斯米尔诺夫高等数学.第二卷.第二分册 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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斯米尔诺夫 著

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• 高等数学
• 斯米尔诺夫
• 数学分析
• 微积分
• 函数
• 极限
• 微分
• 积分
• 数学教材
• 理工科

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560365237

版次：1

商品编码：12341797

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-03-01

用纸：胶版纸

编辑推荐

本书适合高等学校数学及相关专业师生使用，也适合数学爱好者参考阅读。

内容简介

本书共分四章：重积分、曲线积分、反常积分及依赖与参变量的积分，向量分级及场论，微分几何基础，傅里叶级数。理论部分叙述扼要，应用部分叙述详尽。

目录

目录

第3章 重积分、曲线积分、反常积分及依赖与参变量的积分

1.重积分

2.曲线积分

3.反常积分与依赖与参变量的积分

4.关于重积分理论的补充知识

第4章 向量分级及场论

第5章 微分几何基础

第6章 傅里叶级数

1.调和分析

2.傅里叶级数理论中的补充知识

3.傅里叶积分及重傅里叶级数

附录 俄国大众数学传统-过去和现在

编辑手记

跨越时空的数学之旅：经典线性代数与微分几何的瑰宝 本卷精选的书籍汇集了两大数学核心分支的精髓：经典线性代数的严谨结构与微分几何的优美几何直觉。它们共同构成现代物理学、工程学乃至计算科学的坚实理论基石。我们旨在通过详实的论证和丰富的实例，将抽象的数学概念转化为清晰可感的知识体系，带领读者进行一场深入而富有启发性的探索。 第一部分：线性代数的殿堂——向量空间与矩阵理论的深度解析 本书对线性代数的阐述，从最基础的向量空间公理出发，层层递进，构建起一个逻辑严密的知识框架。我们着重于对核心概念的深刻理解，而非仅仅停留在计算技巧的罗列。 一、向量空间与线性变换的本质 我们首先详细探讨了向量空间的定义、子空间、线性组合、张成（Span）以及线性无关性的概念。重点突出了基（Basis）和维数（Dimension）在确定空间结构中的核心地位。不同于仅将向量视为有序数对的初级视图，本书强调向量作为抽象元素的代数特性，这为后续处理无限维空间（如函数空间）打下了坚实的基础。 紧随其后的是对线性变换（Linear Transformation）的深入剖析。变换被视为连接不同向量空间的“桥梁”。我们详尽讨论了核（Kernel）和像（Image）的性质，证明了秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的普适性，并展示了线性变换如何通过矩阵表示实现计算的便捷性。 二、矩阵理论的精细打磨 矩阵不再仅仅是数字的矩形排列，而是线性变换在特定基下的坐标体现。本书对矩阵运算，特别是矩阵乘法的几何意义进行了细致的阐释。 特征值与特征向量是本部分的高潮。我们不仅介绍了如何求解这些特殊向量和标量，更重要的是探讨了它们在动力系统、稳定性分析中的物理意义。本书采用相似变换的视角，导出了对角化的可能性及其条件，这直接关联到我们对线性系统的解耦能力。 对于不可对角化的情形，我们引入了若尔当标准型（Jordan Canonical Form）。为了严谨性，我们详细推导了广义特征向量的构造过程，并解释了若尔当块结构如何精确地反映了线性算子在局部空间中的行为。 三、结构与分解：构造性的理解 矩阵分解技术是线性代数应用的关键。本书详细论述了以下几种至关重要的分解方法： 1. LU分解与高斯消元法： 将求解线性方程组的问题转化为三角矩阵的求解过程，并讨论了其在数值稳定性上的考量。 2. 正交性与最小二乘法： 在内积空间中，正交性提供了最“简洁”的表达。我们引入了Gram-Schmidt正交化过程，并将其应用于最小二乘解的推导，解决了超定方程组的拟合问题，这在数据科学中至关重要。 3. 奇异值分解（SVD）： SVD被誉为矩阵的“终极分解”。本书从对任意矩阵$A$进行分解的角度，展示了SVD在数据压缩、主成分分析（PCA）以及求解伪逆中的不可替代的作用。我们强调了奇异值与矩阵作用下空间拉伸程度之间的直接关系。 第二部分：微分几何的视野——流形、切空间与曲率的探索 本部分将读者的视野从平坦的欧几里得空间扩展到更广阔的、具有内在几何结构的微分流形（Differentiable Manifolds）上。微分几何是理解广义相对论、拓扑学以及现代几何分析的必备工具。 一、流形的建立与局部坐标系 我们从直观的二维空间（如球面、圆环面）出发，逐步抽象出拓扑流形的概念，并引入开集、拓扑结构的概念。随后，本书的核心在于微分结构的引入——即图册（Atlas）和坐标图（Chart）的构造，确保我们可以在局部使用微积分工具。 关键难点在于可微性的定义，即不同坐标系之间的转换函数必须是光滑的。我们展示了如何通过提升（Lifting）的方法，将欧氏空间中的光滑性概念推广到抽象的流形上。 二、切空间：局部线性化的几何工具 流形虽然弯曲，但在任意一点的“切面”却是平坦的，这个切面就是切空间（Tangent Space）。 本书系统地介绍了切向量的两种等价定义：一是作为曲线的速度矢量，二是作为作用在光滑函数上的导数算子（Tangent Vector as a Derivation）。后一种定义在处理更复杂的几何结构时显示出其强大的优越性。我们证明了在每一点 $p$ 上，切空间 $T_p M$ 构成一个向量空间，其维数等于流形的维数。 张量场（Tensor Fields）是描述流形上局部物理量和几何性质的语言。我们详细区分了协变张量（下指标）和反变张量（上指标），并解释了指标的提升和下降（通过黎曼度规张量实现）的物理意义——这体现了我们如何在度量中切换观察问题的角度。 三、联络与测地线：测量的规则 在弯曲空间中，我们无法直接比较不同点的切向量，因为它们处于不同的切空间。联络（Connection）的概念应运而生，它提供了一种平行移动（Parallel Transport）的规则，允许我们将一个切空间中的向量“携带”到邻近的切空间中。 本书重点讨论列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），它是唯一一个无挠率（Torsion-free）且度规相容（Metric-compatible）的联络。我们推导了其Christoffel符号的明确表达式。 基于联络，我们定义了测地线（Geodesics）——在流形上两点间“最短”或“最直”的路径。测地线的定义是通过零“联络导数”的向量场方程来精确描述的，这揭示了重力在广义相对论中的几何本质。 四、曲率的量化：黎曼曲率张量 曲率是衡量流形偏离平坦程度的几何不变量。我们展示了如何利用联络来定义黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。 曲率张量通过衡量两个不同路径的平行移动结果的差异来量化弯曲。本书将曲率张量分解为里奇张量、里奇标量，并最终引向爱因斯坦场方程的几何基础。我们通过高斯绝妙定理（Theorema Egregium）展示了曲率的内在性——它可以通过流形自身的测量来确定，无需参考外部嵌入空间。 通过对这两个核心领域的细致梳理，本书旨在为读者建立起一个坚实、且能相互印证的数学知识体系，无论未来是深入理论物理还是投身于复杂的工程建模，都能游刃有余。

评分☆☆☆☆☆

这本书的特点在于其极高的自洽性和逻辑上的完美闭环。它几乎不依赖于任何外部参考资料，读者只需要完全遵循书中的逻辑链条，就能构建起一个完整的知识体系。这种严密性在处理那些定义模糊、界限不清的数学领域时尤其重要，它为你提供了一个清晰的判断标准。但是，这种严密性也带来了一个副作用：对于习惯了在不同教材之间交叉对比、寻找不同解释的读者来说，这本书显得有些“固执己见”。一旦你接受了它在开篇建立的公理体系，那么后续所有的结论都必须在这个框架内被推导出来，不允许有任何跳跃或含糊其辞的地方。我记得我曾经因为一个符号的用法和我的另一本参考书略有出入而纠结了很久，最后才发现，是作者在这一卷中对该符号的定义做了微小的、但至关重要的调整。这要求读者必须非常细致地阅读每一条定义和每一条定理的适用条件，否则很容易在复杂的推导中迷失方向。

评分☆☆☆☆☆

这套书的结构安排，说实话，非常考验读者的毅力和对数学思维的接受程度。它并不是那种帮你搭好脚手架，然后让你轻松登顶的向导手册，更像是一次深入热带雨林的探险，你必须自己准备好所有工具，并且时刻保持警惕。我尤其欣赏它在引入新概念时所下的功夫，那种从最基础的公理出发，层层递进，构建起宏大数学体系的方式，让人不得不佩服数学家构建知识大厦的精妙。然而，正是这种“纯粹性”，使得初学者在面对前几章时可能会感到非常吃力。我记得有一次，为了弄懂某个向量场理论中的一个关键假设，我翻阅了前面好几章的内容来回对照，那种感觉就像是试图从一团复杂的线团中找出起点和终点。这本书的习题设计，也完全体现了其难度，它们很少是那种套用公式就能解决的简单计算题，更多的是需要你对理论有深刻理解后，进行巧妙转化的综合性问题。读完一个章节后，如果不能独立完成几道核心习题，你很难说自己真正掌握了那个知识点。

评分☆☆☆☆☆

这本书，初拿到手的时候，那种厚重感就让人心里咯噔一下，一看目录，更是头皮发麻，里面的数学符号和公式仿佛在对我发出无声的挑战。我记得我当时是鼓足了全身的勇气才翻开第一章的，毕竟高等数学这个名字本身就带着一种令人望而生畏的气场。这本书的排版是典型的老式教科书风格，那种密密麻麻的文字和紧凑的公式，让习惯了现在各种图文并茂、色彩鲜艳教材的读者可能会感到有些不适应。很多定理的证明过程极其详尽，每一个推导步骤都毫不含糊，这对于那些基础不太扎实，需要反复揣摩才能理解的同学来说，无疑是一份宝贵的财富。但反过来说，对于追求效率、希望快速掌握解题技巧的人而言，可能就显得有些拖沓了。我花了很长时间才适应它那种严谨到近乎刻板的叙述方式，尤其是在处理一些复杂的积分和微分方程时，那种步步为营的逻辑推演，需要读者投入极大的耐心去跟随作者的思路。这本书更像是一位极其严肃的老教授，他不会为了迎合听众而简化概念，而是要求你用最纯粹的数学语言去理解世界。

评分☆☆☆☆☆

这本书散发着一种经久不衰的学术气息，它不像很多现代教材那样追求时效性，而是专注于那些经过时间检验的核心概念。它更像是一部数学领域的“经典文献”而非“入门指南”。当你真正沉下心来啃读时，你会发现作者在构建这个知识领域时所花费的心血，那种对每一个细节的打磨，都体现了一种匠人精神。它对抽象思维的训练是无与伦比的，它强迫你的大脑以一种非常结构化、非直觉的方式去处理信息。我曾经试图在不完全理解某个引理的证明时直接跳到下一个定理，结果发现后续的所有推导都建立在那个未完全消化的引理之上，导致我不得不回溯，重新细抠。这种体验告诉我，这本书的阅读速度是不能快的，它不是用来“翻阅”的，而是用来“研读”的。每读完一小节，都需要停下来，在草稿纸上用自己的方式重写一遍关键步骤，才能真正将作者的思路内化为自己的理解。

评分☆☆☆☆☆

对于我个人而言，阅读这本书的过程，更像是一场与作者之间关于智力的较量。这本书的叙述风格极为克制，几乎没有多余的修辞或者旁白，每一个句子都承载着精确的数学信息。如果你期待看到有趣的数学小故事或者历史背景介绍来调剂枯燥的学习过程，那么你可能会失望。这本书的重点完全聚焦于“如何证明”和“为什么成立”，而不是“这个知识点有什么用”。这使得它在应用于工程或应用数学领域时，需要读者自行进行大量的“翻译”工作，将抽象的理论模型转化为实际问题的解决方案。我发现，只有当我对某个数学分支已经有了一定的基础认知后，这本书的价值才能真正体现出来——它提供了一种极其坚实、几乎不可动摇的理论基础。它让你看清数学的骨架，而不是仅仅停留在肌肉和皮肤的表面。但对于那些急于应用知识的工程师来说，这本书的深度可能会成为一种负担，因为它要求你在应用之前，必须先成为一个合格的数学家。