高等几何（第3版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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梅向明，刘增贤，王汇淳，王智秋 编

图书标签:

• 高等几何
• 几何学
• 数学
• 大学教材
• 第三版
• 代数几何
• 射影几何
• 欧几里得几何
• 解析几何
• 数学分析

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040236002

版次：3

商品编码：12273952

包装：平装

丛书名： 普通高等教育“十一五”国家级规划教材

开本：32开

出版时间：2008-04-01

用纸：胶版纸

页数：291

字数：240000

正文语种：中文

内容简介

　　《高等几何（第3版）》是在第二版的基础上修订而成的，与第二版不同之处在于：新版中给出了欧氏几何的公理体系，具体到三维的情形；删除了原版的附录，把它改成第九章：实数域上的欧氏几何；将第九章改成第十章：几何公理体系，这是包括三种几何公理体系的完整的几何公理体系。
　　《高等几何（第3版）》可供高等师范院校数学系用作教材。

内页插图

目录

第一章 仿射坐标与仿射变换
§1 透视仿射对应
§2 仿射对应与仿射变换
§3 仿射坐标
3．1 仿射坐标系
3．2 仿射变换的代数表示
3．3 几种特殊的仿射变换
§4 仿射性质
习题

第二章 射影平面
§1 射影直线和射影平面
1．1 中心射影与无穷远元素
1．2 射影直线和射影平面
1．3 图形的射影性质
1．4 德萨格（Desargues）定理
习题一
§2 齐次坐标
2．1 齐次点坐标
2．2 齐次线坐标
习题二
§3 对偶原理
3．1 对偶图形
3．2 对偶命题与对偶原则
3．3 代数对偶
习题三
§4 复元素
4．1 二维空间的复元素
4．2 二维共轭复元素
习题四

第三章 射影变换与射影坐标
§1 交比与调和比
1．1 点列中四点的交比与调和比
1．2 线束中四直线的交比与调和比
1．3 完全四点形与完全四线形的调和性
习题一
§2 一维射影变换
2．1 一维基本形的透视对应
2．2 一维基本形的射影对应
2．3 一维射影变换
习题二
§3 一维射影坐标
3．1 直线上的射影坐标系
3．2 一维射影对应（变换）的代数表示
习题三
§4 二维射影变换与二维射影坐标
4．1 二维射影变换
4．2 二维射影坐标
4．3 二维射影对应的坐标表示
习题四

第四章 变换群与几何学
§1 变换群
1．1 变换群的概念
1．2 平面上几个重要的变换群
§2 变换群与几何学
2．1 克莱因（F．K1ein）的变换群观点
2．2 射影、仿射和欧氏三种几何学的比较
习题

第五章 二次曲线的射影理论
§1 二次曲线的射影定义
1．1 二次曲线的射影定义
1．2 二阶曲线与二级曲线的关系
习题一
§2 帕斯卡和布利安桑定理
习题二
§3 极点与极线，配极原则
3．1 极点与极线
3．2 配极原则
3．3 配极变换
习题三
§4 二阶曲线的射影分类
4．1 二阶曲线的奇异点
4．2 二阶曲线的射影分类

第六章 二次曲线的仿射性质和度量性质
§1 二次曲线与无穷远直线的相关位置
§2 二次曲线的仿射性质
2．1 二次曲线的中心
2．2 直径与共轭直径
2．3 渐近线
习题一
§3 二次曲线的仿射分类
习题二
§4 二次曲线的度量性质
4．1 圆点和迷向直线
4．2 拉盖尔（Laguerre）定理
4．3 二次曲线的主轴、焦点和准线
习题三
§5 二次曲线的度量分类

第七章 一般体（域）上的射影几何
§1 群、体和向量空间
1．1 群
1．2 体和域
1．3 向量空间
§2 射影空间和射影几何
2．1 射影几何的定义
2．2 射影几何中的结合关系
2．3 齐次向量
2．4 交比和调和点列
§3 射影变换和射影坐标
3．1 射影变换
3．2 直射变换
3．3 射影坐标
§4 对偶原理
4．1 对偶空间
4．2 对偶原理
4．3 对射变换
§5 二次曲面的射影理论
5．1 双线性形式
5．2 对称双线性形式和内积空间
5．3 对称双线性形式的标准型
5．4 二阶超曲面及其射影分类
5．5 配极变换
习题

第八章 一般体（域）上的仿射几何
§1 仿射空间和仿射几何
§2 仿射坐标与仿射变换
2．1 共线三点的单比
2．2 仿射坐标
2．3 仿射变换
§3 二次超曲面的仿射理论
习题

第九章 实数域上的欧氏几何
§1 欧氏向量空间
1．1 欧氏向量空间
1．2 欧氏向量空间的标准正交基
1．3 欧氏向量空间的正交变换
§2 欧氏空间和欧氏几何
2．1 欧氏空间和欧氏几何
2．2 欧氏空间中的笛卡儿坐标系
2．3 欧氏空间中的合同变换
2．4 有向距离和单比
§3 欧氏空间中的二次超曲面
3．1 欧氏空间中的二次超曲面
3．2 欧氏空间中的有心二次超曲面
3．3 欧氏空间中的抛物面

第十章 几何公理体系
§1 公理法简介
1．1 欧几里得的几何原本
1．2 公理法思想
§2 射影几何的公理体系
2．1 基本概念
2．2 射影结合公理
2．3 射影顺序公理
2．4 射影连续公理
§3 仿射几何的公理体系
3．1 基本概念
3．2 仿射结合公理和仿射平行公理
3．3 仿射顺序公理
3．4 仿射连续公理
§4 欧氏几何的公理体系
4．1 欧氏几何的公理体系
4．2 基本定理
4．3 连续公理
§5 希尔伯特几何公理体系
习题

前言/序言

　　这一版与第二版不同的地方是：我们在这一版中给出了欧氏几何的公理体系。具体到三维的情形，也就是人们熟悉的Hilbert几何公理体系。这样，我们就给出了完整的几何公理体系：其中包括了射影几何的公理体系、仿射几何的公理体系和欧氏几何的公理体系。
　　我们将第二版的附录改编成第九章：实数域上的欧氏几何，并把第二版的第九章改成第十章：几何公理体系。这是包括三种几何公理体系的完整的几何公理体系。
　　在第八章中，我们对仿射空间的概念作了一些调整。摒弃了旁集空间的提法，而把它定义为：挖去了无穷远超平面的射影空间。
　　本书1983年出版的时候，作者有一个想法，就是把传统的实数域上的二维和三维高等几何改造成一本一般数域上的高维高等几何。这一版的出版完成了这个任务，我相信：本书的内容将对读者进一步学习近代几何有所帮助。
　　希望使用本书的教师和学生，以及其他读者对本书的不足之处多提意见。

《现代几何学教程》 第一卷：欧几里得几何的深化与拓展 本书旨在为读者构建一个严谨而深刻的现代几何学知识体系，它并非简单地复述经典，而是以一种更为开阔的视野和现代的数学语言，对欧几里得几何进行一次系统的梳理、深化与拓展。我们从公理化体系的视角出发，重新审视欧几里得几何的基石，探讨其内在逻辑的精妙与优雅。 第一部分：公理系统与基本概念 我们将从希尔伯特公理系统或现代集合论基础上的公理系统出发，详细阐述点、直线、平面等基本概念的精确定义及其相互关系。这部分内容将帮助读者建立起对几何严谨定义的深刻理解，避免直观认识带来的模糊性。我们不仅会介绍公理，还会探讨不同公理系统之间的关系，以及公理选择对几何学发展的影响。 集合论基础：简要回顾现代集合论的基本概念，如集合、元素、子集、空集、并集、交集、差集等，为后续的几何对象定义奠定基础。 公理体系的选择与阐释：我们将重点介绍并分析一种现代、严谨的欧几里得几何公理系统，例如基于集合论的度量几何公理系统。详细阐述其公理内容，包括连接公理、顺序公理、合同公理、平行公理等，并解释每条公理的几何意义及其在构建几何体系中的关键作用。 基本几何对象的定义：基于公理系统，精确定义直线、射线、线段、角、三角形、多边形等基本几何对象。我们将强调这些定义的逻辑严谨性，并展示如何通过公理推导出这些对象的性质。 等价关系与几何变换的初步构想：介绍等价关系的概念，并初步引入几何变换的思想，如平移、旋转、反射等，为后续更深入的几何变换理论打下基础。 第二部分：度量几何与度量空间 本书将深入探讨度量几何，即在几何空间中引入长度、角度、面积、体积等度量概念。我们将在严格的公理化框架下，系统地发展度量几何的理论。 距离与度量空间：引入距离的概念，并定义度量空间。讨论度量空间的基本性质，如非负性、对称性、三角不等式等。我们将展示欧几里得空间如何构成一个特殊的度量空间。 长度、角度与弧度：在欧几里得空间中，精确定义线段的长度，角的度量（弧度制与角度制），以及弧长、扇形面积等。我们将探讨这些度量如何与公理系统相容。 三角形的性质与全等：基于度量概念，详细证明三角形的全等判定定理（SSS, SAS, ASA, AAS），以及边角关系，如两边之和大于第三边等。 平面几何的度量：系统地研究平面图形的度量，包括多边形的面积计算（如三角形、四边形、圆形等），以及周长计算。我们将利用积分的思想，引入更普适的面积计算方法。 三维欧几里得空间的度量：将度量几何的概念推广到三维欧几里得空间，讨论点到点、点到直线、点到平面的距离，直线间的距离，以及平面间的距离。研究三维几何体的体积和表面积计算。 第三部分：几何变换的代数方法 几何变换是现代几何学的重要研究内容。本书将重点介绍利用代数方法来刻画和研究几何变换，这不仅使几何学更具普适性，也为连接几何与代数领域提供了桥梁。 向量空间与坐标系：引入向量的概念，建立向量空间，并讨论不同坐标系的表示方法（笛卡尔坐标系、极坐标系等）。我们将详细阐述坐标系与几何对象之间的对应关系。 线性变换与仿射变换：利用矩阵表示线性变换，包括伸缩、旋转、剪切等。在此基础上，引入仿射变换，并讨论仿射变换在保持直线、平行性等几何性质中的作用。 刚体运动（等距变换）：深入研究保持距离的变换，即刚体运动，包括平移、旋转和反射。我们将证明任何刚体运动都可以表示为一系列基本刚体运动的复合。 相似变换：引入相似变换，研究保持角度但可能改变大小的变换。我们将探讨相似变换与比例性质的关系。 群论在几何变换中的应用：初步介绍群论的基本概念，并展示群论如何用于刻画几何变换的结构，以及对称性在几何中的体现。 第四部分：特殊几何与高维空间初步 在系统掌握了欧几里得几何及其变换的基础上，我们将视野拓展到更广阔的几何领域。 射影几何简介：简要介绍射影几何的基本思想，如点、直线、平面在射影变换下的不变性。探讨透视投影及其在艺术与科学中的应用。 微分几何的萌芽：初步介绍曲线和曲面的概念，并引入曲率等基本概念，为理解曲面几何打下基础。 高维欧几里得空间：将欧几里得空间的维度推广到任意正整数n，研究n维欧几里得空间的基本性质，包括度量、向量、线性变换等。 本书的特点与优势： 严格的公理化体系：从最基础的公理出发，构建逻辑严密的几何理论，培养读者严谨的数学思维。 现代数学语言：采用现代集合论和代数工具，使几何学与其他数学分支紧密联系，提升其普适性和抽象性。 深入的度量几何：系统发展度量几何，使读者能够理解和计算各种几何对象的度量属性。 代数方法的应用：强调利用向量和矩阵等代数工具研究几何变换，为学习线性代数、计算机图形学等领域打下坚实基础。 循序渐进，由浅入深：内容编排合理，从基础概念逐步深入，适合数学专业本科生以及对几何学有深入研究兴趣的读者。 丰富的例题与习题：每章都配有精心设计的例题和习题，帮助读者巩固所学知识，加深理解。 《现代几何学教程》第一卷，是您探索几何世界奥秘、构建扎实数学基础的理想读物。 它将带您穿越欧几里得的经典世界，抵达现代几何学的广阔天地，为后续更高级的几何学研究，如拓扑学、微分几何、代数几何等，奠定坚实而全面的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格，简直就像是与一位经验丰富、循循善诱的老师在对话。它不是那种干巴巴的、充满术语堆砌的教科书，而是用一种非常人性化的语言，将复杂的数学概念娓娓道来。作者的叙述条理清晰，逻辑性极强，但同时又不会让人感到枯燥乏味。他善于使用类比和比喻，将抽象的概念形象化，比如在讲解向量空间时，他会用日常生活中的例子来帮助我们理解，让那些看似高深的理论变得触手可及。此外，书中还穿插了一些数学史的趣闻轶事，这些小插曲不仅增加了阅读的趣味性，也让我们对这些数学概念的起源和发展有了更深的认识，体会到数学的魅力不仅仅在于其逻辑严谨性，还在于其背后的人文积淀。我常常在阅读过程中，感觉自己不是在被动地接受信息，而是在主动地与作者进行思想的交流，这种互动式的阅读体验，是我在这本书中最宝贵的收获之一。

评分☆☆☆☆☆

这本书的练习题设计得非常巧妙，既有巩固基本概念的基础题，也有激发思维的拓展题，还有一些颇具挑战性的难题。我特别喜欢那些需要综合运用多个章节知识才能解决的问题，它们就像是侦探游戏一样，需要我一点一点地抽丝剥茧，找到其中的联系。而且，书后的答案解析也做得相当到位，不仅仅给出最终答案，还详细列出了推导过程，甚至会点出一些常见的陷阱和易错点。这对于我这种喜欢独立思考，又偶尔需要指点迷津的学习者来说，简直太友好了。我还发现，有些习题的设置，是在鼓励我们尝试不同的证明方法，或者从不同的角度去理解同一个问题，这极大地锻炼了我的逻辑思维能力和数学建模能力。做完这些题目，我感觉自己对书本内容的理解层次得到了显著提升，不再仅仅是死记硬背公式，而是真正掌握了解决问题的思路和方法。

评分☆☆☆☆☆

对于这本书的组织结构，我只能用“清晰得令人发指”来形容。每一章的开头都有明确的学习目标，让你知道这一章要讲什么，学完之后能达到什么程度。章节之间的过渡也十分自然，前后呼应，仿佛是一条清晰的河流，缓缓地流淌，将知识点一环扣一环地串联起来。更让我赞赏的是，作者在引入新概念时，总是会先回顾相关的旧知识，或者给出一些背景铺垫，避免了读者因为基础不牢而产生脱节感。对于一些比较抽象的定义和定理，书中都会配以大量的几何图形和图示，将那些冰冷的文字具象化，使得理解过程更加直观和生动。即使是遇到一些比较复杂的证明，作者也会将其分解成若干个小步骤，每一步都解释得清清楚楚，逻辑严谨，让人很容易跟随。这种层层递进、条理分明的编排方式，极大地降低了学习的难度，让高等几何不再是畏途。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧实在是很令人惊喜，封面设计简约大气，采用了一种低饱和度的蓝色调，搭配烫金的字体，透露出一种沉静而厚重的学术气息。拿到手里，纸张的质感也相当不错，微黄的环保纸，摸起来有细微的纹理，印刷清晰，字迹工整，翻阅时没有恼人的油墨味，这点对于需要长时间阅读的学生党来说，简直是福音。书页的排版也很合理，留白恰到好处，不会显得拥挤，阅读起来眼睛不易疲劳。我特别喜欢它那种精装的厚实感，拿在手上很有分量，仿佛真的捧着一本知识的宝藏。书脊的缝线也十分牢固，即使是经常翻阅，也不用担心散架的问题。整体而言，从书籍的物理呈现上看，它已经给读者一种高质量、值得信赖的预感，让人迫不及待地想翻开探索其中的奥秘。这种细致入微的工艺，无疑为阅读体验打下了坚实的基础，也体现了出版社的专业和用心。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容真的给我打开了新世界的大门！作为一名非数学专业背景的读者，我一直觉得高等几何是那种遥不可及的理论学科，充满了抽象的符号和复杂的定理。然而，这本书的引入部分却以一种非常平易近人的方式，勾勒出了高等几何在现代科学中的广泛应用，比如在计算机图形学、物理学（尤其是广义相对论）甚至是密码学等领域的奇妙联系。它没有一开始就抛出艰深的公式，而是通过生动形象的比喻和一些引人入胜的历史故事，逐步引导读者理解几何学的核心思想是如何演变和发展的。我尤其欣赏其中关于非欧几何的讲解，作者用非常直观的例子，比如在球面上画直线，让我们这些习惯了欧几里得几何的人，能够切身感受到不同几何体系的魅力和独特性。这种“润物细无声”的铺垫，极大地激发了我继续深入学习的兴趣，也让我意识到，原来这些抽象的数学概念，并非脱离现实的空中楼阁，而是构建我们理解世界的重要工具。