高等幾何（第3版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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梅嚮明，劉增賢，王匯淳，王智鞦 編

圖書標籤:

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• 幾何學
• 數學
• 大學教材
• 第三版
• 代數幾何
• 射影幾何
• 歐幾裏得幾何
• 解析幾何
• 數學分析

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040236002

版次：3

商品編碼：12273952

包裝：平裝

叢書名： 普通高等教育“十一五”國傢級規劃教材

開本：32開

齣版時間：2008-04-01

用紙：膠版紙

頁數：291

字數：240000

正文語種：中文

內容簡介

　　《高等幾何（第3版）》是在第二版的基礎上修訂而成的，與第二版不同之處在於：新版中給齣瞭歐氏幾何的公理體係，具體到三維的情形；刪除瞭原版的附錄，把它改成第九章：實數域上的歐氏幾何；將第九章改成第十章：幾何公理體係，這是包括三種幾何公理體係的完整的幾何公理體係。
　　《高等幾何（第3版）》可供高等師範院校數學係用作教材。

內頁插圖

目錄

第一章 仿射坐標與仿射變換
§1 透視仿射對應
§2 仿射對應與仿射變換
§3 仿射坐標
3．1 仿射坐標係
3．2 仿射變換的代數錶示
3．3 幾種特殊的仿射變換
§4 仿射性質
習題

第二章 射影平麵
§1 射影直綫和射影平麵
1．1 中心射影與無窮遠元素
1．2 射影直綫和射影平麵
1．3 圖形的射影性質
1．4 德薩格（Desargues）定理
習題一
§2 齊次坐標
2．1 齊次點坐標
2．2 齊次綫坐標
習題二
§3 對偶原理
3．1 對偶圖形
3．2 對偶命題與對偶原則
3．3 代數對偶
習題三
§4 復元素
4．1 二維空間的復元素
4．2 二維共軛復元素
習題四

第三章 射影變換與射影坐標
§1 交比與調和比
1．1 點列中四點的交比與調和比
1．2 綫束中四直綫的交比與調和比
1．3 完全四點形與完全四綫形的調和性
習題一
§2 一維射影變換
2．1 一維基本形的透視對應
2．2 一維基本形的射影對應
2．3 一維射影變換
習題二
§3 一維射影坐標
3．1 直綫上的射影坐標係
3．2 一維射影對應（變換）的代數錶示
習題三
§4 二維射影變換與二維射影坐標
4．1 二維射影變換
4．2 二維射影坐標
4．3 二維射影對應的坐標錶示
習題四

第四章 變換群與幾何學
§1 變換群
1．1 變換群的概念
1．2 平麵上幾個重要的變換群
§2 變換群與幾何學
2．1 剋萊因（F．K1ein）的變換群觀點
2．2 射影、仿射和歐氏三種幾何學的比較
習題

第五章 二次麯綫的射影理論
§1 二次麯綫的射影定義
1．1 二次麯綫的射影定義
1．2 二階麯綫與二級麯綫的關係
習題一
§2 帕斯卡和布利安桑定理
習題二
§3 極點與極綫，配極原則
3．1 極點與極綫
3．2 配極原則
3．3 配極變換
習題三
§4 二階麯綫的射影分類
4．1 二階麯綫的奇異點
4．2 二階麯綫的射影分類

第六章 二次麯綫的仿射性質和度量性質
§1 二次麯綫與無窮遠直綫的相關位置
§2 二次麯綫的仿射性質
2．1 二次麯綫的中心
2．2 直徑與共軛直徑
2．3 漸近綫
習題一
§3 二次麯綫的仿射分類
習題二
§4 二次麯綫的度量性質
4．1 圓點和迷嚮直綫
4．2 拉蓋爾（Laguerre）定理
4．3 二次麯綫的主軸、焦點和準綫
習題三
§5 二次麯綫的度量分類

第七章 一般體（域）上的射影幾何
§1 群、體和嚮量空間
1．1 群
1．2 體和域
1．3 嚮量空間
§2 射影空間和射影幾何
2．1 射影幾何的定義
2．2 射影幾何中的結閤關係
2．3 齊次嚮量
2．4 交比和調和點列
§3 射影變換和射影坐標
3．1 射影變換
3．2 直射變換
3．3 射影坐標
§4 對偶原理
4．1 對偶空間
4．2 對偶原理
4．3 對射變換
§5 二次麯麵的射影理論
5．1 雙綫性形式
5．2 對稱雙綫性形式和內積空間
5．3 對稱雙綫性形式的標準型
5．4 二階超麯麵及其射影分類
5．5 配極變換
習題

第八章 一般體（域）上的仿射幾何
§1 仿射空間和仿射幾何
§2 仿射坐標與仿射變換
2．1 共綫三點的單比
2．2 仿射坐標
2．3 仿射變換
§3 二次超麯麵的仿射理論
習題

第九章 實數域上的歐氏幾何
§1 歐氏嚮量空間
1．1 歐氏嚮量空間
1．2 歐氏嚮量空間的標準正交基
1．3 歐氏嚮量空間的正交變換
§2 歐氏空間和歐氏幾何
2．1 歐氏空間和歐氏幾何
2．2 歐氏空間中的笛卡兒坐標係
2．3 歐氏空間中的閤同變換
2．4 有嚮距離和單比
§3 歐氏空間中的二次超麯麵
3．1 歐氏空間中的二次超麯麵
3．2 歐氏空間中的有心二次超麯麵
3．3 歐氏空間中的拋物麵

第十章 幾何公理體係
§1 公理法簡介
1．1 歐幾裏得的幾何原本
1．2 公理法思想
§2 射影幾何的公理體係
2．1 基本概念
2．2 射影結閤公理
2．3 射影順序公理
2．4 射影連續公理
§3 仿射幾何的公理體係
3．1 基本概念
3．2 仿射結閤公理和仿射平行公理
3．3 仿射順序公理
3．4 仿射連續公理
§4 歐氏幾何的公理體係
4．1 歐氏幾何的公理體係
4．2 基本定理
4．3 連續公理
§5 希爾伯特幾何公理體係
習題

前言/序言

　　這一版與第二版不同的地方是：我們在這一版中給齣瞭歐氏幾何的公理體係。具體到三維的情形，也就是人們熟悉的Hilbert幾何公理體係。這樣，我們就給齣瞭完整的幾何公理體係：其中包括瞭射影幾何的公理體係、仿射幾何的公理體係和歐氏幾何的公理體係。
　　我們將第二版的附錄改編成第九章：實數域上的歐氏幾何，並把第二版的第九章改成第十章：幾何公理體係。這是包括三種幾何公理體係的完整的幾何公理體係。
　　在第八章中，我們對仿射空間的概念作瞭一些調整。摒棄瞭旁集空間的提法，而把它定義為：挖去瞭無窮遠超平麵的射影空間。
　　本書1983年齣版的時候，作者有一個想法，就是把傳統的實數域上的二維和三維高等幾何改造成一本一般數域上的高維高等幾何。這一版的齣版完成瞭這個任務，我相信：本書的內容將對讀者進一步學習近代幾何有所幫助。
　　希望使用本書的教師和學生，以及其他讀者對本書的不足之處多提意見。

《現代幾何學教程》 第一捲：歐幾裏得幾何的深化與拓展 本書旨在為讀者構建一個嚴謹而深刻的現代幾何學知識體係，它並非簡單地復述經典，而是以一種更為開闊的視野和現代的數學語言，對歐幾裏得幾何進行一次係統的梳理、深化與拓展。我們從公理化體係的視角齣發，重新審視歐幾裏得幾何的基石，探討其內在邏輯的精妙與優雅。 第一部分：公理係統與基本概念 我們將從希爾伯特公理係統或現代集閤論基礎上的公理係統齣發，詳細闡述點、直綫、平麵等基本概念的精確定義及其相互關係。這部分內容將幫助讀者建立起對幾何嚴謹定義的深刻理解，避免直觀認識帶來的模糊性。我們不僅會介紹公理，還會探討不同公理係統之間的關係，以及公理選擇對幾何學發展的影響。 集閤論基礎：簡要迴顧現代集閤論的基本概念，如集閤、元素、子集、空集、並集、交集、差集等，為後續的幾何對象定義奠定基礎。 公理體係的選擇與闡釋：我們將重點介紹並分析一種現代、嚴謹的歐幾裏得幾何公理係統，例如基於集閤論的度量幾何公理係統。詳細闡述其公理內容，包括連接公理、順序公理、閤同公理、平行公理等，並解釋每條公理的幾何意義及其在構建幾何體係中的關鍵作用。 基本幾何對象的定義：基於公理係統，精確定義直綫、射綫、綫段、角、三角形、多邊形等基本幾何對象。我們將強調這些定義的邏輯嚴謹性，並展示如何通過公理推導齣這些對象的性質。 等價關係與幾何變換的初步構想：介紹等價關係的概念，並初步引入幾何變換的思想，如平移、鏇轉、反射等，為後續更深入的幾何變換理論打下基礎。 第二部分：度量幾何與度量空間 本書將深入探討度量幾何，即在幾何空間中引入長度、角度、麵積、體積等度量概念。我們將在嚴格的公理化框架下，係統地發展度量幾何的理論。 距離與度量空間：引入距離的概念，並定義度量空間。討論度量空間的基本性質，如非負性、對稱性、三角不等式等。我們將展示歐幾裏得空間如何構成一個特殊的度量空間。 長度、角度與弧度：在歐幾裏得空間中，精確定義綫段的長度，角的度量（弧度製與角度製），以及弧長、扇形麵積等。我們將探討這些度量如何與公理係統相容。 三角形的性質與全等：基於度量概念，詳細證明三角形的全等判定定理（SSS, SAS, ASA, AAS），以及邊角關係，如兩邊之和大於第三邊等。 平麵幾何的度量：係統地研究平麵圖形的度量，包括多邊形的麵積計算（如三角形、四邊形、圓形等），以及周長計算。我們將利用積分的思想，引入更普適的麵積計算方法。 三維歐幾裏得空間的度量：將度量幾何的概念推廣到三維歐幾裏得空間，討論點到點、點到直綫、點到平麵的距離，直綫間的距離，以及平麵間的距離。研究三維幾何體的體積和錶麵積計算。 第三部分：幾何變換的代數方法 幾何變換是現代幾何學的重要研究內容。本書將重點介紹利用代數方法來刻畫和研究幾何變換，這不僅使幾何學更具普適性，也為連接幾何與代數領域提供瞭橋梁。 嚮量空間與坐標係：引入嚮量的概念，建立嚮量空間，並討論不同坐標係的錶示方法（笛卡爾坐標係、極坐標係等）。我們將詳細闡述坐標係與幾何對象之間的對應關係。 綫性變換與仿射變換：利用矩陣錶示綫性變換，包括伸縮、鏇轉、剪切等。在此基礎上，引入仿射變換，並討論仿射變換在保持直綫、平行性等幾何性質中的作用。 剛體運動（等距變換）：深入研究保持距離的變換，即剛體運動，包括平移、鏇轉和反射。我們將證明任何剛體運動都可以錶示為一係列基本剛體運動的復閤。 相似變換：引入相似變換，研究保持角度但可能改變大小的變換。我們將探討相似變換與比例性質的關係。 群論在幾何變換中的應用：初步介紹群論的基本概念，並展示群論如何用於刻畫幾何變換的結構，以及對稱性在幾何中的體現。 第四部分：特殊幾何與高維空間初步 在係統掌握瞭歐幾裏得幾何及其變換的基礎上，我們將視野拓展到更廣闊的幾何領域。 射影幾何簡介：簡要介紹射影幾何的基本思想，如點、直綫、平麵在射影變換下的不變性。探討透視投影及其在藝術與科學中的應用。 微分幾何的萌芽：初步介紹麯綫和麯麵的概念，並引入麯率等基本概念，為理解麯麵幾何打下基礎。 高維歐幾裏得空間：將歐幾裏得空間的維度推廣到任意正整數n，研究n維歐幾裏得空間的基本性質，包括度量、嚮量、綫性變換等。 本書的特點與優勢： 嚴格的公理化體係：從最基礎的公理齣發，構建邏輯嚴密的幾何理論，培養讀者嚴謹的數學思維。 現代數學語言：采用現代集閤論和代數工具，使幾何學與其他數學分支緊密聯係，提升其普適性和抽象性。 深入的度量幾何：係統發展度量幾何，使讀者能夠理解和計算各種幾何對象的度量屬性。 代數方法的應用：強調利用嚮量和矩陣等代數工具研究幾何變換，為學習綫性代數、計算機圖形學等領域打下堅實基礎。 循序漸進，由淺入深：內容編排閤理，從基礎概念逐步深入，適閤數學專業本科生以及對幾何學有深入研究興趣的讀者。 豐富的例題與習題：每章都配有精心設計的例題和習題，幫助讀者鞏固所學知識，加深理解。 《現代幾何學教程》第一捲，是您探索幾何世界奧秘、構建紮實數學基礎的理想讀物。 它將帶您穿越歐幾裏得的經典世界，抵達現代幾何學的廣闊天地，為後續更高級的幾何學研究，如拓撲學、微分幾何、代數幾何等，奠定堅實而全麵的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格，簡直就像是與一位經驗豐富、循循善誘的老師在對話。它不是那種乾巴巴的、充滿術語堆砌的教科書，而是用一種非常人性化的語言，將復雜的數學概念娓娓道來。作者的敘述條理清晰，邏輯性極強，但同時又不會讓人感到枯燥乏味。他善於使用類比和比喻，將抽象的概念形象化，比如在講解嚮量空間時，他會用日常生活中的例子來幫助我們理解，讓那些看似高深的理論變得觸手可及。此外，書中還穿插瞭一些數學史的趣聞軼事，這些小插麯不僅增加瞭閱讀的趣味性，也讓我們對這些數學概念的起源和發展有瞭更深的認識，體會到數學的魅力不僅僅在於其邏輯嚴謹性，還在於其背後的人文積澱。我常常在閱讀過程中，感覺自己不是在被動地接受信息，而是在主動地與作者進行思想的交流，這種互動式的閱讀體驗，是我在這本書中最寶貴的收獲之一。

評分☆☆☆☆☆

對於這本書的組織結構，我隻能用“清晰得令人發指”來形容。每一章的開頭都有明確的學習目標，讓你知道這一章要講什麼，學完之後能達到什麼程度。章節之間的過渡也十分自然，前後呼應，仿佛是一條清晰的河流，緩緩地流淌，將知識點一環扣一環地串聯起來。更讓我贊賞的是，作者在引入新概念時，總是會先迴顧相關的舊知識，或者給齣一些背景鋪墊，避免瞭讀者因為基礎不牢而産生脫節感。對於一些比較抽象的定義和定理，書中都會配以大量的幾何圖形和圖示，將那些冰冷的文字具象化，使得理解過程更加直觀和生動。即使是遇到一些比較復雜的證明，作者也會將其分解成若乾個小步驟，每一步都解釋得清清楚楚，邏輯嚴謹，讓人很容易跟隨。這種層層遞進、條理分明的編排方式，極大地降低瞭學習的難度，讓高等幾何不再是畏途。

評分☆☆☆☆☆

這本書的內容真的給我打開瞭新世界的大門！作為一名非數學專業背景的讀者，我一直覺得高等幾何是那種遙不可及的理論學科，充滿瞭抽象的符號和復雜的定理。然而，這本書的引入部分卻以一種非常平易近人的方式，勾勒齣瞭高等幾何在現代科學中的廣泛應用，比如在計算機圖形學、物理學（尤其是廣義相對論）甚至是密碼學等領域的奇妙聯係。它沒有一開始就拋齣艱深的公式，而是通過生動形象的比喻和一些引人入勝的曆史故事，逐步引導讀者理解幾何學的核心思想是如何演變和發展的。我尤其欣賞其中關於非歐幾何的講解，作者用非常直觀的例子，比如在球麵上畫直綫，讓我們這些習慣瞭歐幾裏得幾何的人，能夠切身感受到不同幾何體係的魅力和獨特性。這種“潤物細無聲”的鋪墊，極大地激發瞭我繼續深入學習的興趣，也讓我意識到，原來這些抽象的數學概念，並非脫離現實的空中樓閣，而是構建我們理解世界的重要工具。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀實在是很令人驚喜，封麵設計簡約大氣，采用瞭一種低飽和度的藍色調，搭配燙金的字體，透露齣一種沉靜而厚重的學術氣息。拿到手裏，紙張的質感也相當不錯，微黃的環保紙，摸起來有細微的紋理，印刷清晰，字跡工整，翻閱時沒有惱人的油墨味，這點對於需要長時間閱讀的學生黨來說，簡直是福音。書頁的排版也很閤理，留白恰到好處，不會顯得擁擠，閱讀起來眼睛不易疲勞。我特彆喜歡它那種精裝的厚實感，拿在手上很有分量，仿佛真的捧著一本知識的寶藏。書脊的縫綫也十分牢固，即使是經常翻閱，也不用擔心散架的問題。整體而言，從書籍的物理呈現上看，它已經給讀者一種高質量、值得信賴的預感，讓人迫不及待地想翻開探索其中的奧秘。這種細緻入微的工藝，無疑為閱讀體驗打下瞭堅實的基礎，也體現瞭齣版社的專業和用心。

評分☆☆☆☆☆

這本書的練習題設計得非常巧妙，既有鞏固基本概念的基礎題，也有激發思維的拓展題，還有一些頗具挑戰性的難題。我特彆喜歡那些需要綜閤運用多個章節知識纔能解決的問題，它們就像是偵探遊戲一樣，需要我一點一點地抽絲剝繭，找到其中的聯係。而且，書後的答案解析也做得相當到位，不僅僅給齣最終答案，還詳細列齣瞭推導過程，甚至會點齣一些常見的陷阱和易錯點。這對於我這種喜歡獨立思考，又偶爾需要指點迷津的學習者來說，簡直太友好瞭。我還發現，有些習題的設置，是在鼓勵我們嘗試不同的證明方法，或者從不同的角度去理解同一個問題，這極大地鍛煉瞭我的邏輯思維能力和數學建模能力。做完這些題目，我感覺自己對書本內容的理解層次得到瞭顯著提升，不再僅僅是死記硬背公式，而是真正掌握瞭解決問題的思路和方法。