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内容简介

　　《数学哲学》从哲学的视角，俯瞰数学在蓬勃的发展过程中涉及的哲学问题，对历史上的一些数学争议，进行了思辨而通俗具体同时又妙趣横生的解释。从一个个具体的数学史实出发，在轻松自如的阐述中，深入浅出地呈现数学的成就与发展，娓娓地向读者拉开五彩的数学帷幕，诠释数学的深度与谨严，是一本不可多得了解数学史实的科普读物。
　　《数学哲学》主要讲解了“万物皆数”观点的破灭与再生、哪种几何才是真的、变量·无穷小·量的鬼魂、自然数有多少、罗素悖论引起的轩然大波、数是什么等内容。

内页插图

目录

第1章 “万物皆数”观点的破灭与再生——第一次数学危机与实数理论
1．1 毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数
1．2 第一个无理数
1．3 无理数之谜
1．4 连续性的奥秘
1．5 戴德金分割
1．6 连续归纳原理
1．7 “万物皆数”的再生
1．8 勾股定理的多种证明
1．9 无理数与第一次数学危机
1．10 中国古代文化中的“万物皆数”
1．11 一分为二和一分为三

第2章 哪种几何才是真的——非欧几何与现代数学的“公理”
2．1 欧几里得的公理方法
2．2 欧几里得的几何定理是真理吗
2．3 非欧几何的发现
2．4 哪一个是真的
2．5 公理是什么
2．6 古今由圆外一点向圆作切线的不同
2．7 定义的多样性和局限性

第3章 变量·无穷小·量的鬼魂——第二次数学危机与极限概念
3．1 数学怎么描述运动与变化
3．2 瞬时速度
3．3 微分是量的鬼魂吗
3．4 无穷小量的再生
3．5 不用极限的微积分

第4章 自然数有多少——数学中的“实在无穷”概念
4．1 伽利略的困惑
4．2 康托，闯入无穷王国的先锋
4．3 希尔伯特的“无穷旅店”
4．4 所有的无穷都一样吗
4．5 自然数究竟有多少
4．6 有理数的自白
4．7 素数无穷的不同表述
4．8 数学的严格

第5章 罗素悖论引起的轩然大波——第三次数学危机
5．1 逻辑-集合-数
5．2 罗素悖论
5．3 集合的层次理论
5．4 集合论的公理化
5．5 连续统假设
5．6 地平线仍在前方
5．7 悖论与危机

第6章 数是什么——对数学对象本质的几种看法
6．1 1是什么
6．2 柏拉图主义——数存在于理念世界
6．3 唯名论观点——数是纸上的符号或头脑中特定的概念
6．4 康德：数是思维创造的抽象实体
6．5 约定论的观点——数学规则不过是人的约定
6．6 逻辑主义——算术是逻辑的一部分
6．7 直觉主义——数学概念是自主的智力活动
6．8 形式主义——把数学化为关于有限符号排列的操作
6．9 争论与统一
6．10 存在与构造
6．11 0．9=1吗

第7章 是真的，但又不能证明——哥德尔定理
7．1 哥德尔定理
7．2 说谎者悖论与理查德悖论
7．3 算术有多少种
7．4 数学的力量与局限
7．5 数学的局限与加密
7．6 数学的局限与博弈

第8章 数学与结构——布尔巴基学派的观点
8．1 在逻辑长链的背后
8．2 形形色色的加法
8．3 基本的结构
8．4 分析与综合的艺术
8．5 布尔巴基学派和新数运动

第9章 命运决定还是意志自由——必然性与偶然性的数学思考
9．1 两种对立的哲学观点
9．2 从偶然产生必然
9．3 从必然产生偶然
9．4 一场风暴或一口痰能影响民族的命运吗
9．5 什么叫必然？什么叫偶然
9．6 抽屉原理
9．7 五百年必有王者兴

第10章 举例子能证明几何定理吗——演绎与归纳的对立与统一
10．1 例证法——用演绎支持归纳
10．2 几何定理也能用例子证明
10．3 进一步的思考
10．4 验证三角形内角和定理
10．5 精确数学和近似数学
10．6 例证法与动态几何

第11章 计算机正在改变数学
11．1 四色定理的机器证明
11．2 计算机证明的定理可靠吗
11．3 数学和计算机共同发展
11．4 《九章算术》的算法思想
11．5 几何信息搜索系统简介
11．6 机器证明软件简介

第12章 数学与哲学随想
12．1 数学的领域在扩大，哲学的地盘在缩小
12．2 数学始终在影响着哲学
12．3 抽象与具体
12．4 涉及具体问题时，语言必须精确严格
12．5 个别与一般
12．6 事物与概念
12．7 “我不需要这个假设”
12．8 证实与证伪
12．9 数学世界是人的创造，但它是客观的
12．10 事物的总体性
12．11 变化中的不变
12．12 预言
12．13 “没有两件事物完全一样”
12．14 物极必反
12．15 论怀疑
12．16 量变与质变
12．17 罗素与“事素”

前言/序言

　　成为一名优秀的数学教师，是每一位有责任心和事业心的数学教师的神圣使命。推动中国数学教育实践的良性发展，提高中国数学教育的质量，是每一位中国数学教育工作者的匹夫之责。
　　数学教育是数学的教育，数学教师需要有良好的数学素养。20世纪后半叶及21世纪初科学技术的迅猛发展，对大、中、小学数学教育提出了越来越高的要求，数学课程改革需要不断应对时代的挑战。将一些现代数学的内容以及思想方法(譬如，微积分、向量、算法、编码、统计、群等)引进中学数学课程，已是大势所趋。相比以往，正在实施中的数学新课程，内容变化较大，许多选修课的内容甚至连教师都没有学过。现在的课程内容涉及的知识面广，难以全面掌握、深刻理解，使得广大的中学数学教师正面临着前所未有的危机与挑战。教师是一个专门的职业，作为一位优秀的数学教师需要有良好的数学教育素养。面对时代的要求，面对新的教学理论、教育技术，如何处理传统与现代的关系，改进教学方式，让学生主动参与教学，减轻学生过重的数学学习负担，提高数学教学效率，促进学生长远发展，这些都需要教师对数学教育理论进行系统的学习与研究。
　　全国高等师范院校数学教育类课程与教材建设正在进行之中。近年来的全国高等师范院校数学教育研究会特别将“数学教育专业课程建设”以及“研究生培养”作为重点专题来研究。2005年全国高等师范院校数学教育研究会常务理事会期间，部分专家提出目前没有合适的、系统的数学教育本科、研究生(特别是教育硕士)教材。2006年全国高等师范院校数学教育研究会议再次提出这一问题。会议期间几位热心的学者着手策划此事，从而诞生了本套丛书。该套丛书得到了许多著名数学家以及数学教育家的鼎力支持。张景中院士、徐利治教授、张奠宙教授欣然答应担任丛书顾问，并承担丛书的编写工作。他们身体力行，为建设中国数学教育大业，提高数学教育类教材水平鞠躬尽瘁。他们严谨治学的态度深深地影响着参与丛书编写工作的各位同仁。各位编委(分册主编)齐心协力，充分利用参与国内外学术交流的机会，探讨交流、出谋划策，经过大家的共同努力，初步确定了这一套书的总体框架，也彰显了国内数学教育同仁的强烈责任心和神圣使命感。北京师范大学出版社大力支持我国的数学教育类课程与教材建设，理科编辑室梁志国主任精心运作，将“丛书”纳入出版计划，体现了北京师范大学出版社服务于教育事业的使命感。
　　这套丛书共12本，构成一个整体，基于数学，紧密联系数学教学实践，各有侧重：一类加深对数学素养的提升，如《数学哲学》《数学方法论选读》《现代数学通览》《现代数学与中学数学》(第2版)；另一类则注重于提升数学教育理论与研究水平，如《数学教育原理——哲学、文化与社会的视角》《数学课程导论教学论》《数学教学心理学》《数学教育测量与评价》《数学教育研究方法与论文写作》《数学教育史》《数学教学案例研究》。
　　但愿该套丛书的出版能够为有志于系统研习数学教育理论，全面提高数学及数学教学、科研水平的中小学教师、教研员、本科生、研究生提供有效的帮助。
　　数学教育丛书编委会
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