涉及的哲学问题，对历史上的一些数学争议，进行了思辨而通俗具体同时又妙趣横生的解释。从一个个具体的数学史实出发，在轻松自如的阐述中，深入浅出地呈现数学的成就与发展，娓娓地向读者拉开五彩的数学帷幕，诠释数学的深度与谨严，是一本不可多得了解数学史实的科普读物。
　　《数学哲学》主要讲解了“万物皆数”观点的破灭与再生、哪种几何才是真的、变量·无穷小·量的鬼魂、自然数有多少、罗素悖论引起的轩然大波、数是什么等内容。

内页插图

目录

第1章 “万物皆数”观点的破灭与再生——第一次数学危机与实数理论
1．1 毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数
1．2 第一个无理数
1．3 无理数之谜
1．4 连续性的奥秘
1．5 戴德金分割
1．6 连续归纳原理
1．7 “万物皆数”的再生
1．8 勾股定理的多种证明
1．9 无理数与第一次数学危机
1．10 中国古代文化中的“万物皆数”
1．11 一分为二和一分为三

第2章 哪种几何才是真的——非欧几何与现代数学的“公理”
2．1 欧几里得的公理方法
2．2 欧几里得的几何定理是真理吗
2．3 非欧几何的发现
2．4 哪一个是真的
2．5 公理是什么
2．6 古今由圆外一点向圆作切线的不同
2．7 定义的多样性和局限性

第3章 变量·无穷小·量的鬼魂——第二次数学危机与极限概念
3．1 数学怎么描述运动与变化
3．2 瞬时速度
3．3 微分是量的鬼魂吗
3．4 无穷小量的再生
3．5 不用极限的微积分

第4章 自然数有多少——数学中的“实在无穷”概念
4．1 伽利略的困惑
4．2 康托，闯入无穷王国的先锋
4．3 希尔伯特的“无穷旅店”
4．4 所有的无穷都一样吗
4．5 自然数究竟有多少
4．6 有理数的自白
4．7 素数无穷的不同表述
4．8 数学的严格

第5章 罗素悖论引起的轩然大波——第三次数学危机
5．1 逻辑-集合-数
5．2 罗素悖论
5．3 集合的层次理论
5．4 集合论的公理化
5．5 连续统假设
5．6 地平线仍在前方
5．7 悖论与危机

第6章 数是什么——对数学对象本质的几种看法
6．1 1是什么
6．2 柏拉图主义——数存在于理念世界
6．3 唯名论观点——数是纸上的符号或头脑中特定的概念
6．4 康德：数是思维创造的抽象实体
6．5 约定论的观点——数学规则不过是人的约定
6．6 逻辑主义——算术是逻辑的一部分
6．7 直觉主义——数学概念是自主的智力活动
6．8 形式主义——把数学化为关于有限符号排列的操作
6．9 争论与统一
6．10 存在与构造
6．11 0．9=1吗

第7章 是真的，但又不能证明——哥德尔定理
7．1 哥德尔定理
7．2 说谎者悖论与理查德悖论
7．3 算术有多少种
7．4 数学的力量与局限
7．5 数学的局限与加密
7．6 数学的局限与博弈

第8章 数学与结构——布尔巴基学派的观点
8．1 在逻辑长链的背后
8．2 形形色色的加法
8．3 基本的结构
8．4 分析与综合的艺术
8．5 布尔巴基学派和新数运动

第9章 命运决定还是意志自由——必然性与偶然性的数学思考
9．1 两种对立的哲学观点
9．2 从偶然产生必然
9．3 从必然产生偶然
9．4 一场风暴或一口痰能影响民族的命运吗
9．5 什么叫必然？什么叫偶然
9．6 抽屉原理
9．7 五百年必有王者兴

第10章 举例子能证明几何定理吗——演绎与归纳的对立与统一
10．1 例证法——用演绎支持归纳
10．2 几何定理也能用例子证明
10．3 进一步的思考
10．4 验证三角形内角和定理
10．5 精确数学和近似数学
10．6 例证法与动态几何

第11章 计算机正在改变数学
11．1 四色定理的机器证明
11．2 计算机证明的定理可靠吗
11．3 数学和计算机共同发展
11．4 《九章算术》的算法思想
11．5 几何信息搜索系统简介
11．6 机器证明软件简介

第12章 数学与哲学随想
12．1 数学的领域在扩大，哲学的地盘在缩小
12．2 数学始终在影响着哲学
12．3 抽象与具体
12．4 涉及具体问题时，语言必须精确严格
12．5 个别与一般
12．6 事物与概念
12．7 “我不需要这个假设”
12．8 证实与证伪
12．9 数学世界是人的创造，但它是客观的
12．10 事物的总体性
12．11 变化中的不变
12．12 预言
12．13 “没有两件事物完全一样”
12．14 物极必反
12．15 论怀疑
12．16 量变与质变
12．17 罗素与“事素”

前言/序言

　　成为一名优秀的数学教师，是每一位有责任心和事业心的数学教师的神圣使命。推动中国数学教育实践的良性发展，提高中国数学教育的质量，是每一位中国数学教育工作者的匹夫之责。
　　数学教育是数学的教育，数学教师需要有良好的数学素养。20世纪后半叶及21世纪初科学技术的迅猛发展，对大、中、小学数学教育提出了越来越高的要求，数学课程改革需要不断应对时代的挑战。将一些现代数学的内容以及思想方法(譬如，微积分、向量、算法、编码、统计、群等)引进中学数学课程，已是大势所趋。相比以往，正在实施中的数学新课程，内容变化较大，许多选修课的内容甚至连教师都没有学过。现在的课程内容涉及的知识面广，难以全面掌握、深刻理解，使得广大的中学数学教师正面临着前所未有的危机与挑战。教师是一个专门的职业，作为一位优秀的数学教师需要有良好的数学教育素养。面对时代的要求，面对新的教学理论、教育技术，如何处理传统与现代的关系，改进教学方式，让学生主动参与教学，减轻学生过重的数学学习负担，提高数学教学效率，促进学生长远发展，这些都需要教师对数学教育理论进行系统的学习与研究。
　　全国高等师范院校数学教育类课程与教材建设正在进行之中。近年来的全国高等师范院校数学教育研究会特别将“数学教育专业课程建设”以及“研究生培养”作为重点专题来研究。2005年全国高等师范院校数学教育研究会常务理事会期间，部分专家提出目前没有合适的、系统的数学教育本科、研究生(特别是教育硕士)教材。2006年全国高等师范院校数学教育研究会议再次提出这一问题。会议期间几位热心的学者着手策划此事，从而诞生了本套丛书。该套丛书得到了许多著名数学家以及数学教育家的鼎力支持。张景中院士、徐利治教授、张奠宙教授欣然答应担任丛书顾问，并承担丛书的编写工作。他们身体力行，为建设中国数学教育大业，提高数学教育类教材水平鞠躬尽瘁。他们严谨治学的态度深深地影响着参与丛书编写工作的各位同仁。各位编委(分册主编)齐心协力，充分利用参与国内外学术交流的机会，探讨交流、出谋划策，经过大家的共同努力，初步确定了这一套书的总体框架，也彰显了国内数学教育同仁的强烈责任心和神圣使命感。北京师范大学出版社大力支持我国的数学教育类课程与教材建设，理科编辑室梁志国主任精心运作，将“丛书”纳入出版计划，体现了北京师范大学出版社服务于教育事业的使命感。
　　这套丛书共12本，构成一个整体，基于数学，紧密联系数学教学实践，各有侧重：一类加深对数学素养的提升，如《数学哲学》《数学方法论选读》《现代数学通览》《现代数学与中学数学》(第2版)；另一类则注重于提升数学教育理论与研究水平，如《数学教育原理——哲学、文化与社会的视角》《数学课程导论教学论》《数学教学心理学》《数学教育测量与评价》《数学教育研究方法与论文写作》《数学教育史》《数学教学案例研究》。
　　但愿该套丛书的出版能够为有志于系统研习数学教育理论，全面提高数学及数学教学、科研水平的中小学教师、教研员、本科生、研究生提供有效的帮助。
　　数学教育丛书编委会

《数学的深邃回响：思辨与探索》 在浩瀚的知识海洋中，数学以其严谨的逻辑、普适的规律和超越时空的特性，吸引着无数探求者。然而，当我们深入追问其根基、本质以及存在的意义时，一个更为广阔且迷人的领域便在我们眼前展开——那便是数学的哲学。这本《数学的深邃回响：思辨与探索》，并非要为您呈现一套完整的数学理论体系，也不是对某个具体数学分支的深入剖析。相反，它旨在邀请您一同踏上一段思想的旅程，去聆听数学背后那永恒的、深刻的回响，去思辨那些构筑起数学大厦的基石，去探索其与人类认知、现实世界乃至宇宙本身之间错综复杂的联系。 本书将带领读者绕过公式的纷繁与定理的罗列，聚焦于数学之所以为数学的核心问题。我们会从最根本的疑问开始：数学是人造的，还是被发现的？数字、集合、空间这些抽象概念，它们真实存在于某种独立于我们心灵之外的领域，等待着被揭示？抑或它们仅仅是我们心智的构建，是我们理解和组织世界的一种方式？我们将审视那些塑造了我们对数学理解的哲学流派，从柏拉图式的实在论，到形式主义的严谨构建，再到直觉主义的强调心智活动，再到逻辑主义的追寻统一的逻辑基础。每一派观点都提供了一个独特的视角，揭示了数学知识的来源、确证方式及其可靠性。 我们还将探讨数学的语言。为何数学语言如此精确、高效，能够跨越文化和时代的隔阂？其符号系统是如何在数千年的发展中演化而来，并承载了如此丰富的思想内涵？语言与思维的关系，在数学领域尤为凸显。数学的抽象性如何通过精确的语言得以表达和传承？当我们沉浸在数学的逻辑链条中时，我们究竟是在与思想本身对话，还是在操纵一套约定俗成的符号？这些问题触及了人类理性能力的边界，以及语言在塑造我们认知世界中的关键作用。 逻辑，作为数学的骨架，自然是本书不可或缺的核心内容。我们不仅仅会提及逻辑规则的运用，更会深入探讨逻辑本身的哲学意涵。逻辑是否具有绝对的普遍性？是否存在超越经典逻辑的其它逻辑体系？悖论的出现，如罗素悖论，是如何动摇了早期数学基础的，又如何促使数学家们对逻辑和集合论进行深刻的反思？这些挑战性的问题，激发了数学家们对形式系统、完备性、一致性和可判定性等一系列深刻问题的探索，也为我们理解数学的内在一致性和局限性提供了宝贵的启示。 本书还会将目光投向数学与现实世界的接口。数学是如何神奇地能够描述和预测自然现象的？从牛顿力学到爱因斯坦的相对论，再到量子力学，数学似乎是揭示宇宙奥秘的一把万能钥匙。然而，这种描述的精准性背后，又隐藏着怎样的哲学困境？我们所谓的“数学模型”是否就是现实本身的真实写照？还是它们只是对现实的一种高度抽象和简化？“应用数学”的成功，究竟是证明了数学的客观实在性，还是仅仅反映了人类心智在理解和改造世界过程中所展现出的惊人能力？ 此外，我们还会审视数学中的一些“神秘”现象。例如，无穷的概念，它既是数学发展的强大引擎，又常常是引发哲学争议的源泉。无穷集合的不可思议的性质，如“康托尔的对角线论证”，是如何挑战我们日常的直觉，并促使我们重新认识数量的本质？几何学中的非欧几何的诞生，又是如何打破了人们长期以来对欧几里得几何的绝对信仰，揭示了空间的多元可能性？这些例子无不展现了数学超越直观、不断拓展认知边界的强大力量。 本书还将触及数学的价值与意义。除了其作为科学研究工具的实用价值，数学本身作为一种纯粹的智力活动，其内在的审美价值又体现在何处？数学的优雅、和谐与对称，是否触及了某种普适的美学原则？数学的探索是否满足了人类最深层次的好奇心和求知欲？其对人类理性精神的塑造，对我们理解自身、理解世界又有着怎样的意义？ 《数学的深邃回响：思辨与探索》的写作风格力求平实而富于启发。我们将尽量避免使用晦涩的专业术语，或者在必要时进行清晰的解释，旨在让更多对数学有好奇心但非专业背景的读者也能有所收获。本书没有既定的答案，更没有需要死记硬背的公式。它是一场开放性的对话，鼓励读者在阅读过程中，结合自身的思考和体验，去形成自己对数学的理解和感悟。 我们相信，当你深入探究数学的哲学层面时，你所看到的数学将不再仅仅是冷冰冰的符号和冰冷的逻辑，而将是一个充满生命力、承载着人类智慧结晶、并且不断向我们揭示宇宙深层秘密的迷人世界。《数学的深邃回响：思辨与探索》正是希望成为你在这趟探索之旅中的一个温暖而智慧的向导，陪伴你一同聆听那来自数学深处，令人振奋且引人深思的回响。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我着迷的部分，在于它对数学的“不可思议的有效性”的探讨。作者引述了维格纳的经典论述，即数学语言与现实世界惊人的吻合度，这种现象本身就充满了神秘感。为什么纯粹抽象的数学概念，能够如此精准地描述自然界的规律？从牛顿的万有引力定律，到量子力学的复杂方程，数学都扮演着无可替代的角色。书中对于“形式主义”的介绍，也让我看到了数学家们如何试图将数学视为一个独立的、由公理和推理规则构成的形式系统，从而摆脱对现实世界参照的依赖。然而，即使是形式主义，也面临着哥德尔不完备定理的挑战，这似乎在暗示，任何足够强大的形式系统都无法在自身内部证明自身的完备性和一致性。这让我对数学的确定性和可靠性产生了新的困惑，也让我意识到，数学的魅力恰恰在于它既是抽象的，又是能够深刻解释现实世界的。这种辩证关系，是这本书带给我的最深刻的启发之一。

评分☆☆☆☆☆

《数学哲学》的阅读体验，与其说是一本教材，不如说是一次关于“何为真理”的集体思想实验。作者在分析不同数学哲学流派时，并没有采取枯燥的说教方式，而是通过大量的历史案例和思想实验，将抽象的哲学概念具象化。例如，在介绍“形式主义”时，作者通过对希尔伯特纲领的详细阐述，让我看到了数学家们如何试图通过形式化的语言和公理系统来构建一个“无懈可击”的数学大厦。然而，哥德尔定理的出现，如同给这座大厦敲响了警钟，揭示了任何足够复杂的数学系统都必然存在着无法在其内部证明为真的命题。这让我不禁思考，数学的“真理”到底意味着什么？它是否意味着一种绝对的、不容置疑的确定性？还是说，数学的真理本身就是一个不断演进、自我修正的过程？书中对于“数学实在论”和“数学反实在论”的讨论，更是让我对数学对象的“存在”本身产生了深刻的哲学反思，它们是否只是我们大脑中的幻影，还是独立于我们意识存在的客观实体？

评分☆☆☆☆☆

《数学哲学》这本书在探讨数学的本质时，并没有止步于逻辑和概念的层面，而是将目光投向了更广阔的认识论和本体论。作者通过对康德的“先验综合判断”的阐释，让我理解了数学知识为何能够既具有普遍性又具有必然性。康德认为，数学判断并非经验的归纳，而是建立在人类心智的先天结构之上，空间和时间是我们感知世界的基本框架，而算术和几何则是在这些框架内进行的理性活动。这对我来说是一个全新的视角，让我意识到我们理解和构建数学世界的能力，其实与我们自身的心智运作方式息息相关。随后，书中对直觉主义的介绍，又为我打开了一扇别样的门。布劳威尔强调数学对象的“创造性”和“构造性”，认为数学命题的真伪取决于我们能否在心智中“构造”出相应的对象。这种观点与传统的数学观念形成了鲜明对比，它否定了排中律在无穷集合上的普遍适用性，也让我对数学的“存在”有了更深的思考：一个数学对象，如果无法被构造出来，它是否还能被认为是“存在”的？这种对数学实在性的不同理解，确实引人入胜，也让我在阅读过程中不断地进行自我反思和质疑。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学哲学》读下来，感觉像是踏上了一场横跨古今的智慧之旅。开篇就以一种非常直观的方式，将我带入了数学的根源性问题：数字究竟是什么？是独立于我们存在的客观实在，还是我们心灵构建的概念？作者并没有直接给出一个标准答案，而是巧妙地引用了柏拉图的“理念论”，将数字视为超越感官的永恒“理念”，然后又对比了亚里士多德的“形式说”，认为数字是事物内在的性质。这种对比并非简单的罗列，而是深入剖析了两种观点在逻辑上的优劣，以及它们如何影响了我们对数学真理的理解。接着，笔锋一转，作者又探讨了逻辑主义的兴起，像弗雷格、罗素这样的先驱，试图将数学完全还原为逻辑，这让我看到了数学家们为了追求绝对的严谨和确定性所付出的努力。其中对于“罗素悖论”的解读，更是鞭辟入里，让我深刻体会到即使是建立在逻辑基础上的数学，也并非一帆风顺，充满了意想不到的挑战。读到这里，我仿佛看到了数学发展史上的一个又一个思想的火花在碰撞，也开始反思自己平日里对数学的“理所当然”的态度，原来背后隐藏着如此深刻的哲学辩论。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构和论证方式，给我留下了极其深刻的印象。作者在解读诸如“逻辑主义”、“直觉主义”、“形式主义”和“哲学数学”等不同流派时，始终坚持一种批判性的梳理和辨析。他并没有简单地呈现这些观点，而是深入剖析了它们的核心论证，揭示了它们内在的逻辑联系和潜在的矛盾。例如，在讨论“逻辑主义”的局限性时，作者不仅指出了“罗素悖论”的挑战，还进一步探讨了逻辑主义在处理无穷概念时的困难，这使得我对数学的逻辑基础有了更深层次的认识。而当转向“直觉主义”时，作者则通过对“排中律”的质疑，展现了另一种关于数学真理的理解路径，这种理解路径更强调人类心智的构造能力，也更贴近我们对于“可理解性”的直观感受。整本书读下来，我感觉作者并非试图灌输某种单一的数学哲学观点，而是鼓励读者在不同的思想体系之间游走，自己去构建对数学的理解。这种开放式的引导，让我体会到了数学哲学作为一门学科的魅力所在：它不是关于已知答案的学科，而是关于不断探索和追问“为什么”的旅程。